Федеральное агентство по образованию ассоциация кафедр физики технических вузов россии в. М. Анисимов, он. Третьякова Практический курс физики механика под редакцией проф

• Название: Федеральное агентство по образованию ассоциация кафедр физики технических вузов россии в. М. Анисимов, он. Третьякова Практический курс физики механика под редакцией проф
• Анкор: 1Mehanika.pdf
• Дата: 14.04.2017
• Размер: 2.5 Mb.
• Имя файла: 1Mehanika.pdf
• Тип: Документы; #4785
• страница: 4 из 10

Задача
3.1. Тело массой m = 2 кг, движущееся со скоростью
1
[
c м 3
1
k
j
i
v
]
r r
r r
−
+
=
, испытывает абсолютно неупругое соударение с другим телом массой m = 3 кг, движущимся со скоростью
2
[
c м 2
2 2
k
j
i
v
r r
r r
+
+
−
=
]
. Найти скорость получившейся составной частицы. Решение. Закон сохранения количества движения в векторной форме
(
)
v
m
m
v
m
v
m
r r
r
2 1
2 2
1 1
+
=
+
( )
[ ]
c м 2
1 2
2 1
1
k
j
m
m
v
m
v
m
v
r r
r Отсюда Задача 3.2. Ракета движется, выбрасывая струю газов с постоянной относительно ракеты скоростью
1
vr
(рис. 3.1). Секундный массовый расход истекающего газа равен
μ
, начальная масса ракеты - Какую скорость относительно земли приобретет ракета через время после старта, если начальная скорость ракеты равна нулю Действием внешних сил пренебречь. Рис Решение. В отсутствие внешних сил механическая система ракета–газ замкнута, поэтому справедлив закон сохранения импульса.
Т.к. вначале ракета покоилась и газ не истекал, суммарный импульс системы равен нулю. Обозначим и
1
p
dr
2
p
dr изменения импульса ракеты и порции газа за время
0 2
1
=
+ p
d
p
d
r r
dt . Из закона сохранения импульса Если
- скорость ракеты в некоторый момент времени t, а ее масса в этот момент, и за время dt
t
m
m
μ
−
=
0
скорость ракеты изменится на v
dr
(
)
v
d
t
m
p
d
r r
μ
−
=
0 1
, то
. Порция газа массой m двигалась вместе с ракетой со скоростью vr . Покинув ракету за промежуток времени
1
v
v
r r +
dt эта масса приобрела относительно земли скорость Следовательно, импульс порции газа, выброшенного из ракеты за время dt , изменился на
1 2
v
dt
p
d
r Подставим в закон сохранения импульса в векторной форме
2 1
,
p
d
p
d
r r
(
)
0 1
0
=
μ
+
μ
−
dt
v
v
d
t
m
r r
47

В проекции на ось координат, совпадающую с направлением движения ракеты, закон сохранения импульса примет вид
t
m
dt
v
dv
μ
−
μ
=
0 1
(
)
0 1
0
=
μ
−
μ
−
dt
v
dv
t
m
. Отсюда Интегрируя это выражение в пределах от 0 дополучим Задача 3.3. Локомотив массы начинает двигаться со станции так, что его скорость меняется по закону
m
s
b
v
=
const
b
=
, где
, а s - пройденный путь. Найти работу сил, действующих на локомотив, за первые t секунд после начала движения. Решение. Работа указанных в условии сил равна приращению кинетической энергии
1 2
K
K
K
E
E
E
A
−
=
Δ
=
. Т.к. в начальный момент
, то
2 2
2
mv
E
A
K
=
=
s
b
m
A
2 2
=
0 2
2 0
1
=
=
mv
E
K
и
, или
0 0
=
v
s
b
dt
ds =
bdt
s
ds =
s
b
v
=
Т.к.
, то и
∫
∫
=
dt
b
s
ds
Интегрируем обе стороны этого уравнения Отсюда
. При
=
t 0 0
=
s
, следовательно, ;
0
=
c
8 4
2 2
4 2
2 2
t
mb
t
b
b
m
A
=
=
4
;
2 2
2
t
b
s
bt
s
=
=
и Задача 3.4. Из залитого подвала, площадь которого равна
, требуется выкачать воду на мостовую. Глубина воды в подвале
, а расстояние от уровня воды в подвале до мостовой Рис
h
H
y
2
м
5
,
1
м
50
=
S
=
h
м
5
=
H
. Какую работу необходимо совершить для откачки воды. Решение. Работа будет равна
, где
- потенциальная энергия массы воды в подвале
mgy
U
U
U
=
−
=
Δ
1 2
ρ
= hS
m
; y - изменение положения центра масс, Масса воды
2
h
H
y
+
=
48

