ЕГЭ-2019. Математика. Задача 19 (проф. ур.)_Вольфсон_2019 -102с.. Ежедневно, 10. 0020. 00, кроме воскресеньяабрис рф Москва 8 (495) 2296759СанктПетербург 8 (812) 3270450

• Название: Ежедневно, 10. 0020. 00, кроме воскресеньяабрис рф Москва 8 (495) 2296759СанктПетербург 8 (812) 3270450
• Дата: 27.04.2022
• Размер: 0.66 Mb.
• Имя файла: ЕГЭ-2019. Математика. Задача 19 (проф. ур.)_Вольфсон_2019 -102с..pdf
• Тип: Задача; #500872
• страница: 1 из 9

119002, Москва, Большой Власьевский пер, 11. м. Смоленская, «Кропоткинская»)
Ежедневно, 10.00–20.00, кроме воскресенья
абрис.рф • Москва 8 [phone]
Санкт-Петербург: 8 [phone]
e-mail: Оптовые заказы Розничные заказы:
Интернет-магазин UMLIT.RU
www.umlit.ru
e-mail: [e-mail]
8 (495) ОПТОВЫЕ И РОЗНИЧНЫЕ ЗАКАЗЫ В МОСКВЕ И РЕГИОНАХ – В МАГАЗИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КНИГА»
в здании Московского центра непрерывного
математического образования (МЦНМО)
biblio.mccme.ru • e-mail: [e-mail]
ИНТЕРНЕТ-МАГАЗИН biblio.mccme.ru
8 [phone] • 8 (495) АРИФМЕТИКА И АЛГЕБРА
МАТЕМАТИКА
Г. И. Вольфсон
М. Я. Пратусевич
С. Е. Рукшин
К. М. Столбов
И. В. Ященко
ЕГЭ
2019
ОПТОВЫЕ И РОЗНИЧНЫЕ ЗАКАЗЫ В РЕГИОНАХ – КНИГОТОРГОВАЯ КОМПАНИЯ АБРИС
Профильный
19
МА
ТЕМА
ТИК
А
ЕГЭ
Под редакцией ИВ. Ященко

ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ
Г. И. Вольфсон, М. Я. Пратусевич, СЕ. Рукшин,
К. М. Столбов, ИВ. Ященко
ЕГЭ . Математика
Арифметика и алгебра
Задача  (профильный уровень)
Под редакцией ИВ. Ященко
Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС)
Москва
Издательство МЦНМО


УДК :
ББК .я
В
Авторы:
Г. И. Вольфсон, М. Я. Пратусевич, СЕ. Рукшин,
К. М. Столбов, ИВ. Ященко
В
Вольфсон Г. И. и др.
ЕГЭ . Математика. Арифметика и алгебра. Задача профильный уровень) / Под ред. ИВ. Ященко. — М МЦНМО,
. —  с Пособия по математике серии «ЕГЭ . Математика ориентированы на подготовку учащихся старшей школы к успешной сдаче Единого государственного экзамена по математике. В данном учебном пособии представлен материал для подготовки к решению задачи Пособие предназначено для учащихся старшей школы, учителей математики, родителей.
Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС).
ББК .я
Приказом №  Министерства образования и науки Российской Федерации
Московский центр непрерывного математического образования включён в перечень организаций, осуществляющих издание учебных пособий, допущенных
к использованию в образовательном процессе ----
© Вольфсон Г. И, Пратусевич М. Я.,
Рукшин СЕ, Столбов К. М.,
Ященко ИВ МЦНМО, .

