ЕГЭ-2019. Математика. Задача 19 (проф. ур.)_Вольфсон_2019 -102с.. Ежедневно, 10. 0020. 00, кроме воскресеньяабрис рф Москва 8 (495) 2296759СанктПетербург 8 (812) 3270450
 Скачать 0.66 Mb.
|
|
Пример . Число S таково, что для любого представления S в виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит, эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит а) Может ли число S быть равным б) Может ли число S быть больше в) Найдите максимальное возможное значение Решение. а) Рассмотрим разбиение числа 38 на 39 слагаемых, равных 38 39 . При разделении этих слагаемых на две группы водной из них окажется не менее 20 чисел, сумма которых равна 39 = 760 39 = 19 19 39 > Значит, S не может быть равным б) Поскольку S является суммой двух чисел, небольших, получаем Пусть 37,05 < S ¶ 38. Рассмотрим разбиение числа S на 39 слагаемых, равных 39 < 1. При разделении этих слагаемых на две группы водной из них окажется не менее 20 чисел, сумма которых равна 20 · S 39 > 20 · 37,05 39 = 19. Значит, S не может быть больше в) Докажем, что число S = 37,05 удовлетворяет условию задачи. Рассмотрим произвольное представление числа S = 37,05 в виде суммы положительных слагаемых, не превосходящих 1: S = x 1 + x 2 + … + Можно считать, что слагаемые упорядочены по убыванию ¾ x n −1 ¾ x n § . Как решать задачу : задачи ЕГЭ прошлых лет Первую группу составим из k наибольших слагаемых так, что + x k ¶ 19 < x 1 + x 2 + … + Вторую группу составим из оставшихся слагаемых. Пусть S 1 < 18,05 = 37,05 − 19. В этом случае < 19 − S 1 < x k+1 ¶ x k ¶ … ¶ x 1 , 0,95k < x 1 + … + x k = S 1 < Поэтому k < 19, k ¶ 18 и S 1 = x 1 + x 2 + … + x k ¶ 18. Тогда ¶ 19 − S 1 < Полученное противоречие доказывает, что S 1 ¾ 18,05. Поэтому + x n = 37,05 − Таким образом, число S = 37,05 удовлетворяет условию задачи. В предыдущем пункте было показано, что ни одно из чисел S > не удовлетворяет условию задачи, значит, максимальное возможное значение S — это Ответа) Нет б) нет в) Содержание критерия Баллы Верно получены все перечисленные (см. критерий на балл) результаты Верно получены три из перечисленных (см. критерий на балл) результатов Верно получены два из перечисленных (см. критерий на балл) результатов Верно получен один из следующих результатов обоснованное решение па обоснованное решение п. б указание верного способа разделения слагаемых на две группы для искомого значения S в п. в обоснование верного способа разделения слагаемых на две группы для искомого значения S в п. в Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше Максимальный балл Пример . Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить ив кино, ив театр. Известно, что в театре мальчиков было не более от общего числа учащихся группы, посетивших театра в кино мальчиков было не более от общего числа учащихся группы, посетивших кино. а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся § . Как решать задачу : задачи ЕГЭ прошлых лет б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся? в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов аи б). Решение. а) Если группа состоит из 2 мальчиков, посетивших только театр, 7 мальчиков, посетивших только кино, и 11 девочек, сходивших ив театр, ив кино, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 20 учащихся могло быть 9 мальчиков. б) Предположим, что мальчиков было 10 или больше. Тогда девочек было 10 или меньше. Театр посетило не более 2 мальчиков, поскольку если бы их было 3 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не меньше 3 + 10 = 3 13 , что больше 11 . Аналогично кино посетило не более 7 мальчиков, поскольку 8 + 10 = 8 18 > 2 но тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни кино, что противоречит условию. В предыдущем пункте было показано, что в группе из 20 учащихся могло быть 9 мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков в группе — в) Предположим, что некоторый мальчик сходили в театр, ив кино. Если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театра другой — только кино, то доля мальчиков ив театре, ив кино осталась бы прежней, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек в группе можно считать, что каждый мальчик сходил или только в театр, или только в кино. Пусть в группе мальчиков, посетивших театр, m 2 мальчиков, посетивших кино, и d девочек. Оценим долю девочек в этой группе. Будем считать, что все девочки ходили ив театр, ив кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля