ЕГЭ-2019. Математика. Задача 19 (проф. ур.)_Вольфсон_2019 -102с.. Ежедневно, 10. 0020. 00, кроме воскресеньяабрис рф Москва 8 (495) 2296759СанктПетербург 8 (812) 3270450
 Скачать 0.66 Mb.
|
|
Решение. Да, существуют. Пример 2 и 1; (2 + 1) 3 − (2 2 + 1 2 ) = 27 − 5 = 22 — чётное число. И всё! Конечно, первый пример был выбран чуть проще, чем обычные задачи , но если усвоить методы, изложенные в этом обсуждении, то реальные задачи тоже станут намного проще. Пример . Рассматриваются конечные непостоянные арифметические прогрессии, состоящие из натуральных чисел, которые не имеют простых делителей, отличных от 2 и а) Может ли в этой прогрессии быть три числа? б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии. Как решать задачу : задачи ЕГЭ прошлых лет Обсуждение. Давайте пока закроем глаза на вопросы этой задачи и попробуем осмыслить условие, записанное впервой фразе, подкрепив осмысление примерами. Итак, рассматриваются арифметические прогрессии. Это понятно. Конечные — тоже ясно, значит, в них конечное число членов. Из натуральных чисел — запомнили, ничего дробного, отрицательного и нулевого там не бывает. Не имеют простых делителей, отличных от и ». А вот с этим уже потруднее. Что же это значит? Попробуем для улучшения понимания привести похожую конструкцию, но далёкую от математики Сергей Евгеньевич не имеет машин, отличных от Феррари и Ламборгини». Но ведь это означает всего лишь то, что у Сергея Евгеньевича МОГУТ БЫТЬ только машины Феррари и Лам- боргини! Кстати, их может и не быть действительно, из того, что нет никаких других, не следует, что есть эти. Или может быть только Феррари. Или две Феррари. Важно другое ничего, кроме них, нет! Теперь вернёмся к задаче. Если у числа нет никаких простых делителей, кроме 2 и 3, это значит, что у него МОГУТ БЫТЬ простые делители и 3 — и больше никаких, то есть искомые числа не делятся ни на ни на 7, ни на 11, ни на другие простые числа, отличные от 2 и 3. Из этого опять жене следует, что искомое число имеет среди делителей и 3: оно может иметь лишь один из этих делителей, а может и не иметь вовсе. Главное, чтобы не было никаких других, кроме 2 и Теперь давайте посмотрим на натуральные числа и выясним, какие из них обладают указанным свойством. Число 1 подходит Да, у него вообще нет простых делителей (напомним, 1 — непростое и не составное число, а значит, нет и отличных от 2 и 3. Итак, 1 подходит. Число 2? Да, подходит, у этого числа есть лишь один простой делитель — 2. А значит, простых делителей, отличных от 2 и 3, нет. Аналогично подходит и 3. Число 4? Казалось бы, нет, ведь у этого числа есть делитель 4, отличный от 2 и 3. Но ведь 4 — непростое число, а нам противопоказаны только ПРОСТЫЕ делители, отличные от 2 и 3. А из простых делителей у четвёрки есть только двойка, она нас устраивает. Число 5? А вот 5 не подходит, так как у этого числа есть простой делитель, отличный от 2 и 3, — это собственно 5. Как насчёт 6? Подходит, есть только 2 и 3. Число 7? Нет, есть простой делитель 7. Число Подходит, среди простых делителей — только двойки. Число 9 — тоже, только тройки. Число 10 — нет, есть пятёрка. Итак, давайте выпишем те числа, которые подходят по условию и могут являться членами искомой прогрессии, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, … § . Как решать задачу : задачи ЕГЭ прошлых лет Ну вот, мы молодцы, теперь можно и вопрос задачи прочитать. а) Может ли в этой прогрессии быть три числа? И мы не верим своему счастью пункта) мы уже решили, сами того не заметив. Действительно, как ив прошлой задаче, мы можем ответить Да, может и привести пример такой прогрессии. В данном случае выбрать три числа из списка, приведённого выше, чтобы они образовывали арифметическую прогрессию, нетрудно Например, 1, и . Или 8, 12, 16. Итак далее. Словом, с первым пунктом разобрались. б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии Гипотезу мы можем высказать уже сейчас четыре. Действительно, мы легко можем привести несколько прогрессий из четырёх членов, 2, 3, 4 или 4, 8, 12, 16), а для пятине можем. Это, конечно, не доказательство