Федеральное агентство по образованию ассоциация кафедр физики технических вузов россии в. М. Анисимов, он. Третьякова Практический курс физики механика под редакцией проф

• Название: Федеральное агентство по образованию ассоциация кафедр физики технических вузов россии в. М. Анисимов, он. Третьякова Практический курс физики механика под редакцией проф
• Анкор: 1Mehanika.pdf
• Дата: 14.04.2017
• Размер: 2.5 Mb.
• Имя файла: 1Mehanika.pdf
• Тип: Документы; #4785
• страница: 7 из 10

O
1
O
2 Рис
2l
4.9 Тонкий однородный стержень длины
3
l
= 30 см согнут под прямым углом, как показано на рис и может вращаться относительно вертикальной оси
O
1
O
2
. Определить момент инерции стержня относительно оси
O
1
O
2
, если масса единицы длины стержня
m
= 3 кг/м.
0 4.10. Тонкий однородный стержень длины 2
l
=
20 см согнут под прямым углом (
α = 90°) и может вращаться относительно вертикальной оси (рис. Определить момент инерции стержня относительно оси
O
1
O
2
, если масса единицы длины стержня
m
0
= 6 кг/м.
4.11. Найти момент инерции плоской однородной прямоугольной пластины массой
m
= 900 г относительно оси, совпадающей с одной из ее сторон, если длина другой стороны
a
= 40
O
1
O
2 Рис
l
l
α см.
4.12. Найти момент инерции прямоугольного треугольника массой
m
= 6 кг относительно оси, совпадающей с одним из его катетов, если другой катет
a
= 60 см.
4.13. На рис АС - диагональ прямоугольника
ABCD
. Во сколько раз момент инерции
J
2
треугольника больше момента инерции
J
1
треугольника
ABC
относительно оси
O
1
O
2
, совпадающей со стороной
АВ
?
4.14. Определить момент инерции полого шара относительно касательной. Масса шара
m
, его внешний радиуса внутренний -
r
4.15. Найти момент инерции прямоугольной пластины массы
m
со сторонами
a
и
b
, расположенной в плоскости
XOY
, относительно оси ирис. В условиях задачи 4.15. определить момент инерции пластины относительно оси
OZ
, проходящей через центр симметрии пластины точку перпендикулярно плоскости пластины.
O
1
O
2 Рис
a
/2
О
X
b
/2
Y
Рис.4.13 71

4.17. Найти момент инерции однородного куба относительно оси, проходящей через центры противолежащих граней. Масса куба
m
, длина ребра
a
4.18. Определить момент инерции тонкого обруча массой и радиусом
R
относительно оси, касательной к обручу и лежащей в плоскости обруча.
4.19. Найти момент инерции тонкого диска массой
m
и радиусом
R
относительно оси, совпадающей сего диаметром.
4.20. Ось симметрии сплошного однородного цилиндра массой
m
c радиусом основания
R
и длиной l
расположена горизонтально. Определить момент инерции цилиндра относительно вертикальной оси
O
O
1
O
2
A Рис 1
O
2
(рис, проходящей через центр основания цилиндра (точка А. м 4.21. К ободу однородного диска радиусом приложена постоянная тангенциальная сила
H
100
=
F
. При вращении на диск действует сила трения, момент которой м
Н
5
⋅
=
тр
M
. Определить массу диска, если он вращается с угловым ускорением с рад 4.22. С какой силой следует прижать тормозную колодку к колесу, делающему с
об
30
=
n
, для его остановки в течение c
20
=
t
, если масса колеса распределена по объему и равна
, диаметр колеса
? Коэффициент трения между колодкой и ободом колеса кг
10
=
m
см
20
=
d
5
,
0
=
f
4.23. Маховик в форме сплошного диска имеет массу и радиус кг
50
=
m
м
2
,
0
=
R
. Маховику сообщили начальную угловую скорость с
рад
16 0
π
=
ω
. Под влиянием силы трения, приложенной по касательной к ободу, маховик останавливается. Найти силу трения, если маховик останавливается через время с. Сплошной однородный диск радиуса
R
= 10 см, имевший начальную угловую скорость
ω
0
= 50 рад/с (относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через центр масс, кладут основанием на горизонтальную поверхность. Сколько оборотов диск сделает до остановки, если коэффициент трения между основанием диска и горизонтальной поверхностью
f
= 0,1 и не зависит от угловой скорости вращения диска
72