в театре ив кино не уменьшится. По условию 11 , m 2 m 2 + d ¶ 2 5 , значит 9 , m 2 d ¶ 2 3 . Тогда 9 , поэтому доля девочек в группе 8 9 + 1 = 9 Если группа состоит из 2 мальчиков, посетивших только театр, мальчиков, посетивших только кино, и 9 девочек, сходивших ив театр, ив кино, то условие задачи выполнено, а доля девочек в группе равна 17 § . Как решать задачу : задачи ЕГЭ прошлых лет Ответ. а) Да б) 9; в Содержание критерия Баллы Верно получены все перечисленные (см. критерий на балл) результаты Верно получены три из перечисленных (см. критерий на балл) результатов Верно получены два из перечисленных (см. критерий на балл) результатов Верно получен один из следующих результатов обоснованное решение па обоснованное решение п. б искомая оценка в п. в пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше Максимальный балл Пример . Каждое из чисел 2, 3, …, 7 умножают на каждое из чисел и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? Решение. . Если все произведения взяты со знаком плюс, то их сумма максимальна и равна + … + 7)(13 + … + 21) = 2 + 7 2 · 6 · 13 + 21 2 · 9 = 27 · 153 = 4131. . Так как предыдущая сумма оказалась нечётной, число нечёт- ных слагаемых в ней нечётно, причём это свойство всей суммы не меняется при смене знака любого её слагаемого. Поэтому любая из получающихся сумм будет нечётной, а значит, не будет равна 0. . Значение сумма принимает, например, при такой расстановке знаков у произведений, которая получится при раскрытии следующих скобок) = 1·1 = Ответ. и Содержание критерия Баллы Обоснованно получен правильный ответ Ответ правилен, но недостаточно обоснован (например, не доказано, что сумма отлична от либо что она может быть равна Верно найдено наибольшее значение суммы и доказано, что сумма всегда отлична от Верно найдено только наибольшее значение суммы или только доказано, что сумма всегда отлична от Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше Максимальный балл § . Как решать задачу : задачи ЕГЭ прошлых лет Пример . Перед каждым из чисел 22, 23, …, 26 и 50, 51, …, произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? Решение. . Если все числа взяты со знаком плюс, то их сумма максимальна и равна + … + 26) + 5(50 + … + 60) = = 11 22 + 26 2 · 5 + 5 50 + 60 2 · 11 = 55 · (24 + 55) = 4345. . Так как предыдущая сумма оказалась нечётной, число нечёт- ных слагаемых в ней нечётно, причём это свойство всей суммы не меняется при смене знака любого её слагаемого. Поэтому любая из получающихся сумм будет нечётной, а значит, не будет равна . . Значение сумма принимает, например, при следующей расстановке знаков у чисел + 23 − 24 + 25 − 26) + + 5(50 + 51 − 52 − 53 + 54 − 55 + 56 − 57 + 58 − 59 + 60) = = −11 · 24 + 5 · 53 = −264 + 265 = Ответ. и Содержание критерия Баллы Обоснованно получен правильный ответ Ответ правилен, но недостаточно обоснован (например, не доказано, что сумма отлична от либо что она может быть равна Верно найдено наибольшее значение суммы и доказано, что она всегда отлична от Верно найдено только наибольшее значение суммы или только доказано, что она всегда отлична от Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше Максимальный балл Пример . Найдите все тройки натуральных чисел k, m и удовлетворяющие уравнению 2 · k! = m! −2 · n! (1! = 1; 2! = 1 · 2 = 2; n! = 1 · 2 · … · Решение. . Так как m! = 2 · k! + 2 · n!, имеем n < m и k < m. . Пусть k ¶ n, тогда 4 · n! ¾ 2 · k! + 2 · n! = m! ¾ (n + 1) · n!, откуда ¾ n + 1 и k ¶ n ¶ 3. § . Как решать задачу : задачи ЕГЭ прошлых лет. Пусть k > n, тогда 4 · k! ¾ 2 · k! + 2 · n! = m! ¾ (k + 1) · k!, откуда ¾ k + 1 и n < k ¶ 3. . Далее конечным перебором значений 1 ¶ n ¶ 3, 1 ¶ k ¶ 3 находим все решения. Ответ. k = 1, n = 2, m = 3; k = n = 3, m = 4; k = 2, n = 1, m = Содержание критерия Баллы Обоснованно получен правильный ответ Ответ правилен и конечность перебора обоснована. Однако при переборе допущены арифметические ошибки или пробелы Ответ правилен и получен конечным перебором. Однако конечность перебора не обоснована Приведён хотя бы один из правильных наборов, и проверено, что при подстановке в уравнение получается верное числовое равенство Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше Максимальный балл Пример . Найдите все пары натуральных чисел a и b, удовлетворяющие равенству ab = a b + 23 (в левой части равенства стоит число, получаемое приписыванием десятичной записи числа a