того, что прогрессий из пяти членов не бывает — мало ли, чего мы не можем. Скажем, авторы этой книги даже все вместе вряд ли смогут поднять штангу весом 300 кг, но из этого не следует, что такую штангу никто не сможет поднять! Однако отметим вот что. Как вообще отвечать на данный вопрос? Ответ строится по такой схеме Наибольшее количество вот пример, когда это количество достигается, а больше не может быть по тому-то». Итак, на самом деле нам нужно сделать две вещи: привести пример, который иллюстрирует нашу оценку, и доказать, что оценка верна. Но даже если мы сделаем что-то одно, например, только докажем верную оценку (в данной задаче — докажем, что больше четырёх членов в прогрессии быть не может) либо только приведём пример с четырьмя членами — это уже существенное продвижение, которое может быть оценено. Правда, приводя пример без оценки, мы не можем быть уверены, что этот пример иллюстрирует верную оценку Нов любом случае ничего не теряем. Так что пример для четырёх членов прогрессии в данной задаче также очень поле- зен. Теперь приведём полное решение. Решение. а) Да, может. Пример 1, 2, б) В такой прогрессии может быть четыре члена например, 1, 2, 3, Предположим, что существует такая арифметическая прогрессия, состоящая не менее чем из пяти членов. Рассмотрим любые пять последовательных её членов. Разделим каждый член на наибольший общий делитель всех пяти членов. Поскольку разности соседних членов уменьшатся в одинаковое количество раз, полученные числа a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , также образуют арифметическую прогрессию, удовлетворя- § . Как решать задачу : задачи ЕГЭ прошлых лет ющую условию задачи. Заметим, что числа a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , не могут все быть чётными или все делиться на Если разность этой прогрессии делится на 3, тов ней не может быть члена, делящегося на 3 (иначе все члены прогрессии делятся на 3), поэтому все члены прогрессии являются степенями двойки. Поскольку все члены не могут быть чётными, получаем, что среди них присутствует 1. Нов этом случае разность прогрессии нечётна, поэтому чётные и нечётные члены прогрессии чередуются, а нечётных степеней двойки, отличных от 1, не существует. Пусть теперь разность прогрессии d не делится на 3. Тогда если делится на 3, то члены a 2 = a 1 + d, a 3 = a 1 + 2d и a 5 = a 1 + 4d не делятся на 3, а a 4 = a 1 + 3d делится на 3. Аналогично если делится на 3, то из чисел a 1 , a 3 , a 4 , на 3 будет делиться только a 5 . Наконец, если делится на 3, тони одно из чисел a 1 , a 2 , a 4 , не делится на 3. Значит, найдутся два последовательных члена прогрессии, являющиеся степенями двойки. Если оба эти члена чётны, то и все члены прогрессии чётны, чего не может быть. Поэтому одно из этих чисел — единица. Единица может стоять в прогрессии только на первом или пятом месте, в этом случае на 3 делится только a 3 , поскольку единица — один из двух последовательных членов прогрессии, являющихся степенью двойки. Тогда a 1 , a 2 , a 4 , являются степенями двойки. Разность прогрессии = a 2 − a 1 = a 5 − a 4 , значит, она чётна, и все члены прогрессии чётны, чего не может быть. Ответ. а) Да б) Содержание критерия Баллы Верно выполнены оба пункта Верно выполнен паи доказана оценка в п. б Приведён примерили доказана оценка в п. б Приведён пример в п. а Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше Максимальный балл Пример . Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают. а) Может ли в результате получиться б) Может ли в результате получиться в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата § . Как решать задачу : задачи ЕГЭ прошлых лет Обсуждение. Опять же давайте пока не будем читать пункты а), б) ива попробуем просто разобраться, чего же от нас хотят, проиллюстрировав условие примером. Есть числа 1, 2, …, 12. Их разбивают на четыре группы, в каждой из которых по крайней мере два числа. Так и сделаем например 2; 3; 4}, {5; 6; 7; 8}, {9; 10}, {11; Проверяем четыре группы, в каждой не менее двух чисел. Далее, для каждой группы находят сумму чисел в этой