ЕГЭ-2019. Математика. Задача 19 (проф. ур.)_Вольфсон_2019 -102с.. Ежедневно, 10. 0020. 00, кроме воскресеньяабрис рф Москва 8 (495) 2296759СанктПетербург 8 (812) 3270450
 Скачать 0.66 Mb.
|
|
§ . Последовательности и прогрессии Диагностическая работа Чему равна сумма первых 20 членов арифметической прогрессии, если сумма членов этой прогрессии с номерами с девятого по двенадцатый равна Сумма четырёх первых членов арифметической прогрессии равна, а сумма четырёх последних — 112. Найдите количество её членов, если первый член равен Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые при делении надают в остатке Чему может равняться знаменатель непостоянной геометрической прогрессии, если первые её три члена являются первым, седьмыми пятнадцатым членами арифметической прогрессии? 5. Найдите трёхзначное число, если его цифры образуют геометрическую прогрессию, а цифры числа, которое меньше данного на, — арифметическую. Краткая теоретическая справка Арифметическая прогрессия Определение. Арифметическая прогрессия — последовательность, заданная следующим образом a 1 = a, a n+1 = a n + d, где n ∈ N. Число называется разностью арифметической прогрессии. (Говорят также, что несколько чисел образуют арифметическую прогрессию, если они являются последовательными членами некоторой последовательности арифметической прогрессии.) Формула го члена арифметической прогрессии Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии n = 2a 1 + (n − 1)d 2 · Геометрическая прогрессия Определение. Геометрическая прогрессия — последовательность, заданная рекуррентно следующим образом b 1 = b 6= 0, b n+1 = b n q, где N. Число q ∈ R, q 6= 0, называется знаменателем геометрической прогрессии. Формула го члена геометрической прогрессии b n = b 1 · q n −1 § . Последовательности и прогрессии Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии (при 1): S n = b 1 · 1 − q n 1 − Характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессий Последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый её член начиная со второго равен среднему арифметическому соседних, те. для любого n ∈ N, n ¾ 2, выполняется равенство a n = a n −1 + a n+1 В частности, три числа a, b и c образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда b = a + Три ненулевых числа a, b, c образуют геометрическую прогрессию (именно в таком порядке) тогда и только тогда, когда Примеры решения задач 1. Найдите сумму первых 20 членов арифметической прогрессии, если Решение. Заметим, что таким образом, S 20 = (a 10 + a 11 ) · 10 = Можно было решить эту задачу и другим стандартным способом: выразив и через первый член прогрессии и разность d, получим, что a 10 + a 11 = 2a 1 + 19d = 4. В тоже время по формуле суммы арифметической прогрессии S 20 = 2a 1 + 19d 2 · 20 = В арифметической прогрессии четвёртый член равен 1. При каком значении разности произведение второго и седьмого членов будет наибольшим? Решение. Обозначим разность прогрессии через d. Тогда a 7 = (a 4 − 2d)(a 4 + 3d) = (1 − 2d)(1 + 3d) = −6d 2 + d + Квадратичная функция f (d) = −6d 2 + d + 1 достигает наибольшего значения при d = 1 Ответ Том Сойер красил забор длиной 105 метров, причём день за днём длина выкрашенной за один день части забора уменьшалась на одну и туже величину. За сколько дней был покрашен забор, если за первые три дня Том выкрасил 36 метров забора, аза последние три только 27 метров § . Последовательности и прогрессии Решение. Пусть Тому понадобилось на покраску n дней ив день с номером k он покрасил метров забора. По условию числа образуют (убывающую) арифметическую прогрессию. Заметим, что a 1 + a n = a 2 + a n −1 = a 3 + a n −2 , а по условию + 27 = Отсюда следует, что a 1 + a n = 21. По формуле суммы членов арифметической прогрессии S n = a 1 + a n 2 · n = 105, откуда n = Ответ. Могут ли числа 2, 3 и 17 быть членами (необязательно последовательными) одной геометрической прогрессии? Решение. Если бы такая прогрессия существовала, то имели бы место равенства 3 = 2 · и 17 = 3 · при некоторых k, n ∈ N, а значит 2 k = 17 3 n ⇔ 3 k+n = 2 k · 17 n , что невозможно (хотя бы потому, что левая часть — нечётное число, а правая — чётное). 