ЕГЭ-2019. Математика. Задача 19 (проф. ур.)_Вольфсон_2019 -102с.. Ежедневно, 10. 0020. 00, кроме воскресеньяабрис рф Москва 8 (495) 2296759СанктПетербург 8 (812) 3270450
 Скачать 0.66 Mb.
|
|
§ . Уравнения в целых числах Диагностическая работа Решите в целых числах уравнение (x − y)(y + 1) = Найдите все пары натуральных чисел, сумма которых равна их удвоенному произведению. 3. Решите в натуральных числах уравнение x! − 2 = Решите в целых числах уравнение 2 x + 7 = Решите в целых числах уравнение Краткая теоретическая справка В этом параграфе все числа целые, если не оговаривается про- тивное. Уравнение вида f (x, y, …) = 0, переменные в котором считаются целочисленными, называется уравнением в целых числах или диофан- товым уравнением. Набор целочисленных значений переменных, при подстановке которых в уравнение получается верное равенство, называется решением диофантова уравнения. Пример. Уравнение x 2 + y 2 − z 2 = 0 — диофантово уравнение (если считать, что переменные могут принимать целочисленные значения. Набор (3, 4, 5) — одно из его решений. Уравнение вида + by = называется линейным диофантовым уравнением. Очевидно, что такое уравнение имеет решения в целых числах только тогда, когда b). Однако верно и обратное утверждение если c ... (a; b), то уравнение () имеет целочисленные решения. В этом случае можно разделить оба коэффициента и свободный член уравнения на (a; и решать полученное более простое уравнение. Если пара чисел (x 0 , y 0 ) является решением такого уравнения, то все его решения можно получить по формулам = x 0 + k · b (a; b) , y = y 0 − k · a (a; b) (k ∈ Напомним, что через (a; b) иногда обозначают НОД(a; b). § . Уравнения в целых числах Обычно указанную пару решений находят подбором, подставляя вместо одной переменной остатки отделения на коэффициент при дру- гой. В решении уравнений в целых числах помогает разложение на множители одной из частей, особенно если в другой части оказывается целое число. Зачастую для решения диофантовых уравнений требуются более тонкие рассуждения, связанные с делимостью, перебором остатков, оценками частей уравнения, тождественными преобразованиями и т. п. Примеры решения задач 1. Решите в целых числах уравнение xy + 2x + 3y = Решение. Представим левую часть уравнения в виде xy +2x +3 y = = (x +3)( y +2) −6, после чего уравнение приобретает вид + 3)( y + 2) = Если x и y — целые числа, то множители x + 3 и y + 2 также должны быть целыми. Число 13 раскладывается в произведение целых чисел четырьмя различными способами Поэтому все решения данного уравнения в целых числах получаются из систем x + 3 = 1, y + 2 = 13, ¨ x + 3 = 13, y + 2 = 1, ¨ x + 3 = −1, y + 2 = −13, ¨ x + 3 = −13, y + 2 Решая их, получаем ответ (−2, 11), (10, −1), (−4, −15), (−16, Решите в целых числах уравнение 3x + 2y = Решение. Подставим вместо x остатки отделения на коэффициент прите. на 2. Если подставить x = 0, значение y получается нецелым, а если подставить x = 1, то y = 2. Таким образом, найдено одно решение этого уравнения — пара (1, 2), а значит, общие формулы для решений этого уравнения имеют вид x = 1 + 2k, y = 2 − 3k (k ∈ Геометрически решения уравнения () суть координаты целочисленных точек, через которые проходит прямая, задаваемая этим урав- нением. 3. Решите в целых числах уравнение x 2 + x + 1 = y 2 § . Уравнения в целых числах Решение. Рассмотрим уравнение x 2 + x + 1 − y 2 = 0 как квадратное относительно x. Тогда x = −1 ± p 4 y 2 − 3 2 . Для того чтобы x было целым числом, необходимо, чтобы 4y 2 − 3 было точным квадратом, а это верно только при y = ±1 (4y 2 − 3 = z 2 ⇔ (2 y − z)(2 y + z) = 3 ⇔ ⇔ y = 1, z = ±1 или y = −1, z = Ответ. ( −1, −1), (0, −1), (−1, 1), (0, Решите в натуральных числах уравнение Решение. Рассмотрим остатки, получающиеся при делении обеих частей уравнения на 4. Правая часть при натуральных значениях дат остаток 1, а левая часть может давать остатки 1 прич тных значениях и 3 при нечётных значениях y. Таким образом, только чёт- ные значения y могут входить в решения данного уравнения. Пусть = 2k, где k — натуральное число. Рассмотрим остатки отделения обеих частей уравнения на 3. Выражение