8-15 дәріс тезистері (1). Дріс жоспары Тжірибелік деректер сипаты

• Название: Дріс жоспары Тжірибелік деректер сипаты
• Дата: 19.05.2022
• Размер: 1.65 Mb.
• Имя файла: 8-15 дәріс тезистері (1).docx
• Тип: Документы; #538787
• страница: 2 из 7

Деректерді жергілікті тегістеу. Жоғарыда айтылғандай тәжірибелік деректер кездейсоқ қателерден тұрады, ол осы деректердің шашырауының себебі болып табылады. Көптеген жағдайда зерттеліп отырған тәуелділіктің қалқымалы (плавный) сипатын алу үшін оларды тегістеуді жүргізу мақсатқа сай болады. Тегістеудің әртүрлі тәсілдері бар. Ең кіші квадраттар әдісіне негізделген солардың бірін қарастырайық.

y=f(x) тәуелділігін тәжірибелік зерттеу нәтижесінде x₀,x₁,…,x_n  нүктелерінде ізделіп отырған  y₀,y₁,…,y_n функцияларының мәндерінің кестесі алынсын делік. x_i аргументінің мәндері теңаралықты, ал тәжірибелік деректер - бірдей дәлдікке ие болады делік. Сол сияқты [x₀, x_n ] кесіндісінің кезкелген бөлігінде y=f(x) функциясы қандайда бір m дәрежелі көпмүшелікпен жеткілікті түрде жақсы аппроксимациялануы мүмкін делік.

Тегістеуді қарастырылып отырған тәсілі келесіден тұрады тегістелген мәнді табу үшін  x_i нүктесінде оның екі жағынан кестедегілердің ішінен k+1 аргумент мәнін таңдаймыз (k- жұп): Қарастырылып отырған функцияның тәжірибелік мәндері бойынша осы нүктелерде ең кіші квадраттар әдісі көмегімен , m дәрежелі көпмүшелік құрамыз ( ).

x_i нүктесінде алынған көпмүшелігінің мәні, сол ізделіп отырған (тегістелген) мән болады. үдеріс барлық ішкі нүктелер үшін қайталанады. [x₀,x_n] кесіндісі соңдарына жуық орналасқан, мәндерді тегістеу шеткі нүктелер көмегімен жүргізіледі.

Тәжірибе көрсеткендей, тегістелген мәндері, әдетте, дәлдіктің жеткілікті дәрежесінде нақты мәндерге жуық болады. кейде тегістеуді қайталайды. Алайда бұл қарастырылып отырған функционалдық тәуелділіктің нақты сипатын едәуір бұрмалауға әкелуі мүмкін.

Қорыта келе әртүрлі кезінде тәжірибелік деректердің тегістелген мәндерін есептеуге арналған бірнеше формула келтірелік:


Тақырып №10. Дифференциалдау және интегралдау. Сандық дифференциялдау

Дәріс жоспары:

1. 
   Туындыны аппроксимациялау
   
2. 
   Сандық дифференциалдау қателігі
   
3. 
   Анықталмаған коэффициенттер әдісі
   
4. 
   Аппроксимацияны жақсарту
   
5. 
   Дербес туындылар.
   

1. Туындыны аппраксимациялау. у = f(x) функциясының туындысы х нөлге ұмтылғандағы у функция өсімінің х аргумент өсіміне қатынасының шегі деп аталатындығын еске салайық:

(1)

Әдетте туындыларды есептеу үшін дайын формулаларды қолданады және (1) өрнегіне жүгінбейді. Бірақ компьютерде сандық есептеулерде бұл формулаларды қолдану әрқашан ыңғайлы және мүмкін емес. Атап айтқанда, у = f(x) функциясының мәндер кестесі түрінде берілуі мүмкін (мысалы, сандық есептеу нәтижесінде алынған). Бұл жағдайда туындыны (1) формулаға сүйеніп табуға болады. х қадамының мәнін қандайда бір аяққы санға тең деп болжайды, және туынды мәнін есептеу үшін келесі жуық теңдікті алады

у' у/ х. (2)

Бұл қатынас шекті айырымдар қатынасы көмегімен туындыны аппроксимациялау (жуықтау) деп аталады ((2) формуладағы у, х мәндері, олардың (1) формуладағы шексіз кішкентай мәндерінен айрықша, шекті).

Кестелік түрде берілген у = f(x) функциясы үшін туындыны аппроксимациялауды қарастырайық: x = x₀, x₁, .... түйіндеріндегі у = у₀, у₁, .... Қадам - аргументтің көршілес мәндерінің айырымы — тұрақты және h тең болсын. х = х₁ түйінінде у' туындысы үшін өрнекті жазайық, ол сол жақта крестпен белгіленген. Сонымен бірге қолданылатын түйіндер (шаблон) дөңгелекпен белгіленген. Шекті айырымдарды есептеу тәсілдерінен тәуелді бір нүктеде туындыны есептеу үшін әртүрлі формулалар аламыз:

(3)

сол жақ айырым көмегімен;

(4)

оң жақ айырым көмегімен;

(5)

орталық айырымдар көмегімен.