перед десятичной записью числа Решение. В случаях a = 1 или b = 1 имеем 24 = 1 b + 23 = 1b или = a1 = 10a + 1, что невозможно. Далее считаем, что a > и b > Пусть a ¶ 9. Тогда для выполнения равенства необходимо условие ¶ 9, так как иначе, если b — k-значное число (k ¾ 2), имеем 10 k −1 ¾ 2 10(k −1) > 10 3(k −1) = 10 k+(2k −3) ¾ 10 k+1 > Пусть a ¾ 10. Тогда для выполнения равенства необходимы условия итак как иначе, предполагая, что b — k-значное число, а a — (m + 1)-значное число (m ¾ 1), имеем, если k > 1, то если k = 1, b ¾ 3, то если k = 1, b = 2, m ¾ 2, то ab; § . Как решать задачу : задачи ЕГЭ прошлых лет если k = 1, b = 2, m = 1, a ¾ 32, то 3 = 10 (m+1)+k > Конечным перебором всех пари, для которых либо 1 < a ¶ 9 и 1 < b ¶ либо 10 ¶ a ¶ 31 и b = получаем, что уравнению удовлетворяют две пары a = 3, b = 2; a = 7, b = Ответ. a = 3, b = 2; a = 7, b = Замечание. Перебор значений a и b может быть произведён с помощью дополнительных соображений (свойств делимости, оценок величин и т. п, например, следующим образом. Остаётся две возможности либо 1 < a ¶ 9 и 1 < b ¶ 9, либо 10 ¶ ¶ a ¶ 31 и b = В первом случае, если a = 2, имеем 20 + b = 2 b + 23, но 23 > а 2 b > Если a = 3, имеем 30 + b = При b > 3 в правой части стоит число, состоящее более чем из двух цифр. Несложно проверить, что случай b = 2 подходит, а b = 3 — нет. Если a = 4, имеем 40 + b = При b > 3 в правой части стоит число, состоящее более чем из двух цифр. Несложно проверить, что случаи b = 2 и b = 3 не подходят. При a ¾ 5, если b > 2, в правой части стоит число, состоящее более чем из двух цифр. Значит, имеем уравнение 10a + 2 = a 2 + 23; a 2 − 10a + 21 = 0, откуда получаем a = 3 и a = Во втором случае имеем уравнение 10a + 2 = a 2 + 23, решения которого меньше Содержание критерия Баллы Обоснованно получен правильный ответ Ответ правилен, но недостаточно обоснован правильно произведён перебор не более чем двузначных оснований степени и не более чем однозначных её показателей, ноне объяснено, почему перебор ограничен только перечисленными случаями Ответ содержит правильную и, возможно, одну неправильную пару. Произведён перебор не более чем однозначных её показателей, нос арифметическими ошибками или пробелами Приведена правильная пара, и проверено, что она обращает уравнение в верное числовое равенство Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше Максимальный балл § . Как решать задачу : задачи ЕГЭ прошлых лет Пример . На доске написали несколько (необязательно различных) двузначных натуральных чисел, не имеющих нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число а) Приведите пример чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел. б) Могла ли сумма получившихся чисел оказаться ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел? в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел. Решение. а) Пусть на доске 15 раз было записано число 19 и один раз число 78. Тогда сумма чисел равна 363. После перестановки цифр оказалось 15 раз записано число 91 и один раз 87. Сумма этих чисел равна 1452 = 4 · Замечание. Этот ответ берётся нес потолка. Прочитайте решение пункта б) и заметьте, что аналогично можно ввести обозначения ив пункте а, после чего решить систему, найдя A и B. Дальше нехитрый подбор. б) Пусть на доске написаны двузначные числа a 1 b 1 , …, a n b n . Обозначим+ По условию 10A + B = 363 и 10B + A = 2 · 363. Тогда разность этих чисел равна 9(B − A) = 363. Но левая часть последнего равенства делится на 9, а правая не делится. Значит, такая ситуация невозможна. в) Пусть на доске были написаны двузначные числа a 1 b 1 , …, a n b n По-прежнему A = a 1 + … + a n , B = b 1 + … + По условию 10A + B = 363, и нужно найти наибольшее значение числа = 10B + A. Тогда = 10B + A = 10(363 − 10A) + A = 3630 − Таким образом, необходимо найти наименьшее возможное значение числа A. Поскольку, получаем B ¶ 9A. Поэтому = 10A + B ¶ 10A + 9A = 19A, § . Как решать задачу : задачи ЕГЭ прошлых лет откуда A ¾ 363 19 > 19, те. Значит = 3630 − 99A ¶ 3630 − 99 · 20 = Теперь приведём пример, показывающий, что число S может быть равным 1650. Пусть первоначально на доске 18 раз было записано число 19 и один раз число 21. Тогда сумма этих чисел равна 363. После перестановки цифр на доске 18 раз оказалось записано число и один раз число 12. Сумма этих чисел равна Ясно, что этот пример получается, если почти все цифры десятков исходных чисел равны 1, а цифры