ЕГЭ-2019. Математика. Задача 19 (проф. ур.)_Вольфсон_2019 -102с.. Ежедневно, 10. 0020. 00, кроме воскресеньяабрис рф Москва 8 (495) 2296759СанктПетербург 8 (812) 3270450
 Скачать 0.66 Mb.
|
|
. (1; 2), (2; 1), (k; k), где k ∈ Z. Указание. Используйте разложение на множители. (11; 5). Указание. Так как 2 y < 2 x , наибольшая степень двойки, на которую делится левая часть, равна y. А 2016 = 32 · 63. Следовательно. Указание. Разложите на множители левую часть и рассмотрите остатки при делении на 4. . (2; 1). Указание. Рассмотрите остатки при делении на 3 или на 4. . (4; 6). Указание. Рассмотрите остатки при делении на 5. . (0; 3), (2; 4). Указание. Из уравнения следует, что 2 y > 7, те. Значит, x ¾ 0. Если x = 0, то y = 3. При x ¾ 1 рассмотрите остатки при делении на 3 и на 4 и докажите, что обе переменные чётные. Дальше задача решается разложением на множители. (2; 4), (4; 2). Указание. Одно из возможных решений этой задачи прологарифмировать уравнение по основанию e и исследовать функцию f (x) = x ln на монотонность . Неравенства и оценки в задачах теории чисел Диагностическая работа . 1. . 1999. . 18. .. Среднее арифметическое. Неравенство о средних Подготовительные задачи. Указание. Сведите неравенство к формуле квадрата разности. Указание. Домножьте неравенство на знаменатель и перенесите все в одну часть. Указание. Примените два раза неравенство о средних для двух чисел. Указание. Домножьте исходное неравенство на все знаменатели и упростите получившееся неравенство. Указание. Примените неравенство о средних для каждой из скобок. Указание. Примените неравенство о средних для трёх чисел. 8. Ответы, указания, решения. Нет. Указание. Воспользуйтесь определением среднего арифметического и докажите, что в этом случае сумма десяти чисел будет нецелой. 1,22 м. . 32. . 70. . Указание. Примените неравенство о средних для n чисел. Основные задачи. Указание. Домножьте обе части на 2. Разбейте левую часть в сумму слагаемых и трижды воспользуйтесь неравенством о средних для двух чисел. Указание. Домножьте обе части на 2. Разбейте левую часть в сумму слагаемых и трижды воспользуйтесь неравенством о средних для двух чисел. Указание. Запишите и примените неравенство о средних для трёх чисел. От 15 до 55 включительно. Указание. Рассмотрите максимальное из всех чисел. Докажите, что все соседние с ним числа равны ему. Их соседи — тоже и т. д. Указание. Обозначьте среднее арифметическое данных чисел через новую переменную, а в качестве второй переменной введите разность между большим числом и средним арифметическим, после чего докажите, что произведение чисел будет максимальным, когда вве- дённая разность равна нулю. 4. . 96 433 469. Указание. В искомом числе разница между цифрой и следующей за ней убывает. Отсюда и из того, что все цифры не больше 9, следует, что цифр в искомом числе не более 8. Следовательно, осталось подобрать восьмизначное число, причём набор разностей должен быть таким 3, 2, 1, 0, −1, −2, −3. . а) 44; б) отрицательных в) 17. Указание. Обозначьте через три переменные количество положительных чисел, количество отрицательных и количество нулей в нашем наборе, после чего воспользуйтесь определением среднего арифметического. Неравенства и оценки Подготовительные задачи. (1; 2), (2; 1), (1; 1). . (0; 0), (1; 0), ( −1; 0), (−1; 1), (0; 1), (1; 1), (−1; 2), (0; 2), (1; Указание. Ограничьте множество возможных значений y. . 3 200 . Указание. Представьте оба выражения как сотые степени. 3 28 . Представьте оба выражения как четвёртые степени Ответы, указания, решения. 4 200 . Указание. Воспользуйтесь неравенством 4 100 + 4 100 <4 200 . 1234568 2 . Указание. Воспользуйтесь формулой разности квадратов. Указание. Воспользуйтесь формулой разности квадратов раз. Указание. Если n > 2, то n 2 = n · n > 2n. . −1; 3. Указание. Оцените x сверху исходя из области определения корня и снизу из условия, что правая часть должна быть неотри- цательной. . −3. Основные задачи. Указание. Докажите, что 26 15 < 10 23 . Для этого, например, воспользуйтесь оценкой 26 2 < 10 3 . 31. Указание. Докажите, что 2 100 >10 30 , а затем — что 2 100 <10 Для доказательства второго неравенства можно воспользоваться оценкой. Указание. Докажите, что 32 11 < 16 14 . 8 85 . Указание. Представьте 8 как степень двойки, после чего каждое из трёх неравенств докажется с помощью сокращения показателей и базовых оценок 2 5 > 5 2 , 2 5 > 3 3 , 2 17 > 7 6 . Указание. Первые четыре слагаемых данной алгебраической суммы уже больше 5 . − 47 3 . Указание. Воспользуйтесь тем, что + 41 3 — целое число, обозначьте это целое число через новую переменную, выразите через неё x и подставьте результат в выражение + 17 10 . − 1 4 ; 0; 7 2 . Указание. Если [n] < 0, то 2 [n] ∈ (0; 1), а значит, и 1), из чего следует, что n ∈ − 1 2 ; 0 . Тогда [n] = −1, откуда легко найти n. Если же [n] ¾ 4, то решений нет, так как левая часть больше правой. Остальные случаи нетрудно перебрать. 1, 2, …, 2008. Указание. Докажите, что 1004 < 2008 p 1004 2 + 1 < 2008 · 1004 + откуда будет следовать, что 2 + 1 = 2008 · 1004. . ( −7; 7), (−6; 6). Указание. Поделите первое неравенство на и выделите в нём полные квадраты Ответы, указания, решения. 24. Указание. Обозначьте через переменные производительность и время работы мастера, после чего составьте уравнение ивы- разите в нём производительность через время . Последовательности и прогрессии Диагностическая работа . 50. . 11. . 54850. . 4 3 . . Подготовительные задачи −115. . 15. Указание. Воспользуйтесь характеристическим свойством арифметической прогрессии. 0. . 2. . 1024. Указание. Воспользуйтесь характеристическим свойством геометрической прогрессии. 6; 10. Указание. Произведение четырнадцатого и второго членов геометрической прогрессии равно произведению её шестого и десятого членов. 