8-15 дәріс тезистері (1). Дріс жоспары Тжірибелік деректер сипаты

• Название: Дріс жоспары Тжірибелік деректер сипаты
• Дата: 19.05.2022
• Размер: 1.65 Mb.
• Имя файла: 8-15 дәріс тезистері (1).docx
• Тип: Документы; #538787
• страница: 5 из 7

Шешу әдістері туралы. Кәдімгі дифференциалдық теңдеулерді шешу әдістерін келесі топтарға бөлуге болады: графикалық, аналитикалық, жуық және сандық.

Графикалық әдістер геометриялық құруды қолданады. Атап айтқанда, олардың біреуі (2) түрдегі бірінші ретті дифференциалдық теңдеулерді шешуге арналған изоклин әдістері болып табылады. Ол изоклиндермен анықталған, бағыттардың алдынала құрылған өрістері бойынша интегралдық қисықтардың геометриялық анықтамаларына негізделген.

Кейбір аналитикалық әдістермен оқырман дифференциалдық теңдеулер курсынан таныс. Бірінші ретті бірқатар теңдеулер үшін (бөлінетін айнымалылар, біртекті, сызықтық және т.б.), сондай-ақ жоғары реттік теңдеулердің кейбір түрлері үшін (мысалы, тұрақты коэффициенттерімен сызықтық) аналитикалық түрлендірулер арқылы формулалар түрінде шешімдер алуға болады.

Жуықтау әдістері олардағы кейбір мүшелерді негізделген түрде алып тастау арқылы теңдеулердің өздерін әртүрлі ықшамдауды, сондай-ақ қажетті функциялардың кластарын арнайы таңдауды қолданады. Мысалы, кейбір инженерлік есептерде шешімді екі құрауыштың қосындысы түрінде ұсынуға болады, олардың біріншісі негізгі шешімді анықтайды, ал екіншісі — квадратын елемеуге болатын, аздаған қосымша (ауытқу). Линеризациялаудың әртүрлі әдістері осыған негізделген. Жуықтау әдістерінде сол сияқты берілген есептің қандайда бір кіші параметрі бойынша шешімді қатарға жіктеу кең қолданылады. Берілген әдістер тобына асимптотикалық әдістерде жатады, олардың көмегімен қарастырылып отырған құбылыстың шектік суретін сипаттайтын, шешім алынады.

Мұнда біз дифференциалдық теңдеулерді шешудің сандық әдістерін қарастырамыз, олар қазіргі уақытта дифференциалдық теңдеулермен сипатталатын, ғылыми-техникалық есептерді зерттеудегі негізгі құрал болып табылады. Сонымен бірге берілген әдістер қазіргі заманғы компьютерлерді қолданумен үйлескенде айрықша тиімді екендігін айта кету қажет.

Дифференциалдық теңдеулерді шешудің ең көп таралған және әмбебап сандық әдісі-ақырғы айырмдар әдісі.

Оның мәні келесідей. Аргументтің үздіксіз өзгеру облысы (мысалы, кесінді) түйіндер деп аталатын дискретті нүктелер жиынымен ауыстырылады. Бұл түйіндер айырымдық торды құрайды. Қажетті үздіксіз аргумент функциясы берілген тордағы дискретті аргумент функциясымен жуықтап ауыстырылады. Бұл функция торлық деп аталады.

Бастапқы дифференциалдық теңдеу торлық функцияға қатысты айырымдық теңдеумен ауыстырылады. Сонымен қатар, теңдеуге енетін туындылар үшін тиісті ақырғы-айырымдық қатынастар қолданылады (3-тарау, §1). Дифференциалдық теңдеуді айырымдық теңдеумен алмастыру оның тордағы жуықтауы (немесе айырымдық жуықтауы) деп аталады. Осылайша, дифференциалдық теңдеудің шешімі тор түйіндеріндегі торлық функцияның мәндерін табуға дейін келтіріледі.