Предисловие
Одной из целей математического образования, нашедшей отражение в федеральном компоненте государственного стандарта по математике, является интеллектуальное развитие учащихся. Эта цель выходит на одно из ведущих мест при углублённом изучении математики.
Поскольку одним из основных отличий задачи  (в зависимости от состава задач на экзамене по математике в разные годы эта задача имела разные номера) от остальных задач ЕГЭ является её явно выраженный нестандартный характера сведения, необходимые для решения этой задачи, могут относиться к самым различным разделам школьного курса, построение решения может потребовать нетривиальных идей и методов, постольку смыслом включения задачи в состав контрольно-измерительных материалов ЕГЭ является именно диагностика уровня интеллектуального развития учащихся.
Целью данной книги является не столько подготовить к решению задачи , сколько помочь учителю систематически заниматься интеллектуальным развитием учащихся на материале содержания задачи Авторы сборника старались дать обзор тех тем, которым в школе традиционно уделяется меньше внимания, и показать некоторые специфические методы решения задач. В сборник включены и более трудные задачи, примыкающие к так называемой олимпиадной тематике. Эти задачи отмечены звёздочкой.
Материалы книги могут служить подспорьем в проведении элективных курсов, кружков и факультативов.
В заключение отметим, что, безусловно, перечень возможных сюжетов и тем задачи  не исчерпывается приведёнными в данной книге.
Авторы будут благодарны за конструктивную критику и замечания по содержанию этой книги, которые можно присылать по адресу [e-mail]

Диагностическая работа
1.
На какие числа может быть сокращена дробь + 6 3n + 10
, где n натуральное число?
2.
Дано натуральное число n. Его умножили на число m, полученное из n перестановкой цифр. Могло ли при этом получиться число
27812754?
3.
Докажите, что число 21 2012
+
439 делится на Докажите, что если к произвольному трёхзначному числу приписать справа его же, то полученное шестизначное число будет делиться на 13.
5.
НОК двух натуральных чисел враз больше, чем их НОД. Во сколько раз сумма этих чисел больше, чем их НОД?
6.
Найдите все четырёхзначные чётные числа, у которых ровно 22
делителя.
7.
Решите уравнение в целых числах x
2
+
10xy
− Даны две группы натуральных чисел. Впервой группе три числа, и их среднее арифметическое равно 8, а во второй — два числа,
и их среднее арифметическое равно 13. Может ли произведение всех пяти данных чисел быть равным 100 Решите уравнение в целых числах Какое наибольшее количество членов может быть в арифметической прогрессии, все члены которой — натуральные числа, если известно, что каждый следующий член этой прогрессии не менее чем в полтора раза больше предыдущего

Решения задач диагностической работы
Как обычно, a ... b означает, что a делится на Пусть эта дробь сократима на целое число d, большее 1. Тогда + 6) ..
d и (3n + 10) ..
d подробнее о свойствах делимости см. § Поэтому по свойствам делимости 2(3n + 10) − 3(2n + 6) ..
d, те Следовательно, d может быть равно только 2. Осталось подобрать хотя бы одно значение n, при котором дробь сократима на 2. Для этого достаточно выбрать любое чётное значение Ответ. 2 (прич тных Заметим, что 27812754 делится на 27, ноне делится на 81. Раз- берём два случая) Число n делится на 9. Значит, сумма цифр числа n делится на Тогда и m делится на 9, так как сумма цифр числа m совпадает с суммой цифр числа n: эти числа отличаются лишь перестановкой цифра сами цифры одни и те же. В этом случае произведение mn должно делиться на 81, а оно на 81 не делится) Число n не делится на 9. Значит, сумма цифр числа n не делится на 9. Тогда и m не делится на 9, так как сумма цифр числа m совпадает с суммой цифр числа n. В этом случае произведение mn делится не более чем на вторую степень тройки, а оно должно делиться на В каждом из случаев пришли к противоречию, значит, число получиться не могло.
Ответ. Нет.
3.
Решение 1. 1) Рассмотрим первое слагаемое 21 2012
=
441 1006
. Так как 441 = 440 + 1, то 441 1006
=
(440 + 1)
1006
=
440
· k + 1.
2) Рассмотрим второе слагаемое 439 2011
=
(440
−1)
2011
=
440
·n−1.
3) Из п. ,  получаем 21 2012
+
439 2011
=
440
· k + 1 + 440 · n − 1 =
=
440
· (n − k), те. это выражение делится на 440, что и требовалось доказать.
Решение 2. 1) Рассмотрим первое слагаемое 21 2012
=
441 1006
. Так как 441 ≡ 1 (mod 440), то 441 2012
≡ 1 2012
≡ 1 (mod 440). Как обычно b (mod p) означает «a и b имеют равные остатки при делении на, или, что тоже самое, a
− b ..
p.
2) Рассмотрим второе слагаемое. Так как 439
≡ −1 (mod 440), то 2011
≡ (−1)
2011
≡ −1 (mod 440).
3) Из п. ,  получаем 21 2012
+
439 2011
≡ 1 − 1 ≡ 0 (mod 440), что и требовалось доказать.
4.
Пусть данное трёхзначное число имеет вид abc. Тогда после приписывания получится число abcabc. Это число можно представить

