Федеральное агентство по образованию ассоциация кафедр физики технических вузов россии в. М. Анисимов, он. Третьякова Практический курс физики механика под редакцией проф
 Скачать 2.5 Mb.
|
|
1.3. Задачи для самостоятельного решения Материальная точка движется по закону [ мс мс мс м 2 3 = γ = β = α , где Найти расстояние точки от начала координат через две секунды после начала движениям, где Частица движется по закону ω , , B A - постоянные. Найти уравнение траектории. [ м 2 j t i t r r r r β + α = , где Закон движения точки имеет вид 3 см см. Найти угол между радиус-вектором и вектором скорости в момент времени c 1 Материальная точка движется по закону . В какой момент времени угол между радиус-вектором и вектором ускорения будет равен 60°? [ м r r + = 1.16. Две материальные точки движутся в плоскости так, что координаты первой точки [ мм, а радиус- вектор второй ( ) [ м 5 , 0 2 2 2 j t i t r r r r − + = . Чему равно расстояние между точками в момент времени 5 , 0 = t c ? Уравнение траектории материальной точки имеет вида см. Считая, что в начальный момент точка находилась вначале координат, определить в момент времени y v c 1 = t 1.18. Материальная точка движется по закону . В какой момент времени ускорение точки будет равном см. Закон движения материальной точки имеет вид [ ] м r r π β + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ мм, где . Найти величину вектора скорости точки в момент времени 1 = t c. 1.20. Материальная точка движется по закону ( ) ( ) [ м r r π β + π α = , где β α , - постоянные. Определить зависимость от времени векторов скорости и ускорения точки. 1.21. Законы движения двух материальных точек имеют вид , ( ) [ мм. В какой момент времени расстояние между точками будет минимальным Чему оно равно 1.22. Закон движения материальной точки имеет вид ( ) ( ) [ мс мс мс м, где. Найти 17 векторы скорости и ускорения и угол между ними в момент времени c 2 1 = t ( ) [ м 5 2 j t r r r − = 1.23. Материальная точка движется по закону Найти перемещение за вторую секунду движениям, где 1.24. Частица движется по закону с м 3 , м 4 , с м. Найти уравнение траектории и вектор перемещения за первые три секунды движения. 1.25. Частица движется так, что координаты зависят от времени следующим образом ( ) [ мм. Найти угол между радиус-вектором и скоростью частицы в момент времени c 1 1 = t 1.26. Материальная точка движется так, что координаты зависят от времени по законам ( ) [ мм. В момент времени определить ускорение точки и угол между векторами скорости и ускорения. c 1 Координаты частицы зависят от времени по законам , ( ) [ мм. Найти величину ее скорости и ускорения для момента времени c 1 Частица движется так, что радиус-вектор зависит от времени по закону м r r β + α = , где β α , - постоянные. Найти уравнение траектории и зависимости от времени вектора ускорения и его модуля. 1.29. Координаты частицы зависят от времени по законам ( ) [ мм, где - постоянные. Найти уравнение траектории и зависимости от времени векторов скорости и ускорения. 1.30. Материальная точка движется так, что радиус-вектор зависит от времени по закону ( ) ( ) [ м cos cos 0 j t B i t A r r r r ϕ + ω + ω = , где - постоянные. Найти уравнение траектории. ω ϕ , , , 0 B A 1.31. Частица движется так, что радиус-вектор зависит от времени по закону ( ) [ м sin j t A i t A r r r r ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ω ω ω , A , где - постоянные. Найти уравнение траектории и зависимость от времени величины скорости. 1.32. Материальная точка начала движение изначала координат и движется так, что ее скорость зависит от времени по закону ( ) [ см. Одновременно вторая точка начала движение и движется так, что радиус-вектор зависит от времени по закону , где [ м 3 2 j t i t r r r r θ + δ = ϕ θ δ γ β α , , , , - постоянные. Найти угол между ускорениями точек через промежуток времени τ после начала движения. 18 1.33. С летящего горизонтально на высоте со скоростью вертолета сброшен груз. На какой высоте скорость груза направлена под углом к горизонту Определить радиус кривизны траектории в этой точке. Сопротивлением воздуха пренебречь. Камень брошен горизонтально. Через после броска скорость камня оказалась направлена под углом τ α к горизонту. Найти величину скорости в этот момент. Сопротивлением воздуха пренебречь. Тело брошено с высоты со скоростью под углом к горизонту. Найти, на каком расстоянии по горизонтали от места броска упадет тело и чему будет равен радиус кривизны траектории в точке падения. Сопротивлением воздуха пренебречь. 