единиц равны 9, чтобы почти все неравенства (∗) обратились в равенства. Ответ. а) Например, 15 раз число 19 и число 78; б) нет в) Содержание критерия Баллы Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты 4 Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов 3 Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов 2 Верно получен один из следующих результатов пример в па обоснованное решение п. б искомая оценка в п. в пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 4 Пример . На доске было написано 30 натуральных чисел (необязательно различных, каждое из которых не превосходит 40. Среднее арифметическое всех написанных чисел было равно 7. Вместо каждого из чисел на доске написали число, вдвое меньшее первоначального. Числа, оказавшиеся после этого меньше 1, с доски стёрли. а) Могло ли среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, стать больше б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел стать больше 12, но меньше в) Найдите максимальное возможное значение среднего арифметического оставшихся на доске чисел. Решение. а) Пусть на доске было 24 числа, равных 1, и 6 чисел, равных 31. Их среднее арифметическое равно 7. Среднее арифметическое получившихся чисел равно 15,5 6 = 15,5 > 14. § . Как решать задачу : задачи ЕГЭ прошлых лет б) Пусть с доски было стёрто k чисел, и пусть сумма оставшихся была равна S, а значит, стала равна. По условию оказались стёрты только числа, получившиеся из 1, поэтому, те. Среднее арифметическое оставшихся чисел равно k) , откуда получаем < 210 − k 2(30 − k) < 13; 720 − 24k < 210 − k < 780 − 26k; 22 < 510 23 < k < 114 5 < Но таких целых чисел k нет. в) В обозначениях решения предыдущего пункта необходимо найти наибольшее возможное значение числа A = S 2(30 − k) . Имеем = S 2(30 − k) = 210 − k 2(30 − k) = 1 2 + 90 30 − Число A будет наибольшим, если число k будет принимать наибольшее возможное значение. Оценим значение Каждое из первоначально написанных на доске чисел было небо- лее 40 и на доске осталось 30 − k чисел, поэтому для суммы S выполняется неравенство k = S ¶ 40(30 − откуда k ¶ 40(30 − k); 39k ¶ 990; k ¶ 330 13 < 26; k ¶ Значит ¶ 1 2 + 90 30 − 25 = 18,5. Приведём пример, показывающий, что среднее арифметическое оставшихся на доске чисел действительно может стать равным 18,5. Пусть первоначально на доске было написано 25 единиц и 5 чисел, равных. Тогда их среднее арифметическое было равно + 185 Все единицы стёрли с доски, а остальные числа уменьшились в 2 раза. Тогда среднее арифметическое оставшихся чисел равно 37 2 · Ясно, что пример получается при найденном наибольшем значении, те. необходимо удалить 25 единиц § . Как решать задачу : задачи ЕГЭ прошлых лет Ответ. а) Да б) нет в) Содержание критерия Баллы Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты 4 Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов 3 Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов 2 Верно получен один из следующих результатов обоснованное решение па обоснованное решение п. б искомая оценка в п. в пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше Максимальный балл 4 Пример . На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных, каждое из которых не превосходит 40. Вместо нескольких (возможно, одного) из чисел на доске написали числа, меньшие первоначальных на 1. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли. а) Могло ли среднее арифметическое чисел на доске увеличиться после произведённой операции? б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел было равно 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел получиться равным в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел было равно 27. Найдите максимальное возможное значение среднего арифметического оставшихся на доске чисел. Решение. а) Пусть первоначально на доске было 19 чисел, равных, и одно число, равное 1. Их среднее арифметическое равно 10 + 1 20 = 9,55. Уменьшим число, равное 1, после чего оно исчезнет с доски, а остальные числа менять не будем. Среднее арифметическое оставшихся чисел равно 10 б) Пусть с доски было стёрто k чисел, сумма остальных чисел до уменьшения была равна S, а после уменьшения стала равна S − те. было изменено n чисел, больших 1. По условию + k 20 = 27, те. Среднее арифметическое оставшихся чисел равно n 20 − откуда получаем k − n 20 − k = 34. § . Как решать задачу : задачи ЕГЭ прошлых лет Из этого равенства находим 33k = 140 + n. Число n лежит в пределах от 0 до 20, поэтому 140 + n лежит в пределах от 140 до 160. В этом промежутке нет целых чисел, делящихся на в) В обозначениях предыдущего пункта по-прежнему S + те. Необходимо найти максимальное возможное значение числа A = S − n 20 − k . Имеем = S − n 20 − k = 540 − k − n 20 − k ¶ 540 − k 20 − k = 1 + 520 20 − Число A будет наибольшим, если n = 0 и число k будет принимать наибольшее возможное значение. Оценим это значение. Так как каждое из первоначально написанных на доске чисел было не более и на доске осталось 20 − k чисел, для суммы S выполняется неравенство откуда k ¶ 40(20 − k); 39k ¶ 260; k ¶ 20 3 < 7; k ¶ Значит ¶ 1 + 520 20 − k ¶ 1 + 520 14 = 38 1 7 Приведём пример, показывающий, что среднее арифметическое оставшихся на доске чисел действительно могло стать равным 38 1 7 . Пусть первоначально на доске было написано 6 единиц, 13 чисел, равных, и одно число, равное 14. Тогда их среднее арифметическое было равно + 13 · 40 + 14 Пусть 6 чисел, равных единице, уменьшились на 1 (после чего были стёрты с доски, а остальные числа не изменились. Тогда среднее арифметическое оставшихся чисел равно 40 + 14 14 = 38 Ясно, что пример легко получается при найденном наибольшем возможном k, те. среди написанных чисел должно быть 6 единиц § . Как решать задачу : задачи ЕГЭ прошлых лет Ответ. а) Да б) нет в) 38 Содержание критерия Баллы Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты 4 Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов 3 Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов 2 Верно получен один из следующих результатов обоснованное решение па обоснованное решение п. б искомая оценка в п. в пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше Максимальный балл 4 Пример . Ученики писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 83 баллов. Из-за того, что задания оказались трудными, всем участникам теста добавили по баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось. а) Могли средний балл участников, не сдавших тест, понизиться? б) Могли средний балл участников, сдавших тест, понизиться и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизиться? в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 90, средний балл участников, сдавших тест, составила средний балл участников, не сдавших тест, составил 75. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен, а не сдавших тест — 79. При каком минимальном числе участников теста возможна такая ситуация? Решение. а) Пусть были 3 участника, которые набрали 100, и 2 балла. Средний балл участников, не сдавших тест, составлял + 2 2 = 42 балла. После добавления баллов у участников оказалось, 87 и 7 баллов. Теперь средний балл участников, не сдавших тест, составляет 7 баллов. б) В примере из предыдущего пункта средний балл участников теста, сдавших тест, первоначально составлял 100 баллов, а после добавления баллов составил + 87 2 = 96 баллов. в) Пусть всего было N участников теста, сдали тест a участников, после добавления баллов сдали тест b участников. Очевидно, что средний балл всех участников после добавления составил 95. Имеем § . Как решать задачу : задачи ЕГЭ прошлых лет два уравнения = 75(N − a) + 100a и 95N = 79(N − b) + откуда 15N = 25a, те, и 16N = 24b, те. Поэтому целое число N кратно 5 и кратно 3, те. кратно 15. Таким образом ¾ Теперь покажем, что N могло равняться 15. Пусть изначально участников набрали по 74 балла, 1 участник — 80 баллов и 9 участников по 100 баллов. Тогда средний балл был равен 90, средний балл участников, сдавших тест, был равен 100, а средний балл участников, не сдавших тест, был равен 75. После добавления средний балл участников, сдавших тест, стал равен 103, средний балл участников, не сдавших тест, стал равен 79. Таким образом, все условия выполнены. Ответ. а) Да б) дав) Содержание критерия Баллы Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты 4 Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов 3 Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов 2 Верно получен один из следующих результатов обоснованное решение па обоснованное решение п. б искомая оценка в п. в пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл Пример . а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр десятичной записи которого враз больше суммы цифр этого числа. б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр десятичной записи которого враз больше суммы цифр этого