Решения задач диагностической работы в виде 1000abc + abc = 1001abc. Значит, это шестизначное число делится на 1001, атак как 1001 делится на 13, то и шестизначное число делится на 13, что и требовалось доказать.
5.
Обозначим данные в условии задачи натуральные числа через, y, а их НОД — через d. Тогда исходные числа можно представить в виде kd и nd, где НОД(k, n) = 1. В этом случае
НОК(x, y) =
xy
НОД(x, y)
=
nd
· Из условия следует, что НОК(x, y) = 7 · НОД(x, y), из чего с учётом введённых обозначений следует, что knd = 7d, kn = 7. Произведение двух натуральных чисел может быть равно 7 в томи только в том случае, если это числа 1 и 7, а значит, исходные числа равны d и Тогда их сумма равна 8d, те. она враз больше, чем их НОД.
Ответ. По формуле количества делителей числа (см. с. ) можно представить в виде произведения скобок вида (k
i
+
1), где k
i
— натуральный показатель степени простого делителя, входящего в каноническое разложение исходного числа. Таких скобок может быть либо одна (само число 22), либо две (числа в них будут равны 2 и а в виде произведения трёх и более натуральных чисел, больших число 22 представить невозможно. Разберём эти два случая) Пусть есть всего одна скобка. Значит, k
1
+
1 = 22, и тогда искомое число имеет вид p
21
, где p — простое число. Искомое число по условию чётно, следовательно, p = 2, нов числе 2 больше 4 цифр.
Следовательно, в этом случае решений нет) Пусть произведение состоит из двух скобок, равных 2 и 11. Тогда в разложении искомого числа присутствуют ровно два простых числа, степени которых равны 1 и 10. Известно, что одним из простых сомножителей должно быть число 2, значит, искомое число имеет вид или 2 10
· p, где p — простое число, неравное. Первый случай не подходит, так как даже при наименьшем возможном значении равном 3, число 2 · 3 не является четырёхзначным. Во втором случае нужно отобрать все такие простые числа p, неравные, что 1024p —
четырёхзначное число. Последовательно убеждаемся, что числа 3, и 7 подходят, а 11 — уже нет.
Следовательно, искомые числа — 2 10
· 3, 2 10
· 5 и 2 10
· 7, те и Ответ. 3072, 5120 и Рассмотрим уравнение x
2
+
10xy
− 5
y
=
3 и разберём три случая для переменной y.

Решения задач диагностической работы) Если число y отрицательно, то 5
y
— нецелое число. Все остальные слагаемые в левой части целые, а значит, сумма целой быть не может. Поэтому в этом случае решений нет) Если y = 0, то x
2
=
4, x =
±2.
3) Если число y положительно, то, перенося из левой части второе и третье слагаемые вправо, получаем x
2
=
5
y
− 10xy + Заметим, что оканчивается на 5, 10xy — на 0, а значит, сумма в правой части равенства оканчивается на 8. Но тогда и должен оканчиваться на 8, а квадраты натуральных чисел на 8 не оканчиваются. Следовательно, в этом случае решений нет.
Ответ. (
−2; 0), (2; Обозначим числа первой группы через a
1
,
a
2
,
a
3
, а числа второй группы — через a
4
,
a
5
. По условию 3
=
8, а значит, a
1
+
a
2
+
+
a
3
=
24. Аналогично 2
=
13, a
4
+
a
5
=
26. По неравенству о средних те Если же a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
=
100000, тов неравенстве о средних достигается равенство, что возможно только в том случае, когда a
1
=
a
2
=
=
a
3
=
a
4
=
a
5
. Но тогда средние арифметические первого и второго наборов должны совпадать, что не соответствует условию задачи.
Значит, произведение данных чисел не может быть равным Ответ. Нет.
9.
Заметим, что n = 2 — решение данного уравнения. При увеличении переменной на 1 правая часть уравнения увеличивается в 13 раза левая — менее чем в 12, так как 5
n+1
+
12
n+1
< 12(5
n
+
12
n
). Следовательно, при n > 2 решений нет.
Аналогично, если уменьшить значение переменной на 1, то правая часть уменьшится враз, а левая — менее чем враз. Следовательно, и при n < 2 решений нет.
Ответ. Докажем от противного, что в искомой прогрессии не более членов. Пусть искомая прогрессия состоит хотя бы из четырёх членов и имеет вида её разность равна d. Тогда a
2
=
a
1
+
d, a
3
=
=
a
1
+
2d, a
4
=
a
1
+
3d. Из условия следует, что, или a
1
+
3d ¾ 1,5a
1
+
3d, 0 ¾ 0,5a
1
— что противоречит тому, что натуральное число