Сол сияқты үлкен туындылар үшінде өрнектер алуға болады. Мысалы,

(6)

2. 
   Сандық дифференциалдау қателігі.
   

f(x) функциясын қандайда бір (x) функциясымен аппроксимациялайық, яғни мына түрде көрсетейік:

(7)

(x) аппроксимациялаушы функциясы ретінде қатардың қосындысының бөлігін немесе интерполяциялық функцияны алуға болады. Онда R(x) аппроксимация қателігі қатардың немесе интерполяциялық формуланың қалдық мүшесімен анықталады.

(x) аппроксимациялаушы функция сол сияқты f(x) функциясының туындысын жуықтап есептеу үшінде қолданылуы мүмкін. (7) теңдігін қажетінше рет дифференциалдап, f'(x), f''(x), ... туындыларының мәнін табуға болады:



f(x) функциясының k реттік туындысының жуық мәні ретінде (x) функциясының сәйкес туындысының мәнін қабылдауға болады, яғни . Оның шын мәнінен туындының жуық мәнінің ауытқуын сипаттайтын шама



туынды аппроксимациясының қателігі деп аталады.

Сандық дифференциалдау кезінде, h қадамымен кесте түрінде берілген бұл қателік h-тан тәуелді, және оны (h^r –нен үлкен О) түрінде жазады. Дәреже көрсеткіші r туындыны аппроксимациялау қателігінің реті (немесе берілген аппроксимацияның дәлдігінің реті) деп аталады. Сонымен бірге модулі бойынша қадам мәні бірден кіші деп болжанады.

Қателікті бағалауды Тейлор қатарының көмегімен көрсетуге болады:



f(x) функциясының мәні f(x_i) = y_i (i = 0,1,..., n) кестесі түрінде берілсін делік. х = х₁ , х = - h болған кезде Тейлор қатарын h²ретті мүшелерге дейінгі дәлдікпен жаайық:



Бұдан х = х₁ нүктесінде туынды мәнін табамыз:



Бұл өрнек (3) формулаға сәйкес келеді, ол, көрініп тұрғандай, бірінші ретті аппроксимация болып табылады (r = 1). Сол сияқты, х = hболған кезде Тейлор қатарын жаза отырып, (4) аппроксимацияны алуға болады. Ол да бірінші ретке ие болады.

Енді Тейлор қатарын (5) және (6) аппроксимациялау қателіктерін бағалау үшін қолданамыз. х = h және х = - h деп алып, сәйкес келесіні аламыз

(8)

Осы теңдіктерді бір бірінен азайтып, айқын түрлендірулерден соң келесіні аламыз



Бұл орталық айырымдар көмегімен алынған (5) туындының аппроксимациясы. Ол екінші ретке ие болады.

(8) теңдіктерді қоса отырып, (6) түрдегі екінші реттік туындыны аппроксимациялау қателігін бағалауды табамыз:



Осындай түрде, бұл аппроксимация екінші ретке ие болады. Сол сияқты жоғары реттік туындылар аппроксимациясын және олардың қателіктерін бағалауды аламыз.

Біз сандық дифференциалдау қателігінің шығу көздерінің тек біреуін қарастырдық - аппроксимациялау қателігін (оны сол сияқты кесу қателігі депте атайды). Ол қалдық мүше шамасымен анықталады.

Қалдық мүшелерді талдау күрделі, бұл сұрақ бойынша кейбір мәліметтер 3 бөлімде келтірілген. Айта кетелік, тек аппроксимациялау қателігі hқадамын азайтқан кезде, әдетте, азаяды.

Сандық дифференциалдау кезінде туындайтын, қателіктер, сол сияқты түйіндердегі y_i функциясының дәлденбеген мәндерімен және компьютерде есептеу кезіндегі дөңгелектеу қателігімен анықталады. Осындай себептерден туындаған қателіктер, аппроксимациялау қателігінен айрықша, hқадамын азайтқанмен өсе түседі. Шындығында, егер у = f(x) функциясының мәнін есептеген кезде абсолюттік қателік dқұраса, онда (3) және (4) –гі бөлшектерді есептеу кезінде ол 2d/hқұрайды. Сондықтан сандық дифференциалдаудың қосындылық қателігі может қадамды азайтқан кезде қандайда бір шекті мәнге дейін азаяды, одан соң одан кейінгі қадамды азайту нәтиже дәлдігін арттырмайды.

Туындыларды аппроксимациялау дәлдігін жоғалтуды сандық дифференциалдау процедурасын реттеу (регуляризации) арқылы алдын алуға болады.

