ЕГЭ-2019. Математика. Задача 19 (проф. ур.)_Вольфсон_2019 -102с.. Ежедневно, 10. 0020. 00, кроме воскресеньяабрис рф Москва 8 (495) 2296759СанктПетербург 8 (812) 3270450

• Название: Ежедневно, 10. 0020. 00, кроме воскресеньяабрис рф Москва 8 (495) 2296759СанктПетербург 8 (812) 3270450
• Дата: 27.04.2022
• Размер: 0.66 Mb.
• Имя файла: ЕГЭ-2019. Математика. Задача 19 (проф. ур.)_Вольфсон_2019 -102с..pdf
• Тип: Задача; #500872
• страница: 2 из 9

§ . Остатки
Диагностическая работа Разделите с остатком 2012 на Число a дат при делении на 8 остаток 5. Число b при делении на 16 даёт остаток 11. Найдите остаток отделения на Найдите последнюю цифру числа 13 При делении числа 518 с остатком получилось неполное частное. Найдите всевозможные значения делителя и остатка.
5.
Найдите все натуральные значения n (20 < n < 40), для каждого из которых n
3
− 3n
2
+
7 кратно Краткая теоретическая справка
Определение. Пусть a и b
6= 0 — два целых числа. Разделить число a на число b с остатком — это значит найти такие числа q и r, что выполнены следующие условия) a = bq + r;
) 0 ¶ r < При этом число q называется неполным частным, а число r остатком отделения на b. Число a именуется делимым, а число — делителем.
Равенство  при соблюдении неравенства  называют записью деления с остатком. При этом говорят, что число a дат при делении на остаток При делении на b может быть не более |b| различных остатков, при этом числа 0, 1, …, |b| − 1 как рази дают ровно |b| различных остатков.
Теорема о делении с остатком. Для любых целых чисел a и b
6= можно поделить с остатком a нате. представить a в виде = bq + r, где q, r
∈ Z и 0 ¶ r < |b|, причём такое представление
единственно.
Пример. Верное равенство = 11 · (−183) − 5 не является записью деления с остатком −2018 на −11, так как число −5 отрицательно и остатком быть не может по определению. Правильная запись этого деления с остатком такова −2018 = 11 · (−184) + Теорема. Сумма произведение) чисел a и b даёт тот же остаток
при делении на число m, что и сумма произведение) остатков чисел и b при делении на число m.


§ . Остатки
Примеры решения задач
1.
Найдите остаток числа 2 при делении на Решение. Заметим, что 2012
=
(2 2
)
1006
=
4 Четыре в любой степени даёт остаток 1 при делении на 3. Это верно потому, что 4 даёт остаток 1 при делении на 3, а при перемножении чисел их остатки перемножаются. Тогда дат такой же остаток, что и 1
k
=
1. Поэтому 2 дат остаток 1 при делении на Докажите, что квадраты натуральных чисел не дают остатка отделения на Решение. Пусть число a возводится в квадрат.
Разберём три случая) Число a дат остаток 1 при делении на 3. Тогда дат остаток 1 = 1.
2) Число a дат остаток 2 при делении на 3. Тогда дат такой же остаток, что и 2 · 2 = 4, те. даёт остаток 1.
3) Число a делится на 3. Тогда и делится на Итак, квадраты натуральных чисел дают остатки 0 и 1 при делении на При каких натуральных n выражение 2
n
− 1 делится на Решение. Составим таблицу остатков при делении числа на 7:
n
1 2
3 4
5 остаток числа при делении на 7 2
4 1
2 4
1 Заметим, что далее остатки будут повторяться 1 → 2 → 4 → 1 → Видно, что, когда n делится на 3, у чисел получаем остаток когда n дат остаток 1 при делении на 3, получаем остаток 2; когда дат остаток 2 при делении на 3 — остаток 4. Значит, 2
n
− 1 делится на 7, только когда n делится на Докажите, что число a
3
+
b
3
+
4 не является точным кубом натурального числа.
Решение. Посмотрим на остатки кубов при делении на 9. Для этого составим таблицу остатков.
остаток числа x при делении на 9 0
1 2
3 4
5 6
7 остаток числа при делении на 9 0
1 8
0 1
8 0
1 8

