Федеральное агентство по образованию ассоциация кафедр физики технических вузов россии в. М. Анисимов, он. Третьякова Практический курс физики механика под редакцией проф
 Скачать 2.5 Mb.
|
|
Задача 2.1. Два тела массами m = 1 кг и m 1 2 = 2 кг связаны невесомой, нерастяжимой нитью и движутся по горизонтальной поверхности под действием силы F = 10 н, направленной под углом α = 30° к горизонту и приложеннной к телу m 1 . Определить ускорение, с которым движутся тела и силу натяжения нити, если коэффициент трения между телами и горизонтальной поверхностью равен μ = 0,2. → m 2 g Рис.2.1 → m 1 g α х у Решение. Силы, действующие на тела m 1 , m 2 , показаны на рис. Запишем второй закон Ньютона для каждого груза в проекциях на координатные оси Груз m 1 : a m T F F тр 1 1 cos = − − α , 0 sin 1 Груз m 2 : , a m F T тр 2 2 = − , 0 2 2 = − g m N 1 1 N F тр μ = 2 2 N F тр μ = , , ( ) α − μ = sin 1 1 F g m F тр , откуда g m F тр 2 2 μ = ( ) ⎩ ⎨ ⎧ = μ − = − α − μ − α sin cos 2 2 1 Решая эти уравнения совместно, находим ( ) ( ) a m m g m F g m F 2 1 2 1 sin cos + = μ − α − μ − α , откуда ( ) 2 2 1 см Сила натяжения нити: Задача 2.2. На столе (рис. 2.2) лежит доска массой Мкг, а на доске – груз массой m = кг. Какую горизонтальную силу надо приложить к доске, чтобы она выскользнула из-под груза 27 Коэффициент трения между грузом и доской μ 1 = 0,25, а между доской и столом μ = 0,5. тру 1 тр F r х Рис. 2.2 1 N r g mr 2 тр F r Решение. На рисунке показаны силы, приложенные к доске и грузу. Ускорение грузу m сообщает сила трения 1 тр F Пока доска и груз движутся вместе с ускорением , груз не скользит, ar 1 тр F r - это сила трения покоя. Скольжение начинается при её максимальном значении mg N F тр 1 1 1 1 μ = μ = . Второй закон Ньютона , те. максимальное ускорение, с которым может двигаться груз ma mg = μ 1 g a 1 max μ = . С таким максимальным ускорением должна двигаться и доска ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )( ) H 22 , , 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 max 2 1 = + μ + μ = + μ + + μ = = μ + + μ + μ = μ + + = + μ = + μ = + μ = μ = ) μ = = − − M m g M m g M m g Mg M m g mg g M F F F M m g Mg mg Mg N N F g M Ma F F F тр тр тр тр тр Задача 2.3. В механической системе, показанной на рис. 2.3, массы тел равны , угол Рис. 2.3 g m r 2 g m r 1 x y T r N r x′ y′ Q r N r ин F r a′ r α α α ar g m r 3 3 2 1 , , m m m α известен, трения нет, массы блока и нити пренебрежимо малы. Найти ускорение тела относительно тела Решение. Запишем второй закон Ньютона для тел и сначала в векторном виде 1 m 2 m 28 T g m a m r r r + = 1 1 , N T Q g m a m r r r r r + + + = 2 2 , а затем в проекциях на координатные оси ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = α + = − = 0 sin 2 2 1 Последнее уравнение в данной задаче не используется, т.к. оно служит для определения нормальной реакции Q опоры и, соответственно, силы трения между телом и поверхностью опоры, но по условию трения нет. 2 m ( ) N g m a a m r r r r + = + ′ 3 Для тела : 3 m ( ) ⎩ ⎨ ⎧ + α − = α − α = α − ′ cos sin sin cos 3 3 3 При составлении векторного уравнения движения для тела учитывалось, что оно участвует одновременно в двух независимых движениях относительно тела с ускорением 3 m a′ r 2 m ( система отсчетах, у) и вместе с телом с ускорением ar 2 m ( система отсчетах, у. Результирующее движение в неподвижной системе отсчетах, убудет происходить с ускорением a a a r Рассмотрим совместно уравнения ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + α − = α − α = α − ′ α + = − = cos sin sin cos sin 3 3 3 3 2 Эта система содержит четыре неизвестных T, N, a’,a. Сложив первые два уравнения системы, исключим Т ( ) α + = + sin 1 Из последнего уравнения найдем N и подставим найденное значение ( ) α − α = sin cos 3 a g m N в предыдущее уравнение, откуда получим ( ) ( ) α α − α + = + sin sin cos 3 1 2 1 a g m g m a m m α + + α α + = 2 3 2 1 3 1 sin sin Решая его относительно а, получаем Теперь, подставляя найденное значение