4.25. С наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол
, скатывается обруч. Длина наклонной плоскости
0 м. Найти скорость обруча в конце наклонной плоскости.
4.26. В условиях задачи 4.25 скатывается шар. Определить время скатывания шара с наклонной плоскости.
4.27. В условиях задачи 4.25 скатывается диск. Найти ускорение центра масс диска.
4.28. Шар массой
m
= 10 кг и радиусом
R
= 20 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения шара имеет вид
ϕ =
A
+
Bt
2 3
+
Ct
, где
B
= 4 рад,
C
= –1 рад. Найти закон изменения момента сил, действующих на шар. Определить момент сил в момент времени
t
= 2 с.
4.29. К точке, радиус-вектор которой относительно начала координат О равен
F
r
i
r
j
r
rr
= a + b ,
приложена сила
= A + B
i
r
j
r
,
где
a, b, A, В = const
. Найти момент
M
r
F
r относительно точки
O
силы
4.30. Кольцо с внутренними внешним
R
2
радиусами, толщиной
h
и плотностью
ρ вращается на горизонтальной шероховатой плоскости относительно вертикальной оси, проходящей через центр кольца. Найти момент сил трения, действующий на кольцо, если коэффициент трения кольца о плоскость равен
f
4.31. Однородный стержень массой
m
и длиной
l
(рис) падает безначальной скорости из положения
1
, вращаясь без трения вокруг неподвижной горизонтальной оси
O
. Найти горизонтальную Рис
2
1
F
верт.
F
гор.
→
→
О гори вертикальную
F
верт составляющие силы, с которыми ось действует на стержень в горизонтальном положении
2
4.32. Абсолютно твердая однородная балка массой
m
и длино ежит на дв солютно твердых симметрично расположенных опорах, расстояние между которыми равно
l
(рис 4.16) Одну изо р выбивают. Найти начальное начени силы давления Рис
→
→
→
mg
l й
L
л ухаб позе, действующей на оставшуюся опору. Рассмотреть частный случай, когда
l
=
73

4.33. Гимнаст на перекладине выполняет большой оборот из стойки на руках, те. вращается не сгибаясь вокруг перекладины под действием собственного веса. Оценить приближенно наибольшую нагрузку
F
на его руки, пренебрегая трением ладоней о перекладину.
4.34. Определить момент импульса тонкого обруча массой
m
и радиусом
R
, вращающегося с угловой скоростью
ω относительно оси, перпендикулярной к плоскости обруча и проходящей через его центр.
4.35. Вычислить момент импульса Земли
L
0
, обусловленный ее вращением вокруг своей оси. Сравнить этот момент с моментом импульса
L
, обусловленным движением Земли вокруг Солнца. Землю считать однородным шаром, а орбиту Земли - окружностью.
4.36. Шарик массы
m
бросили под углом
α
к горизонту с начальной скоростью
v
0
. Найти величину момента импульса шарика относительно точки бросания
L
0
в зависимости от времени движения. Вычислить в вершине траектории, если
m
= 130 гм. Сопротивлением воздуха пренебречь.
4.37. Тонкий однородный стержень массы
m
= 1 кг и длины
l
= 1 м падает безначальной скорости из вертикального положения в горизонтальное. Найти момент импульса стержня, когда он составляет с вертикалью угол
β = 60 °.
4.38. Две гири с массами m = 2 кг и m
1 2
= 1 кг соединены невесомой и нерастяжимой нитью и перекинуты через блок массой
m
3
= 1 кг. Найти 1) ускорение ас которым движутся гири 2) натяжения Т и Т нитей, к которым подвешены гири. Блок считать однородным диском. Трением пренебречь.
4.39. На барабан массой Мкг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой
m
= 2 кг. Найти ускорение груза. Барабан считать сплошным однородным цилиндром. Трением пренебречь.
4.40. Схема демонстрационного прибора диск Максвелла) изображена на рис. 4.17. На валик радиусом
r
наглухо насажен сплошной диск радиуса
R
и массой
M
. Валики диск сделаны из одного материала, причем выступающие из диска части оси имеют массу
m
. К валику прикреплены нити одинаковой длины, при помощи которых прибор подвешивается к штативу. На валик симметрично наматываются нити в один ряд, благодаря чему диск поднимается, а затем предоставляют диску свободно опускаться. Найти ускорение, с которым опускается диск. Рис 2
R
2
r
74