дат при делении на 3 остаток 1, а прич тных значениях дат остаток 1, а при нечётных значениях z — остаток 2. Поэтому только чётные значения z могут входить в решения. Пусть z = 2l, где — натуральное число. Из исходного уравнения, перенося в правую часть и раскладывая по формуле разности квадратов, получаем 4 x = (5 l − Каждый из полученных множителей должен являться неотрицательной степенью числа 2, поскольку в разложении их произведения на простые множители присутствуют только двойки. Имеем 3 k = 2 t , причём s > Сложив эти уравнения, получаем 2 · 5 l = 2 t · (2 s −t + 1). Поскольку враз- ложение левой части на простые множители 2 входит в степени а в разложение правой части — в степени t ибо 2 s −t + 1 — нечётное число, а значит, в его разложении на простые множители нет двоек), получаем t = 1 и 5 l = 2 s −t + 1. (∗) Имеем уравнение 5 l − 3 k = 2 (это второе уравнение системы, из которого, перебрав остатки отделения обеих частей уравнения на получаем, что l — нечётное число. Перепишем уравнение (∗) в виде 2 s −t = 5 l − 1, откуда при l > 1 получаем. Вторая скобка является суммой нечётных слагаемых, те. нечётным числом, большим 1, которое § . Уравнения в целых числах не может входить множителем в произведение, равное точной степени двойки. Значит, l = 1, а тогда и k = 1. Окончательным ответом является единственная тройка чисел (2, 2, Замечание. Заметим, что если хотя бы одна из переменных принимает отрицательное значение, то равенство не может быть верным. Пусть, например, x < 0. Тогда запишем число в виде несократимой дроби и заметим, что знаменатель этой дроби делится на степень четвёрки. В тоже время в правой части равенства стоит либо целое число, либо несократимая дробь со знаменателем, равным степени пятерки. Таким образом, равенство не выполнено. Аналогично рассматривается случай y < Тем самым уравнение решено не только в натуральных, но ив целых числах. 5. Решите в натуральных числах уравнение при ¶ y ¶ Решение. Наибольшая из дробей, те, не меньше 3 . Тогда x = или x = 3. Подставляя в исходное уравнение, получаем два случая, разбираемых аналогично. Ответ. (3; 3; 3), (2; 3; 6), (2; 4; Подготовительные задачи 1. Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна Найдите три подряд идущих целых числа, сумма кубов которых равна кубу следующего за ними числа. 3. Докажите, что прямая 4x + 6y − 7 = 0 не проходит через точки, обе координаты которых — целые числа. 4. Решите в целых числах уравнение x + y = Решите в целых числах уравнение (x + y)(x − 2y) = Решите в натуральных числах уравнение Решите в натуральных числах уравнение x + 1 y + 1 z = 7 Решите в натуральных числах уравнение xy(x + y) = Решите в целых числах уравнение x 2 + 4xy + 13 Основные задачи 1. Решите в натуральных числах уравнение Решите в натуральных числах уравнение x + y = x 2 − xy + Решите в целых числах уравнение x(x + 1) = 4y( y + Решите в натуральных числах уравнение x 2 + 3x + 5 = y 2 § . Уравнения в целых числах 5. Решите в целых числах уравнение 3x 2 + 1 = 5 Решите в целых числах уравнение 3 x = 1 + Решите в натуральных числах уравнение 3 x + 55 = Решите в натуральных числах уравнение + 10 Решите в натуральных числах уравнение + 7 Решите в натуральных числах уравнение x 2 + 9 Решите в натуральных числах уравнение 5 Решите в натуральных числах уравнение Решите в натуральных числах уравнение x 3 + 7 y = Решите в целых числах уравнение 2 x − Решите в целых числах уравнение 1 + x + Решите в натуральных числах уравнение x! − 1 = Решите в натуральных числах уравнение x! + 12 = Решите в целых числах уравнение 3 x + 7 = Решите в натуральных числах уравнение x y = y x § . Неравенства и оценки в задачах теории чисел Диагностическая работа Перед каждым из чисел 22, 23, …, 26 и 50, 51, …, 60 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 55 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю сумму можно получить в итоге? 2. Докажите, что произведение всех цифр натурального числа не превосходит самого этого числа. 