§ . Остатки

Кубы натуральных чисел дают остатки 0, 1, 8 при делении на Сумма двух кубов натуральных чисел даёт остатки 0, 1, 2, 7, 8 при делении на 9. Сумма двух кубов, увеличенная на 4, даёт остатки, 5, 6, 2, 3 при делении на 9. Среди этих остатков нет ни 0, ни ни 8. Значит, данная сумма не может быть точным кубом.
5.
Докажите, что n
5
+
4n делится на 5 при любом натуральном Решение. Разложим n
5
+
4n на множители n
· (n
4
+
4). Тогда при делящихся на 5, это выражение делится на Рассмотрим таблицу остатков числа при делении на 5 (кроме случая, когда n кратно остаток числа n при делении на 5 1
2 остаток числа при делении на 5 1
4 остаток числа при делении на 5 1
1 Заметим, что n
4
+
4 при делении на 5 будет во всех случаях давать такой же остаток, что и число 1 + 4 = 5, те. будет делиться на 5. Значит, и всё выражение будет делиться на 5 при любом натуральном Существует ли такое натуральное n, что n
2
+
n + 1 делится на
2015?
Решение. Построим таблицу остатков числа n
2
+
n + 1 приделе- нии на остаток числа n при делении на 5 0
1 2
3 остаток числа n
2
+
n + 1 при делении на 5 1
3 2
3 Итак, n
2
+
n + 1 не может делиться на 5, а значит, оно не делится и на Существует ли степень двойки, из которой перестановкой цифр можно получить другую степень двойки?
Ответ. Нет, не существует.
Решение. Два числа, отличающиеся лишь порядком цифр, дают одинаковые остатки при делении на 9. Выясним, какие остатки при делении на 9 могут давать числа вида 2
n
(n = 1, 2, 3, степень числа 
2 1
2 2
2 3
2 4
2 5
2 6
2 остаток степени при делении на 9 2
4 8
7 5
1 Докажем, что последовательность остатков при делении насте- пеней двойки 2, 4, 8, 7, 5, 1, 2, … периодична с периодом 6. Действительно делится на 9. Предположим, что две степени двойки отличаются только лишь порядком цифр, тогда они дают


§ . Остатки одинаковый остаток при делении на 9 и отличаются не менее чем в 2 6
=
64 раза, те. в них разное количество цифр. Противоречие.
Замечание. В этой задаче мы воспользовались тем фактом, что число даёт такой же остаток при делении на 9, как и его сумма цифр.
8.
Докажите, что для любых натуральных a, b, c найдётся такое натуральное, что n
3
+
an
2
+
bn + c не является точным квадратом.
Решение. Обозначим P(n) = n
3
+
an
2
+
bn + c. Допустим, что значения) все являются полными квадратами. Тогда) и P(1) являются полными квадратами одной чётности, следовательно, оба значения дают одинаковый остаток по модулю 4, значит P(1) ≡
4 0, и аналогично P(4)
− P(2) ≡
4 0. С другой стороны 1 + a + b + c;
P(2)
≡
4 8 + 4a + 2b + c
≡
4 2b + c;
P(3)
≡
4 27 + 9a + 3b + c
≡
4 3 + a + 3b + c;
P(4)
≡
4 4
3
+
a
· 4 2
+
b
· 4 + c Значит P(1) ≡
4 3 + a + 3b + c
− (1 + a + b + c) ≡
4 2b + 2,
P(4)
− P(2) ≡
4
c
− (2b + c) ≡
4
−2b ≡
4 Получается, что числа 2b + 2 и 2b одновременно делятся на 4, чего не может быть.
Подготовительные задачи
1.
Найдите остаток числа 2012 при делении на число а) 3; б) в) 5; г) 7; д) Найдите остаток числа −12 при делении на число а) 3; б) в) 5; г) 7; д) Найдите остаток числа 2011 · 2012 + 2013 при делении на Найдите последнюю цифру числа а) 2 2012
; б) 3 в) 5 239
+
9 566
− 7 Докажите, что квадраты натуральных чисел не дают остатков и 3 отделения на Докажите, что квадраты натуральных чисел не дают остатков и 3 отделения на Докажите, что n
3
+
2n делится на 3 при любом натуральном n.