а, находим искомое ускорение ( ) α α + + + + α + = ′ sin sin 1 2 3 2 1 3 2 1 g m m m m m ctg m a 29 Задача 2.4. К неподвижной перекладине АВ прикреплена нить и ось блока, как показано на рис. 2.4. Определить результирующую силу, действующую на перекладину, если массы грузов m = 80 кг, m 1 2 = 60 кг. Трением, массами блоков и растяжением нити пренебречь. Решение. Нить и связь перекладины с блоком растянуты. Разрезаем мысленно связи, как показано на рисунке. Тогда силы будут направлены на разрез, в том числе T r и D r Результирующая сила, действующая на перекладину АВ , будет равна Здесь Т – натяжение нити, D – нагрузка на ось неподвижного блока вовремя движения грузов. П кольку блок есом T g m А D r ос нев D 2 = , п у оэтом T T T R 3 Записываем второй закон Ньютона применительно к движущимся грузам m 1 1 1 2 a m T g = − , T 2 Ускорения аи а связаны между собой. При смещении оси подвижного блока вниз на х груз m 2 подвинется на расстояние х = хи так как 2 2 dt x d a = , то 1 2 2 a a r r = . Решая уравнения совместно ⎩ ⎨ ⎧ = − = − , 2 , 2 1 2 2 1 1 1 a m g m T a m T g m 2 1 2 1 2 2 m m g m T T g m = − − , Н 3 Откуда Н. 45 , 441 получим 4 , 4 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 Задача 2.5. Две пластины массами m 1 и m 2 соединили пружиной (рис. С какой силой F надо надавить на верхнюю пластину, чтобы после прекращения действия силы Рис m 2 m 1 F r D r T r T r T r T r T r T r 2 ar g m r 2 Рис 2.4 30 верхняя пластина, подпрыгнув, приподняла и нижнюю Массой пружины пренебречь. Решение. Пружина в начальный момент сжата на величину k g m x 1 1 = по сравнению со своей длиной в недеформированном состоянии. Чтобы пружина могла приподнять при своем растяжении нижнюю пластину, она должна быть растянута по сравнению с нормальной своей длиной на величину, большую, чем k g m x 2 Следовательно, надо надавить на верхнюю пластину с силой ( ) ( g m m x x k F 2 1 2 Задача 2.6. Тело массой m = 1 кг, брошенное под углом α к горизонту, имеет в верхней точке траектории полное ускорение, равное 2 см (рис 2.6). Определить силу сопротивления среды в этой точке. Рис Решение. Судя по условиям задачи, при движении тела на него действует постоянная сила тяжести и переменная сила сопротивления. В верхней точке траектории скорость тела горизонтальна В противоположную сторону направлена сила сопротивления v x v = c F r и ускорения τ ar . Перпендикулярно направлено нормальное ускорение τ ar g a n r r = . Полное ускорение 2 2 2 2 g a a a a n + = + = τ τ τ a m F c r r = g m P r Сила сопротивления . Сила тяжести Равнодействующая этих сил a m F g m R c r r r В результате ( ) ( ) ( Н 2 2 2 2 Задача 2.7. С каким ускорением должен ехать автомобиль массой вниз по настилу массой М на наклонной плоскости с углом наклона α , чтобы настил скользил по наклонной плоскости α α α 2 тр F r 1 N r 2 N r y x x′ 1 ar 1 N r g Mr 1 тр F r 1 тр F r Рис.2.7 g mr 31 равномерно вверх Коэффициент трения автомобиля о настил равен k 1 , настила о наклонную плоскость k 2 (рис. Решение. На рис показаны силы, действующие на движущийся автомобиль сила тяжести g mr , сила нормальной реакции опоры и сила трения 1 тр F r 1 N r , которая является силой трения покоя, препятствующей проскальзыванию ведущих колёс автомобиля о поверхность дороги, те. это и есть сила тяги, движущая автомобиль 1 1 1 N k F тр < r g Mr На настил действуют силы сила тяжести , силы со стороны автомобиля три со стороны наклонной плоскости - силы 1 N r 2 N r и 2 тр F r Второй закон Ньютона в проекциях на оси выбранной системы координат х у для автомобиля, движущегося с ускорением , примет вид 1 a 1 1 sin ma F mg тр = + α , 0 cos 1 = α − В проекции на оси координат х, у для настила, движущегося равномерно вверх, второй закон Ньютона имеет вид 0 sin 1 2 = − α + тр тр F Mg F , , 0 cos 2 2 2 1 2 N k F Mg N N тр = = α − − Решая систему уравнений, получим ( ) α + α ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = cos sin 1 При реализации условий задачи ускорение автомобиля не