ЕГЭ-2019. Математика. Задача 19 (проф. ур.)_Вольфсон_2019 -102с.. Ежедневно, 10. 0020. 00, кроме воскресеньяабрис рф Москва 8 (495) 2296759СанктПетербург 8 (812) 3270450
 Скачать 0.66 Mb.
|
|
§ . Остатки Диагностическая работа . 2012 = 154 · 13 + 10. . 0. . 3. . Делитель равен 3, остаток 2. . 21; 26; 31; Подготовительные задачи. а) 2; б) 0; в) 2; г) 3; да б) 0; в) 3; г) 2; да б) 9; в) 5. . Указание. Рассмотрите все варианты остатков исходного числа при делении на 4. . Указание. Рассмотрите все варианты остатков исходного числа при делении на 5. . Указание. Разложите исходное число на множители и рассмотрите остатки при делении на 3. . а) 0; 1; 6; б) 0; 1; 8. . Указание. Воспользуйтесь результатом предыдущего примера. Указание. Рассмотрите остаток данного числа при делении на 9. . Указание. В па) рассмотрите остатки, которые квадраты могут давать при делении на 3, в п. б) рассмотрите остатки, которые квадраты могут давать при делении на 4, в п. в) рассмотрите остатки, которые квадраты могут давать при делении на 5. . Указание. Приведите выражение к общему знаменателю и докажите, что числитель делится на 3 и на 5 (рассмотрев остатки). Основные задачи. 1946. Указание. Докажите, что неполные частные в обоих случаях будут одинаковыми. Указание. Замените 2222 и 5555 на их остатки при делении на 7. Ответы, указания, решения. Указание. Рассмотрите остаток данного выражения при делении на 7 и используйте то, что шестая степень при делении на 7 даёт только остатки 0 и 1. . 959. Указание. Если к искомому числу прибавить 1, то оно будет делиться на 3, на 4 и на 5. . 2,5. . Решение. Если в десятизначном числе все цифры различны, то сумма всех цифр равна 45, а тогда оно делится на 3. Значит, искомый квадрат даёт остаток 2 при делении на 3, чего быть не может. Указание. Исходное число даёт остаток 1 при делении на и на 11. Сумма цифр не может быть равна 1, значит, надо доказать, что она неравна. Рассмотрите разность между суммой цифр нач тных и на нечётных местах и оцените е. 0. Указание. В каждом десятке сумма чисел будет оканчиваться на одну и туже цифру. Указание. Замените числа видана сравнимые сними числа. Указание. Докажите, что это произведение делится на 3, на и на 5. . 199400. Указание. Рассмотрите формулы деления с остатком на и на 1995, после чего приравняйте их правые части и используйте равенство из условия. 28572. Указание. Рассмотрите периодичность остатков чисел вида и при делении на 7. . (52; 34) и (34; 52). Указание. Оцените число q, после чего преобразуйте запись деления нас остатком, выделите полные квадраты и рассмотрите, какие последние цифры могут быть у этих квадратов. Указание. Рассмотрите остатки чисел вида при делении на и на 13. . Указание. Рассмотрите остатки при делении на 3 и на 8. . Указание. Обозначьте 2 n − 2 = nm, после чего воспользуйтесь формулой для разности одинаковых степеней. Указание. Сначала докажите утверждение для простых n, после чего докажите, что если оно верно для n = a и для n = b, то оно верно и для n = ab. . Решение. Разность между любыми двумя составленными числами делится на 9, а значит, если одно из них делится на второе, то их разность также делится на второе, причём частное должно делиться на 9 (так как оба исходных числа на 9 не делятся, а оно не превышает противоречие Ответы, указания, решения . Десятичная запись числа Диагностическая работа . 214 страниц. . 18 лет. 105 263 157 894 736 842. Этот ответ не единственный. Можно к указанному числу приписать такое же несколько раз. Нет. Подготовительные задачи. Указание. Используйте разложение числа по степеням числа и заметьте, что любая степень числа 10 даёт остаток 1 при делении на 9. . 37. Решение. Сократив обе части равенства ab · a · b = bbb на получим равенство ab · a = 111. Из разложения числа 111 на простые множители имеем ab = 37. . а) 911 121 314 151 617 181 920; б) 101 111 314 151 617 181 Указание. При равном количестве цифр больше то число, у которого больше цифра в старшем разряде. 72. Указание. Разложите 1008 (половина от 2016) на множители. 