Решения задач диагностической работы
Следовательно, в прогрессии не более трёх членов.
Осталось привести пример прогрессии, состоящей из трёх членов и удовлетворяющей условию задачи. Таким примером может служить прогрессия {1; 2; Ответ. .

§ . Делимость и её свойства.
Признаки делимости
Диагностическая работа Число 134∗ кратно 3. Какую цифру можно поставить вместо звёздочки? (Перечислите всевозможные варианты.)
2.
Делится ли число 314567891 на Какую цифру нужно поставить вместо звёздочки, чтобы число было кратно 8? (Перечислите всевозможные варианты.)
4.
В буфете купили несколько пирожных по 35 рублей и 14 порций кофе (каждая порция кофе стоит целое число рублей. Могли весь купленный товар стоить 501 рубль?
5.
Сумма и произведение двух натуральных чисел кратны 136. Докажите, что квадрат каждого из них кратен Краткая теоретическая справка
В этом параграфе все числа целые, если не оговаривается про- тивное.
Определение. Число a делится на число b
6= 0, если существует такое число c, что a = bc. В этом случае говорят, что b является делителем числа Обозначение a ... Свойства делимости. Если a делится на b, то для любого числа k число ka делится на b.
. Если a делится на c и b делится на c, то сумма, разность и произведение чисел a и b делятся на c.
. Если a делится на b и b делится на c, то a делится на c.
. Если a делится на c и b делится на d, то ab делится на Признаки делимости для десятичной записи числа
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра чётна.
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Более того, сумма цифр числа даёт такой же остаток отделения на 3, как и само число.
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4.


§ . Делимость и её свойства. Признаки делимости
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0 или Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Более того, сумма цифр числа даёт такой же остаток отделения на 9, как и само число.
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность суммы цифр, стоящих на нечётных местах, и суммы цифр, стоящих нач т- ных местах, делится на 11 (например, число 305792608 делится на так как (8 + 6 + 9 + 5 + 3) − (0 + 2 + 7 + 0) = 22 делится на Простые и взаимно простые числа
Определение. Натуральное число, отличное от 1, называется простым, если у него нет натуральных делителей, отличных от 1 и него самого. Числа, отличные от 1 и не являющиеся простыми, называются
составными.
Важно! Единица не является ни простым, ни составным числом.
Определение. Два числа, наибольший общий делитель которых равен 1, называются взаимно простыми.
Если число a делится на числа b и c, причём числа b и c взаимно просты, то число a делится на их произведение bc. Данное утверждение верно не только для двух чисел, но и для любого количества попарно взаимно простых чисел (а именно если число a делится на каждое из n чисел, причём любые два числа изданных чисел взаимно просты, то число a делится на произведение данных n чисел. Свойства делимости
Примеры решения задач
1.
Найдите все такие a ∈ N, что + 1
a
− 2
— целое число.
Решение. Если число + 1
a
− целое, то это равносильно тому, что + 1) ..
(a
− 2). Тогда и разность этих чисел тоже будет делиться нате, откуда (a+3)..
(a
−2). Но и разность этих чисел тоже должна делиться нате. Значит, a − 2 — делитель числа 5. Ноу числа 5 не так много делителей — это 1, 5, −1, −5.
Переберём все случаи) a
− 2 = 1. Тогда a = 3 и + 1
a
− 2
=
6 + 1 3
− 2
=
7
∈ Z. Значение a = подходит