Реттеудің қарапайым тәсілі |f(x + h) — f(x)| > теңсіздігі ақиқат болатындай, h қадамын таңдау болып табылады, мұндағы > 0 – қандайда бір аз сан. Туындыларды есептеу кезінде бұл шамасы бойынша өте жуық сандарды азайтуды болдырмайды, ол әдетте қателіктің өсуіне әкеледі. Тағы бір мүмкін тәсіл - мысалы, көпмүшелік сияқты тегіс жуықтау функциясын таңдау арқылы функцияның кестелік мәндерін тегістеу. Бұл функцияның өсімін h кіші санына келесі бөлу кезінде одан да қауіпті. Реттеудің тағы бір әдісі-сандық дифференциалдаудың жалпы қателігін бағалау және осы жалпы қатені азайтатын h қадамын таңдау.

1. Интерполяциялық формулаларды қолдану. h = х_i - x_i-1 (i = 1, 2,..., n) тұрақты қадамымен, кесте түрінде берілген, f(x) функциясын (2.39) Ньютонның интерполяциялық көпмүшесімен жуықтауға болады делік:


Күрделі функцияны дифференциалдау ережесін ескеріп, х айнымалысы бойынша осы көпмүшені дифференциалдап:



кез-келген ретті туындыларды есептеуге арналған формулаларды алуға болады:





Бұл формулалардағы қосындылардың саны туындыларды есептеу үшін қолданылатын түйіндердің санынан тәуелді. Ньютонның көпмүшесін құру сияқты, шаблонға жаңа түйін қосу бір қосындыны қосындыға қосуды білдіреді.

Мысал. х = 0.1 нүктесінде 3.1 кестеде берілген функцияның бірінші және екінші туындыларын есептеңіз.

Кесте 3.1



Мұнда h = 0.1, t = (0.1 - 0)/0.1 = 1. 3.1 кестеге ұқсас 3.1 кестені толтырып және жоғарыда алынған формулаларды қолдана отырып, табамыз





Ньютонның интерполяциялық көпмүшелері (сонымен қатар Стирлинг және Бессельдің) ∆^kу (k = 1,2,...) айырмасы арқылы туындыларға арналған өрнектерді береді. Алайда, іс жүзінде туындылардың мәндерін айырым арқылы емес, түйіндердегі функция мәндері арқылы тікелей өрнектеу тиімдірек болады. Мұндай формулаларды алу үшін (x_i - x_i-1 = h = const, i = 1, 2,..., n) түйіндердің біркелкі орналасуымен Лагранж формуласын пайдалану ыңғайлы.

L(x) Лагранж интерполяциялық көпмүшесін және оның R_L(x) қалдық мүшесін жазамыз (қараңыз: (2.34), (2.41)) интерполяцияның үш түйінінің жағдайы үшін (n = 2) және олардың туындыларын табамыз:



Мұнда - x_*[x₀, х_n] қандайда бір ішкі нүктесіндегі үшінші ретті туынды мәні.

х = x₀ кезде у'₀ туындысы үшін өрнекті жазалық:



Осыған ұқсас қатынастарды және х = x₁, x₂ кезде у'₁ және у'₂ мәндері үшінде алуға болады:



Осы формулалардың әрқайсысы үшін мәні, шындығында, әртүрлі.

Лагранж интерполяциялық көпмүшесін және оның қалдық мүшесін төрт түйін (n = 3) жағдайы үшін жазу арқылы, біз туындылардың келесі жуықтауын аламыз:


Бес түйін болған жағдайда (n = 4) келесіні аламыз:



Осылайша, n+1 түйіндегі функцияның мәндерін қолдана отырып, біз дәлдіктің n-ші ретті туындыларының жуықтауын аламыз. Бұл формулаларды тек x = x₀, х₁, ... , түйіндері үшін ғана емес, және де индекстердің мәндерін сәйкесінше өзгерте отырып, x = х_i, х_i+1,…, кез-келген түйіндері үшінде қолдануға болады.

Жұп n кезінде ең қарапайым өрнектер мен қалдық мүшелердегі ең кіші коэффициенттер орташа (орталық) түйіндердегі туындылар үшін алынатынына назар аударайық (n = 2 кезінде у'₁, n = 4 кезінде у'₂ және т.б.). Оны орталық деп санай отырып, i еркін нөмірі бар түйін үшін туындыларды жуықтауды жазалық:

(3.9)

Олар орталық айырымдар көмегімен туындыларды жуықтау деп аталады және іс жүзінде кеңінен қолданылады. (3.9) жуықтау - бұл біз кездестірген (3.5) жуықтаудан басқа ештеңе емес.

Лагранж интерполяциялық көпмүшелерін қолдана отырып, үлкен туындылардың жуықтауын алуға болады. Екінші ретті туындылардың жуықтауын келтірейік.

Үш түйін болған жағдайда (n = 2) келесіге ие боламыз



Төрт түйін болған жағдайда (n = 3) келесіге ие боламыз


Бес түйін болған жағдайда (n = 4) келесіге ие боламыз



Екінші ретті туындыларды n жұп болатын орталық айырымдар көмегімен жуықтау да тиімді.