§ . Остатки

8.
Какие остатки могут давать кубы натуральных чисел приделе- нии: а) наб) на Докажите, что n
3
+
2 не делится на 9 ни при каком натуральном Докажите, что число 1000…0005000…0001 (в каждой из двух групп — по 2012 нулей) не является кубом натурального числа.
11.
Натуральные числа x, y, z таковы, что x
2
+
y
2
=
z
2
. Докажите,
что хотя бы одно из этих чисел делится а) наб) на 4; в) на Докажите, что 5
+
n
3 3
+
7n
15
— целое число при любом натуральном Основные задачи
1.
Найдите четырёхзначное число, которое при делении на 131 дат остаток 112, а при делении на 132 даёт остаток Докажите, что 2222 5555
+
5555 делится на Докажите, что число 6n
3
+
3 не является точной шестой степенью натурального числа.
4.
Найдите наибольшее трёхзначное число, дающее при делении на 3 остаток 2, при делении на 4 — остаток 3, а при делении на 5 остаток Натуральные числа m и n таковы, что m > n и m не делится на Также известно, что остаток отделения на n совпадает с остатком отделения на m − n. Найдите отношение m : Десятизначное число на 1 больше квадрата натурального числа.
Докажите, что в этом числе есть одинаковые цифры.
7
∗
.
Докажите, что при любом натуральном n сумма цифр числа не меньше Найдите последнюю цифру числа 1 2
+
2 2
+
… + 99 Докажите, что 1
n
+
2
n
+
… + (n − делится на n при любом нечётном Натуральные числа x, y, z таковы, что x
2
+
y
2
=
z
2
. Докажите,
что xyz делится на Сумма неполного частного и остатка, полученных приделе- нии некоторого натурального числа на 100, равна сумме неполного частного и остатка, полученных при делении того же числа на Найдите наименьшее возможное значение делимого.
12.
Сколько существует натуральных чисел n, не превосходящих 000, для которых число 2
n
− делится на Пусть a и b — натуральные числа. При делении на a + получается неполное частное q и остаток r. Найдите все пары (a, для которых q
2
+
r = 2012.


§ . Остатки
14.
Докажите, что среди чисел вида 2
n
− 3 существует бесконечно много чисел, делящихся на 5, и бесконечно много чисел, делящихся на 13, ноне существует ни одного числа, делящегося на Докажите, что 7 2n
− 5 делится на 24 при любом натуральном Докажите, что если 2
n
− 2 делится на n, то 2 2
n
−1
− 2 делится на Докажите, что из любых 2n − 1 целых чисел можно выбрать ровно n чисел так, что их сумма делится на Имеются семь карточек с цифрами от 1 до 7. Докажите, что ни одно семизначное число, составленное из этих карточек, не может делиться на другое

§ . Десятичная запись числа
Диагностическая работа Для нумерации страниц в учебнике понадобилось 534 цифры.
Страницы нумеруются начиная с . Сколько страниц в учебнике?
2.
Возраст человека в 1998 году оказался равным сумме цифр года его рождения. Сколько ему лет?
3.
Десятичная запись некоторого числа оканчивается на 2. Если же эту цифру переставить на первое место, то число удвоится. Найдите это число.
4.
Могут ли две последние цифры десятичной записи квадрата натурального числа быть нечётными?
5.
Докажите, что четырёхзначное число не может увеличиться враз, если его первую цифру переставить в конец.
Краткая теоретическая справка
Определение. Десятичной записью натурального числа называется его представление в виде a
k
10
k
+
a
k
−1 10
k
−1
+
… + a
1
· 10 + a
0
, где 0 и все числа a
0
,
a
1
,
…, a
k
— целые, неотрицательные и не превосходящие Таким образом, числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 играют особую роль.
Они служат для десятичной записи других чисел, поэтому называются десятичными цифрами.
При записи числа пропускают степени числа 10 и просто выписывают его цифры подряд.
Например, 2012 = 2 · 10 3
+
0
· 10 2
+
1
· 10 1
+
2
· 10 Десятичная запись натурального числа n содержит ровно k цифр,
если и только если выполнено неравенство 10
k
−1
¶
n < С помощью десятичной записи можно записать и нецелые числа,
используя отрицательные степени числа 10. Полученную запись называют десятичной дробью. Слагаемые, содержащие отрицательные степени числа 10, отделяются в записи от остальных слагаемых десятичной запятой (или точкой).
Например, 123,405 = 1 · 10 2
+
2
· 10 1
+
3
· 10 0
+
4
· 10
−1
+
0
· 10
−2
+
+
5
· Однако не все числа представимы в виде такой записи, включающей конечное число цифр