5. Дана арифметическая прогрессия с первым членом 1 и разностью. Докажите, что число+ p a 2 + 1 p a 2 + p a 3 + … + 1 p a 40 + является целым. Решение. Имеем+ p a 2 + 1 p a 2 + p a 3 + … + 1 p a 40 + p a 41 = = p a 2 − p a 1 a 2 − a 1 + p a 3 − p a 2 a 3 − a 2 + … + p a 41 − p a 40 a 41 − a 40 = = p a 2 − p a 1 d + p a 3 − p a 2 d + … + p a 41 − p a 40 d = = p a 41 − p a 1 d = p 81 − p 1 Найдите наибольшую разность арифметической прогрессии, среди членов которой есть числа 17 , 1 и Решение. Обозначим разность арифметической прогрессии через. По условию для некоторых чисел n, k ∈ N имеют место равенства и 13 − 1 15 = 2 13 · следовательно и d = 2 15 · 17 · n § . Последовательности и прогрессии Из последнего равенства следует, что значение d будет наибольшим при наименьшем значении n, а из первого равенства следует, что наименьшим значением n является 13 (ибо n делится на 13). Следовательно, наибольшее значение — d = 2 13 · 15 · 17 . Нетрудно заметить, что при этом данные числа действительно будут являться членами арифметической прогрессии с этой разностью и a 1 = 1 Два положительных неравных числа являются первыми третьим членами некоторой арифметической прогрессии, и они же являются первыми третьим членами некоторой геометрической прогрессии. У какой из этих прогрессий сумма первых трёх членов больше? Ответ. У арифметической. Решение. Обозначим данные числа a и b. По характеристическим свойствам прогрессий второй член арифметической прогрессии равен, а второй член геометрической прогрессии равен p ab. По неравенству между средним арифметическими средним геометрическим (см. теоретическую справку в § ) a + b 2 > p ab, если a 6= b. Отсюда следует (ведь первый и третий члены прогрессий совпадают, что сумма членов арифметической прогрессии больше. 8. Различные числа a, b ив указанном порядке) образуют геометрическую прогрессию, а числа + 1 , 1 b + 1 , 1 c + в том же порядке арифметическую. Найдите сумму членов арифметической про- грессии. Решение. По характеристическому свойству арифметической прогрессии верно равенство + 1 − 1 a + 1 = 1 c + 1 − 1 b + 1 ⇔ a − b a + 1 = b − c c + Обозначим знаменатель данной в условии геометрической прогрессии через q и подставим в это равенство числа a и c = bq. Получим b qb + 1 ⇔ b 1 − 1 q (qb + 1) = b(q − 1) b q + 1 ⇔ ⇔ b(q − 1)(qb + 1) q = b(q − 1) b + откуда с учётом неравенств q 6= 1 и b 6= 0 следует, что qb + 1 = b + q ⇔ ⇔ (q − 1) · (b − 1) = 0, а значит, b = 1 и искомая сумма арифметической прогрессии равна S = 3 b + 1 = 3 2 § . Последовательности и прогрессии 9. Шесть простых чисел являются последовательными членами возрастающей арифметической прогрессии. Докажите, что разность этой прогрессии не менее Решение. Предположим, что разность прогрессии нечётна. Тогда в этой прогрессии будет как минимум три чётных числа, что невозможно. Аналогично если разность прогрессии не кратна 3, тов эту прогрессию входят как минимум два числа, кратные трём. Значит, разность прогрессии кратна 2 и 3, те. кратна Если разность прогрессии не кратна 5, тов ней есть член, кратный Тогда это просто число 5. Если 5 — первый член прогрессии, то среди оставшихся 5 членов есть ещё один член, кратный 5, что невозможно. Если жене является первым членом, то первый член будет отрицательным, ибо ранее доказано, что разность прогрессии не меньше Итак, разность прогрессии кратна 5 и 6, те. кратна 30, а значит, не менее Интересно, что прогрессия 7, 37, 67, 97, 127, 157 состоит из простых чисел. Подготовительные задачи 1. Дана арифметическая прогрессия с первым членом 2 и разностью. Найдите десятый член этой прогрессии и сумму первых десяти её членов. 2. Второй член арифметической прогрессии равен 5. Найдите сумму первых трёх членов прогрессии. 3. В арифметической прогрессии a 20 = 30 и a 30 = 20. Найдите Сумма первых десяти членов геометрической прогрессии равна, а первый член равен 1. Найдите знаменатель прогрессии. 5. Третий член геометрической прогрессии равен 4. Найдите произведение первых пяти членов прогрессии. 