(
)
МДж
3
,
4
Дж
4312500 2
2 2
≈
=
+
ρ
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +Работа Задача 3.5. Определить среднюю полезную мощность при выстреле из ружья, если известно, что пуля массы вылетает из ствола со скоростью v, а длина канала ствола l. Давление пороховых газов вовремя движения пули в стволе считать постоянным.
Решение. Работу пороховых газов будем считать равной кинетической энергии вылетающей пули
2 2
mv
E
A
K
=
=
, трение не учитываем. Тогда средняя полезная мощность
, где t - время движения пули в стволе. Так как давление пороховых газов постоянно, сила, действующая на пулю
const
ma
F
=
=
, значит
const
a
=
v
l
t
vt
t
t
v
l
t
v
a
at
v
2
;
2 2
;
;
2
=
=
=
=
=
2 Тогда
, а
l
mv
l
v
mv
N
4 2
2 Отсюда Задача 3.6. Потенциальная энергия частицы в силовом поле определяется выражением
. Частица совершает переход из точки с радиус-вектором
3 2
3 2
z
y
x
U
+
+
=
k
j
i
r
r r
r v
+
+
=
1
в точку с радиус
F
r
k
j
i
r
r r
r v
2 2
2 2
+
+
=
. Найти 1) силу вектором
, действующую на частицу со стороны поля 2) работу
, совершаемую над частицей силой
2 Решение. Воспользуемся связью между силой, действующей на частицу и потенциальной энергией частицы в поле этой силы
2 9
;
4
;
1
z
z
u
F
y
y
u
F
x
u
F
z
y
x
−
=
∂
∂
−
=
−
=
∂
∂
−
=
−
=
∂
∂
−
=
l
U
F
l
∂
∂
−
=
. Тогда
k
z
j
y
i
k
F
j
F
i
F
F
z
y
x
r r
r r
r r
r
2 и вектор силы
F
r
, Работа, совершаемая над частицей силой поля
∫
∫
∫
∫
+
+
=
=
+
+
=
=
−
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
,
z
z
z
y
y
y
x
x
x
z
y
x
dz
F
dy
F
dx
F
r
d
F
A
dz
F
dy
F
dx
F
r
d
F
dA
r r
r r
k
j
i
r
r r
r v
2 2
2 Из формул и
k
j
i
r
r r
r v
+
+
=
1
. Тогда
2
;
1
;
2
;
1
;
2
;
1 2
1 2
1 Дж 1
2 3
1 2
2 1
2 9
4 3
2 2
1 2
2 1
2 1
2 1
−
=
−
−
−
=
−
−
−
=
∫
∫
∫
−
z
y
x
dz
z
ydy
dx
A
49