§ . Десятичная запись числа
Несократимая правильная дробь
m
n
представляется в виде конечной десятичной дроби в томи только в том случае, когда её знаменатель не делится на простые числа, отличные от 2 и Примеры решения задач
1.
Докажите признаки делимости на 3 и на Решение. Пусть десятичная запись данного числа.
Имеем 10 ≡ 1 (mod 3), поэтому a
n
· 10
n
−1
+
a
n
−1
· 10
n
−2
+
… + a
2
· 10 1
+
a
1
· 10 0
≡
≡ a
n
+
a
n
−1
+
… + a
2
+
a
1
(mod значит, данное число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на Аналогично 10 ≡ 1 (mod 9) и a
n
· 10
n
−1
+
a
n
−1
· 10
n
−2
+
… + a
2
· 10 1
+
a
1
· 10 0
≡
≡ a
n
+
a
n
−1
+
… + a
2
+
a
1
(mod Значит, данное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на Докажите признаки делимости на 4 и на Решение. Пусть десятичная запись данного числа. Тогда a
n
a
n
−1
…a
3
· 100 + a
2
a
1
≡
≡ a
n
a
n
−1
…a
3
· 25 · 4 + a
2
a
1
≡ a
2
a
1
(mod Мы получили, что a
2
a
1
(mod Значит, данное число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, делящееся на Аналогично a
n
a
n
−1
…a
4
· 1000 + a
3
a
2
a
1
≡
≡ a
n
a
n
−1
…a
4
· 125 · 8 + a
3
a
2
a
1
≡ a
3
a
2
a
1
(mod Значит, данное число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры составляют число, делящееся на Цифры двузначного числа поменяли местами, после чего вычли полученное двузначное число из исходного. Докажите, что полученная разность делится на 9.

§ . Десятичная запись числа

Решение. Представим числа в десятичной записи. Тогда ba = 10a + b − (10b + a) = 9(a − b) Докажите, что десятичная запись числа 3 содержит не более цифр.
Решение. Ясно, что 3 20
=
9 10
< 10 10
. Так как 10 10
— наименьшее натуральное число, имеющее в десятичной записи ровно одиннадцать цифр, число 3 имеет в десятичной записи не более 10 цифр.
5.
Пусть a, b, c, d — различные цифры. Докажите, что cdcdcdcd не делится на Решение. Число aabb делится на 11, а cdcdcdcd для различных и d — нет, поэтому cdcdcdcd не может делиться на Существует ли натуральное число, которое при зачёркивании первой слева цифры уменьшается ровно в 2011 раз?
Решение. Допустим, что такое число существует, и обозначим через его десятичную запись. Тогда 10
n
−1
a
n
=
a
n
a
n
−1
…a
2
a
1 Домножим обе части равенства на 2011:
2011
· a
n
a
n
−1
…a
2
a
1
− 2011 · 10
n
−1
a
n
=
a
n
a
n
−1
…a
2
a
1
,
2010
· a
n
a
n
−1
…a
2
a
1
=
2011
· 10
n
−1
a
n
,
201
· a
n
a
n
−1
…a
2
a
1
=
2011
· 10
n
−2
a
n
,
2011
· Но 2011 · взаимно просто с 201, следовательно, a
n
201, а это невозможно, так как a
n
— цифра от 1 до Мы пришли к противоречию, значит, такого числа не существует.
7.
Найдите все натуральные числа, являющиеся степенью двойки,
при зачёркивании первой цифры у которых получается число, также являющееся степенью двойки.
Решение. Пусть мы зачеркнули первую цифру у числа 2
n
, состоящего из k + 1 цифр, и получили число 2
m
. Тогда 2
n
< 10
k+1
,
10
k
−1
< 2
m
< откуда 10
k
<
1 2
m
<
1 Перемножив первое и третье неравенства, получим 1 < 2
n
−m
< 10 Из последнего неравенства следует, что 0 < n − m < 8.