числа? в) Найдите все такие четырёхзначные числа, произведение цифр десятичной записи которых враз больше суммы цифр этого числа. Решение. а) Произведение цифр числа 2529 равно 180, а сумма цифр равна 18, те. враз меньше. б) Предположим, что такое число n = abcd существует. Очевидно, что среди этих цифр не может быть нулей. Имеем abcd = 175(a + b + c + d). Правая часть этого равенства делится на 25, поэтому среди цифр найдутся две цифры 5. Так как при перестановке местами цифр числа n равенство abcd = 175(a + b + c + d) § . Как решать задачу : задачи ЕГЭ прошлых лет остаётся верным, без ограничения общности можно считать, что в числе n цифры c и d равны Тогда ab = 7(a + b + 10) ¾ 7 · 12 > 9 · 9 ¾ ab. Получаем противоре- чие. в) Предположим, что такое число n = abcd существует. Как и ранее, заметим, что среди этих цифр не может быть нулей. Имеем = 50(a + b + c + d). Правая часть этого равенства делится на, поэтому среди цифр найдутся две цифры 5. Без ограничения общности будем считать, что c = d = Тогда ab = 2(a + b + 10). Так как правая часть последнего равенства чётна, a или b чётны. Без ограничения общности будем считать, что b чётно. Если b = 2, то a = a + 12, что невозможно. Если b = 4, то 2a = a + 14; a = 14, что невозможно. Если b = 6, то 3a = a + 16; 2a = 16; a = 8. Число n = 8655 и все числа, получаемые из него перестановкой цифр, удовлетворяют условию задачи. Если b = 8, то 4a = a + 18; 3a = 18; a = 6. Этот вариант также получается из предыдущего перестановкой цифр. Ответ. а) Например, 2529; б) нет в) число 8655 и все числа, получаемые из него перестановкой цифр (всего 12 чисел). Содержание критерия Баллы Верно построен пример в паи обоснованно получены верные ответы в п. б и п. в 4 Обоснованно получены ответ в п. в и один из следующих результатов пример в па обоснованное решение п. б 3 Верно построен пример в паи обоснованно получен ответ в п. б. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в п. в 2 Верно построен пример в п. а. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в п. б 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 4 Пример Три вещественных числа назовём замечательной тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника. Три вещественных числа назовём прекрасной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника § . Как решать задачу : задачи ЕГЭ прошлых лета) Даны 5 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них не найдётся ни одной замечательной тройки? б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три прекрасные тройки? в) Даны 10 различных чисел (необязательно натуральных. Какое максимальное количество прекрасных троек может оказаться среди них? Решение. а) Если числа равны 1, 2, 4, 8 и 16, то никакие три из них не образуют замечательную тройку. б) Если одно из чисел является длиной гипотенузы для двух треугольников, то какое-то из оставшихся трёх чисел является длиной катета для этих двух треугольников, а тогда треугольники окажутся равными по гипотенузе и катету. Значит, каждое число может быть длиной гипотенузы не более чем одного треугольника. При этом два самых маленьких числа не могут являться длиной гипотенузы треугольника. Значит, среди четырёх чисел можно найти не более двух прекрасных троек. в) Упорядочим числа по возрастанию. Самое большое из них может быть длиной гипотенузы не более чем в четырёх треугольниках (в противном случае одно из оставшихся 9 чисел будет длиной катета в двух треугольниках сданной гипотенузой, а тогда эти треугольники будут равны по гипотенузе и катету. Аналогично второе повели- чине число может быть длиной гипотенузы не более чем в четырёх треугольниках, третье и четвёртое — в трёх, пятое и шестое — в двух, седьмое и восьмое — водном. Итого, прекрасных троек может получиться не более Двадцать прекрасных троек найдётся, например, для следующего набора чисел 1, p 2, p 3, Ответа) Да б) нет в) Содержание критерия Баллы Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты 4 Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов 3 Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов 2 Верно получен один из следующих результатов обоснованное решение па обоснованное решение п. б искомая оценка в п. в пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл § . Как решать задачу : задачи ЕГЭ прошлых лет Пример . Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят натри непустые группы. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу). а) Могут ли получиться одинаковыми два из этих трёх значений средних арифметических в группах из разного количества чисел? б) Могут ли получиться одинаковыми все три значения средних арифметических? в) Найдите минимальное возможное значение максимального из получаемых средних арифметических. Решение. а) Например, для групп {1, 4, 7} и {2, 6} средние значения совпадают и равны б) Предположим, что это возможно. Пусть все 3 средних значения равны c. В каждой группе от 1 до 8 натуральных чисел, поэтому соответствующее среднее представимо в виде c = a b , где a — натуральное число и b ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. С другой стороны, пусть группы состоят из n, m и k чисел. Тогда суммы чисел в группах равны nc, и kc соответственно, а общая сумма всех 10 чисел равна 61 и равна + m + k)c = 10c. Поэтому 10c = 61; c = 61 10 . Это противоречит тому, что знаменатель числа c не превосходит в) Пусть группы состоят из n, m и k чисел, а соответствующие средние значения равны c 1 , и c 3 . Если c 1 < 6,1, c 2 < 6,1, c 3 < 6,1, то (n + m + k) · 6,1 = что противоречит условию. Значит, хотя бы одно из чисел c 1 , c 2 , не меньше 6,1. Поэтому максимальное из этих чисел не меньше При этом каждое из этих чисел имеет вид c = a b , где a — натуральное число и b ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, поэтому максимальное из этих чисел не меньше 6 Покажем, что максимальное из этих чисел не может равняться 6 Пусть c 1 = 6 1 8 . Тогда первая группа состоит из 8 чисел, сумма которых равна 6 1 8 · 8 = 49 = 61 − 12. Значит, каждая из других двух групп состоит из одного числа, причём сумма этих двух чисел равна 12. Но тогда одно из этих чисел больше 6, те. как минимум 7, поэтому максимальное среднее больше 6 Таким образом, получаем, что максимальное из чисел c 1 , c 2 , не меньше 6 1 7 § . Как решать задачу : задачи ЕГЭ прошлых лет Покажем, что максимальное из чисел c 1 , c 2 , может равняться 1 7 . В самом деле, например, для разбиения на группы {6}, {4, 8}, {1, 2, 3, 5, 7, 9, 16} получаем c 1 = c 2 = 6, c 3 = 6 Ответа) Да б) нет в) 6 Содержание критерия Баллы Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты 4 Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов 3 Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов 2 Верно получен один из следующих результатов обоснованное решение па обоснованное решение п. б искомая оценка в п. в пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 4 Пример . Бухгалтеру требуется выдать премии сотрудникам на общую сумму 600 000 рублей (размер премии каждого сотрудника натуральное число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, ион должен их выдать без сдачи и размена, имея 100 купюр по 1000 рублей и 100 купюр по 5000 рублей. а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну? б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 40 000 рублей, а остальное поделить поровну на 70 сотрудников в) При каком наибольшем количестве сотрудников задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий (не исключено, что кому-то премии вообще не выписали)? Решение. а) Каждый сотрудник должен получить 600 000 : 40 = = 15 000 рублей. Выдадим 33 сотрудникам по 3 пятитысячных купюры, одному — пятитысячную и 10 тысячных, шестерым — поты- сячных. б) Каждый сотрудник, кроме ведущего специалиста, должен получить рублей, поэтому нужно будет выдать каждому не менее трёх тысячных купюр, значит, всего тысячных купюр нужно не менее штук. Следовательно, без сдачи и размена выдать премии не удастся § . Как решать задачу : задачи ЕГЭ прошлых лет в) Если сотрудников 27 или больше, то распределим премии так человек должны получить по 4 тысячи, один — всё остальное, остальные — ничего. Тогда выдать премии будет нельзя по тем же причинам, что ив пункте б). Если же их не больше 26, то всем, кроме одного, будем выдавать их премии, используя не более 4 тысячных купюр (очевидно, это возможно достаточно поделить размер премии нас остатком, пока не кончатся пятитысячные купюры. Если пятитысячные купюры закончились, то оставшиеся премии выдать точно удастся. Если же нетто все премии, кроме одной, будут выданы (поскольку их получат не более 25 человек, значит, израсходуется не более 100 купюр по 1000 рублей, а последний просто заберёт все оставшиеся деньги. Ответ. а) Да б) нет в) Содержание критерия Баллы Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты 4 Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов 3 Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов 2 Верно получен один из следующих результатов обоснованное решение па обоснованное решение п. б искомая оценка в п. в пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл Ответы, указания, решения . Делимость и её свойства. Признаки делимости Диагностическая работа . 