1.36. Тело брошено с поверхности земли со скоростью под углом 0 v α к горизонту. Найти нормальное и тангенциальное ускорения через t Δ после броска. Сопротивлением воздуха пренебречь. 1.37. Тело брошено с поверхности земли со скоростью под углом 0 v α к горизонту. Найти радиус кривизны в высшей точке траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь. 1.38. Под каким углом к горизонту и с какой скоростью нужно бросить тело с поверхности земли, чтобы радиус кривизны траектории в высшей точке R = 10 м оказался равен максимальной высоте подъема тела над поверхностью земли Сопротивлением воздуха пренебречь. [ м r r β + α = 1.39. Материальная точка движется по закону , где с м 02 , 0 , с м 2 = β = α . Чему будет равен радиус кривизны траектории в момент времени c 2 С какой наименьшей скоростью и под каким углом к горизонту нужно бросить камень, чтобы выбросить его из колодца глубиной радиуса R h , находясь на дне колодца около его стены Сопротивлением воздуха пренебречь. Автомобиль прошел путь = 100 км. В течение первого часа он двигался со скоростью v = 80 км/ч , затем остановился на полчаса , и продолжил движение до конечного пункта со скоростью в два раза меньшей начальной. Определить среднюю путевую скорость на всем пути. Найти среднюю путевую скорость мотоциклиста, если на прохождение трех участков трассы, длины которых относятся как 3:5:7 , он затратил промежутки времени, находящиеся в отношении 5:7:9. Скорость на первом участке пути v = 100 км/ч, на последующих участках он также двигался равномерно. 19 Материальная точка совершила три последовательных перемещения вдоль оси X, величины которых относятся как 1:2:3, поворачивая в конце каждого участка на угол α = 30° к предыдущему направлению движения со скоростями v 3 = 30 мс, = 20 мс и = 10 мс соответственно. Найти среднюю путевую скорость и вектор средней скорости. 2 v 1 v ( ) [ м 1 2 i t t r r Материальная точка движется по закону Найти среднюю путевую скорость затри секунды после начала движения. Точка движется по криволинейной траектории так, что криволинейная координата меняется по закону . Найти среднюю путевую скорость в промежутке времени от дом r 1.46.Радиус-вектор частицы меняется по закону , где - постоянная, τ r α - постоянный вектор. Через какое время после начала движения частица вернется в исходную точку, и какой путь она при этом пройдет Частица начала движение изначала координат так, что ее скорость меняется по закону ( ) τ − = t v v 1 0 r r 0 vr , где - начальная скорость, см 0 = τ = v . В какие моменты времени частица будет находиться на расстоянии 0,1 мот начала координат 1.48. Камень падает с высоты = 3000 м так, что скорость меняется по закону см, где . Найти высоту, на которой ускорение камня станет равно Материальная точка движется с начальной скоростью . Ее ускорение начинает изменяться по закону см 0 = v ( ) [ см. Какой путь пойдет точка до остановки Материальная точка начинает движение по окружности радиуса R в момент времени = 0. Какой путь пройдет точка к тому моменту времени, когда угол между векторами скорости и ускорения станет равным , если скорость точки меняется по закону 0 t ° = α 45 2 kt v = k , где - положительная постоянная Точка начинает движение изначала координат со скоростью, закон изменения которой представлен в виде см см, где . Найти угол между вектором ускорения и радиус-вектором в момент времени c 1 1 = t 20 Частица движется в положительном направлении оси х так, что ее скорость меняется по закону x v α = , где α - положительная постоянная. Найти зависимость от времени скорости и ускорения частицы. Материальная точка движется прямолинейно с начальной скоростью . За какое время она остановится, и какой путь до остановки пройдет, если начнет торможение с ускорением, величина которого изменяется по закону 0 vr 0 , , > β = β β = const v a ? Воздушный шар начинает подниматься с поверхности земли с постоянной вертикальной скоростью . При этом дует горизонтальный ветер, благодаря которому шар приобретает горизонтальную компоненту скорости 0 v y v x α = , где - постоянная, у - высота подъема. Найти на какое расстояние α s по горизонтали будет снесен ветром шар к моменту времени, когда он поднимется на высоту . В условиях предыдущей задачи найти зависимость от высоты подъема величины нормального, тангенциального и полного ускорений шара. Материальная точка начинает движение изначала координат в плоскости ХОУ со скоростью j x i v r r r β + α = , где β α , - постоянные. Найти зависимость радиус-вектора точки от времени. В условиях предыдущей задачи найти уравнение траектории точки. В условиях задачи 1.56 найти радиус кривизны траектории в зависимости от х R 1.59.