Дифференциалдық теңдеуді айырымдық теңдеумен алмастырудың негізділігі, алынатын шешімдердің дәлдігі, әдістің тұрақтылығы -мұқият зерттеуді қажет ететін маңызды мәселелер болып табылады. Бұл жерде біз осы мәселелер бойынша кейбір қарапайым мәліметтерді ғана береміз.

2. 
   Айырымдық әдістер.
   

Әдетте айырымдық схемаларда жазудың жинақтылығы үшін дифференциал теңдеулерді, бастапқы және шекаралық шарттарды операторлық деп аталатын, қандайда бір таңбалық түрде көрсетеді. Мысалы мына теңдеулердің кезкелгенін

Y' = f(x), Y" = f(x), Y" + k²Y = f(x)

LY = F(x) түрінде жазуға болады. мұндағы L - дифференциалдау амалдарынан тұратын, дифференциалдық оператор; оның мәні әртүрлі дифференциал теңдеу үшін әртүрлі. х аргументінің өзгеру облысын G арқылы белгілеуге болады, яғни х ∈ G. Атап айтқанда, қарапайым дифференциал теңдеулерді шешу кезінде G облысы қандайда бір [a,b] кесіндісі х > 0 жартылай осі (немесе t > 0) және т.б. болуы мүмкін.

Шекарадағы қосымша шарттарда операторлық түрде көрсетіледі. Мысалы, мына шарттардың кезкелгенін

У(0)=А, У(а)=0, У(b) = 1, У'(0) = В, У' (а) = 1

lY = Ф(х) (х ∈ Г) түрінде жазуға болады. Мұндағы l - бастапқы немесе шекаралық шарттар операторы, Ф(х) - осы шарттардың оң бөлігі, Г – қарастырылатын облыс шекарасы (яғни х=0, х=a, x=b және т.б.).
Осылайша, берілген бастапқы және шекаралық шарттарымен дифференциалдық теңдеуге арналған бастапқы есепті, одан әрі дифференциалдық есеп деп аталатын, жалпы жағдайда келесі түрде жазуға болады

LY = F(x), x∈ G, (7.5)

lY = Ф(x), х ∈ Г. (7.6)

Ақырғы айырымдар әдісінде (7.5) бастапқы дифференциалдық теңдеуі айырымдық теңдеумен, туындыларды сәйкес келетін ақырғы-айырымдық қатынастармен жуықтау арқылы алмастырылады.

Сонымен қатар, G облысында торды енгіземіз, оның h > 0 қадамын қарапайымдылық үшін тұрақты деп есептейміз. х₀, x₁, ... түйіндерінің жиынтығын g_h арқылы белгілейміз. Тор түйіндеріндегі Y ізделетін функцияның мәндері у_h тор функциясының мәндерімен ауыстырылады, бұл айырымдық теңдеудің шешімі болып табылады.

Ізделетін функция мен тор функциясын, олардың айырмашылығын ерекшелеу үшін сәйкесінше Y және у деп белгілейміз: Y-х үздіксіз өзгеретін аргументінің функциясы, ал у — g_h = {x_i} (i = 0,1,...) дискретті жиынында анықталған, дискретті тор функциясы). Тор түйіндеріндегі y_i мәндерін қабылдайтын, тор функциясын i бүтін сандық аргументтің функциясы деп санауға болады. Сонымен, (7.5) дифференциалдық теңдеу айырымдық теңдеумен алмастырылады, оны оператор түрінде де жазуға болады:

L_hy_h= f_h, x ∈ g_h (7.7)

Мұнда L_h - L дифференциалдық операторын жуықтаушы, айырымдық оператор. (3-тарау, §1) белгілі болғандай, туындыларды жуықтаудың қателігі, демек, (7.7) жуықтау қателігі х белгілі бір нүктесінде ε(х) = O(h^k) түрінде ұсынылуы мүмкін. Сонымен қатар, х-тің осы нүктесінде k-ретті жуықтау орын алады деп айтады. (7.7) айырымдық теңдеуіндегі h индексі, қадамның шамасы айырымдық есептің параметрі болып табылатындығын көрсетеді. Сондықтан (7.7) теңдеуін, h параметрінен тәуелді айырымдық теңдеулердің бүкіл тобы ретінде қарастыруға болады.