§ . Десятичная запись числа
В тоже время и заканчиваются на одну и туже цифру, следовательно При помощи таблицы остатков степеней двойки по модулю 5 легко понять, что m) Сопоставляя это соотношение с полученным ранее неравенством, получаем, что m = Обозначим через a первую цифру числа 2
n
, которую мы зачеркнули.
Тогда
2
n
− a · 10
k
=
2
n
−4
,
2
n
−4
(2 4
− 1) = a · 10
k
,
2
n
−4
· 3 · 5 = a · В левой части равенства всего одна пятёрка, следовательно, k = 1, значит двузначное число. Перебирая все двузначные степени двойки, находим два подходящих числа 32 и Подготовительные задачи
1.
Докажите, что остаток числа при делении на 9 совпадает с остатком суммы цифр этого числа при делении на Двузначное число умножили на произведение его цифр, в результате чего получилось трёхзначное число, состоящее из одинаковых цифр, совпадающих с последней цифрой исходного числа. Найдите исходное число.
3.
Натуральные числа от 1 до 20 выписали в строчку подряд. В полученном натуральном числе нужно вычеркнуть цифр так, чтобы натуральное число, образованное оставшимися цифрами, было а) наибольшим б) наименьшим. Как это сделать?
4.
Натуральное число умножили на удвоенное произведение его цифр. Получилось 2016. Найдите исходное число.
5
∗
.
Найдите наименьшее натуральное число, которое увеличивается ровно враз от перестановки последней цифры на первое место

§ . Десятичная запись числа

6.
Докажите, что степень двойки не может оканчиваться четырьмя одинаковыми цифрами.
7.
Между цифрами двузначного числа, делящегося на 3, вставили цифру 0, а к полученному трёхзначному числу прибавили удвоенную цифру его сотен. Получилось число, враз большее первоначального.
Найдите исходное число.
Основные задачи
1.
В трёхзначном числе поменяли местами цифры, стоящие враз- рядах единиц и сотен, после чего из исходного числа вычли полученное. Докажите, что такая разность делится на Докажите, что квадрат натурального числа, оканчивающегося на 5, оканчивается на Сложили шесть трёхзначных чисел, полученных всевозможными перестановками трёх различных цифр. Докажите, что полученная сумма делится на Найдите все двузначные числа, которые равны сумме своей цифры десятков и квадрата цифры, стоящей в разряде единиц.
5
∗
.
При каком наименьшем натуральном n в десятичной записи правильной дроби
m
n
после запятой могут подряд встретиться цифры
501?
6.
Существует ли 100-значное число без нулевых цифр, которое делится на сумму своих цифр?
7.
Может ли произведение всех цифр натурального числа быть равно Число abcde делится на 41. Докажите, что число eabcd также делится на Найдите все трёхзначные числа, для которых любое число, полученное перестановкой их цифр, делится на Найдите все двузначные числа, квадрат которых оканчивается теми же двумя цифрами, что и исходное число.
11.
Найдите все трёхзначные числа, квадрат которых оканчивается теми же тремя цифрами, что и исходное число.
12.
Сколько существует двузначных чисел, которые ровно враз больше суммы своих цифр А сколько существует таких трёхзначных чисел?
13.
В натуральном числе поменяли местами две соседние цифры и из полученного числа вычли исходное. Докажите, что полученная разность всегда делится на 9.


