8-15 дәріс тезистері (1). Дріс жоспары Тжірибелік деректер сипаты

• Название: Дріс жоспары Тжірибелік деректер сипаты
• Дата: 19.05.2022
• Размер: 1.65 Mb.
• Имя файла: 8-15 дәріс тезистері (1).docx
• Тип: Документы; #538787
• страница: 3 из 7

Анықталмаған коэффициенттер әдісі.

Интерполяциялық формулаларды қолдану кезіндегі ұқсас формулаларды түйіндердің еркін орналасқан жағдайы үшінде алуға болады. Лагранж көпмүшелігін қолдану бұл жағдайда өте көп өрнектерді есептеуге әкеледі, сондықтан анықталмаған коэффициенттер әдісін қолданған ыңғайлы. Ол келесімен қорытындалады. k ретті туынды үшін қандайда бір нүктесінде ізделіп отырған өрнек түйіндеріндегі функциялардың берілген мәндерінің сызықтық үйлесімі түрінде беріледі:

(10)

Бұл қатынас дәл орындалады деп болжанады, егер у функциясы дәрежесі n –нен жоғары емес көпмүшелік болып табылса, яғни



түрінде көрсетілуі мүмкін.

Бұдан шығатыны, (10) қатынас, атап айтқанда көпмүшеліктері үшін дәл орындалуы тиіс. Осы өрнектерді тізбектеп (10) қоя отырып және дәл теңдіктің орындалуын талап ете отыра, белгісіз коэффициенттерінанықтау үшін n+1 сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін аламыз.

Мысалы. Төрт тең орналасқан түйіндер (n=3) жағдайында туындысы үшін өрнекті табу керек.

(10) жуықтау мына түрде жазылады:

(11)

Келесі көпмүшеліктерді қолданамыз:

(12)

Олардың туындыларын есептейміз:

(13)

(12) және (13) қатынастарды, келесі дәл теңдеудің орындалуын талап ете отырып тізбекті түрде сәйкес (11) оң және сол бөліктеріне қоямыз:



Соңғы теңдеулер жүйесін мына түрде аламыз:



Осы жүйені шеше отырып, аламыз



Осы мәндерді (11) қойып, туынды үшін мына өрнекті аламыз:

2. 
   Аппроксимацияны жақсарту. Туындыларды аппроксимациялауға арналған соңғы-айырымдық қатынастардан көрінгендей, аппроксимациялау кезінде қолданылатын түйіндердің саны өскен сайын олардың дәлдік реті өсе түседі. Бірақ түйіндер санының үлкен кезінде осы қатынастар өте үлкен бола түседі, ол есептеу көлемінің өсуіне әкеледі. Алынатын нәтиженің дәлдігін бағалау қиындай түседі. Солай бола тұра аппроксимациялайтын соңғы-айырымдық схемаларда қолданылатын, түйіндердің бекітілген саны кезінде шешімді дәлдеудің қаоапайым және тиімді тәсілі бар. Ол Рунге-Ромберга әдісі. Оның мағынасын қысқаша баяндайық.
   

F(x) - аппроксимациялауға жататын туынды болсын делік, f(x,h) – h қадамымен теңөлшемді тордағы осы туындының соңғы-айырымдық апппроксимациясы, R- аппроксимация қателігі, оның басты мүшесін түрінде жазуға болады, яғни



Сонда туындыны аппроксимациялау үшін өрнекті жалпы жағдайда мына түрде көрсетуге болады:

(14)

Бұл қатынасты х нүктесінде басқа қадаммен жазамыз h = kh.

Келесіні аламыз

F(x) = f(x, kh) + (kh)p(p(x) + O((kh)p+1). (15)

Теңдіктердің оң жақ бөліктерін (3.14) және (3.15) теңестіре отырып, туындыны жуықтау қатесінің басты мүшесі үшін өрнекті табамыз:



Табылған өрнекті (3.14) теңдікке қоя отырып, Рунге формуласын аламыз

(16)

Бұл формула р дәлдік ретімен және туындыларының мәндерін (h және kh қадамдарымен) екі есептеу нәтижелері бойынша р + 1 дәлдік ретімен оның нақтыланған мәнін табуға мүмкіндік береді.

Мысал. х = 1 нүктесінде у = х³ функциясының туындысын есептеңіз.

Әлбетте, у'= 3х²; сондықтан у'(1) = 3. Енді осы туындыны сандық түрде табайық. Функция мәндерінің кестесін құрамыз:



(р=1) бірінші ретті, сол жақ айырымдар көмегімен туындыны жуықтауды қолданамыз. Қадам 0.1 және 0.2, яғни k = 2. Келесіні аламыз



Рунге формуласы бойынша туындының нақтыланған мәнін табамыз:



Осылайша, Рунге формуласы туындының дәлірек мәнін береді. Жалпы жағдайда жуықтаудың дәлдік реті бірлікке артады.