3. Произведение цифр некоторого натурального числа x равно 169186 и является нечётным числом. Найдите Квадрат некоторого положительного числа имеет вид где количество девяток после запятой равно 2012. Докажите, что само число имеет вид 0,9…9…, где количество девяток после запятой не меньше Какое наименьшее значение принимает выражение x при положительных Краткая теоретическая справка При решении задач бывают полезными понятие среднего арифметического и неравенство о среднем арифметическом и среднем гео- метрическом. Определение. Средним арифметическим нескольких чисел называется сумма этих чисел, делённая на их количество. Средним геометрическим положительных чисел a 1 , …, называется число … · Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом. Среднее арифметическое нескольких положительных чисел не меньше их среднего геометрического, те. Равенство достигается в томи только в том случае, когда все числа равны. § . Неравенства и оценки в задачах теории чисел Достаточно часто встречаются задачи, где требуется найти наибольшее (или наименьшее) значение какой-либо величины. В этом случае решение с необходимостью содержит две части. Доказательство того, что величина достигает приведённого вот- вете значения (обычно это просто пример. Доказательство того, что значение величины не может быть больше (соответственно меньше) указанного в ответе. Среднее арифметическое. Неравенство о средних Примеры решения задач 1. Докажите, что среднее арифметическое двух неравных чисел больше меньшего числа и меньше большего числа. Решение. Пусть a < b. Тогда + b 2 < b + b 2 = b и + b 2 > a + a 2 = a, что и требовалось доказать. 2. Какое наибольшее значение может принимать произведение двух положительных чисел, если их сумма равна Ответ. Решение. Обозначим данные числа a и b. По условию a + b = Тогда по неравенству о средних p ab ¶ a + b 2 = 5, откуда ab ¶ 25. При = b = 5 равенство достигается. 3. Произведение положительных чисел a 1 , a 2 , …, равно 1. Докажите, что (a 1 + 1)(a 2 + 1)…(a n + 1) ¾ Решение. Применим неравенство о средних к каждой скобке + a i 2 ¾ p 1 · a i ⇔ 1 + a i ¾ 2 p a i . Получим (1 + a 1 )(1 + a 2 )…(1 + a n ) ¾ ¾ 2 p a 1 · 2 p a 2 · … · 2 p a n = 2 n p a 1 a 2 …a n = 2 n , что и требовалось дока- зать. 4. Две команды КВН участвуют в игре из четырёх конкурсов. За каждый конкурс каждый из шести судей выставляет оценку — целое число от 1 до 5; компьютер находит среднее арифметическое оценок за конкурс и округляет его с точностью до десятых. Победитель определяется по сумме четырёх полученных компьютером значений. Может ли оказаться, что сумма всех оценок, выставленных судьями, у проигравшей команды больше, чему выигравшей? Ответ. Такое может случиться. Решение. Пусть оценки судей для первой команды за каждый из первых трёх конкурсов — 3; 3; 3; 3; 3; 4, за четвёртый — 3; 3; 4; 4; 4; а для второй команды за все конкурсы — 3; 3; 3; 3; 4; 4. Значения, полученные компьютером для первой команды, — 3,2; 3,2; 3,2; 3,7. Зна- § . Неравенства и оценки в задачах теории чисел чения, полученные для второй, — 3,3; 3,3; 3,3; 3,3. Первая команда победила со счётом 13,3 : 13,2. При этом сумма оценок, выставленных судьями первой команде, — 79, второй команде — В вершинах угольника расставлены числа так, что каждое равно среднему арифметическому своих соседей. Докажите, что все они равны. Решение. Рассмотрим наименьшее из всех чисел. Оно равно среднему арифметическому своих соседей, каждое из которых не меньше него, но такое может быть только в том случае, если соседние числа равны данному. Таким образом, соседние числа также наименьшие из всех чисел, а значит, и их соседи им равны. Продолжая это рассуждение, мы докажем, что все числа в вершинах угольника равны. Подготовительные задачи 1. Докажите, что для любых чисел x, y выполняется неравенство Докажите, что для любого положительного числа a выполняется неравенство a Докажите, что для любых неотрицательных чисел x, y, z, t выполняется неравенство + y + z + Докажите, что для любых положительных чисел x, y выполняется неравенство + Докажите, что для любых неотрицательных чисел x, y, z выполняется неравенство (x + y)( y + z)(z + x) ¾ Докажите, что для любых неотрицательных чисел x, y, z выполняется неравенство x y + y x + z x ¾ 3. 