зависит от k 1 , те. от трения между автомобилем и настилом. Задача 2.8. Система, изображённая на рис. 2.8 находится в лифте, поднимающимся вверх с ускорением а. Найти натяжение нити, если коэффициент трения между грузом Рис 1 ar g m r 1 a m r 1 N r y x g m r 2 a m три опорой равен Решение. Движущийся с ускорением а лифт является неинерциальной системой. Свяжем систему координат с лифтом и, чтобы использовать законы Ньютона, приложим к телам системы силы инерции m аи а, рис. Мысленно разрежем нить и запишем второй закон Ньютона для каждого из тел ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = − + = − = − − 0 1 2 2 2 1 1 1 1 kN F a m T g m a m a m F T a m g m N тр тр ( ) a g km F a m g m N тр + = + = 1 Откуда ( ) ⎩ ⎨ ⎧ = − + = + − 1 2 2 2 1 1 1 a m T g m a m a m a g km T ( ) 2 1 2 2 1 m m T g m a m a g km T = − + + − ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 Tm g a m m a g m km Tm − + = + − , , ( ) ( )( ) 1 2 1 1 2 + + = + k a g m m m m T , ( )( ) 1 2 2 1 1 1 m m k a g m m T + + + = , если 2 1 m km < ( ) a g m T + = 2 Если , , грузы неподвижны. 2 Задача 2.9. На покоившуюся частицу массы m в момент начала действовать сила, зависящая от времени по закону , где - постоянный вектор, ( ) t t b F − = τ r r b r τ - время, в течение которого действует данная сила. Найти 1) импульс частицы после окончания действия силы 2) путь, пройденный частицей за время действия силы. dt v d m a m F r r r = = ( t t b dt v d m − = τ r Решение. Так как , то , а ( ) dt t t m b v d − = τ r r ( ) ( ) dt t t b v m d v md − = = τ r Так как масса частицы , то const m = ( ) ∫ − = τ τ 0 dt t t b v md r r . Вектор Количество движения ( ) 6 3 2 0 | 3 2 3 3 3 3 2 0 τ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ − τ = τ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − τ = − τ ∫ τ b b t t b dt t t b r r r Время действия силы τ = t , т.к. при τ = t . Определим время остановки тела 0 = v . Для этого проинтегрируем выражение ( ) dt t t m b v d − τ = r r ( ) const t t m b dt t t m b v + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − τ = − τ = ∫ 3 2 3 2 r Отсюда Так как при = t 0 0 0 = v , то = const 0 . 33 Определим момент остановки тела. 2 3 , 2 3 , 0 3 2 , 0 3 2 3 2 2 3 2 τ τ τ τ τ = = = − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − ост ост t t t t t t t Отсюда следует, что до момента частица двигалась в одну сторону и модуль вектора перемещения частицы равен пройденному ею пути dt t t m b ds ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 3 2 3 2 τ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = = 3 2 3 2 t t m b dt ds v τ r , ( ) const t t m b const t t m b dt t t m b s + − = + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ∫ 4 3 4 3 3 2 2 12 12 6 3 При 0 = t ( ) t m bt s const s − = = = τ 2 12 , ьно следовател , 0 , 0 3 ( ) ( ) m b m b s 12 2 12 При Задача 2.10. Как будет изменяться скорость тела массой m, движущегося вверх с начальной скоростью , если можно считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости тела ( 0 v )? Считать коэффициент rv F c − = r известным. Решение. Целью задачи является нахождение скорости тела как функции времени. Рассмотрим движение тела в момент времени t (скорость v, сила тяжести mg, действующая на него, сила сопротивления ). Тогда основное уравнение динамики поступательного движения (второй закон Ньютона) в проекции на ось у имеет вид Рис c F r 0 vr y vr g mr ar F c − = rv получим , интегрируя и , переменые, разделяя , , v r mg v r mg d v r mg dv dt m r dt dv m v r mg r dt dv m rv mg + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = + − = − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = + ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = 0 0 ln ln ln v r mg v r mg v r mg v r mg t m r , 34 t m r e v r mg v r mg v r mg v r mg t m r — 0 Откуда окончательно находим зависимость скорости от времени 1 1 1 1 0 0 0 При = t 0 . Это и есть искомая формула. 