Частица движется по дуге окружности радиуса . Ее скорость зависит от пройденного пути s v α = s по закону , где α - постоянная. Найти угол между векторами ускорения и скорости в зависимости от Материальная точка начинает движение по плоскости в момент α = τ a = 0 с постоянным тангенциальным ускорением и нормальным ускорением, изменяющимся по закону . Найти зависимость величины полного ускорения точки от пройденного пути Колесо вращается вокруг неподвижной оси так, что угол поворота зависит от времени по закону , где 2 t β = ϕ c рад 2 , 0 = β Найти полное ускорение точки на ободе колеса в момент времени c 5 , 2 = t , если скорость этой точки в этот момент равна м м 1 , 0 = R 1.62.Колесо радиуса вращается вокруг неподвижной оси так, что его угол поворота меняется по закону [ рад Найти зависимость от времени угловой скорости, углового ускорения и линейной скорости точек, лежащих на ободе колесам Диск радиуса вращается вокруг закрепленной оси так, что его угол поворота меняется по закону [ рад Найти нормальное, тангенциальное и полное ускорения точек, лежащих на расстоянии c 10 = t 4 R от края диска в момент времени 1.64. Колесо вращается вокруг неподвижной оси так, что угол поворота зависит от времени по закону рад 6 3 t t − π = ϕ ] . Сколько полных оборотов сделает диск до момента изменения направления вращения ? 1.65. Материальная точка движется по окружности радиусам так, что длина дуги траектории, пройденная точкой, зависит от времени по закону , где [ мс мс м 12 , м 5 − = γ = β = α Найти скорость, нормальное, тангенциальное и полное ускорения точки в момент времени c 4 1 = t R 1.66. Частица движется по окружности радиуса так, что пройденный ею путь зависит от времени по закону , где [ мс мс м. Найти линейную и угловую скорости, полное линейное и угловое ускорения в момент времени c 2 Точка А начала двигаться вслед заточкой В по окружности радиусам со скоростью см, когда расстояние между ними по дуге было равно четверти длины окружности. Скорость точки В равна см. Через какое время расстояние между ними увеличится до трети длины окружности Чему будет равен в этот момент угол между ускорениями точек 1.68. Два диска, соединенные невесомым нерастяжимым ремнем, равномерно вращаются без скольжения ремня на дисках. Первый диск радиусам вращается с частотой n = 60 об/мин, второй – с угловой скоростью рад/с. Найти линейную скорость точек ремня и радиус второго диска Автомобиль въезжает на закругленный участок дороги радиуса км с начальной скоростью ч км 54 0 = v , и двигаясь с постоянным тангенциальным ускорением, проходит за c 30 путь м. Найти скорость и ускорение автомобиля в конце участка пути. 22 м 5 , 0 = R 1.70.Колесо радиуса начинает вращаться вокруг закрепленной оси с постоянным тангенциальным ускорением с см. Через сколько времени ускорение точки на ободе колеса составит угол ° 30 = α со скоростью Мотоцикл начинает двигаться по закруглению радиусам 800iRiм600isiч км 1 = v и, пройдя путь , приобретает скорость Определить скорость и ускорение мотоцикла в середине этого участка. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону , где рад рад рад. Найти среднее значение угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от t = 0 до остановки. 1.73. В условиях предыдущей задачи найти угловое ускорение в момент остановки тела. Вал, вращающийся вокруг закрепленной оси с частотой n = 90 об/мин, после выключения двигателя начинает вращаться равнозамедленно и останавливается через c 40 1 = t . Сколько оборотов вал сделал до остановки Маховик начинает вращаться по закону [ рад Найти линейную скорость и ускорение точки, находящейся на расстоянии мот оси вращения, в тот момент, когда её тангенциальное ускорение будет равно нормальному. Найти . 1 t 1.76. Груз приводит во вращение вал рис. 1.8) радиуса Рис и соосную с ним шестерню радиуса . Определить по какому закону будет изменяться со временем угол поворота второй шестерни радиуса , находящейся в зацеплении с первой. Движение груза начинается из состояния покоя и происходит с постоянным ускорением а 1 R 2 R 1.77.Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением рад. Через сколько времени после начала вращения вектор полного ускорения произвольной точки тела составит угол с вектором скорости Твердое тело, имеющее в начальный момент угловую скорость , начинает замедляться с угловым ускорением Найти среднюю угловую скорость тела за промежуток времени до остановки. 