Математическое и имитационное моделирование (текст). Экономическими моделями
![]()
|
Пример 13. Торговая фирма разработала несколько вариантов плана продаж товаров на предстоящей ярмарке с учетом меняющейся конъектуре рынка и спроса покупателей. Получающиеся от их возможных сочетаний показатели дохода представлены в следующей таблице
Определим оптимальный план продаж. ▼ Пусть А1, А2, А3, - стратегии фирмы, В1, В2, В3 – стратегии конъектуры рынка и спроса покупателей. Тогда платежная матрица игры имеет вид:
Нижняя и верхняя цена игры ![]() ![]() Обозначит через x1, x2, x3 – вероятности применения торговой фирмой стратегий А1, А2, А3, а вероятности использования стратегий конъектуры рынка и спроса покупателей В1, В2, В3 – через y1, y2, y3. Для первого игрока (торговой фирмы) математическая модель задачи имеет вид ![]() при ограничениях ![]() Решаем задачу в Excel (Поиск решения)
Оптимальное решение: t = (0,1020; 0,0561; 0,0714), Fmin=0,2296, тогда цена игры v* = 1/Fmin = 1/0,2296 = 4,355, и оптимальное решение x* = tv* = (0,1020; 0,0561; 0,0714)·4,355 = (0,444; 0,244; 0,311). Таким образом, торговая фирма на ярмарке должна придерживаться стратегии х* = (0,444; 0,244; 0,311), при этом она получит доход не менее v* = 4,355 ден. ед. Для второго игрока (конъюнктуры рынка и спроса покупателей) математическая модель задачи имеет вид: ![]() при ограничениях ![]() Решаем задачу в Excel (Поиск решения)
Оптимальное решение: s = (0,0714; 0,0561; 0,1020), Gmax=0,2296, тогда цена игры v* = 1/Gmax = 1/0,2296 = 4,355, и оптимальное решение y* = sv* = (0,0714; 0,0561; 0,1020)·4,355 = (0,314; 0,244; 0,444), при этом v* = 4,355 - расходы покупателей. ▲ Упражнение 7. Предприятием разработан ряд хозяйственных стратегий по продаже товаров А1, А2, А3 (стратегии предприятия) с учетом трех вариантов поведения покупателей В1, В2, В3 (стратегии покупателей). Платежная матрица представляет собой оценки прибыли (млн. руб).
Найти оптимальную стратегию игрока А (предприятие) и игрока В (покупатели). Ответ: Оптимальное решение для игрока А (предприятие) x* = (0,818; 0; 0,182), при этом v* = 8,182 – доход предприятия. Оптимальное решение для игрока В (покупателя) y* = (0,909; 0; 0,091), при этом v* = 8,182 – расходы покупателей ▲ Игры с природой В некоторых ситуациях лицу, принимающему решение, противостоит не разумный противник, а природа, которая действует случайно. Принятие решений в условиях полной неопределенности Пример 14. Пусть рассматривается игра с природой с четырьмя стратегиями игрока Аи тремя состояниями природы П. Матрица выигрышей задана таблицей
Если данных о вероятностях состояний среды (природы) не имеется, то лицо, принимающее решения (ЛПР), находится в условиях неопределенности. Основной метод, позволяющий найти оптимальное решение в условиях неопределенности, состоит в формулировке некоторой гипотезы о поведении среды, позволяющей дать каждому альтернативному решению числовую оценку. Рассмотрим некоторые критерии, используемые при выборе оптимальной стратегии игрока А в условиях неопределенности. 1. Критерий Бейеса – Лапласа. В качестве оптимальной выбирается та стратегия, которая дает максимум математического ожидания выигрыша, т.е. ![]() где рj– вероятность реализации состояния Пj. Поскольку в нашем примере вероятности неизвестны, то предполагается равновероятность состояний природы (критерий Лапласа). В столбце Мi таблицы указаны средние арифметические ![]() Из величин Mi максимальное значение равно 45, следовательно, оптимальной является стратегия А4. 2. Максиминный критерий Вальда (критерий пессимиста). В качестве оптимальной выбирается та стратегия, при которой минимальный выигрыш максимален, т.е. ![]() Критерий является пессимистическим, поскольку считается, что природа будет действовать наихудшим образом для человека. В столбце αi таблицы указаны ![]() 3. Критерий максимума (критерий оптимиста). В качестве оптимальной выбирается та стратегия, при которой максимальный выигрыш максимален, т.е. ![]() Критерий является оптимистическим, поскольку считается, что природа будет наиболее благоприятна для человека. В столбце ωi таблицы указаны ![]() 4. Критерий Гурвица. В качестве оптимальной выбирается та стратегия, при которой максимально линейная комбинация минимального и максимального выигрышей, т.е. ![]() где λ – показатель пессимизма. Если λ =1, критерий Гурвица превращается в пессимистический критерий Вальда, а при λ = 0 – в критерий крайнего оптимизма. Обычно показатель λ принимается в пределах от 0,5 до 0,7. Пусть λ = 0,6. В столбце γi таблицы указаны γi = 0,6 αi+ 0,4 ωi. Из величин γi максимальная равна 47, следовательно, оптимальной является стратегия А3. 5. Критерий Сэвиджа (критерий сожалеющего пессимиста). В качестве оптимальной выбирается та стратегия, при которой минимален максимальный риск, т.е. ![]() Риском называют разность между выигрышем, который можно получить, если знать действительное состояние природы, и выигрышем, который будет получен при отсутствии этой информации, т.е. ![]() Матрица риска будет иметь в нашем случае следующий вид:
В столбце δi построенной матрицы риска указаны ![]() Каждый из рассмотренных критериев не может быть признан вполне удовлетворительным для окончательного выбора решений, однако их совместный анализ позволяет более наглядно представить последствия принятия тех или иных управленческих решений. |