Дифференциалдық теңдеулерді шешу кезінде, әдетте, жуықтау қатесін бір нүктеде емес, бүкіл g_h торында, яғни x₀, x₁, ... нүктелерінде бағалау қажет. Тордағы ε_h жуықтау қателігі ретінде түйіндердегі жуықтау қателіктерімен байланысты, белгілі бір шаманы алуға болады, мысалы,


Бұл жағдайда L_h торда жуықтаудың k-ретіне ие болады, егер ε_h = O(h^k)болса.

(7.5) дифференциалдық теңдеудің (7.7) жуықтауымен қатар (7.6) шекарадағы қосымша шарттарды да жуықтау қажет. Бұл шарттар келесі түрде жазылады

l_hy_h= φ_h, x ∈ γ_h (7.8)

Мұнда γ_h-тордың шекаралық түйіндерінің жиыны, яғни γ_h ⸦ Г. h индексі, (7.7) сияқты, шекарадағы айырымдық шартының қадам мәнінен тәуелділігін білдіреді.

Бастапқы дифференциалдық теңдеуді және шекарадағы қосымша шарттарды жуықтайтын, (7.7), (7.8) айырымдық теңдеулердің жиынтығы айырымдық схема деп аталады.

Мысал. Коши есебін қарастырайық



x₀, x₁, ... аргумент мәндерін түйін ретінде қабылдай отырып, h қадамымен тең өлшемді торды енгіземіз. Осы түйіндерде ізделетін шешімді жуықтайтын, тор функциясының мәндерін y₀, y₁, ... арқылы белгілейміз. Онда айырымдық схеманы келесі түрде жазуға болады, мысалы



Мұнда f_i-x_i нүктесіндегі айырымдық теңдеудің оң бөлігінің мәні. Атап айтқанда, f_i=F(x_i) қабылдауға болады. Бұл схема жуықтаудың бірінші ретіне ие болады, яғни ε_h =O(h).

Айырымдық есепті шешу, соның нәтижесінде х_i түйіндеріндегі y_iтор функциясының мәндері бастапқы дифференциалдық есептің Y(x) шешімін жуықтап алмастырады. Алайда, кез-келген айырымдық схема қанағаттанарлық шешімді бере бермейді, яғни y_iтор функциясының алынатын мәндері әрқашан тор түйіндеріндегі ізделетін Y(x_i) функциясының мәндерін жеткілікті дәлдікпен жуықтай алмайды. Мұнда айырымдық схеманың тұрақтылығы, жуықтауы және жинақталуы сияқты ұғымдар маңызды рөл атқарады.

Схеманың тұрақтылығы деп оның шешімінің кіріс деректерінен (теңдеулер коэффициенттері, оң бөліктер, бастапқы және шекаралық шарттар) үздіксіз тәуелділігін түсінеді. Немесе, басқаша айтқанда, кіріс деректерінің аздаған өзгерісіне шешімнің аздаған өзгерісі сәйкес келеді. Керісінше жағдайда, айырымдық схема тұрақсыз деп аталады. Әрине, практикалық есептеулер үшін тұрақты схемалар қолданылады, себебі кіріс деректерде, әдетте тұрақсыз схемалар жағдайында қате шешім қабылдауға әкелетін, қателер болады. Сонымен қатар, компьютердегі есептеулерде қателер дөңгелектеу салдарынан санау процесінде пайда болады, ал тұрақсыз айырымдық схемаларды қолдану осы қателіктердің лайықсыз жиналуына әкеледі.