4.41. Когда диск Максвелла (см. задачу 4.40) достигает нижнего положения, он начинает подниматься вверх. С каким ускорением поднимается диск Найти натяжение нити вовремя опускания и поднятия диска. Масса диска
M
= 1 кг, его радиус
R
= 10 см, радиус валика
r
= 1 см. Массой валика пренебречь.
r Рис 4.42. К шкиву креста Обербека (рис) прикреплена невесомая нить, к которой подвешен груз массы Мкг. Груз опускается до нижнего положения, а затем начинает подниматься вверх. Найти натяжение нити
T
при опускании или поднятии груза. Радиус шкива
r
= 3 см. На кресте укреплены четыре груза массой
m
= 250 г каждый на расстоянии
R
= 10 см от его оси. Моментом инерции самого креста и шкива пренебречь по сравнению с моментами инерции грузов.
4.43. По наклонной плоскости составляющей угол
α = 30° с горизонтом, скатывается без скольжения полый цилиндр, масса которого равна
m
= 0,5 кг. Внешний радиус цилиндра в два раза больше внутреннего радиуса. Найти величину силы трения цилиндра о плоскость.
4.44. На однородный сплошной цилиндр массы Ми радиуса R плотно намотана легкая нить, концу которой прикреплен груз массой
m
(рис. В момент времени
t
=
0 система пришла в движение безначальной скорости. Пренебрегая трением в оси цилиндра, найти зависимость от времени а) модуля угловой скорости цилиндра, Рис
m
2
Рис.4.20
б) кинетической энергии всей системы.
4.45. В системе, изображенной на рис, считать блок массой
M
сплошным цилиндром, тела
m
1
и
m
2
- материальные точки, нити невесомы и нерастяжимы. Трение не учитывать. Найти силы натяжения нитей
T
1
ив процессе движения.
4.46. В системе, изображенной на рис. 4.21, считать блок массой
M
75

сплошным цилиндром, тела Рис
m
1
k
m
2
→
1
и
m
2
- материальные точки, нить невесома и нерастяжима. Трение не учитывать. Определить силу давления груза Рис
m
2
m
1 2
на в процессе движения.
4.47. В системе, изображенной на рис, считать блок массой
M
сплошным цилиндром, тела
m
1
и
m
2
- материальные точки, нить невесома и нерастяжима. Трение не учитывать. Клин с углами
α
2
и
α
2
закреплен. Найти ускорение системы.
4.48. В системе, изображенной на рис, известны масса
m груза
A
, масса
M ступенчатого блока
B
, момент инерции
J
последнего относительно его оси и радиусы ступеней блока
R
и 2
R
. Масса нитей пренебрежимо мала. Найти ускорение груза Рис
.4.22
m
1
α
2
α
1
Рис.4.23
M
B
A
m
Рис.4.24 4.49. Система состоит из двух одинаковых однородных цилиндров, на которые симметрично намотаны две легкие нити рис. Найти ускорение оси нижнего цилиндра в процессе движения. Трения в оси верхнего цилиндра нет.
4.50. Сплошной однородный цилиндр
A
массы
m
1
может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, которая укреплена на подставке B массы
m
2
(рис. На цилиндр плотно намотана легкая нить, к концу
k
которой приложили горизонтальную силу
F
. Трения между подставкой и опорной горизонтальной плоскостью нет. Найти кинетическую энергию этой системы через
t
секунд после начала движения.

4.51. На шероховатой доске на расстоянии l от ее конца нахо сплошной цилиндр (рис. Доску начинают двигать с ускорением дится
a
α
r
0
влево. С какой скоростью относительно доски будет двигаться центр масс цилиндра в тот момент, когда он будет находиться над краем доски Движение цилиндра относительно доски происходит без скольжения. Рис
l
a
0
→
4.52. На полый тонкостенный цилиндр массы
m
намотана тонкая и невесомая нить (рис. Свободный конец нити прикреплен к потолку лифта, движущегося вниз с ускорением
m
a
1 Цилиндр предоставлен сам себе. Найти ускорение цилиндра относительно лифта и силу натяжения нити. Вовремя движения нить считать направленной вертикально. Рис 4.53. Горизонтальный тонкий однородный стержень
AB
массы и длины l может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец А. В некоторый момент наконец начала действовать постоянная сила
F
, которая все время перпендикулярна к первоначальному положению покоившегося стержня и направлена в горизонтальной плоскости. Найти угловую скорость стержня как функцию его угла поворота
ϕ изначального положения.
4.54. Однородный шар массой
m движется поступательно по горизонтальной плоскости под действием постоянной силы
F
r
, приложенной, как показано на рис. 4.28 под углом к горизонту. Коэффициент трения между шаром и плоскостью
f
. Определить силу
F
и ускорение шара. Рис
α
→
4.55. Маховик, имеющий начальную угловую скорость
ω
0
, начинает тормозиться силами, момент которых относительно его оси
77