§ . Делимость и её свойства. Признаки делимости) a
− 2 = −1. Тогда a = 1 и + 1
a
− 2
=
2 + 1 1
− 2
=
−3 ∈ Z. Значение a = подходит) a
− 2 = 5. Тогда a = 7 и + 1
a
− 2
=
14 + 1 7
− 2
=
3
∈ Z. Значение a = подходит) a
− 2 = −5. Тогда a = −3 — ненатуральное число. Этот случай не подходит.
Ответ.
2a + 1
a
− 2
∈ Z только при a = 1, 3, Найдите все такие a ∈ Z, что + 1
a
− 2
— натуральное число.
Решение. Рассуждаем вначале аналогично задаче . Разберём
 случая) a
− 2 = 1. При a = 3 имеем + 1
a
− 2
=
6 + 1 3
− 2
=
7
∈ N. Значит, a = подходит) a
− 2 = −1. При a = 1 имеем + 1
a
− 2
=
2 + 1 1
− 2
=
−3 /
∈ N. Значит, a = не подходит) a
− 2 = 5. При a = 7 имеем + 1
a
− 2
=
14 + 1 7
− 2
=
3
∈ N. Значит, a = подходит) a
− 2 = −5. При a = −3 имеем + 1
a
− 2
=
−6 + 1
−3 − 2
=
1
∈ N. Значит =
−3 подходит.
Ответ.
2a + 1
a
− 2
∈ N только при a = −3, 3, Найдите все такие a ∈ N, что (a
2
+
a
− 1) ..
(a
− Решение. Заметим, что число a
2
+
a
− 6 делится на a − 2, так как 6 = (a − 2)(a + Тогда если (a
2
+
a
− 1) ..
(a
− 2) и (a
2
+
a
− 6) ..
(a
− 2), то и 1) − (a
2
+
a
− 6) ..
(a
− те Как ив прошлых задачах, переберём всевозможные значения 2 — делители 5.
1) a
− 2 = 1. Тогда a = 3 и a
2
+
a
− 1 = 9 + 3 − 1 = 11, аи мы получаем 11 ..
1, значит, a = 3 нам подходит) a
− 2 = −1. Тогда a = 1 и a
2
+
a
− 1 = 1 + 1 − 1 = 1, аи мы получаем 1 ..
(
−1), значит, a = 1 нам подходит) a
− 2 = 5. Тогда a = 7 и a
2
+
a
− 1 = 49 + 7 − 1 = 55, аи мы получаем 55 ..
5, значит, a = 7 подходит) a
− 2 = −5. Тогда a = −3 и a
2
+
a
− 1 = (−3)
2
+
(
−3) − 1 = 5 делится нате подходит.
Ответ. a =
−3, 1, 3, 7.