Айырымдық схема, егер кез-келген кіріс деректерінде оның шешімі бар болса және жалғыз болса, сондай-ақ егер бұл схема тұрақты болса, дұрыс деп аталады.
Тақырып №13. Кәдімгі дифференциал теңдеулер. Коши есебі.

Дәріс жоспары:

1. 
   Жалпы мәлімет
   
2. 
   Эйлер әдісі
   
3. 
   Көпқадамды әдістер
   
4. 
   Нәтижелер дәлдігін арттыру.
   

1. 
   Жалпы мәлімет. Келесі теңдеуді қанағаттандыратын:
   

 Y' = f(x,Y) (9)

және х = х₀ болғанда Y₀ берілген мәнін қабылдайтын Y = Y (x) функциясын табу керек:

 Y(x₀)=Y₀ (10)

Сонымен бірге анықтық үшін шешімді  х > x₀ мәні үшін алу керек деп санаймыз.

Коши теоремасына сәйкес (9) есептің  Y(x) шешімі бар, жалғыз және тегіс функция болып табылады, егер х,Y екі айнымалысының функциясы болып табылатын, (9) теңдеудің оң жағы  f(x,Y) , қандайда бір тегістік шарттарын қанағаттандырса. Осы шарттар орындалған және  Y(x) жалғыз тегіс шешімі бар деп санаймыз.

(9), (10) есептерін шешу әдісі және (9) түрдегі теңдеулер жүйесі жағдайынада да қолданылады, ал оларға өз кезегінде сонымен қатар жоғары ретті теңдеулерді әкелуге болады. Мысалы,

Z" = φ(Z',Z,x)

теңдігін  Y₁,Y₂ функцияларына қатысты теңдеулер жүйесі түрінде жазуға болады:

Y₁' = φ (Y₁,Y₂,x),

 У₂' = Y₁(11)

мұндағы Y₁ = Z', У₂ = Z.

Бұл жүйені бір векторлық теңдік көмегімен жазуға болады:

 Y'=f(Y,z). (12)

мұнда .

Сонымен, (12) векторлық теңдеуді теңдеулер жүйесін де, бірден жоғары ретті теңдеуді де ауыстыру үшін қолдануға болады.

(9), (10) Коши есептерін шешу үшін айырымдық әдістерді қолданамыз. x₀, x₁, ... нүктелер тізбегін және h_i = x_i+1 - x_i (i = 0,1,...) қадамдарын енгіземіз. Түйін деп аталатын әрбір x_i нүктесінде, Y(x_i) функциясының мәндерінің орнына, берілген нүктелер жиынындағы Y-тің нақты шешімін жуықтайтын y_i сандары енгізіледі. {х_i, у_i} (i = 0,1,...) кестесі түрінде берілген у функциясын тор функциясы деп айтады.

Әрі қарай, (х_i, у_i) нүктесінде (9) теңдеудегі туынды мәнді ақырғы айырымдар қатынасы арқылы жуықтай отырып, Y функциясына қатысты (9), (10) дифференциалдық есептерден у тор функциясына қатысты айырымдық есептерге ауысуды жүзеге асырамыз. туындыны айырымдық жуықтау үшін k + 1 түйіннен тұратын үлгі қолданылады деп есептейміз:

x_i-k+1, x_i-k+2, … , x_i, x_i+1, сонымен бірге y_i-k+1, y_i-k+2, … , y_iмәндері табылған. Онда y_i+1 мәнін табу үшін айырымдық теңдеуді жалпы түрде жазуға болады

y_i+1 = F(x_i,y_i+1,y_i,..., y_i-k+1, h_i, h_i-1, …, h_i-k+1), i = 0,1,..., y₀=Y₀. (13)

Мұнда жуықтаудың x_i-k+1, x_i-k+2, … , x_i, x_i+1 - тен тәуелділігі x_i және h_i, h_i-1, …, h_i-k+1 қадамдарынан тәуелділікке дейін келтірілген; F оң бөлігі үшін нақты өрнек туындыны жуықтау тәсілінен тәуелді. Әр сандық әдіс үшін (13) теңдеудің өзіндік түрі алынады.