142857. Указание. Преобразуйте равенство к виду 99…95 = и заметьте, что тогда 99…95 делится на 7, что возможно, если девяток не менее 4 (n = 6). . Указание. Используйте признак делимости на 16. . Основные задачи. Указание. Представьте оба числа в десятичной форме и упростите разность. Указание. Представьте число в десятичной форме и воспользуйтесь формулой для квадрата суммы. Указание. Полученная сумма будет делиться на 111, а 111 = = 37 · 3. . 89. Решение. ab = a + b 2 , 9a = b(b − 1). Следовательно, b = а тогда a = 8. . 251. Указание. Оцените разность между данной дробью и сверху и снизу. Да. Например, 111…1599125. Указание. Подберите число, оканчивающееся на 125, чтобы сумма его цифр была равна 125. . Нет. Решение. Имеем 2010 = 2 · 3 · 5 · 67, а простое число 67 нельзя представить в виде произведения цифр. Указание. Представьте число в десятичной форме Ответы, указания, решения. 700; 707; 770; 777. Указание. Докажите, что все цифры этого числа дают одинаковый остаток при делении на 7. . 25; 76. Указание. Представьте число в десятичной форме или воспользуйтесь умножением в столбик. 376; 625. Указание. Представьте число в десятичной форме или воспользуйтесь умножением в столбик. Такое двузначное число единственно, это 81. Трёхзначных чисел с таким свойством не существует. Указание. Воспользуйтесь десятичной записью числа, чтобы составить уравнение. Указание. Воспользуйтесь десятичной записью числа и поменяйте местами цифры и a k+1 . Указание. Воспользуйтесь десятичной записью числа и поменяйте местами цифры и a k+1 . Указание. Представьте число в десятичной форме и воспользуйтесь формулой для квадрата суммы. 100. Решение. Заметим, что для трёхзначного числа abc выполняется неравенство abc ¶ 100(a + b + c), причём равенство достигается при b = c = 0. . 1811. Указание. Воспользуйтесь десятичной записью числа и сформулируйте ограничения на все цифры начиная с первой. 7; 8; 9. Указание. Воспользуйтесь десятичной записью числа. 101 цифра. Указание. Оцените отдельно степень двойки и степень пятёрки искомыми степенями числа 10, после чего перемножьте полученные двойные неравенства и решите систему. 3. Указание. Оцените отдельно степень двойки и степень пят рки искомыми степенями числа 10, после чего перемножьте полученные двойные неравенства. 987 654 312. . 7. Решение. Заметим, что ау дробей с меньшим знаменателем такое сочетание не встречается, так как такие дроби будут либо конечными (знаменатели 1, 2, 4, 5) и не содержащими такого сочетания, либо чисто периодическими с периодом в одну цифру (знаменатель 3), либо периодическими с периодом в одну цифру и предпериодом в одну цифру (знаменатель 6). Такое рассуждение справедливо для дробей с произвольным числителем. а) числа б) 1 и 4. Указание. Воспользуйтесь тем, что несократимая правильная дробь представляется в виде конечной десятичной дроби в томи только в том случае, когда её знаменатель не делится на простые числа, отличные от 2 и 5. Ответы, указания, решения. Указание. Обозначьте дробь через x и домножьте её на 10 в степени, равной количеству цифр в периоде. Да. Указание. Числа, отличающиеся перестановкой цифр, дают одинаковые остатки при делении на 9. . 7. Указание. Рассмотрите остаток числа при делении на 9. . 7. Указание. Рассмотрите остаток числа при делении на 9 и оцените количество цифр в числе. 143; 143. Указание. Если обозначить искомые трёхзначные числа через x и y, то шестизначное число будет равно 1000x + y. . 9; 11; 25. Указание. Оцените сумму трёх чисел, после чего сделайте перебор вариантов. а) 1667; 3334; б) 16 667; 33 334. Указание. Если x и y — искомые трёхзначные числа, то полученное число будет равно 10 000x + в паи в п. б. 180 625. Указание. Воспользуйтесь десятичной записью числа. 2178. Указание. Воспользуйтесь десятичной записью числа. 17; 34. Указание. Воспользуйтесь десятичной записью числа. 6; 2; 9. Указание. Рассмотрите разность данных чисел и докажите, что она будет делиться на 37, а следовательно, исходное трёх- значное число также должно делиться на 37. . 7744. Указание. Искомое число делится назначит, будучи точным квадратом, оно делится на 121. . 29; 38; 47; 56; 65; 74; 83; 92. Указание. Докажите, что сумма цифр числа должна делиться на 11. . 