8-15 дәріс тезистері (1). Дріс жоспары Тжірибелік деректер сипаты

• Название: Дріс жоспары Тжірибелік деректер сипаты
• Дата: 19.05.2022
• Размер: 1.65 Mb.
• Имя файла: 8-15 дәріс тезистері (1).docx
• Тип: Документы; #538787
• страница: 4 из 7

Тікбұрыш және трапеция әдісі. Сандық интегралдаудың қарапайым әдісі тікбұрыштар әдісі деп аталады. Ол тікелей анықталған интегралды интегралдық қосындымен ауыстыруды қолданады. ξ_i нүктесі ретінде элементар кесінділердің (ξ_i = x_i-1) сол немесе (ξ_i = x_i) оң шекаралары таңдалады. f(ξ_i) = y_i, ∆x_i=h_i деп белгілеп, осы екі жағдайға сәйкес тікбұрыштар әдісінің келесі формулаларын аламыз:

(24)

(25)

Кең таралған және дәлірек түрі элементар кесінділердің ортаңғы нүктелеріндегі функция мәндерін қолданатын, тікбұрыштар формуласы болып табылады:

(26)

x_i-1/2=(x_i-1+ x_i)/2= x_i-1 + h_i /2, i=1,2,…,n

Әріде тікбұрыштар әдісі деп соңғы алгоритмді түсінеміз (ол тағыда орташалар әдісі деп аталады).

Қарастырылған тіктөртбұрыштар әдістерінде бөліктік тұрақты интерполяция қолданылады: әр қарапайым сегментте f(x) функциясы тұрақты мәндерді (тұрақты) қабылдайтын функциямен жуықтайды. Бұл жағдайда бүкіл фигураның ауданы (қисық сызықты трапеция) элементар тіктөртбұрыштардың аудандарын жуықтап қосудан тұрады. - Сур. 3.2 жоғарғы, орта және төменгі көлденең штрих сызықтары (3.25), (3.26) және (3.24) формулаларына сәйкес келетін қарапайым тіктөртбұрыштарға жатады.

Трапеция әдісі сызықтық интерполяцияны қолданады, яғни у = f(x) функциясының графигі (x_i,y_i) нүктелерін қосатын, сынық түрінде ұсынылады. Бұл жағдайда бүкіл фигураның ауданы элементар түзу сызықты трапециялардың аудандарынан тұрады (3.2-сурет). Әрбір осындай трапецияның ауданы негіздердің жартылай қосындысының биіктікке көбейтіндісіне тең:



Осы теңдіктердің барлығын қосу арқылы сандық интегралдау үшін трапеция формуласын аламыз:

(3.27)



3.2-сурет. Тіктөртбұрыштар мен трапеция әдістеріндегі σ_i есептеу
Қарастырылған формулалардың маңызды дербес жағдайы-оларды h_i = h = const (i = 1,2,..., n) тұрақты қадамымен сандық интегралдау кезінде қолдану. Бұл жағдайда тіктөртбұрыштар мен трапециялардың формулалары сәйкесінше келесі түрлерді қабылдайды

(3.28)

(3.29)

Тікелей есептеуге мүмкіндік беретін қарапайым интеграл үшін қолмен есептеу кезінде осы формулаларды қолдану мысалын қарастырайық. Мұндай мысал әртүрлі тәсілдермен алынған есептеу нәтижелерін салыстыруға мүмкіндік береді.

Мысал. Интегралды есептеу керек

Бұл интеграл (3.22) формуласы бойынша оңай есептеледі:



Енді осы интегралды есептеу үшін тіктөртбұрыштар мен трапециялардың формулаларын қолданамыз. [0,1] интегралдау кесіндісін он тең бөлікке бөлеміз: n = 10, h = 0.1. y_i = 1/(1 + ) интегралдық функцияның мәндерін x_i = x_i-1 + h бөлу нүктелерінде, сондай-ақ x_i-1/2 = x_i-1 + h/2 (i = 1, 2,..., 10) жартылай бүтін нүктелерінде есептейміз (кесте 3.3).

Кесте 3.3



(3.28) тіктөртбұрыштар формуласы бойынша



аламыз.

Интегралды есептеудегі қателік ∆I = I - I₁ = -0,00021  құрайды (шамамен 0.027 %). (3.29) трапеция формуласы бойынша

 I₂ = 0.1 • (0.750000 + 0.990099 + ... + 0.552486) = 0.784981.