группе. Найдём их для нашего примера S 1 = 10, S 2 = 26, S 3 = 19, S 4 = 23, Для каждой пары групп находят модуль разности этих сумм. Найдём модули разностей S 2 | = 16, |S 1 − S 3 | = 9, |S 1 − S 4 | = 13, |S 2 − S 3 | = 7, |S 2 − S 4 | = 3, |S 3 − S 4 | = Полученные шесть чисел сложим (обозначим эту сумму через и убедимся, что мы ничего не забыли и чисел у нас получилось именно шесть = 16 + 9 + 13 + 7 + 3 + 4 = Чем был полезен этот пример Тем, что теперь мы твёрдо уверены, что понимаем условие задачи Разбиваем на группы, считаем суммы по группам, далее — модули разностей сумм, и потом все складываем. Теперь продолжаем читать условие. а) Может ли в результате получиться Как мы помним, на этот вопрос можно ответить либо Да (и тогда нужно просто привести пример, либо Нет (и тогда нужно доказать, что сумма ни при каком разбиении не может быть равна нулю). Сразу ноль у нас не получился — получилось 52. А как сделать это число поменьше Ясно, что для того, чтобы сумма стала меньше, должны уменьшиться слагаемые. А что у нас за слагаемые Это модули разностей некоторых чисел. Итак, складывая эти модули, мы должны получить ноль. Но ведь модули неотрицательны Значит, ноль может получиться, только если мы складываем нули Итак, для того чтобы получить в результате ноль, на предыдущем шаге мы должны получить шесть нулей. А что мы делали на предыдущем шаге Мы считали разности между суммами. И если они равны нулю, значит, все суммы должны быть равны между собой Итак, для построения искомого примера нужно разбить числа 1, 2, …, 12 на группы так, чтобы суммы чисел в группах были одинаковыми! Дело за малым — сделать это. Давайте для начала посчитаем, какой тогда должна быть сумма чисел в каждой группе. Исходно сумма § . Как решать задачу : задачи ЕГЭ прошлых лет чисел была 1 + 2 + … + 12 = 78. Если мы разбиваем их на группы, тов каждой группе сумма будет 78 : 4 = 19,5. Как же так Сумма жене может быть нецелой. Что это значит А это значит, что такого разбиения не существует, и мы это только что доказали! Теперь пункт б. Может ли сумма A быть равной 1? Опять женам нужно либо привести пример того, когда это бывает, либо доказать, что это невозможно. Так как A есть сумма шести неотрицательных целых чисел, это возможно только в том случае, когда одна из разностей по модулю равна единице, а все остальные модули разностей (а значит, и сами разности) — нули. Как это возможно Давайте, не теряя общности, считать, что S 1 − S 2 6= 0, а остальные разности равны нулю, то есть S 3 = S 1 − S 4 = S 2 − S 3 = S 2 − S 4 = S 3 − Однако из последнего равенства следует, что все суммы равны между собой А ведь это противоречит тому, что S 1 − S 2 6= 0! Итак, искомая сумма не может быть также равна и Остался пункт в. Здесь нам нужно сделать три вещи придумать правильный ответ, доказать, что он действительно наименьший, и представить пример, когда такое значение достигается (то есть привести такое разбиение на четыре группы, при котором искомая сумма модулей разностей равна указанному нами числу). Прежде всего давайте попробуем дойти до правильного ответа. Нам нужно, чтобы сумма модулей разностей была наименьшей, значит, в идеале мы должны сделать модули разностей как можно меньше. А когда они будут маленькими Конечно, когда числа, которые мы вычитаем, стоят как можно ближе друг к другу (опять же, в идеале чтобы они все были равными. Значит, нам нужно составить группы так, чтобы суммы чисел в них были равны между собой или максимально близки друг к другу. Как мы знаем из первого пункта, равны между собой они быть не могут, так как 78 не делится на 4 нацело. Однако из того же первого пункта мы видим, что, если разделить 78 на 4, будет 19,5. Значит было бы логично составить такие группы, чтобы сумма в них была близка кто есть была равна 19 или 20. Попробуем сделать две группы пои две по 20. В этом случае общая сумма будет как раза если посчитать попарные разности, то среди них будет 4 единицы и два нуля, то есть искомое число A будет равно 4. Неплохо, хотя мы пока не доказали, что это минимально возможный вариант. Тем не менее, очень похоже