23 Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что угловая скорость зависит от угла поворота по закону , где - положительные постоянные. В момент времени t = 0 угол поворота . Найти зависимость от времени угла поворота. αϕ − ω = ω 0 α ω , 0 0 = ϕ 1.80. В условиях предыдущей задачи найти зависимость от времени угловой скорости. Диск начинает вращаться вокруг закрепленной оси с угловым ускорением, изменяющимся по закону , где ϕ ε = ε cos 0 0 ε - постоянная, ϕ - угол поворота изначального положения. Найти зависимость угловой скорости от угла поворотам Колесо радиуса катится без скольжения по горизонтальной дороге (рис. 1.9). Скорость центра колеса О меняется по закону см. Найти в момент времени линейные скорости и ускорения четырех точек А, В, С, D , лежащих на концах взаимно перпендикулярных диаметров. c 5 , 0 Автомобиль движется равномерно и прямолинейно по сухой дороге. Максимальная скорость точки колеса Рис ч км 200 = v . С какой скоростью движется автомобиль м 5 , 0 = R 1.84.Колесо радиуса катится без скольжения по горизонтальной дороге (рис. 1.9) со скоростью см 0 = v . Найти величину и направление ускорения точки В. В условиях предыдущей задачи найти путь , проходимый точкой В между двумя последовательными моментами ее касания поверхности. 1.86. В условиях предыдущей задачи найти радиусы кривизны траектории точек В и D 1.87. Твердое тело вращается так, что зависимость угловой скорости от времени имеет вид [ c рад r β + α = ω , где 2 c рад рад 5 , 0 = β = α Найти в момент времени c 10 величины угловой скорости и углового ускорения точки. Две материальные точки одновременно начинают двигаться по окружности радиусам так, что углы поворота изменяются со временем по законам ( ) [ рад рад 2 t t ] + − = ϕ + = ϕ . Найти величину относительной скорости точек в момент их встречи. 24 Рис Определить скорость центра С подвижного блока (рис. 1.10) радиуса R и его угловую скорость ω , если первый груз поднимается со скоростью , а второй груз опускается со скоростью . Нить при своем движении по подвижному блоку не проскальзывает. Два твердых тела вращаются вокруг неподвижных взаимно перпендикулярных осей с постоянными угловыми скоростями рад рад 2 1 = ω = ω . Найти угловое ускорение и угловую скорость одного тела относительно другого. м 75 , 0 = r 1.91.Колесо радиуса катится по окружности радиусам в горизонтальной плоскости. Центр колеса движется с постоянной скоростью Найти угловую скорость и угловое ускорение колесам. В условиях предыдущей задачи найти угол между вектором угловой скорости колеса и вертикалью. Круглый конус с углом полураствора и радиусом основаниям. катится равномерно по горизонтальной плоскости. Вершина конуса О закреплена и находится на одной высоте сточкой С – центром основания конуса (рис. 1.11). Скорость точки см. Найти модули угловой скорости и углового ускорения конуса. Найти скорости точек В и С конического катка (рис. 1.12), если скорость движения центра катка А по его траектори A ольжения по неподвижной конической поверхности К 1.95.Твердое тело и . Каток катится без ск вращается с постоянной угловой скоростью v А С В К О Ри с. 1.12 0 ω вокруг горизонтальной оси. В момент 0 = t ось начали поворач ат вокруг вертикальной оси с постоянным овым ускорением ив ь угл 2 0 c рад. Найти модули угловой скорости и углового ускорения через c 5 , 3 = t 25 Динамика точки Основные понятия и законы Как отмечалось в предисловии, описание динамики материальной точки и поступательного движения твердого тела совпадают. Законы динамики справедливы в инерциальных системах отсчета. В большинстве задач система отсчета, связанная с Землей, считается инерциальной. Любая система отсчета, движущаяся равномерно относительно Земли, также будет инерциальной. В таких системах отсчета тело приобретает ускорение только благодаря действию на него некоторых сил. Первый закон Ньютона если на тело (точку) не действуют силы, оно сохраняет состояние покоя или прямолинейного равномерного движения. Импульс материальной точки – это произведение ее массы на скорость v m p r r Второй закон Ньютона или основное уравнение динамики : скорость изменения импульса материальной точки (тела) равна векторной сумме приложенных сил F dt p d r В частном случае, если масса тела не изменяется в процессе движения, второй закон Ньютона имеет вид в векторной форме записи F a m r r В координатной форме Третий закон Ньютона два тела взаимодействуют с силами, равными по величине и противоположно направленными. 26 Примеры решения задач |