аламыз.

Мұндағы қателік ∆I_2 = 0.00042 тең (шамамен 0.054%).

Осылайша, қарастырылған мысалда тіктөртбұрыштардың формуласы интегралды есептеудің ең жақсы дәлдігін береді. Бұл бір қарағанда күтпеген нәтиже, өйткені тіктөртбұрыштар формуласы нөлдік ретті интерполяцияны қолданады (бөліктік-тұрақты), ал трапеция формуласы бөліктік-сызықтық интерполяцияны қолданады. Мұндағы дәлдіктің жоғарылауы [x_i-1, x_i] кесіндісінің x_i-1/2 орталық нүктесінде функцияның мәндерін қолдана отырып, σ_i қарапайым аудандарды есептеу әдісімен түсіндіріледі. Тіктөртбұрыштардың формулаларын (3.24) немесе (3.25) түрінде қолдану 3% - дан астам қателікке әкелетінін ескеріңіз.

5-тармақта сандық интегралдау қателігі бөлу қадамымен анықталатыны көрсетілген. Бұл қадамды азайту арқылы дәлдікке қол жеткізуге болады. Рас, нүктелер санын көбейту әрдайым мүмкін емес. Егер функция кесте түрінде берілген болса, әдетте, осы нүктелер жиынтығымен шектелу керек. Бұл жағдайда дәлдіктің жоғарылауына интерполяциялық көпмүшелер дәрежесін жоғарылату арқылы қол жеткізуге болады. Сандық интегралдаудың екі әдісін қарастырайық: қолдану

3. 
   Сандық интегралдау қателігі. (23) квадратура формуласы бойынша интегралдың жуық мәнін есептеу кезінде мынадай қателік жіберіледі:
   

Ол бөлу қадамынан тәуелді, және оны R=O(h^r) түрінде көрсетуге болады. айнымалы қадам кезінде h = max h_i, h_i = ∆x_i қабылдауға болады. сандық дифференциалдау жағдайындағы сияқты, r дәреже көрсеткішін берілген квадратуралық формуланың (немесе берілген әдістің) дәлдік реті деп атайды. Квадратуралық формула кезкелген [a,b] кесіндісінде интегралданатын f(x) функциясы үшін h → 0 (n→∞) кезде сандық интегралдау жолымен алынатын интеграл мәні, оның дәл мәніне жинақталатындай түрде құрылуы тиіс. Бұл r>0 теңсіздігінің орындалуын білдіреді.

Функцияны [а, b] кесіндісі бойынша интегралдау кезінде рұқсат етілетін, R қателігін әрбір элементар кесіндіде рұқсат етілетін, r_i қателіктерінің қосындысы ретінде ұсынуға болады:

. (3.36)

Тіктөртбұрыштар мен трапеция формулаларының қателіктері үшін өрнектерді аламыз. y = f(x) функциясын Тейлор қатарына [x_i-1,x_i] кесіндісінде жіктеуді жазамыз:

(3.37)

4. 
   Монте Карло әдісі. Көптеген есептерде бастапқы деректер кездейсоқ сипат алады, сондықтан оларды шешу үшін статистикалық-ықтималдық көзқарас қолданылады. Осындай көзқарастар негізінде бірқатар сандық әдістер құрылған, олар есептелетін және өлшенетін шамалардың кездейсоқ сипатын есепке алады. Оларға сол сияқты Монте Карло әдісі деп аталатын статистикалық сынақ әдісіде жатады, ол есептеу математикасының кейбір есептерін шешуге, оның ішінде және интегралдарды есептеуге қолданылады.
   

Монте Карло әдісі қандайда бір ξ кездейсоқ шамасын қарастырады, оның математикалық күтілімі ізделіп отырған шама х тең:

Мξ =х.

n тәуелсіз сынақтар сериясы жүргізіледі, оның нәтижесінде ξ сияқты таралуға ие болатын ξ₁, ξ₂,…, ξ_n (таңдау) n кездейсоқ сандар тізбегі алынады (генерацияланады), және осы мәндер жиынтығы бойынша таңдалған орта мән табылады, ол Мξ статистикалық бағалау болып табылады. Ізделіп отырған х шамасы осы бағаға жуықтап тең болады деп алынады:



η - [0,1] кесіндісінде теңөлшемді таралған кездейсоқ шама. Бұл оның таралу тығыздығы келесі қатынаспен берілетіндігін білдіреді:


Тақырып №12. Кәдімгі дифференциал теңдеулер. Негізгі түсінік.