6. Найдите шестой и десятый члены возрастающей геометрической прогрессии, если их сумма равна 16, а произведение четырнадцатого и второго членов этой прогрессии равно Сумма пятого и девятого членов геометрической прогрессии равна 7. Найдите сумму их квадратов, если произведение шестого и восьмого членов этой прогрессии равно Найдите наибольшую из сумм первых n членов арифметической прогрессии, если a 1 = 78, Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 12. Найдите наибольшее значение произведения этих чисел. 10. Могут ли цифры простого трёхзначного числа образовывать арифметическую прогрессию § . Последовательности и прогрессии Основные задачи 1. Каждое из чисел 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 умножают на каждое из чисел 3, 4, 5, 6, 7, 8 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят плюс или минус, после чего все полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? 2. Могут ли числа 1, p 2 и p 3 быть членами (необязательно последовательными) одной арифметической прогрессии? 3. В арифметической прогрессии a 1 = −85, a 19 — её первый положительный член. Какие значения может принимать разность прогрессии В арифметической прогрессии пятый член равен 2. При каком значении разности прогрессии сумма всевозможных попарных произведений четвёртого, седьмого и восьмого членов прогрессии будет наименьшей? 5. Найдите всевозможные значения a, при которых числа 2 p 2a, −8, 3 p 8a являются, в некотором порядке, последовательными членами арифметической прогрессии. 6. Отношение суммы первых трёх членов возрастающей арифметической прогрессии к сумме её последующих семи членов равно 7: Найдите разность прогрессии, если известно, что у неё имеются два соседних члена, произведение которых равно − 7 Сумма модулей членов конечной арифметической прогрессии равна 100. Если все её члены увеличить на 1, то сумма модулей членов полученной прогрессии будет также равна 100. Какие значения при этих условиях может принимать величина n 2 d, где d — разность прогрессии, a n — число её членов? 8. Обозначим через сумму первых n членов непостоянной арифметической прогрессии. Найдите все прогрессии, для которых при всех n, k ∈ N выполняется равенство S n · Докажите, что существуют арифметические прогрессии произвольной длины, состоящие из попарно взаимно простых чисел. 10. Три числа, сумма которых равна 12, образуют арифметическую прогрессию. Если второе число оставить без изменения, а первое и третье увеличить на 1, то получится геометрическая прогрессия. Найдите эти числа. 11. Геометрическая прогрессия с отрицательной суммой состоит из четырёх членов. Выбросив из неё второй член, мы получим возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите знаменатель исходной геометрической прогрессии § . Последовательности и прогрессии 12. Три положительных числа образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Если среднее из них уменьшить на 40 %, то получится геометрическая прогрессия, сумма которой равна 39. Найдите эти числа. 13. Найдите все состоящие не менее чем из трёх простых чисел арифметические прогрессии с разностью Найдите всевозрастающие конечные арифметические прогрессии, которые состоят из простых чисел и у которых количество членов больше, чем разность прогрессии. 15. Докажите, что последовательность, сумма n первых членов которой задаётся формулой S n = 3 n − 1, является геометрической про- грессией. 16. Известно, что первый, десятый и сотый члены геометрической прогрессии являются натуральными числами. Верно ли, что й член этой прогрессии также является натуральным числом? 17. Садовник, привив черенок редкого растения, оставляет его расти два года, а затем ежегодно берет от него 6 черенков. Сколько растений у него будет привито через 12 лет, если сначала он имел один черенок? 18. Сумма шестнадцати чисел равна 0,5. Известно, что сумма любых из них положительна. Какое наименьшее целое значение может принимать наименьшее из этих чисел? 