пропорционален квадратному корню из его угловой скорости. Найти среднюю угловую скорость маховика за все время торможения.
4.56. Однородный сплошной цилиндр радиуса
R
и массой
m
может свободно вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси О рис. На цилиндр в один ряд намотан тонкий шнур длины l и массы
m
. Найти угловое ускорение цилиндра в зависимости от длины свешивающейся части шнура. Считать, что центр масс намотанной части шнура находится на оси цилиндра.
4.57. Шар диаметром
d
= 10 см катится без скольжения на горизонтальной плоскости, делая
n
= 4 об/с. Масса шара
m
= 2 кг. Определить кинетическую энергию шара.
4.58. Карандаш длиной
l
= 10 см, поставленный вертикально, падает на стол. Какую угловую и линейную скорость будет иметь в конце падения 1) середина карандаша, 2) верхний его конец
4.59. На гладкой горизонтальной плоскости лежит тонкий однородный стержень длины l
= 1 ми массы
m
1
. По плоскости перпендикулярно стержню со скоростью
v
= 20 мс скользит шарик (материальная точка) массы
m =
m
1
/3. Как и с какой скоростью будет двигаться после удара стержень, если шарик после удара останавливается Рассмотреть два случая 1) шарик ударяется в середину стержня 2) точка удара отстоит от середины стержня на расстояние
x
= l/4. Найти долю
η энергии, которая израсходовалась на работу против сил неупругой деформации. 4.60. Стержень массы Ми длины
l
, который может свободно вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через один из его концов, под действием силы тяжести переходит из горизонтального положения в вертикальное (рис. Проходя через вертикальное положение, нижний конец стержня упруго ударяет о малое тело массы
m
, лежащее на гладком горизонтальном столе. Определить скорость тела
m
после удара.
4.61. Тонкий стержень массой m и длиной
Рис.4.29
T(x) Рис
l Рис
L
l
mm
mm

L
подвешен за один конец и может вращаться без трения вокруг горизонтальной оси. К той же оси подвешен на нити длиной l шарик такой же массы
m
. Шарик отклоняется на некоторый угол и отпускается. При какой длине нити шарик после удара о стержень остановится Считать удар абсолютно упругим (рис.
4.62. Математический маятник массы
m
и стержень массы рис) подвешены к точке А. Длина нити маятника
l
, длина стержня
l
. Маятник отклоняют, так что шарик поднимается на высоту
h
, Затем шарик отпускают ион сталкивается неупруго со стержнем. Как будут двигаться шарики нижний конец стержня после удара и на какие высоты поднимутся
4.63. Решить задачу 4.62, если до удара нижний конец стержня был поднят на высоту
h
4.64. Вертикально висящая однородная доска длины
L
= 1,5 ми массой
M
= 10 кг может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через ее верхний конец. В нижний конец доски ударяет пуля массы
m
= 10 г, летящая горизонтально с начальной скоростью
v
0
= 600 м, пробивает доску и вылетает со скоростью
v
. Определить скорость
v
, если после удара доска стала колебаться с угловой амплитудой
α = 0,1 рад. Рис 4.65. Тонкая прямоугольная пластина может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси
АА
1
(рис.4.33), спадающей с одной из ее дин ых сторон. Короткая сторонам. В точку
B
, находящуюся ниже оси вращения на расстоянии ов л нм, ударяет пуля массы
m
1
= 10 г, летевшая горизонтально перпендикулярно пластине со скоростью
v
= 200 мс. Масса пластины Рис
m
2
0
b
x
v
x
A
1
m
1
→
2
= 8 кг. Какую угловую скорость приобретет пластина, если удар абсолютно упругий При каком значении
x
в момент удара не возникнет горизонтальная сила реакции оси, действующей на пластину
79