1 37 . Указание. Это значение достигается при a = 73, b = 37. Докажите, что меньше модуль разности быть не может. (12; 8) или (23; 9). Указание. Обозначьте через k количество цифр в числе b и запишите уравнение, заданное условием. (1; 2). Указание. Оцените число b степенями числа 10, а затем оцените и ab 2 . 183; 328; 528; 715; 999. § . Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Основная теорема арифметики и её следствия Диагностическая работа . НОД равен 2, НОК равно 2 3 · 3 · 7 · 11 · 67. . 43. . 30 и 210 или 90 и 150. Решение. Разделив каждое из чисел на их наибольший общий делитель, получим два натуральных взаимно Ответы, указания, решения простых числа, сумма которых равна 240 : 30 = 8. Число 8 можно разбить в сумму двух взаимно простых натуральных слагаемых двумя способами 8 = 1 + 7 или 8 = 3 + 5. Таким образом, исходные числа могут быть равны 30 и 210 или 90 и 150. . 2011!. Решение. Имеем + 2010! = 2009! · (1 + 2010) = 2009! · Так как 2011! : (2009! · 2011) = 2010, наименьшим числом, кратным обоим этим числам, будет число 2011!. . 133. Решение. Простыми делителями числа 1000 являются лишь и 5. Значит, данные в условии задачи два числа могут содержать в своём разложении на простые сомножители только 2 и 5. При этом если в ка- ком-то из этих чисел среди простых сомножителей окажутся и 2, и то такое число будет кратно 10 вопреки условию. Значит, одно изданных чисел имеет своими простыми сомножителями только 2, а другое только 5. Тогда одно из чисел равно 8, а другое — 125. .. НОД и НОК Подготовительные задачи. 24. . 1. . 96. . 787878. . 36. . 8044. . 600. . 32. Указание. Рассмотрите 2 случая когда одно из чисел равно и когда они оба отличны от 2000. . 700 33 . Решение. Числитель дроби должен быть равен НОК(35, 28, 25) = а знаменатель — НОД(66, 165, 231) = 33. . На 7 при n = 7k + 1, k ∈ Z. Указание. Используйте алгоритм Евклида для нахождения НОД. . 1; 3. . Например, 10 и 15. Указание. Придумайте такие два числа, сумма которых равна квадрату их НОД. Основные задачи. 1; 2. . 13 и 52. Указание. Используйте то, что оба этих числа делятся на и являются делителями числа 52. . (252; 36) или (180; 108). Указание. Если НОД(n, k) = 36, то = 36x, n = 36 y. . (115; 552) или (232; 435). . 53 93 ; 56 96 . . 19 7 . 2; 6. Указание. Обозначьте НОД(x, y) = a и докажите с помощью свойств делимости, что 6 делится на a. Ответы, указания, решения. 9. Указание. На 9 они все делятся, а разность между 123 456 и 123 456 798 равна 9, так что больше 9 НОД быть не может. 1111. Указание. Разделите большее число на меньшее с остатком. На 3 при n = 2k + 1, k ∈ Z. Указание. Используйте алгоритм Евклида для нахождения НОД. . Указание. Используйте алгоритм Евклида для нахождения НОД. . 21. Указание. Пусть f (n) = 4 n+2 + 5 2n+1 . Рассмотрите разность (n + 1) − 4 f (n). Она также должна делиться на искомый НОД. . 36. Указание. Это возможно тогда и только тогда, когда n + взаимно просто с каждым из чисел 2, 3, …, 31. . 108 или 504. Указание. Рассмотрите степени двойки, тройки и пятёрки, входящие в искомый НОД. . 1, 2, 3, 4, 6. Указание. Сначала покажите, что любое число, большее, представимо в таком виде. Рассмотрите случаи различной чёт- ности числа. а) НОД(m, n) + 1; б) m + n − НОД(m, n). Указание. Решите задачу для взаимно простых измерений, после чего сведите к ней исходную. . R НОД(R, r) отметок, r НОД(R, оборотов. Указание. Вычислите путь, который проедет колесо до момента, когда гвоздь вновь попадёт в отмеченную точку. 183 (достигается, когда девять чисел равны 183, а одно — Указание. Рассмотрите делители числа 2013. .. Основная теорема арифметики. Делители Подготовительные задачи. 3 · 37; 11 · 101; 41 · 271; 3 · 7 · 11 · 13 · 37; 239 · 4649. . 133. Указание. Одно из них — степень пятёрки, а другое — степень двойки. Да, нет, нет. Указание. Разложите эти числа на простые множители и проверьте, будут ли все сомножители меньше 10. . а) 3; б) 18; в. Указание. Найдите количество чисел, делящихся на 2, количество чисел делящихся на 4, и т.