§ . Делимость и её свойства. Признаки делимости
4.
Докажите, что произведение любых трёх последовательных чисел делится на Решение. Давайте заметим, что из трёх последовательных чисел хотя бы одно с гарантией будет чётным (так как чётные и нечётные числа чередуются и трёх подряд нечётных чисел не бывает. Также давайте заметим, что одно из трёх последовательных чисел делится на 3 (так как числа, делящиеся на 3, идут через два и они просто не могут проскочить наши три подряд идущих числа. Значит, в произведении любых трёх последовательных чисел есть число, кратное трём, и число, кратное 2, поэтому произведение делится на Натуральные числа m и n таковы, что и m
3
+
n, и m
3
+
m делятся на m
2
+
n
2
. Найдите m и Решение. Заметим, что если (m
3
+
m)..
(m
2
+
n
2
) и (тот. е. (n − m) ..
(m
2
+
n
2
). Будем считать, что n ¾ m иначе будем рассматривать дальше m − n вместо n − m). Отсюда либо n − m ¾ чего, очевидно, не бывает, либо n − m = 0, значит, m = n. Тогда можно считать, что нам дано следующее (m
3
+
m)..
2m
2
. Заметим, что значит, и m должно делиться на m
2
, а такое бывает только при m = Ответ. m = n = Подготовительные задачи
1.
Верно ли, что если число делится на 4 и на 6, то оно делится на Число a делится на . Может ли число 2a не делиться на Число a чётно. Верно ли, что 3a делится на Число 15a делится на 6. Верно ли, что a делится на Число n + 1 делится на 3. Докажите, что 4 + 7n также делится на Найдите все такие a ∈ N, что (a
2
+
1) Найдите все такие a ∈ N, что (a + 1) Найдите все такие a ∈ N, что (a
2
+
2a
− 3) Найдите все такие a ∈ N, что (a
2
+
3) ..
(a
2
− Докажите, что произведение любых пяти последовательных чисел делится на Придумайте 5 различных натуральных чисел, сумма которых делится на каждое из них.
Основные задачи
1.
Докажите, что дробь + 7 10n + 12
несократима ни при каких натуральных. Делимость и её свойства. Признаки делимости

2.
Докажите, что число n
3
− n делится на 24 при любом нечётном Докажите, что сумма n последовательных натуральных чисел является составным числом (те. имеет хотя бы один делитель, отличный от единицы и самого числа) при любом натуральном n > Произведение двух чисел, каждое из которых не делится нацело на 10, равно 1000. Найдите сумму этих чисел.
5.
Число умножили на сумму его цифр и получили 2008. Найдите исходное число. Признаки делимости
Примеры решения задач
1.
На доске написано 72∗3∗. Замените звёздочки цифрами так,
чтобы полученное число делилось на Решение. Пусть на доске написано такое число 72x3 y, где x и y некие цифры. Тогда если это число делится на 45, то оно делится на и на 9.
1) Делимость на По признаку делимости на 9 сумма цифр числа должна делиться на 9: (7 + 2 + x + 3 + y) ..
9, (12 + x + y) ..
9.
2) Делимость на Последняя цифра нашего числа должна быть либо 0, либо 5, т. е.
либо y = 5, либо y = Пусть y = 0. Тогда (12 + x + 0) ..
9, те, значит, x = Пусть y = 5. Тогда (12 + x + 5) ..
9, те, значит, x = Ответ. 72 135, 72 Два числа отличаются перестановкой цифр. Может ли их разность быть равной Решение. У обоих исходных чисел совпадают остатки отделения на 9 (они совпадают с остатками сумм цифр этих чисел, а цифры этих чисел по условию одинаковы. Тогда разность этих чисел должна быть кратна 9, а число 20072008 не делится на Докажите, что для любого натурального n число 10
n
− 1 делится на Решение. Число 10
n
− 1 записывается как 9…9 (n девяток. Поэтому оно кратно Докажите, что число 11…1 (всего 2n единиц, n > 1) составное
(т. е. имеет хотя бы один делитель, отличный от единицы и самого числа