Знак минус говорит о том, что при переходе работа совершается против силы поля Задача 3.7. В брусок массой Мкг, находящийся в покое на горизонтальной плоскости, попадает пуля m = г, летевшая горизонтально со скоростью ми застревает в нем. Определить путь, пройденный бруском после удара до остановки, если коэффициент трения между ними поверхностью Решение. Учитывая, что удар пули о брусок неупругий, воспользуемся сначала законом сохранения импульса
,
(
)
1 1
u
m
M
mv
+
=
M
m
mv
u
+
=
1 1
- скорость бруска с пулей после удара.
тр
K
K
K
A
E
E
E
=
−
=
Δ
1 Из соотношения (3.15)
. Дальнейшее движение бруска с пулей равнозамедленное
, поэтому
const
F
тр
=
(
)
(
)
(
gl
m
M
u
m
M
l
F
u
m
M
тр
+
μ
=
+
−
=
+
−
2
,
2 0
2 1
2 1
)
. Откуда м 2
2 2
2 1
2 Задача 3.8. Частица 1 испытала абсолютно упругое столкновение с покоившейся частицей 2. Найти отношение их масс
1 1
v
m r
y Рис 2
2
v
m r
x
2
θ
v
m r
1 2
θ
2
m
1
m
, если частицы разлетаются симметрично по отношению к первоначальному направлению движения частицы 1 и угол между их направлением разлета
°
=
θ 60 . Решение. Обозначим скорость первой частицы до соударения , а после соударения
, а второй частицы - . Удар абсолютно упругий, запишем закон сохранения импульса в проекциях на оси хи у и закон сохранения энергии
1
v
2
v
2
cos
2
cos
2 2
1 1
1
θ
+
θ
=
v
m
v
m
v
m
2
sin
2
sin
2 2
1 1
θ
=
θ
v
m
v
m
,
,
2 2
2 2
2 2
2 1
1 2
1
v
m
v
m
v
m
+
=
50

Введем обозначение
2 1
m
m
c
=
. Тогда из второго уравнения получим
(
)
c
v
cv
1 1
2 2
2
+
=
( )
2
cos
2 2
θ
= v
cv
. Отсюда получим
,
1 Исключая из этих уравнений
(
2
cos
4 1
2
θ
=
+ c
)
, получим
. Отсюда
v
v
2
( )
2
;
2 1
2
cos
4 2
1 Задача 3.9. Частица движется по замкнутой траектории в центральном силовом поле, в котором ее потенциальная энергия
r
2
kr
U
=
k
, где - положительная постоянная, - расстояние частицы до центра поля О. Найти массу частицы, если ее наименьшее расстояние до центра поля равно , а скорость на наибольшем расстоянии от этой точки равна . Решение. Момент сил, действующих на частицу в центральном поле, всегда равен нулю, т.к. сила всегда параллельна радиус-вектору. Поэтому для такой частицы справедлив закон сохранения момента импульса
[ ] [
2 2
1 1
v
r
m
v
r
m
r r
r Закон сохранения энергии
2 2
2 2
2 1
2 1
2 Здесь
– скорость частицы при наименьшем расстоянии до точки О , а
- наибольшее расстояние частицы до этой точки. Рис 1
vr
2
vr
1
r Векторное уравнение закона сохранения момента импульса превращается в
v
, т.к.
и
r
. Выразим
2 2
1 1
r
v
r
1 1
v
r
⊥
2 2
v
2 1
1 2
v
r
v
r
=
⊥
(
) (
2 1
2 2
2 2
2 Подставляя в закон сохранения энергии получим
2 2
2 Задача 3.10. На гладкой горизонтальной плоскости лежат две небольшие одинаковые шайбы массой
. Шайбы соединены легкой недеформированной пружиной, длина которой и жесткость . В некоторый момент одной из шайб сообщают скорость в горизонтальном направлении перпендикулярно к пружине. Рис
m
m
0
l
0
vr