0 v v = 35 Задачи для самостоятельного решения 2.11. Два тела с массами Ми (М) падают с одинаковой высоты безначальной скорости. Сила сопротивления воздуха для каждого тела постоянна и равна F. Сравнить время падения тел. 2.12. Брусок массой m тянут по горизонтальной поверхности под действием силы F, направленной под углом α к горизонту. При этом брусок за время t изменил свою скорость отд, двигаясь ускоренно в одну сторону. Определить коэффициент трения f бруска о поверхность. 2.13. Небольшое тело массой m расположено на клине массой M (рис. Коэффициент трения между телом и клином равен f 1 , а между клином и горизонтальной поверхностью равен f 2 . При каком угле α клина он будет двигаться равномерно 2.14. Через какое время скорость тела, которому сообщили вверх по наклонной плоскости скорость Рис m α f 1 f 2 0 , снова будет равна v 0 ? Коэффициент трения равен f, угол между плоскостью и горизонтом α, tg(α) >f. 2.15. По наклонной плоскости составляющей угол α c горизонтом, движутся две материальные точки с массами Рис m 2 m 1 → α α 1 ирис) под действием силы F, приложенной к телу и направленной под углом α к наклонной плоскости. Нить, связывающая тела m и m 1 невесома и нерастяжима. Определить ускорение системы, если коэффициент трения каждого тела о плоскость равен f. 2.16. Найти силу, действующую на вертикальную стенку со стороны клина, если на него положили груз массой m рис. Угол при основании клина α. Коэффици т трени между грузом и поверхностью клина f. Трения между полом и клином нет. ен я 2.17. Канат лежит на столе так, что часть его свешивается со стола и начинает скользить тогда, когда длина свешивающейся части составляет 30 % всей его длины. Определить коэффициент трения каната о стол. Рис α m 36 2.18. Ракета, масса которой М = 6 т, поднимается вертикально вверх. Двигатель ракеты развивает силу тяги F = 500 кН. Определить ускорение a ракеты и силу натяжения Т троса, свободно свисающего с ракеты, на расстоянии, равном 1/4 его длины от точки прикрепления троса. Масса троса m = 10 кг. Силой сопротивления воздуха пренебречь. 2.19. Через легкий вращающийся без трения блок перекинута невесомая и нерастяжимая нить. На одном ее конце привязан груз массой Рис m 1 m 2 1 . По другому концу нити с постоянным относительно нее ускорением a 2 скользит кольцо с массой рис. Найти ускорение a 1 тела массы m 1 и силу трения кольца о нить. 2.20. Невесомая и нерастяжимая нить перекинута через невесомый блоки пропущена через щель. На концах нити подвешены грузы, масса которых m 1 и При движении на нить со стороны щели действует постоянная сила трения F тр (рис.2.14). Определить ускорение системы и разность сил натяжения нити. 2.21. Тело массой m прикреплено к 2 соединенным последовательно пружинам жесткости k 1 и k 2 и расположено на гладкой горизонтальной поверхности. К свободному концу цепочки пружин приложена постоянная сила F (рис. Каково суммарное удлинение пружин при установившемся движении системы 2.22. На горизонтальной плоскости лежат два бруска m 1 и m 2 , соединенные недеформированной пружиной жесткости k (рис. 2.16). Какую наименьшую постоянную силу, направленную горизонтально, нужно приложить к первому бруску, чтобы сдвинулся и второй Коэффициент трения брусков о плоскость равен f. 2.23. На гладком горизонтальном столе лежат два одинаковых кубика Рис → k 1 k 2 Рис m 2 m 1 тр F r m 1 k Рис F r m 2 Рис 2m m m l 0 массой m, соединенные невесомой пружиной жесткости k. Длина пружины в нерастянутом состоянии равна l 0 (рис. К правому кубику привязана невесомая и нерастяжимая нить с грузом массой 2m на конце. В некоторый момент времени этот груз отпускают, и система начинает двигаться безначальной скорости. Найти максимальное расстояние между кубиками при движении системы. Блок невесом. 2.24. На горизонтальной поверхности находится брусок массой m 1 = 2 кг. Коэффициент трения f 1 бруска о поверхность равен 0,2. На бруске находится другой брусок массой m 2 = 8 кг. Коэффициент трения f 2 верхнего бруска о нижний равен 0,3. К верхнему бруску приложена горизонтальная сила F. Определить 1) значение силы F 1 , при которой начнется совместное скольжение брусков по поверхности 2) значение силы F 2 при котором верхний брусок начнет проскальзывать относительно нижнего. 