Айырымдық теңдеудің түрін талдау негізінде кәдімгі дифференциалдық теңдеулер үшін Коши есебін шешудің сандық әдістерінің кейбір жіктелуін жүргізуге болады.

Егер (13) оң бөлігінде y_i+1 болмаса, яғни y_i+1 мәні y_i,y_i-1,..., y_i-k+1 алдыңғы мәндерімен k бойынша айқын есептелетін болса, онда айырымдық схема айқын деп аталады. Бұл жағдайда k-қадамдықәдіс алынады: k=1 - бірқадамдық, k = 2 - екі қадамдық және т.б., яғни бір қадамдық әдісте y_i+1 есептеу үшін y_i алдыңғы қадамында бұрын табылған бір ғана мән қолданылады, көп қадамдық әдістерде — олардың көпшілігі.

Егер ізделетін y_i+1 мәні (13) теңдеудің оң жағына енсе, онда бұл теңдеудің шешімі күрделене түседі. Айқынемес деп аталатын, мұндай әдістерде итерациялық әдістерді қолдана отырып, y_i+1 -ге қатысты (13) теңдеуді шешуге тура келеді.

2. Эйлер әдісі. Кәдімгі дифференциалды теңдеулер үшін Коши есебін шешудің ең қарапайым сандық әдісі Эйлер әдісі болып табылады. (9) теңдігін х = x_i (i = 0,1,...) түйіндерінің айналасында қарастырайық және сол жақтағы Y' туындысын (4) оң айырыммен ауыстырайық. Сонымен бірге x_i түйініндегі Y функциясының мәнін y_i торлық функция мәнімен ауыстырайық:

(14)

Алынған (9) дифференциалдық теңдеудің жуықтауы бірінші ретті болады, себебі (9)-ды (14) ауыстыру кезінде О(h_i) қателігіне жол беріледі (3-тарау, § 1).

Қарапайымдық үшін түйіндер тең аралықты деп аламыз, яғни  h_i= x_i+1 - x_i = h = const (i = 0,1,...) . онда (14) теңдіктен алатынымыз:

 y_i+1 = y_i +h∙f(x_i, y_i), i = 0,1,... (15)

(9) теңдіктен келесі өрнек шығатынын байқаймыз:

Y'(x_i)=f(x_i, Y(x_i))=f(x_i, y_i)

Сондықтан (15) Y функциясының мәнін x_i+1 нүктесінде, екінші және одан жоғары ретті мүшелерді тастай отырып, Тейлор қатарына жіктеу арқылы жуықтап табуды білдіреді. Басқаша айтқанда, функцияның өсімі оның дифференциалына тең болады.

i = 0 деп алып, (15) қатынасы көмегімен х = х₁ кезінде у₁ тор функциясының мәнін табамыз

y₁ = y₀ +h∙f(x₀, y₀).

Мұнда талап етілетін у₀ мәні (10) бастапқы Шартпен берілген, яғни.

y₀= Y₀. (16)

Осыған ұқсас, басқа түйіндердегі тор функциясының мәндерін табуға болады:

y₂ = y₁ +h∙f(x₁, y₁).

………………

Y_n = y_n-1 +h∙f(x_n-1, y_n-1).

……………….

Қалгоритм Эйлер әдісі деп аталады. Бұл әдістің айырымдық схемасы (15), (16) қатынастарымен ұсынылған. Олар қайталанатын формулалар түріне ие болады, олардың көмегімен кез-келген x_i+1 түйініндегі y_i+1 тор функциясының мәні алдыңғы x_i түйініндегі y_i мәні бойынша есептеледі. Осыған байланысты Эйлер әдісі бір қадамдық әдістерге жатады.