Найти максимальное относительное удлинение пружины (
1
<<
Δ
l
l
), если трение отсутствует. Решение. Воспользуемся законом сохранения импульса
, где – скорость движения центра масс. Отсюда
2 0
v
v
c
=
c
mv
mv
2 Последующее движение можно представить как совокупность двух движений равномерное поступательное движение центра инерции со скоростью Рис 2
0
vr
2
vr
2
vr
1
vr
1
vr
отн
vr
2 и движение шайб относительно центра масс со скоростью
, представляющее собой наложение вращения вокруг центра инерции со скоростью и колебания со скоростью .
отн
v
1
v
2
v
Запишем законы сохранения энергии (3.23) и момента импульса
(4.10), приравнивая составляющие величины в начальный момент времени и момент, когда растяжение пружины максимально (те.
) и перпендикулярна линии, соединяющей шайбы (
0 2
=
v
отн
v
1
v
v
отн
=
). Обозначим через x максимальное удлинение пружины, те.
x
l
l
+
=
0 1
; относительное удлинение пружины
0
l
x
=
α
. Закон сохранения момента импульса в системе центра инерции
(
α
+
=
=
1 2
2 2
0 1
1 1
0 0
l
mv
l
mv
l
mv
1 2
1 Отсюда Запишем закон сохранения энергии в системе центра масс
2 0
2 2
0 0
1 2
1 2
mv
l
v
v
α
χ
−
=
2 2
2 2
2 1
2 2
0
mv
x
mv
+
χ
=
, откуда выразим Подставим найденное в выражение для получим
1 2
1 2
1 2
0 2
2 Так как
, то воспользовавшись формулой
, получим
1
)
<<
α
2 0
2 2
0 2
0 2
2 0
1 1
mv
l
mv
l
α
χ
=
−
α
χ
−
=
α
(
)
(
1 1
1
<<
+
≈
+
x
nx
x
n
2 0
2 Тогда
52

Задачи для самостоятельного решения
3.11. Материальная точка массой m = 3 кг, двигаясь равномерно, описывает четверть окружности радиусом R = 2 м в течение времени
t = 3 c. Найти изменение р импульса точки.
3.12. Тело массой m = 5 кг брошено под углом
α
= 30
° к горизонту с начальной скоростью v
0
= 20 мс. Найти изменение импульса тела за время полета. Сопротивлением воздуха пренебречь.
3.13. Лодка массы M с находящимся в ней человеком массы m неподвижно стоит на спокойной воде. Человек начинает идти вдоль по лодке со скоростью u относительно лодки. С какой скоростью будет двигаться человек относительно воды Сопротивление воды движению лодки не учитывать. r
wr
3.14. Снаряд, выпущенный под углом
α = 30° к горизонту, разрывается в верхней точке траектории на высоте h = 40 м натри одинаковые части, импульсы которых оказались расположенными водной плоскости. Одна часть снаряда падает на Землю через t
1
= 1 c после взрыва под точкой взрыва, вторая - там же через t
2
= 4 c. На каком расстоянии l от места выстрела упадет третий осколок
3.15. С какой скоростью должен прыгнуть человек массой m, стоящий на краю неподвижной тележки массой Ми длиной l, чтобы попасть на ее конец Трением между горизонтальной дорогой и поверхностью пренебречь. Вектор начальной скорости человека составляет угол
α
с горизонтом.
3.16. Из пушки, свободно соскальзывающей по наклонной плоскости и прошедшей уже путь l, производится выстрел в горизонтальном направлении. Какова должна быть скорость v снаряда для того, чтобы пушка остановилась после выстрела Выразить искомую скорость v снаряда через его массу m, массу пушки M и угол
α наклона плоскости к горизонту. Учесть, что m<<M и что выстрел происходит практически мгновенно.
3.17. Из пушки массой Мкг, ствол которой составляет угол
α = 60° c вертикалью, производят выстрел снарядом массы m = 10 кг со скоростью v
0
= 180 мс относительно ствола. После выстрела пушка откатыается назад. На каком расстоянии от места выстрела упадёт снаряд
3.18. На материальную точку массой m = 1 кг действовала сила, изменяющаяся по закону F
r
i
r
j
r
2
= At +(At+Bt
[H], A=1H/c, B=1H/c
2
)
. В начальный момент времени точка имела скорость vr =
α , где α = 2 м. Определить импульс тела спустя время t = 1 c после начала действия силы.
j
r
53

3.19. Водном изобретении предлагается на ходу наполнять платформы поезда углем, падающим вертикально на платформу из соответствующим образом устроенного бункера. Какова должна быть приложенная к платформе сила тяги, если на нее погружают m =
10 т угля за t = 2 c и за это время она проходит равномерно путь
S=10 м Трением при движении платформы можно пренебречь.
3.20. Материальная точка массой