Разбор вариантов ЕГЭ. Разбор типовых вариантов заданий ЕГЭ по математике_20181010_2236. Двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и числу заданий 8 заданий первой части (задания 18) с кратким ответом в виде целого числа или конечной
![]()
|
ПланиметрияВ 16 задании профильного уровня ЕГЭ по математике - задача геометрическая, а именно планиметрическая. Уровень сложности высокий по шкале ЕГЭ и школьной геометрии, поэтому приступать к этому заданию необходимо с хорошей подготовкой. Я рекомендую приступать к задаче тем, кто более чем на 5 знает геометрию. Итак, приступим к рассмотрению одного из вариантов. Разбор типовых вариантов заданий №16 ЕГЭ по математике профильного уровняПервый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C. а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны. б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1. Алгоритм решения:а) Выполняем рисунок. Используем свойство касательной для определения вида треугольника Показываем, что AD и BC параллельны. б) Вводим определенность относительно радиусов окружностей. И доказываем подобие треугольников ВКС и АКD. Определяем отношение площадей. Определяем искомую площадь. Решение:а) 1. Выполняем рисунок, учитывая условие задачи. ![]() Пусть О1 и О2 центры данных окружностей, а М – точка пересечения общей касательной и касательной, проведенной в к окружностям в точке К. 2. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM=KM и. KM=BN. Треугольник у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный. 3. Вписанный угол ∠AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD Значит, AD⊥AB. Аналогично получаем, что BC⊥AB Следовательно, прямые AD и BC параллельны. б) 1. Пусть радиус первой окружности равен 4, тогда радиус второй 1. Рассмотрим треугольники BKC и AKD . ![]() По признаку подобия. Эти треугольники подобны. Пусть ![]() ![]() 2. У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно, ![]() ![]() ![]() Вычисляем площадь трапеции ABCD Для этого опускаем на AD перпендикуляр O2H Его длина равна высоте трапеции. Определяем его из треугольника O2HO1 по теореме Пифагора: ![]() 3. Отсюда ![]() Имеем: 25S=20 откуда S=0,8 ![]() Ответ: 3,2. Второй вариант (Из Ященко,№1)В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания ВС. Внутри трапеции взяли точку М так, что углы ВАМ и CDM прямые. а) Докажите, что ВМ = СМ. б) Найдите угол ЛВС, если угол BCD равен 64°, а расстояние от точки М до прямой ВС равно стороне AD. Алгоритм решения:а) Выполняем рисунок, исходя из условия. Устанавливаем соотношения между величинами. Делаем вывод б) Проводим перпендикуляр к стороне ВС. Устанавливаем необходимые соответствия. Определяем искомую величину угла. Решение:а) 1. Выполняем рисунок, исходя из условия. ![]() 2. Прямые АВ и CD по условию пересекаются. Обозначим точку их пересечения буквой L. Тогда треугольник BLC подобен ALD, причем, коэффициент подобия равен 2, потому как ВС = 2AD. Значит, А и D являются серединами сторон BL и CL соответственно. Тогда AM и DM — серединные перпендикуляры к сторонам треугольника BLC. Из этого вытекает, что М — центр окружности, описанной около него окружности. 3. Значит, BM = CM как радиусы этой окружности б) 1. Пусть Н — середина ВС, тогда МН является серединным перпендикуляром к ВС. Тогда треугольники ВНМ и СНМ являются равнобедренными и прямоугольными. Потому ∠BCM=90° . 2. По свойству вписанного угла , Отсюда искомый угол Ответ: 710. |