2.25. По наклонной плоскости, составляющей угол α c горизонтом, ускоренно скользит доска массой M. Коэффициент трения доски о наклонную плоскость равен f. На доску кладут тело массой m, которое скользит по доске без трения. Какова должна быть минимальная масса тела m min , чтобы движение доски по наклонной плоскости стало равномерным 2.26. Брусок массы m тянут за нить так, что он движется с постоянной скоростью по горизонтальной плоскости с коэффициентом трения f (риc. 2.18). Найти угол α, при котором натяжение нити будет наименьшим. Чему оно равно 2.27. Тело пущено вверх по наклонной плоскости с начальной скоростью v 0 . Коэффициент трения между телом и плоскостью f. Определить угол α, при котором время подъема минимально, а также это минимальное время. Рис.2.18 α m T r 2.28. На наклонной плоскости расположен груз массой m. Под каким углом (рис) следует тянуть за веревку, чтобы равномерно тащить груз вверх по наклонной плоскости с наименьшим усилием Какова должна быть величина этой силы Наклонная плоскость составляет угол α с горизонтом. Коэффициент трения равен f. 2.29. Груз положили на наклонную плоскость и сообщили направленную вверх начальную скорость Рис m β α 0 . Коэффициент трения между плоскостью и грузом равен f. При каком значении угла наклона α груз пройдет вверх по плоскости α 38 m Рис наименьшее расстояние Чему оно равно 2.30. Небольшое тело m начинает скользить по наклонной плоскости из точки, расположенной над вертикальным упором А рис. Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью равен f = 0,14. При каком значении угла α время соскальзывания будет наименьшим 2.31. Груз массой m лежит на гладкой поверхности клина с острым углом α и удерживается посредством легкой нити, закрепленной у его верхнего ребра (рис. 2.21). Каково натяжение нити и давление груза на клин, если он станет двигаться вправо с ускорением Рис → a α m ar ? 2.32. Система грузов, изображенная на рис, находится в лифте, который движется вверх с ускорением Найти силу натяжения нити, если коэффициент трения между грузом массы m ar 1 и опорой равен f. Блок невесом. 2.33. В условиях предыдущей задачи (2.32) найти силу натяжения нити, если система движется с ускорением Рис m 1 m 2 a → ar , направленным горизонтально вправо. 2.34. Через блок, прикрепленный к потолку кабины лифта, перекинута нить, к концам которой привязаны грузы с массами m 1 и m 2 , m 2 > m 1 . Кабина поднимается с ускорением . Пренебрегая массами блока и нити, а также трением, найти силу, с которой блок действует на потолок кабины. ar кг. Небольшое тело массой движется безначальной скорости под действием силы ( ) i t F r r γ − β = H 2 = β , где , Найти максимальную скорость тела в промежутке времени 0 c 4 < < t 2.36. В условиях задачи 2.35. определить путь , который тело пройдет до остановки. S 2.37. Определить закон движения материальной точки массой m, если на нее действует сила F r = α jr + βt k r , где α, β постоянные и при t = 0, i r rr vr = v = 0, 0 2.38. Определить траекторию материальной точки с массой m = 3 кг, движущейся под действием силы F r = αir + βt r , где α = 2 Н, β = 3 Ни при t = 0 j rr = 0, vr = 0. 39 2.39. На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения f лежит небольшое тело массой m.. В момент времени t = 0 к нему приложили горизонтальную силу, изменяющуюся по закону F r ar = t, где - постоянный вектор. Найти путь, пройденный телом за первые t секунд после начала действия силы. ar 2.40. На небольшое тело массой m, лежащее на гладкой горизонтальной плоскости, в момент времени t = 0 начала действовать сила, зависящая от времени по закону F = at, где a - положительная постоянная. Направление этой силы все время составляет угол α с горизонтом. Определить момент времени, в который тело оторвется от плоскости, а