1-суретте Эйлер әдісімен (9), (10) Коши есебін шешу алгоритмінің құрылымы көрсетілген. х = x₀, у = y₀ бастапқы мәндері, сондай-ақ h қадамының мәні және n есептеу нүктелерінің саны берілген. Шешім х + h, x + 2h,... ,x + nh түйіндерінде алынады. Нәтижелерді шығару әр қадамда қарастырылған. Егер табылған мәндер машинаның жадында сақталуы керек болса, онда у₀, у₁, ... , у_n мәндерінің массивін енгізу керек.

х0, у0, h, n  енгізу
х = x0, у = y0
i үшін 1-ден
	y = y+h∙f(x, y)
	х = х + h
	x,y шығару
n дейін

Сур.1. Эйлер әдісі.

Келтірілген алгоритмді, егер х = а нүктесіндегі бастапқы жағдайда [а, b] кесіндісінде Коши есебінің шешімін табу қажет болған жағдайда да пайдалануға болады. x₀ = a, h = (b - а)/n қою керек.

Эйлер әдісінің геометриялық түсініктемесі 2-суретте келтірілген.

Изображены первые два шага, т. е. проиллюстрировано вычисление сеточной функции в точках x₁, x₂. Интегральные кривые 0,1,2 описывают точные решения уравнения (7.9). При этом кривая 0 соответствует точному решению задачи Коши (7.9), (7.10), так как она проходит через начальную точку А(х₀,у₀). Точки В, С получены в результате численного решения задачи Коши методом Эйлера. Их отклонения от кривой 0 характеризуют погрешность метода. При выполнении каждого шага мы фактически попадаем на другую интегральную кривую. Отрезок А В — отрезок касательной к кривой 0 в точке А, ее наклон характеризуется значением производной Y'(x₀) = f(x₀, у₀). Погрешность появляется потому, что приращение значения функции при переходе от х₀ к х₁ заменяется приращением ординаты касательной к кривой 0 в точке А. Касательная ВС уже проводится к другой интегральной кривой 1. Таким образом, погрешность метода Эйлера приводит к тому, что на каждом шаге приближенное решение переходит на другую интегральную кривую. Рассмотрим подробнее вопрос о погрешности метода Эйлера.

Погрешность δ_i в точке x_i равна разности между точным значением искомой функции Y(x_i) и значением сеточной функции у_i: δ_i =Y(x_i) - y_i. Выясним, чему будет равна погрешность при вычислении y_i+1. Для этого подставим y_i = Y(x_i) - δ_i и y_i+1 = Y(x_i+1) - δ_i+1 в (7.15). Имеем

Y(x_i+1) - δ_i+1 = Y(x_i) - δ_i + hf(x_i, Y(x_i) - δ_i). (7.17)

Разложим функцию f в ряд в окрестности точки (x_i,Y(x_i)):



Используя полученное разложение, выразим δ_i+1 из (7.17):



Учитывая, что Y(x_i+1) = Y(x_i) + hf(x_i, Y(x_i) + O(h²), получаем

δ_i+1 =δ_i + O(h²) + hO(δ_i). (7.18)


Рис. 7.2. Иллюстрация метода Зйлера
Таким образом, погрешность δ_i+1 отличается от погрешности δ_i на два слагаемых: O(h²) есть следствие погрешности аппроксимации (7.14), a hO(δ_i) есть следствие неточности значения у_i.

При нахождении у_i начальное значение у₀ задается, как правило, точно: δ₀ = 0. Отсюда

δ₁ = O(h²), δ₂ = δ₁ + O(h²)+ hO(h²) = δ₁ + O(h²)= O(h²), ...

Мы видим, что последнее слагаемое в (7.18) можно отбросить: т. е. погрешность на каждом шаге увеличивается на величину O(h²).

При нахождении решения в точке х_n, отстоящей на конечном расстоянии L от точки x₀, погрешность состоит из n слагаемых O(h²). Если учесть, что h = L/n, то для погрешности δ_n получаем окончательное выражение:

(7.19)

Таким образом, мы показали, что метод Эйлера имеет первый порядок точности.