Дәріс жоспары:

1. 
   Есеп қойылымы
   
2. 
   Шешу әдістері туралы
   
3. 
   Айырымдық әдістер.
   

Негiзгi ұғымдар

1. 
   Есеп қойылымы. Инженер - зерттеушіге өз ісінде дифференциалды теңдеулерге жиі кездесуіне тура келеді. Механика, физика, химия және ғылым мен техниканың тағы басқа салаларының көптеген есептерi оларды модельдеу кезінде дифференциалдық теңдеулерге тіреледі. Осыған байланысты дифференциалдық теңдеулердi шешу математикалық есептердiң ең маңыздыларының бiрi болып табылады. Есептеу математикасында дифференциалдық теңдеулердi шешудiң сандық әдiстерi зерттеледi, олар есептеушi техниканы қолданумен үйлескенде ерекше тиiмдi болады.
   

Дифференциалдық теңдеулердi шешудің сандық әдiстерiн талқылаудан бұрын, дифференциалдық теңдеулер курсынан кейбiр мәлiметтердi, және айрықша, ары қарай баяндау кезінде керек болатындарын айта кеткен жөн.

Тәуелсiз айнымалылар санынан тәуелді дифференциалды теңдеулер екi маңызды әр түрлі санаттарға бөлінеді: бiр тәуелсiз айнымалыдан тұратын қарапайым дифференциалдық теңдеулер және бірнеше тәуелсіз айнымалыдан тұратын дербес туындыларымен теңдеулер.

Кәдімгідифференциалдық теңдеулер деп, ізделіп отырған у = у(х) функциясының бiр немесе бiрнеше туындысынан тұратын, теңдеулерді айтады. Оларды мына түрде жазуға болады:

F(x,y,y',...,y⁽ⁿ⁾)=0, (1)

мұндағы х - тәуелсiз айнымалы.

(1) теңдеуiне кiретiн туындының n ең жоғарғы реті дифференциалдық теңдеудің реті деп аталады. Бiрiншi және екiншi ретті теңдеуді жазайық:

F(x,y,y') = 0, F(x,y,y',y")=0.

Бiр қатар жағдайда (1) дифференциалдық теңдеуiнiң жалпы жазылуынан үлкен туындыны айқын түрде өрнектеуге болады. Мысалы,

y' = f(x,y), (2)

у" = f(x,y,y').

Мұндай жазу түрі үлкен туындыға қатысты рұқсат етілген, теңдеу деп аталады.

Сызықтық дифференциал теңдеу деп, iзделiп отырған функция және оның туындыларына қатысты сызықтық, теңдеуді айтады. Мысалы, у' — х² у = sin х - бiрiншi реттік сызықтық теңдеу.

(1) дифференциалдық теңдеудiң шешiмi деп барлық n рет дифференциалдалатын у = (x) функциясын айтады, ол оны теңдеуге қойғаннан кейін оны тепе-теңдікке айналдырады.

(1) n-ші ретті кәдiмгi дифференциалдық теңдеудiң жалпы шешiмiнде n еркін С₁, С₂, ... , С_n тұрақты болады:

у = (С₁, С₂, ... , С_n), (3)

мұндағы (3) С₁, С₂, ... , С_n кезкелген мәні кезінде (1) теңдеудiң шешiмi болып табылады, ал (1) теңдеудiң кез келген шешiмiн кейбiр С₁, С₂, ... , С_n кезінде (3) түрінде көрсетуге болады.

Егер кез келген тұрақтыға белгiлi бiр мәндi берсе, дифференциалдық теңдеудiң дербес шешiмi жалпы шешімнен алынады.

Бiрiншi реттік теңдеу үшiн жалпы шешім бiр кез келген тұрақтыдан тәуелдi болады:

у = φ (х,С). (4)

Егер тұрақты С = С₀ белгiлi бiр мәнін қабылдаса, онда дербес шешім алынады:

у = φ (х,С₀).