также вектор скорости тела в любой момент времени дои после отрыва. F r 2.41. На материальную точку массой m действует сила = kt , где k - положительная постоянная. В начальный момент времени скорость точки i r i r vr = v 0 . В какой момент времени модуль скорости точки будет в два раза больше первоначального модуля скорости 2.42. Санки массой m в течение времени t 0 тянут с горизонтальной силой F = kt, где k - положительная постоянная. Коэффициент трения между санками и дорогой равен f . Какое расстояние пройдут санки от начала движения до полной остановки Начальная скорость санок равна нулю. 2.43. Два тела массами m 1 и m 2 связаны невесомой и нерастяжимой нитью, выдерживающей силу натяжения Т, расположены на гладкой горизонтальной поверхности (рис. К телам приложены силы F = αt 2 , F 1 2 = 2 αt 2 m 2 m 1 F 1 Рис , где α - положительная постоянная. Найти, в какой момент времени нить оборвется. 2.44. В условиях предыдущей задачи (2.43) найти скорость системы в момент обрыва нити, если при t = 0 v 0 = 0. 2.45. К бруску массой m, лежащему на гладкой горизонтальной плоскости, приложили постоянную по модулю силу F = mg/3. В процессе его прямолинейного движения угол α между направлением этой силы и горизонтом меняют по закону α=ks, где k - постоянная, s - пройденный бруском путь (изначального положения. Найти скорость бруска как функцию угла α. 2.46. Закон движения материальной точки имеет вид rr = αt ir 3 + βt jr , где α и β - положительные постоянные. При каком 40 соотношении между α ив момент времени t = 1 c угол ϕ между вектором скорости F r vr и вектором силы , действующей на точку, равен 60 °? 2.47. Материальная точка массой m = 1 кг движется по закону rr = αtir + βsin(ωt) . Определить модуль силы, действующей на материальную точку в момент времени t = 1 с, если α = 2 мм рад/с. j r 2.48. Частица массы m в момент t = 0 начинает двигаться под действием силы F r F r F r = 0 sin( ωt), где 0 и ω - постоянные. Найти путь, пройденный частицей, в зависимости от t. 2.49. В момент t = 0 частица массы m начинает двигаться под действием силы F r F r F r = 0 sin( ωt), где 0 и ω - постоянные. Сколько времени будет двигаться частица до первой остановки Какой путь она пройдет за это время Какова максимальная скорость частицы на этом пути 2.50. На материальную точку массой m действует сила F r с = m ω 2 R sin( ωt) +mω i r j r 2 R cos( ωt) . Определить путь, пройденный материальной точкой за время отсчитываемое от начала действия силы, если при t = 0 vr = 0. 2.51 . Стальной шарик радиусом r = 0,5 мм падает в широкий сосуд, наполненный глицерином. Найти скорость v установившегося равномерного) движения шарика. Коэффициент внутреннего трения в глицерине равен η = 1,4 Нс м 3 , плотность глицерина ρ = 1260 кг/м 1 плотность стали ρ = 7800 кг/м 3 2 . Указание. Для решения задачи необходимо воспользоваться гидродинамической формулой Стокса, выражающей силу сопротивления, испытываемую шариком в вязкой жидкости F = 6 πrηv. с 2.52. Найти ускорение тела, движущегося вертикально вверх с начальной скоростью v 0 , если сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости тела ( F r j r = – kv , где k=mg/ с y 0 – положительная постоянная. 2.53. Снаряд массой m вылетает из ствола со скоростью v 0 под углом α к горизонту. Считая, что сила сопротивления воздуха меняется по закону F r = – k vr с , определить время подъема снаряда на максимальную высоту. Коэффициент пропорциональности k таков, что при скорости v = v F = mg. 0 c 2.54. В условиях задачи (2.53) определить максимальную высоту подъема снаряда. 2.55. В условиях задачи (2.53) найти закон движения снаряда. 2.56. В условиях задачи (2.53) вывести уравнение траектории движения снаряда 41 кг. Материальная точка массой движется под действием силы i v F r см Н, где , v - модуль скорости точки. В какой момент времени скорость точки уменьшится вдвое, если ее начальная скорость ? см 0 = v 2.58. В условиях задачи 2.57 найти в какой момент времени материальная точка на мгновение остановится. 