1, 4 или 7. . Да. . 3. . Нет. Свойства делимости Подготовительные задачи. Нет (например, 12). . Нет. . Да. . Нет (например, a = 2). . Указание. Выделите из искомого выражения слагаемые, которые заведомо делятся на 3. . 1. . 1. . 1; 3. . 1. . Указание. Рассмотрите по отдельности делимость на 2, на и на 5. . Например, 1; 2; 3; 6; 12. Указание. Попробуйте придумать два таких числа, затем к ним подберите третье и т. д. Основные задачи. Указание. Умножьте числитель дробина, знаменательна и вычтите одно из другого. Указание. Разложите выражение на множители и рассмотрите по отдельности делимость на 3 и на 8. . Указание. Рассмотрите два случая чётности n, в случае нечёт- ного рассмотрите делимость на среднее число данной последовательности, а в случае чётного — делимость на сумму двух чисел, стоящих в середине последовательности. 133. . 251. .. Признаки делимости Подготовительные задачи. а) 99 832 476 252; б) 99 832 476 252; 2012; в) 79 г) 99 832 476 252; д) нет таких чисел е) нет таких чисел ж) 79 255. . Указание. Рассмотрите варианты чётности данных чисел. Указание. Рассмотрите варианты чётности данных чисел. Решение. Так как итоговое произведение нечётно, все сомножители тоже нечётны. Значит, и сумма, и произведение исходных чисел нечётны, чего быть не может. 4. Указание. Вычислите сумму цифр в этом числе Ответы, указания, решения. 1155; 4155; 7155; 3150; 6150; 9150. Указание. Рассмотрите сначала делимость на 5, а затем — на 3. . 4104. Указание. Рассмотрите сначала делимость на 8, а затем на 9. . Указание. Посчитайте сумму всех сумм цифр данных чисел, для этого посчитайте количество всех составленных чисел. 9 876 543 120. Указание. Делимость наследует из делимости суммы цифр на 9, а чтобы была делимость на 4, число из двух наименьших цифр, удовлетворяющее этому условию, ставится вконец искомого числа. Нет. Указание. Сумма цифр нач тных местах не может быть равна сумме цифр на нечётных местах (так как сумма всех цифр нечётна). Но отличаться на 11 и больше они тоже не могут (рассмотрите наименьшую и наибольшую возможные суммы. Указание. Левая часть не делится на 11, а правая делится. Основные задачи. 523 152; 523 656. Указание. Искомое число должно делиться на 504. . Нет. Указание. Рассмотрите чётность суммы чисел в каждой группе и чётность суммы всех чисел от 1 до 21. . Нет. Указание. Использовано 10 букв, значит, одна из них обозначает цифру 0. Раз произведения равны, то эта буква повторяется в обоих словах. Значит, это Л, Мили О. Ли М быть не могут, так как с них начинаются числа. Значит, О равно нулю, а тогда число МИХАЙЛО чётно. . 8910. Указание. Это число должно делиться на 990, а такие числа можно перебрать. 9. Указание. По признаку равноостаточности (задача подготовительных задач параграфа ) разность этих чисел делится назначит, меньше 9 единиц быть не может. Для 9 единиц годится такой примера) Да б) дав) нет. Указание. В первых двух пунктах нетрудно подобрать сумму цифр нач тных и на нечётных местах так, чтобы они отличались на 11 в паи на 22 в п. б. Останется подобрать числа, например, так аи б) 305 162 847 (всевозможные перестановки цифр, стоящих на местах одной чётности, дадут гораздо больше, чем 11 вариантов. В п. в) сумма всех цифр нечётна, значит, разность между суммами цифр нач тных и на нечётных местах должна быть равна 11, что невозможно. 987 652 413. Указание. Найдите, чему могут быть равны суммы цифр нач тных и нечётных местах, после чего включите в сумму на Ответы, указания, решения нечётных местах самые большие нечётные цифры 9; 7; 5, а в сумму нач тных — самые большие чётные: 8; 6. . 45; 54. Указание. 2430 делится на 5 и на 81. Значит, исходное число делится на 9 и имеет в своей записи цифру 5. . Нет. Указание. Если сложить десять нечётных чисел, то сумма будет чётной. . Указание. Исходное число чётное, значит, его квадрат должен делиться на 4. . 2. Указание. Сумма всех чисел равна 37 · 19, а она должна делиться на последнее число, значит, последнее число равно 19, а тогда третье может быть равно только 2. |