Біз қадамның екі мәні бойынша алынған шешімді нақтылауды қарастырдық. Енді есептеулерді h₁, h₂, ∙∙∙ , h_q қадамдарымен жүргізуге болады делік. Онда Ромберг формуласы бойынша F(x) туындысы үшін нақтыланған шешім алуға болады:

(3.17)

Осылайша, дәлдік реті q-1-ге артады. Дәлдеуді сәтті қолдану үшін бастапқы функция жеткілікті жоғары ретті үздіксіз туындыларға ие болуы керек екенін ескеріңіз.

2. 
   Дербес туындылар. Кестелік түрде берілген, u=f(x,y) екі айнымалылы функцияны қарастырайық: , мұндағы . 2 кестеде деректер бөлігі берілген, олар бізге әріде керек болады.
   

Жеке туынды түсінігін қолданып, h₁және h₂қадамдарының кіші мәндері үшін жуықтап жазамыз:



Жоғарыда енгізілген белгілеулерді қолданып, түйінінде соңғы айырымдар қатынастары көмегімен дербес туындылар үшін келесі жуық өрнектерді аламыз:



Кесте 2



Көп айнымалылы функцияларды сандық дифференциалдау үшін, ертеректегі сияқты, интерполяциялық көпмүшелікті қолдануға болады. Бірақ мұнда басқа тәсілді қарастырамыз – екі айнымалы функциясын Тейлор қатарына жіктеу:

(3.18)

Бұл формуланы екі рет қолданамыз:

1) u_i+1,j = f(x_i, + h₁,y_j) табамыз болғанда

2) u_i-1,j = f(x_i, - h₁,y_j) табамыз болғанда

Келесіні аламыз



Бірінші теңдіктен екіншісін мүшелеп шегеріп, келесіні аламыз



Осыдан біз орталық айырымдар көмегімен туындының жуықтауын табамыз:



Ол екінші ретке ие болады.

Сол сияқты, 𝜕u/𝜕y туындысының, сондай-ақ үлкен туындылардың жуықтауын алуға болады. Атап айтқанда, екінші туынды үшін мыналарды алуға болады



х және у әртүрлі мәндерінде (3.18) қатарға жіктеуді жазу арқылы сандық дифференциалдау формулаларын қажетті жуықтау ретімен шығаруға болады.

Кейбір дербес туындылардың кейбір жуықтаулары үшін соңғы формулаларды келтірейік. Сол жақта қолданылатын үлгі көрсетіледі. Туынды мәндер крестпен белгіленген түйінде (ж^г/j) есептеледі (еске түсірейік, шаблондар мен 3.2 кестеде горизонталь бойынша х айнымалысы және i индексі, вертикаль бойынша- у айнымалысы және j индексі өзгереді):





Келтірілген туындылардың жуықтауын дербес туындылармен теңдеулерді шешу үшін айырымдық схемаларды құруда қолдануға болады (8-тарауды қараңыз).

Тақырып №11. Дифференциалдау және интегралдау. Сандық интегралдау.

Дәріс жоспары:

1. 
   Кіріспе ескертулер.
   
2. 
   Тікбұрыш және трапеция әдісі.
   
3. 
   Сандық интегралдау қателігі
   
4. 
   Монте Карло әдісі.
   

1. 
   Кіріспе ескертулер. Әрі қарай ұсыну үшін қажетті кейбір ұғымдарды еске түсірейік.
   

[а, b] кесіндісінде у = f(x) функциясы берілсін. х₀,х₁,..., х_n нүктелері көмегімен [а, b] кесіндісін n элементар кесінділерге [x_i-1, x_i] (i=1,2,…,n) бөлеміз, сонымен қатар х₀=a, х_n=b. Осы кесінділердің әрқайсысында ξ_i (x_i-1≤ ξ_i≤x_i) кезкелген нүктені таңдаймыз және осы нүктедегі f(ξ_i) функциясының мәнін ∆x_i= x_i - x_i-1 элементар кесінді ұзындығына s_i көбейтіндісін табамыз:

s_i = f(ξ_i) ∆x_i (19)

Барлық осындай көбейтінділердің қосындысын құралық:

(20)

S_n қосындысы интегралдық қосынды деп аталады. [a,b] кесіндісіндегі f(x) функциясының анықталған интегралы-бұл бөлу нүктелерінің санын шексіз өсіру кезінде интегралдық қосындының шегі, онда элементар кесінділердің ең үлкенінің ұзындығы нөлге ұмтылады:

(21)

Теорема (анықталған интегралдың болуы). Егер f(x) функциясы [а, b] -де үздіксіз болса, онда интегралдық қосындының шегі болады және [а, b] кесіндісін элементарлық кесінділерге бөлу тәсілінен де, ξ_i нүктелерін таңдаудан да тәуелді болмайды.

f(x) > 0 жағдайы үшін енгізілген ұғымдардың геометриялық мағынасы 3.1- суретте көрсетілген. М_інүктелерінің абсциссалары ξ_i , ординаттары- f(ξ_i) мәндері болып табылады. i = 1, 2,..., n кезінде (19) өрнектер элементар тіктөртбұрыштар ауданын сипаттайды (штрихталған сызық), (20) интегралдық қосынды — осы тіктөртбұрыштармен құрылған, сатылы фигуралар ауданы. Бөлу нүктелерінің санын шексіз өсірген және ∆ x_i барлық элементтері нөлге ұмтылған кезде фигураның жоғарғы шекарасы (сынық) у = f(x) сызығына өтеді. Қисық сызықты трапеция деп аталатын, алынған фигураның ауданы (21) анықталған интегралына тең.


3.1-сурет

Көптеген жағдайларда, интеграл астындағы функция аналитикалық түрде берілген кезде, анықталған интегралды Ньютон—Лейбниц формуласы бойынша анықталмаған интегралдың (дұрысы, алғашқы) көмегімен тікелей есептеуге болады. Ол, анықталған интегралдың интегралдау кесіндісіндегі F(x) алғашқы функция өсіміне теңдігінен тұрады:

(22)

Дегенмен, іс жүзінде бұл формуланы екі негізгі себеп бойынша жиі қолдануға болмайды:

1) f(x) функциясының түрі тікелей интегралдауға жол бермейді, яғни алғашқы функцияны элементар функциялар арқылы өрнектеуге болмайды;

2) f(x) функциясының мәндері тек x_i нүктелерінің бекітілген шекті жиынында ғана берілген, яғни функция кесте түрінде берілген.

Бұл жағдайларда жуықталған интегралдау әдістері қолданылады.

Олар қандайда бір қарапайым өрнектермен интеграл астындағы функцияны аппроксимациялауға негізделген, мысалы, көпмүшеліктермен.

Бірінші жағдайда интегралдарды есептеу үшін қолданылатын осындай тәсілдердің бірі - интеграл астындағы функцияны дәрежелік қатар (Тейлор қатары) түрінде ұсыну. Бұл күрделі функциядан тұратын интегралды есептеуді бірінші бірнеше қатар мүшелерін ұсынатын, көпмүшелікті интегралдауға келтіруге мүмкіндік береді.

Мысал. 10^-4 дәлдікпен интегралды есептеу керек.

Экспонентаны қатарға жіктеуді қолданамыз:



Соңғы өрнекті қолданып және х -ті -х² ауыстыра отырып, интегралды келесі түрде жазамыз



Екі жағдайда да жарамды әмбебап әдістер, интерполяциялық көпмүшеліктер көмегімен интеграл асты функциясының аппроксимациясына негізделген, сандық интегралдау әдістері болып табылады,. Мұндай аппроксимация анықталған интегралды шекті қосындымен жуықтап ауыстыруға мүмкіндік береді

(23)

мұндағы y_i— интерполяция түйіндеріндегі функцияның мәні, α_i — сандық коэффициенттер. (23) қатынасы квадратуралық формула, ал оның оң бөлігі — квадраттық қосынды деп аталады. Оны есептеу әдісінен тәуелді сандық интегралдаудың әртүрлі әдістері алынады (квадратуралық формулалар) — тіктөртбұрыштар, трапециялар, парабола, сплайндар және т. б. әдістер.

Квадратуралық қосындыны (20) интегралдық қосынды сияқты есептеуге болады



мұндағы σ_i - [x_i-1, x_i] элементарлық кесіндіге сәйкес келетін, элементарлық қисық сызықты трапеция ауданының жуықталған мәні. Мысалы, (19)-ғы ξ_i нүктесін таңдау кезінде σ_i=s_i алуға болады. Одан әрі квадратуралық қосындыны есептеу кезінде, бөлікті (жергілікті) интерполяцияны қолдана отырып, интеграл астындағы функцияны аппроксимациялаймыз.

Анықталған интегралды есептеуге көптеген тәжірибелік есептер келтірілетінін атап өткен жөн: фигуралардың ауданын есептеу, айнымалы күштің жұмысын анықтау және т.б. Еселік интегралдарды пайдалана отырып, есептерді шешу, әдетте соңында, анықталған интегралдарды есептеуге келтірілуі мүмкін.