2.59. Скорость тела массой m в вязкой жидкости убывает с пройденным расстоянием l по закону v = v - βl, где v 0 0 - начальная скорость, а β - положительная постоянная. Как зависит сила вязкого трения, действующая на тело со стороны жидкости, от скорости тела 2.60. В условиях предыдущей задачи (2.59) определить закон изменения скорости тела от времени t. 2.61. В условиях задачи (2.59) определить путь, пройденный телом за первую секунду его движения в вязкой жидкости, если в начальный момент времени начальная скорость тела равна v . 0 2.62. Моторная лодка массой m двигалась по озеру со скоростью v 0 . Считая силу сопротивления воды пропорциональной квадрату скорости, определить зависимость скорости лодки от времени после выключения мотора с = – αv 2 , где α - постоянная. 2.63. В условиях задачи (2.62) определить зависимость пройденного лодкой пути от времени после выключения мотора. 2.64. Сила сопротивления воздуха, действующая на капли дождя, пропорциональна произведению квадрата скорости капель на квадрат их радиуса с = ρ 0 r v 2 , где ρ 0 ≈ 1,3 кг/м 3 - плотность воздуха. Какие капли, крупные или мелкие, падают на Землю с большей скоростью Оцените скорость капли радиуса r = 1 мм при ее падении с большой высоты. 2.65. Пуля, пробив доску толщиной h, изменила свою скорость от v 0 до v. Найти время движения пули в доске, считая силу сопротивления пропорциональной квадрату скорости. 2.66. Сила сопротивления воздуха, действующая на капли тумана, пропорциональна произведению радиуса на скорость с = γrv, где γ - положительная постоянная. Капли радиуса r = 0,1 мм, падая с большой высоты, у Земли имеют скорость около 1 мс. Какую скорость будут иметь капли, радиус которых в два раза меньше В десять раз меньше 2.67. Небольшой брусок начинает скользить по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Коэффициент трения зависит от пройденного пути z по закону f = γ z, где γ - постоянная. Найти максимальную скорость бруска. 42 Динамика системы. Импульс. Работа и энергия. Законы сохранения импульса и энергии Основные понятия и законы Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек. Центром масс системы называется точка С, радиус-вектор которой задается соотношением ∑ ∑ = = = n i i n i i i c m r m r 1 1 r r , (3.1) где - масса -ой частицы, или в координатной форме i i m ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = = = = n i i n i i i c n i i n i i i c n i i n i i i c m z m z m y m y m x m x 1 1 1 1 1 Импульсом системы называется векторная величина, равная векторной сумме импульсов всех входящих в систему частиц ∑ ∑ ∑ = = = = = = n i i c n i i i n i i m v v m p P 1 1 1 r r r r , (3.2) где - скорость -ой частицы в инерциальной системе отсчета, i vr c vr i - скорость центра масс системы, равная dt r d v c c r r = (3.3) Запишем основное уравнение динамики (второй закон Ньютона) для каждой частицы внеш r r r r r + + + + = 3 2 1 , (3.4) внеш - сила, действующая на -ую частицу со стороны ой, где - внешняя сила, действующая на i -ую частицу. Просуммировав по всем точкам системы с учетом того, что по третьему закону Ньютона сумма внутренних сил системы равна нулю, получим второй закон Ньютона для системы взаимодействующих частиц в виде внеш r (3.5) 43 Скорость изменения полного импульса системы равна сумме внешних сил, действующих на точки системы. В частном случае, когда масса системы постоянна, его можно записать внеш 1 r r , (3.6) где - ускорение центра масс системы, равное c ar dt v d a c c r r = (3.7) Система материальных точек называется замкнутой, если входящие в систему частицы взаимодействуют между собой и не взаимодействуют с другими телами, те. на систему не действуют внешние силы 0 1 = ∑ = k j внеш j F r Закон сохранения импульса const P = r (3.8) выполняется в замкнутой системе. Из закона сохранения импульса следует, что скорость центра масс замкнутой системы постоянна. А если c vr const v c = = 0 r , то и координата центра масс не изменяется в процессе