19. Все члены последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности начиная со второго либо враз больше, либо враз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна а) Может ли последовательность состоять из 2 членов? б) Может ли последовательность состоять из 3 членов? в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 1008 и а) пять; б) четыре; в) три из них образуют геометрическую прогрессию § . Как решать задачу задачи ЕГЭ прошлых лет Сразу спешим огорчить после прочтения этого параграфа задачи не начнут решаться как по мановению волшебной палочки. Однако здесь мы изложим некоторые базовые принципы, которые пригодятся практически в любой задаче , а также разберём действие этих принципов на примерах реальных задач Единого государственного экзамена прошлых лет. Во-первых, нужно научиться внимательно читать условие Этот принцип, разумеется, полезен не только в задачах . Невнимательное прочтение условия влечёт за собой решение совсем другой задачи, возможно, сточки зрения математика не менее интересной, а порой даже гораздо более сложной, чем та, что предложена на экзамене. Проблема в том, что решить всё-таки надо именно приведённую в тексте экзамена задачу, так что все попытки решить что-то другое выльются исключительно в ноль баллов за эту задачу. А целью всё- таки является получение натурального числа в графе баллы за № Так что читайте условие внимательно, и лучше не один раз. Также очень полезно проиллюстрировать условие каким-нибудь примером. Просто для лучшего понимания условия задачи. Вы должны чётко понимать, о чём именно идёт речь в задаче, осознать ту конструкцию, которая в ней описана, после чего решать задачу станет намного легче. Порой даже случается, что, придумывая пример, облегчающий понимание условия, вы, сами того не подозревая, уже решили один из трёх пунктов. Впрочем, что же это мы — говорим о примерах, асами их неприводим Вперёд! Отметим лишь, что большинству примеров будет предшествовать некоторое «обсуждение», то есть попытки прийти к решению, а лишь затем — уже собственно решение. Пример . Существуют ли два натуральных числа, у которых разность между кубом их суммы и суммой их квадратов чётна? Обсуждение. Сначала постараемся понять, чего же от нас хотят? Вопрос задачи — существуют ли какие вообще варианты ответа есть на этот вопрос Очевидно, или Да, существуют, или Нет, не существуют. Что мы должны сделать, если правильный ответ — «Да, существуют»? А просто привести конкретный пример, мол, вот вам два числа, для них условие выполняется, значит, такие числа существуют. Ведь если вам, скажем, задали такой вопрос Существуют ли § . Как решать задачу : задачи ЕГЭ прошлых лет страны, название которых состоит из двух слов — достаточно было бы ответить — да, например, Российская Федерация. Или «Новая Зеландия», к примеру, — любой подходящий пример будет ответом на данный вопрос. А если правильный ответ — Нет, не существуют, что нужно тогда А в этом случае одного примера будет мало. Действительно, если мы приведём пару чисел и скажем, что для них условие не выполнено, разве из этого следует, что ни для какой пары условие не будет выполнено Продолжая аналогию со странами, разве правильно было бы на вопрос Существуют ли страны, название которых состоит из двух слов отвечать Нет, например, у Франции одно слово в названии»? Конечно, это неверный ответ на поставленный вопрос. Таки нам при доказательстве ответа Нет в этой задаче мало просто привести пример, для которого условие не выполняется. Теперь, когда мы более-менее разобрались, какого типа ответы бывают на поставленный вопрос, давайте попробуем проиллюстрировать задачу каким-нибудь примером. Возьмём любые два натуральных числа — скажем, и . Кстати, а можно было бы взять и ? Да, ведь в условии не сказано, что числа различные, а что не запрещено, то разрешено! Итак, подставляем и . Внимательно, читаем условие. Разность между кубом их суммы Стоп, давайте считать. Берём их сумму (и возводим её в куб (). Читаем дальше «... и суммой их квадратов. Сумма их квадратов 1 + 4 = 5. Итак, Разность между кубом их суммы и суммой их квадратов — этот. е. 22. Иона должна быть. чётной! У нас и получилось чётное число, значит, мы решили задачу. Как мы помним, если мы приведём пример, для которого всё выполняется, — этого будет достаточно Теперь мы готовы написать решение. |