§ . Делимость и её свойства. Признаки делимости
Решение. Это число делится на число, составленное из n единиц.
Результатом деления является число вида 10…01 (количество нулей равно n − Вряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки «+» итак, чтобы значение полученного выражения было равно нулю?
Решение. Так как среди чисел от 1 до 10 имеется 5 нечётных, то сумма этих чисел, взятых с любыми знаками, окажется нечётной, т. е.
не сможет быть равной Ответ. Нет.
6.
Чтобы открыть сейф, нужно ввести код — семизначное число из двоек и троек. Известно, что в кодовом числе двоек больше, чем троек. Кроме того, известно, что кодовое число делится на 3 и на Найдите код сейфа.
Решение. Давайте заметим, что раз число делится на 4, то число,
образованное двумя его последними цифрами, тоже делится на 4 (это просто признак делимости на 4). Посмотрим, каким может быть это число) 22 не делится на 4;
2) 23 не делится на 4;
3) 32 делится на 4;
4) 33 не делится на Значит, наш код заканчивается на 32. Теперь заметим, что вся сумма цифр должна делиться на 3, так как число делится на 3. Переберём всевозможные варианты кода) 7 двоек не может быть, так как последние цифры .
2) 6 двоек. Сумма цифр 12 + 3 = 15 делится назначит, код делится на 3. Положение цифры  известно, она предпоследняя. Код имеет вид 2222232.
3) 5 двоек. Сумма цифр 10 + 6 = 16, что не делится на 3, значит,
код не делится на 3.
4) 4 двойки. Сумма цифр 8 + 9 = 17, что не делится на 3, значит,
код не делится на 3.
5) Меньше 4 двоек быть не может, так как двоек больше, чем троек.
Ответ. Докажите, что число, состоящее из 100 нулей, 100 единиц и двоек, не может быть квадратом натурального числа.
Решение. Посчитаем сумму цифр этого числа = 100
· 1 + 100 · 0 + 100 · 2 = Заметим, что S делится на 3, ноне делится на 9. Но, как известно,
если a
2
p, где p — простое число, то a
2
p
2
. Значит, S не может быть квадратом, так как оно делится на 3 и не делится на 3 2

§ . Делимость и её свойства. Признаки делимости

Подготовительные задачи
1.
Какие из чисел 863, 362, 99 832 476 252, 2012, 79 255 делятся:
а) наб) на 4; в) наг) над) на 8; е) на 9; ж) на Докажите, что из трёх целых чисел всегда можно найти два,
сумма которых чётна.
3.
Докажите, что если сумма двух натуральных чисел нечётна, то их произведение чётно.
4.
Разность двух натуральных чисел умножили на их произведение. Могло ли при этом получиться число 14 765 817 541 782 На доске написано 645∗7235. Замените звёздочку цифрой так,
чтобы полученное число делилось на К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре, чтобы полученное число делилось на К числу 10 припишите слева и справа по одной цифре, чтобы полученное число делилось на Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 составляются всевозможные натуральные числа, в записи которых каждая из этих цифр присутствует ровно раз. Докажите, что сумма всех таких чисел делится на Найдите наибольшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого участвуют все 10 цифр по одному разу.
10.
Можно ли из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 составить шестизначное число,
делящееся на В примерена умножение одинаковые цифры заменены одинаковыми буквами, разные — разными. Докажите, что не могла получиться запись ab · cd = eeff Основные задачи
1.
Допишите к числу 523 три цифры справа так, чтобы полученное шестизначное число делилось на 7, 8 и Можно ли числа от 1 до 21 разбить на несколько групп, в каждой из которых наибольшее число равно сумме всех остальных чисел группы?
3.
В числах МИХАЙЛО и ЛОМОНОСОВ каждая буква обозначает цифру (разным буквам соответствуют разные цифры, одинаковым одинаковые. Известно, что произведения цифру этих чисел равны.
Могут ли оба числа быть нечётными?
4.
Найдите наибольшее четырёхзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9 и 11.


§ . Делимость и её свойства. Признаки делимости
5.
В натуральном числе a переставили цифры и получили новое число b. Известно, что a − b = 11…1 (число из n единиц. Найдите наименьшее возможное значение Найдутся ли 11 натуральных чисел, делящихся на 11, в записи каждого из которых по одному разу использованы а) все цифры от доб) все цифры от 0 до 8; в) все цифры от 0 до Использовав все цифры от 1 до 9 по одному разу, составьте наибольшее девятизначное число, делящееся на Произведение натурального числа и числа, записанного теми же цифрами, нов обратном порядке, равно 2430. Чему может быть равно исходное число?
9.
Можно ли выдать 25 рублей ровно десятью монетами достоинством вили рублей?
10.
Последняя цифра квадрата натурального числа 6. Докажите,
что его предпоследняя цифра нечётна.
11.
Числа от 1 до 37 записали в строку так, что сумма любых первых нескольких чисел делится наследующее за ними число. Какое число стоит на третьем месте, если на первом месте стоит число а на втором — 1?

  1   2   3   4   5   6   7   8   9