на то, что мы не ошиблись § . Как решать задачу : задачи ЕГЭ прошлых лет Однако это ещё не пример мы пока лишь привели суммы чисел в группах, ноне разбиение по группам. Впрочем, это не так сложно. Выпишем все числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, Теперь в первую группу возьмём числа с суммой чисел 20: например. Во вторую — также с суммой 20 — к примеру, {11; 9}. Теперь в третью нужны числа с суммой 19. Берём {10; 7; 2}. Ну а сумма оставшихся, разумеется, тоже равна 19 (так как общая сумма — Итак, разбиение, дающее ответ 4, например, таково (есть и другие примеры см. ниже {12; 8}, {11; 9}, {10; 7; 2} и {6; 5; 4; 3; Теперь нужно доказать, что число 4 наименьшее. Но об этом уже в решении. Решение. Обозначим суммы чисел в группах S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , а указанную в условии сумму модулей их попарных разностей через Можно считать, что а) Чтобы число A равнялось 0, необходимо, чтобы каждая из разностей равнялась 0, то есть S 1 = S 2 = S 3 = S 4 . Сумма всех двенадцати чисел равна + 2 + … + 11 + 12 = 12 · 13 С другой стороны, она равна S 1 + S 2 + S 3 + S 4 = 4S 1 , но 78 не делится на 4. Значит, A 6= б) Чтобы число A равнялось 1, необходимо, чтобы все, кроме одной, разности S i − равнялись 0. Значит, S 1 < S 4 , нов этом случае каждая из сумм S 2 , неравна хотя бы одной из сумм S 1 , S 4 , поэтому хотя бы три разности S i − неравны и число A не меньше Значит, A 6= в) Выразим число A явно через S 1 , S 2 , S 3 , S 4 : A = (S 2 − S 1 ) + (S 3 − S 1 ) + (S 4 − S 1 ) + (S 3 − S 2 ) + (S 4 − S 2 ) + (S 4 − S 2 ) = = 3(S 4 − S 3 ) + 4(S 3 − S 2 ) + 3(S 2 − В предыдущих пунктах было показано, что A ¾ 3. Если A = 3, то 1 или В этом случае сумма всех двенадцати чисел равна 4S 1 + 1 или 4S 4 − то есть нечётна, что неверно § . Как решать задачу : задачи ЕГЭ прошлых лет Для следующего разбиения чисел на группы {12; 7}; {11; 6; 2}; {10; 5; 4; 1}; {9; 8; 3} — число A равно Ответа) Нет б) нет в) Содержание критерия Баллы Верно получены все перечисленные (см. критерий на балл) результаты Верно получены три из перечисленных (см. критерий на балл) результатов Верно получены два из перечисленных (см. критерий на балл) результатов Верно получен один из следующих результатов обоснованное решение па обоснованное решение п. б искомая оценка в п. в пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше Максимальный балл В завершение этого параграфа мы предлагаем несколько задач из вариантов ЕГЭ без подробного обсуждения, однако очень рекомендуем читателю попробовать применить только что прочитанные идеи в этих задачах. Внимательно читайте условие, иллюстрируйте его примерами, и всё получится! Пример . Вряд выписаны числа 1 2 , 2 2 , …, (N − 1) 2 , N 2 . Между ними произвольным образом расставляют знаки «+» и «−» и находят получившуюся сумму. Может ли такая сумма равняться: а) 4, если N = 12? б) 0, если N = в) 0, если N = 64? г) 5, если N = Решение. а) При следующей расстановке знаков получается требуемая сумма 2 − 2 2 − 3 2 + 4 2 + 5 2 − 6 2 − 7 2 + 8 2 − 9 2 + 10 2 + 11 2 − 12 б) Среди выписанных 69 чисел — 34 чётных и 35 нечётных. Поэтому любая сумма, которую можно получить, будет нечётной и не может равняться в) Заметим, что (a + 3) 2 − (a + 2) 2 − (a + 1) 2 + a 2 = 4. Значит, между квадратами последовательных натуральных чисел можно расставить знаки так, что полученная сумма будет равняться При N = 64 можно разбить все данные числа на группы по 8 чисел в каждой так, что сумма чисел в каждой группе равна 0, а значит, и сумма всех чисел равна г) Как ив предыдущем пункте, расставим знаки между 88 числами 2 , 4 2 , …, 89 2 , 90 таким образом, чтобы их сумма равнялась 0. Пе § . Как решать задачу : задачи ЕГЭ прошлых лет ред 2 поставим знак «+». При такой расстановке знаков сумма равна 2 + 2 2 + 0 = Ответа) Да б) нет в) да г) да. Содержание критерия Баллы Верно выполнены все пункты Верно выполнены три пункта из четырёх Верно выполнены два пункта из четырёх Верно выполнен один пункт из четырёх Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше Максимальный балл |