§ . Десятичная запись числа
14.
В натуральном числе поменяли местами две цифры, стоящие через одну, и из полученного числа вычли исходное. Докажите, что полученная разность всегда делится на Нач м основан следующий способ возведения числа, оканчивающегося на 5, в квадрат отбросьте цифру 5, умножьте полученное число наследующее за ним натуральное число, после чего к результату припишите справа 25 (например, для получения квадрата числа нужно 11 умножить на 12 и к их произведению — числу 132 приписать справа 25; получится Какое наибольшее значение может принимать частное отделения трёхзначного числа на сумму всех его цифр?
17.
Найдите все такие четырёхзначные числа abcd, что Из трёх различных цифр составили всевозможные двузначные числа без повторений цифр водном числе. Сумма полученных чисел оказалась равной 528. Найдите исходные цифры.
19
∗
.
Друг за другом подряд выписали десятичную запись чисел 2 и 5 100
. Сколько всего цифр выписали?
20
∗
.
При некотором натуральном n десятичная запись чисел и начинается с одной и той же цифры. Какая это может быть цифра?
21.
Девятизначное число, в записи которого есть все цифры,
кроме нуля, после некоторой перестановки цифр уменьшилось ровно враз. Найдите все такие числа.
22.
При каком наименьшем натуральном n в десятичной записи дроби
1
n
после запятой могут подряд встретиться цифры 142? А в десятичной записи правильной дроби
m
n
?
23.
а) Сколько существует таких натуральных чисел n, меньших, что каждое из чисел
1
n
и
1
n + выражается конечной десятичной дробью б) Найдите все такие натуральные Докажите, что десятичная периодическая дробь является рациональным числом.
25.
Существует ли степень двойки, из которой перестановкой цифр можно получить степень пятёрки?
26.
У числа 2 нашли сумму его цифру результата снова нашли сумму цифр итак далее. В конце концов получилось однозначное число. Найдите его.
27.
Пусть A — сумма цифр числа 4444 4444
, B — сумма цифр числа. Найдите сумму цифр числа B.

§ . Десятичная запись числа

28.
Вася не заметил знак умножения между двумя трёхзначными числами и записал шестизначное число, оказавшееся враз больше их произведения. Найдите исходные числа.
29.
К натуральному числу справа последовательно приписали два двузначных числа. Полученное число оказалось равным кубу суммы трёх исходных чисел. Найдите эти числа.
30.
Найдите все пары таких а) четырёхзначных; б) пятизначных чисел x и y, что число, полученное путём приписывания десятичной записи числа y после числа x, делится на произведение Найдите наибольшее натуральное число, не оканчивающееся нулём, которое при вычёркивании одной (не первой) цифры уменьшается в целое число раз.
32.
Найдите четырёхзначное число, которое ровно в 4 раза меньше числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке.
33.
Одно из двух двузначных натуральных чисел в два раза больше другого. Найдите все пары таких чисел, если цифры меньшего из чисел соответственно равны сумме и разности цифр большего из чисел.
34.
Трёхзначное число abc делится на 17, девятизначное число делится на 37. Найдите a, b и Найдите четырёхзначное число, являющееся точным квадратом, если известно, что его первые две цифры одинаковы и последние две цифры также одинаковы.
36.
Двузначное число в сумме с числом, записанным теми же цифрами в обратном порядке, даёт точный квадрат. Найдите все такие числа.
37
∗
.
Пусть a = mn, b = nm. Найдите наименьшее значение величины Найдите все такие пары натуральных чисел a и b, что если к десятичной записи числа a приписать справа десятичную запись числа b, то получится число, большее произведения чисел ab на Найдите все такие пары натуральных чисел a и b, что если к десятичной записи числа a справа приписать десятичную запись числа b
2
, то получится число, большее произведения ab в семь раз.
40.
К трёхзначному натуральному числу a дописали его же, а к полученному числу прибавили 1 и получили точный квадрат. Найдите все такие числа