(2) бiрiншi реттік дифференциалдық теңдеудiң геометриялық түсініктемесін берелік. у' туындысы берілген нүктеде у = у(х) шешiмнiң графигіне жанама көлбеуін (интегралды қисық) сипаттайтын болғандықтан, онда у' = k = const болғанда (2) – ден f(x,y) = k – изоклин деп аталатын тұрақты көлбеу сызық теңдеуін аламыз. k –ны өзгерте отырып, изоклин тобын аламыз.

(4) жалпы шешiмнiң геометриялық түсініктемесін келтірейік. Бұл шешiм С параметрімен интегралдық қисықтардың шексiз тобын сипаттайды, ал дербес шешiмге осы топтың бiр қисығы сәйкес келедi. Кейбiр қосымша жорамалдарда (x₀, у₀) әрбір нүктесі арқылы тек бір интегралдық қисық өтедi. Бұл пайымдау келесi теоремадан шығады.

Коши теоремасы. Егер (2) теңдеудің f(x,y) оң бөлігі және оның дербес туындысы анықталған және  х, у айнымалыларының өзгеруінің G қандайда бір аумағында үздіксіз болса, онда осы аумақтың барлық (x₀, у₀) ішкі нүктелері үшін берілген теңдеу х = х₀ болғанда у = у₀ берілген мәнін қабылдайтын, жалғыз шешімге ие болады.

Жоғары реттік теңдеулер үшін геометриялық түсіндіру қиынырақ. n > 1 кезінде теңдеуді шешу облысындағы әр нүкте арқылы бірнеше интегралдық қисық өтеді. Сондықтан, егер бірінші ретті теңдеудің белгілі бір дербес шешімін таңдау үшін берілген интегралдық қисықтағы еркін нүктенің (x₀,y₀) координаттарын беру жеткілікті болса, онда жоғары реттік теңдеулер үшін бұл жеткіліксіз. Мұнда ереже келесідей: дербес шешімді жалпы шешімнен ерекшелеу үшін жалпы шешімдегі ерікті тұрақтылар қаншалықты, яғни теңдеудің реті қандай болса, сонша қосымша шарттар қою керек. Сондықтан, екінші ретті теңдеу үшін екі қосымша шарт қою керек, соның арқасында екі ерікті тұрақты мәндерді табуға болады.

Дифференциалдық теңдеудің дербес шешімін алу үшін қосымша шарттарды беру әдісінен тәуелді есептердің екі түрлі типі бар: Коши есебі және шекаралық есеп. Қосымша шарттар ретінде тәуелсіз айнымалының кейбір мәндерінде, яғни кейбір нүктелерде ізделетін функцияның және оның туындыларының мәндері берілуі мүмкін.

Егер бұл шарттар бір нүктеде берілсе, онда бұл есеп Коши есебі деп аталады. Коши есебіндегі қосымша шарттар бастапқы шарттар деп аталады, ал олардың берілген х = x₀ нүктесі бастапқы нүкте деп аталады.

Бірінші ретті теңдеу үшін қосымша шарт біреу, сондықтан бұл жағдайда тек Коши есебін тұжырымдауға болады: берілген х₀, у₀ үшін (7.2) теңдеуінің у(х₀) = у₀ болатын, у = у(х) шешімін табу керек.

Осылайша, Коши теоремасы Коши есебінің бар болуына және жалғыз болуына жеткілікті шарттарды береді.

Егер n > 1 ретті теңдеу үшін қосымша шарттар бірнеше нүктеде, яғни тәуелсіз айнымалының әртүрлі мәндерінде берілсе, онда мұндай есеп шекаралық деп аталады. Қосымша шарттардың өзі шекаралық (немесе шеттік) шарттар деп аталады. Іс жүзінде, әдетте, шекаралық шарттар Дифференциалдық теңдеу қарастырылатын, кесіндінің шекаралары болып табылатын x = a және x = b екі нүктеде беріледі.

Кәдімгі дифференциалдық теңдеулер үшін есептердің қойылуына мысалдар келтіреміз. Коши есептері:

dx/dt = х²cost, t > 0, x(0) = 1;

у" = у'/х + х², х>1, y(1) = 2, у' (1) = 0.

Шекаралық есептер:

у" + 2у' - у = sin х, 0 ≤ х ≤ 1, y(0) = 1, y(1) = 0;

у"' = х + уу', 1≤ х ≤ 3, y(1) = 0, у' (1) = 1; у' (3) = 2.