движения. F . Пусть на тело (материальную точку) действует сила Элементарная работа силы на пути ds ( ) α = = cos , Fds r d F dA r r , (3.9) F r и элементарного перемещения где - угол между векторами силы α r dr ds r d = r , Работа, совершаемая силой , равна ∫ ∫ α = = 2 1 2 1 cos ds F r d F A r r (3.10) Работа постоянной силы ( ) α = Δ = Δ cos , FS r F A r r (3.11) Средняя мощность за интервал времени 1 2 t t t − = Δ t A N Δ Δ = (3.12) Мгновенная мощность ( ) v F Fv dt ds F dt dA N r r , cos cos = α = α = = (3.13) Кинетическая энергия материальной точки массы m (тела, движущегося поступательно) 44 m p mv E 2 2 2 2 = = (3.14) Если частица массы движется под действием m сил , то приращение ее кинетической энергии при перемещении из точки 1 в точку 2 равно алгебраической сумме работ всех сил на этом пути k F F F F ,.... , , 3 2 1 ( ∑ = = − = Δ k j j k k k F A E E E 1 12 1 2 ) . (3.15) Сила называется консервативной, если работа силы равна нулю при перемещении по замкнутой траектории, или работа этой силы при перемещении из точки 1 в точку 2 не зависит от формы траектории. Поле консервативных сил потенциально. Любое однородное стационарное силовое поле потенциально. Для частицы, находящейся в потенциальном поле, можно ввести понятие потенциальной энергии. Потенциальная энергия частицы, находящейся в точке поля с координатами (х,у,z), - это скалярная величина ( ) 0 0 0 , , , , , z y x z y x U U = , равная взятой со знаком минус работе консервативных сил поля по перемещению частицы с уровня принятого за ноль отсчета потенциальной энергии ( ) 0 , , 0 0 0 = z y x U в данную точку. ( ) конс A z y x U − = , , (3.16) Следовательно, работа консервативной силы при перемещении из точки 1 в точку 2 равна убыли (взятому со знаком минус приращению) потенциальной энергии ( ) 2 1 1 2 12 U U U U U A конс − = − − = Δ − = (3.17) Связь консервативной силы и потенциальной энергии U F конс grad − = r , (3.18) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = k z U j y U i x U U r r r grad где в декартовой прямоугольной системе координат, или dr dU U = grad , если поле сферически симметрично. mg F = , В однородном поле сил тяжести mgh U = (3.19) kx F = пружины Потенциальная энергия растянутой (сжатой) силой 2 2 kx U = . (3.20) Полная механическая энергия (3.21) U E E K + = 45 Из соотношений (3.15) и (3.17) следует, что приращение полной механической энергии частицы равно работе неконсервативных (или сторонних) сил , 12 12 12 стор неконс конс K A A A U E E = − = Δ + Δ = Δ 12 стор неконс A E = Δ (3.22) Закон сохранения полной механической энергии (3.23) выполняется, если на систему действуют только консервативные силы. В частном случае, если система замкнута, а внутренние силы консервативны, полная механическая энергия сохраняется. При абсолютно упругом ударе выполняются одновременно закон сохранения импульса и закон сохранения полной механической энергии. В случае прямого центрального упругого удара частиц, импульсы которых до столкновения 2 2 2 1 1 1 , v m p v m p r r r r = = , а после столкновения – 2 2 2 1 1 1 , v m p v m p ′ = ′ ′ = ′ r r r r , законы сохранения импульса и полной механической энергии примут вид 2 1 2 1 p p p p ′ + ′ = + r r r r , (3.24) 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 m p m p m p m p ′ + ′ = + r r r r , (3.25) откуда получим скорости частиц после удара ( ) 2 1 2 2 1 2 1 1 2 m m v m v m m u + + − = r r r , (3.26) ( ) 2 1 1 1 2 1 2 2 2 m m v m v m m u + + − = r r r (3.27) При абсолютно неупругом ударе закон сохранения импульса выполняется, а закон сохранения полной механической энергии – нет, часть энергии переходит в тепло Q. Для неупругого центрального столкновения тех же частиц, импульс которых после удара ur ( ) u m m p r r 2 1 + = ′ , где - скорость после удара, получим p p p ′ = + r r r 2 1 , (3.28) ( ) Q m m p m p m p + + ′ = + 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 Откуда скорость частиц после столкновения 2 1 1 1 2 2 m m v m v m u + + = r r r (3.30) 46 |