д. . Указание. Воспользуйтесь каноническим разложением числа. Указание. Число 2 входит в него в нечётной степени (). . а) 4; б) 6; в) 12; г) 20; д) (n + 1)(3n + 1). Указание. Воспользуйтесь формулой для количества делителей. а) 18; б) 36; в) 1092; г) 4836. Указание. Воспользуйтесь формулой для суммы делителей Ответы, указания, решения Основные задачи. 6; 10; 14; 30; 42; 70; 105; 210. Указание. 1920 = 2 7 · 3 · 5. Выпишите все делители числа 210 (их всего 16), из них 8 делятся на 2, а нужно выбрать как минимум 7. Рассмотрите случаи, когда выбрано число в этом случае все остальные числа должны быть чётными) и когда число 2 не выбрано. 123. Указание. Вычислите степень вхождения чисел 2 ив разложение числа 1999!. . Указание. 2 n −1 — это число способов разбить множество из простых сомножителей на 2 подмножества. На девятую. Решение. Разложим число 2007 на простые множители. В разложении на простые множители числа показатель степени у числа 3 будет достаточно большим, так как множитель входит в разложение каждого третьего числа. Множитель входит только в разложение чисел вида 223p, где p — натуральное число, не превосходящее 9. Таким образом, в разложение числа 2007! на простые множители число 223 войдёт с показателем 9. Следовательно, число 2007! будет делиться на 2007 9 , ноне будет делиться на 1007 10 . 2 15 · 3 10 · 5 Указание. Половина искомого числа имеет все чётные степени в каноническом разложении, треть — делящиеся на 3, а пятая часть делящиеся на 5. А в разложение этого числа входят как минимум степени чисел 2, 3 и 5. . 2 · 3 2 · 7 6 ; 2 · 3 6 · 7 2 ; 2 2 · 3 · 7 6 ; 2 2 · 3 6 · 7; 2 6 · 3 2 · 7; 2 6 · 3 · 7 Указание. В разложении этого числа есть делители 2, 3 и 7, а других простых делителей искомое число не имеет, так как 42 нельзя разложить в произведение более чем трёх натуральных сомножителей, больших 1. § . Уравнения в целых числах Диагностическая работа . (11, 0), ( −13, −2). . (1, 1). . (3, 2). . (1, 2), (1, ±3). . (−1, 0), (0, Подготовительные задачи. (3; 2). Указание. Используйте формулу разности квадратов. 3; 4; 5. . Указание. 7 — нечётное число Ответы, указания, решения. (2; 2), (0; 0). Указание. Перенесите все слагаемые в одну часть, после чего добавьте в каждую часть пои разложите получившееся выражение на множители. ( −5; −2), (−3; 2), (3; −2), (5; 2). Указание. Число 7 можно представить в виде произведения целых чисел лишь двумя способами (без учёта перестановки чисел. ( −14; −3), (−14; 3), (−3; −14), (−3; 14), (3; −14), (3; 14), (14; −3), (14; 3). Указание. Прибавьте к каждой части пои разложите левую часть на множители. (2, 2, 1). Указание. Дробь в левой части строго меньше 1, следовательно. Указание. Добавьте в каждую часть пои разложите левую часть на множители. Решений нет. Указание. Выделите в левой части полный квадрат и рассмотрите остатки при делении на Основные задачи. (239; 239 · 240), (478; 478), (239 · 240; 239). Указание. Домножьте уравнение на знаменатели. (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2). Указание. Заметим, что xy + y 2 = (x + y) 2 − Так как xy ¶ (x + y) 2 4 , получаем + y) 2 − 3xy ¾ (x + y) 2 − 3 · (x + y) 2 4 = (x + y) 2 Таким образом, x + y ¾ (x + y) 2 4 , откуда 0 ¶ x + y ¶ 4. Подставляя вис- ходное уравнение возможные значения x + y, получаем значения а затем находим значения переменных. ( −1; −1), (0; −1), (−1; 0), (0; 0). Указание. Добавьте в каждую часть пои выделите полный квадрат в правой части. ( −4; −3), (−4; 3), (1; −3), (1; 3). Указание. Возможны два пути решения либо показать, что при достаточно больших по модулю x выражение находится между двумя последовательными квадратами, либо домножить обе части на 4 и, выделив полный квадрат, разложить на множители. Нет решений. Указание. Рассмотрите остатки при делении на 5. . (0; 0). Указание. Рассмотрите остатки при делении на 3. . (2; 8), (6; 28). . Нет решений. Указание. Рассмотрите остатки при делении на 3. Ответы, указания, решения. Нет решений. Указание. Рассмотрите остатки при делении на 4. . Нет решений. Указание. Рассмотрите остатки при делении на 4. . Нет решений. Указание. Рассмотрите остатки при делении на 5. . (1; 3). Указание. Рассмотрите остатки при делении на 3 и на 4. |