7. Известно, что произведение двух положительных чисел равно. Какое наименьшее значение может принимать их сумма? 8. Может ли среднее арифметическое 10 целых чисел равняться 566,23? 9. Средний рост шести друзей — 1,2 м. Рост самого низкого из них — 1,1 м. Каков средний рост остальных пяти? 10. Средний возраст одиннадцати игроков футбольной команды — года. Вовремя матча один из игроков получил травму и ушёл с поля. Средний возраст оставшихся на поле игроков стал равен 21 году. Сколько лет футболисту, получившему травму? 11. В соревновании участвовали 50 стрелков. Первый выбил очков второй — 80; третий — среднее арифметическое очков первых § . Неравенства и оценки в задачах теории чисел двух; четвёртый — среднее арифметическое очков первых трёх. Каждый следующий выбил среднее арифметическое очков всех предыдущих. Сколько очков выбил й стрелок? 12. Произведение положительных чисел a 1 , a 2 , …, равно 1. Докажите, что их сумма больше или равна Основные задачи 1. Докажите, что для любых чисел x, y, z выполняется неравенство + yz + Докажите, что для любых чисел x, y, z выполняется неравенство + y + Докажите, что для любого неотрицательного числа x выполняется неравенство 3x 3 + 4 ¾ Среднее арифметическое десяти различных положительных целых чисел равняется 10. Чему может равняться наибольшее среди этих чисел? 5. На шахматной доске расставлены числа, причём число в каждой клетке равно среднему арифметическому чисел в соседних клетках (клетки называются соседними, если у них есть общая сторона, так, например, у угловой клетки есть две соседних клетки. Докажите, что все числа равны. Решите задачу, если известно, что числа а) натуральные б) целые. 6. Докажите, что если сумма двух положительных чисел фиксирована, то произведение тем больше, чем ближе друг к другу они расположены на координатной оси. 7. Средний рост пяти баскетболистов равен 195 см. Какое наибольшее количество из этих игроков может иметь рост ниже 191 см? 8. Найдите наибольшее натуральное число, каждая некрайняя цифра которого меньше среднего арифметического соседних с ней цифр. 9. На доске написано более 40, ноне более 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −3. Среднее арифметическое всех положительных из них чисел равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно а) Сколько чисел написано на доске? б) Каких чисел больше положительных или отрицательных? в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них § . Неравенства и оценки в задачах теории чисел. Неравенства и оценки Примеры решения задач 1. Что больше 5 или 4 Решение. Имеем 5 44 < 5 3 15 < 2 7 15 < 2 106 = 4 Докажите, что число 2 состоит а) менее чем из 11 цифр б) более чем из 9 цифр. Решение. Это следует из неравенств 10 10 > 8 10 = 2 30 = (1024) 3 > > 10 3 3 = 10 Подготовительные задачи 1. Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих неравенству Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющих неравенству 2 y + Что больше 2 или 3 Что больше 2 или 3 Что больше 2 100 + 3 или 4 Что больше 1234567 · 1234569 или 1234568 Что больше 101! или 51 Докажите, что при любом натуральном n > 2 выполняется неравенство+ Решите в целых числах неравенство p x 3 − 5x − 3 ¶ 6 − Найдите наибольшее целое x, удовлетворяющее неравенству 2 x+1 + 2 x < Основные задачи 1. Докажите, что число 26 состоит менее чем из 24 цифр. 2. Сколько цифр в числе 2 Что больше 31 или 17 Найдите наибольшее из чисел 5 100 , 6 91 , 7 90 , 8 Докажите, что 2 − 1 3 + 1 4 − 1 5 + … + 1 98 − 1 99 + 1 100 > 1 Найдите все такие вещественные значения x, что наибольшее целое число, не превосходящее + 17 10 , равно + 41 Решите уравнение 2 [x] = 2x + 1 ([x] — наибольшее целое число, не превосходящее x. Например, [2,3] = 2, [−2,3] = Найдите все натуральные числа n, удовлетворяющие неравенству. Неравенства и оценки в задачах теории чисел 9. Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющих системе неравенств Мастер делает за 1 час целое число деталей, большее 5, а его ученик — на 2 детали меньше. Один мастер выполняет заказ за целое число часов, а два его ученика (работающих с одинаковой скоростью на час быстрее. Сколько деталей входит в заказ |