25. Указание. Произведение шестого и восьмого членов геометрической прогрессии равно произведению её пятого и девятого членов. 420. Указание. Найдите первый отрицательный член данной прогрессии. 64. Указание. Воспользуйтесь неравенством о средних для трёх чисел. Нет. Указание. Если цифры образуют арифметическую прогрессию, то их сумма делится на Основные задачи. 1; 3267. Указание. Докажите, что эта сумма всегда нечётна. . Нет. Указание. Отношение между разностью двух членов арифметической прогрессии и разностью других двух её членов должно быть рациональным 18 ; 5 i . −8. Указание. Выразите все указанные члены прогрессии как функцию от разности прогрессии. 8. . 4. . ±400. . 1, 3, 5, 7, … Указание. является квадратичной функцией от а для функции f (n) = an 2 + bn + c свойство f (n) · f (m) = f (mn) выполняется только при a = 1, b = c = 0. Ответы, указания, решения. 1; 4; 7 или 7; 4; 1. . 1 − p 5 2 . . 3; 15; 27. . 3; 13; 23. Указание. Как минимум одно из этих чисел должно делиться на 3. . (2; 3), (3; 5; 7). Указание. Если чисел не менее трёх, то как минимум одно из них делится на 3. . b n = 2 · 3 n −1 . . Неверно. (Пример a n = 2 n −1 9 .) . 6 6 + 61. . −6. Указание. Докажите, что каждое число не превосходит 0,5. . а) Нет б) может, например, {11 · 97; 97; 11 · 97}; в) 371. Указание. а) Рассмотрите чётность суммы этих двух членов. в) Минимально возможный вариант — когда чередуются числа 1 и 11. . а) Нет б) нет в) да (например, 1, 2 и 4). Указание. а) Если чисел образуют геометрическую прогрессию, то их произведение равно пятой степени среднего члена прогрессии. б) В этом случае если первый член искомой прогрессии равен а знаменатель — q, то произведение четырёх членов прогрессии равно b 4 1 q 6 . Дальнейший краткий перебор результатов не даст Содержание Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Диагностическая работа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Решения задач диагностической работы . . . . . . . . . . . . . . . . § . Делимость и её свойства. Признаки делимости . . . . . . . . Диагностическая работа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Краткая теоретическая справка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Свойства делимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Подготовительные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Признаки делимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Подготовительные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § . Остатки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Диагностическая работа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Краткая теоретическая справка . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Подготовительные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § . Десятичная запись числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Диагностическая работа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Краткая теоретическая справка . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Подготовительные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § . НОД и НОК. Основная теорема арифметики . . . . . . . . . . Диагностическая работа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Краткая теоретическая справка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. НОД и НОК . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Подготовительные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Основная теорема арифметики. Делители . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Содержание Подготовительные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § . Уравнения в целых числах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Диагностическая работа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Краткая теоретическая справка . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Подготовительные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § . Неравенства и оценки в задачах теории чисел . . . . . . . . Диагностическая работа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Краткая теоретическая справка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Среднее арифметическое. Неравенство о средних . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Подготовительные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Неравенства и оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Подготовительные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § . Последовательности и прогрессии . . . . . . . . . . . . . . . . Диагностическая работа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Краткая теоретическая справка . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Подготовительные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § . Как решать задачу : задачи ЕГЭ прошлых лет . . . . . . . . Ответы, указания, решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Учебно-методическое пособие Георгий Игоревич Вольфсон Максим Яковлевич Пратусевич Сергей Евгеньевич Рукшин Константин Михайлович Столбов Иван Валериевич Ященко ЕГЭ 2019. МА З 19 (ïðîôèëüíûé Под редакцией ИВ. Ященко Подписано в печать .. г. Формат 60 × 90 / . Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. ,. Тираж экз. Заказ Издательство Московского центра непрерывного математического образования, Москва, Большой Власьевский пер, д. . Тел. () Отпечатано с электронных носителей издательства. ОАО Тверской полиграфический комбинат, г. Тверь, пр-т Ленина, Телефон () --, --. Телефон/факс: () --. Home page: www.tverpk.ru Email: Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине Математическая книга», Москва, Большой Власьевский пер, д. . Тел. () ––. E-mail: biblio@mccme.ru |