4.66 На гладкой горизонтальной поверхности лежит стержень длины l и массы M (рис. В точку, на расстоянии x от середины стержня абсолютно упруго ударяет шарик массы m, движущийся перпендикулярно ему. Найти x и соотношение масс M и m, при котором шарик передал стержню всю свою кинетическую энергию.
4.67. Горизонтальная платформа массой
m
1
= 120 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая n
1
=
8 об/мин. Человек массой m
2
= 60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой частотой начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы в точку, расположенную от центра платформы на расстоянии половины ее радиуса Считать платформу круглым однородным диском, а человека - материальной точкой. Рис
B
x
m
4.68. На горизонтальный диск, вращающийся вокруг своей оси с угловой скоростью
ω
1
, падает другой диск, вращающийся вокруг той же оси с угловой скоростью
ω
2
. Моменты инерции дисков относительно указанной оси равны J и J
1 2
. Удар абсолютно неупругий. Насколько изменится кинетическая энергия системы после падения второго диска
4.69. Человек массой m
1
стоит на краю горизонтального однородного диска массы m
2
и радиуса R, который может свободно вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр. В некоторый момент человек начал двигаться по краю диска, совершил перемещение на угол
ϕ
1
относительно диска и остановился. Пренебрегая размерами человека, найти угол, на который повернулся диск к моменту остановки человека.
4.70. Однородный стержень длиной l висит на горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. Какую угловую скорость
ω
0
надо сообщить стержню, чтобы он повернулся на 90
°?
4.71. Частица массы M начинает двигаться со скоростью v
0, составляющей угол
α
с горизонтом, по гладкой внутренней поверхности вертикального цилиндра радиуса R. Найти силу давления частицы на стенку цилиндра.
4.72. Цепочка массой m, образующая окружность радиуса R, надета на гладкий круговой конус с углом полураствора
θ, вращающийся с постоянной угловой скоростью
ω вокруг вертикальной оси (рис. Найти натяжение цепочки. Рис
ω
θ
80

Гравитационное поле Основные понятия и законы
По современным представлениям, в природе существует четыре вида фундаментальных взаимодействий гравитационное, электромагнитное, ядерное и слабое. Последние два из них предмет изучения ядерной физики. Большинство сил, с которыми оперирует механика относятся к нефундаментальным – сила упругости, сила трения. Важными фундаментальными силами являются гравитационные силы, выражение для которых дает закон всемирного тяготения сила, с которой две материальные точки массами и притягиваются друг к другу, прямо пропорциональны массам этих точек и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними
1
m
2
m
F
F
F
F
F
e
r
m
m
F
r
m
m
F
=
=
−
=
=
=
12 21 12 21 12 2
2 1
12 2
2 1
,
,
,
r r
r r
r r
γ
γ
, (5.1)
(
)
2 с кг м 67
,
6
⋅
⋅
=
γ
−
12
er где
- гравитационная постоянная,
- единичный вектор, направленный от первой точки ко второй (рис. Гравитационное взаимодействие осуществляется через гравитационное поле. Тело массы
M
создает в пространстве вокруг себя гравитационное поле. Напряженностью гравитационного поля называется
m
F
g
r r =
, (5.2) где
F
r
- сила, действующая на точку массы
, помещенную в гравитационное поле, созданное телом массы Напряженность – это сила, действующая на единичную массу со стороны поля. Как всякое стационарное поле центральных сил, гравитационное поле является потенциальным, гравитационные силы – консервативными. Напомним, что работа консервативных сил при перемещении по замкнутому контуру равна нулю. Например, при движении спутника по орбите вокруг Земли работа гравитационных сил равна нулю. Используя определение потенциальной энергии, данное в третьем разделе, получим выражение для потенциальной энергии гравитационного поля. Рис

Работа консервативной гравитационной силы равна убыли потенциальной энергии
dU
dA
−
=
. Проинтегрировав это соотношение получим выражение для потенциальной энергии
( )
C
r
dr
r
dr
r
F
U
+
α
=
α
−
=
−
=
∫
∫
2
, (5.3) где
α
- постоянная, С - постоянная интегрирования. За ноль отсчета потенциальной энергии можно принять любой уровень. Обычно считают, что при
0
=
∞
→
U
r
, следовательно, С = 0.
r
e
r
Mm
F
r r
2
γ
=
Mm
γ
−
=
α
, те. Поскольку
,
потенциальная энергия
частицы массы
m
в гравитационном поле, созданном телом массы определяется выражением
r
Mm
U
γ
−
=
. (5.4) Потенциалом гравитационного поля называется величина, равная потенциальной энергии частицы единичной массы в данной точке поля
m
U
=
ϕ
. (5.5) Работа, совершаемая силами гравитационного поля над частицей массы
m
при перемещении ее из точки 1 поля в точку 2, равна убыли потенциальной энергии
(
)
(
)
2 1
2 1
1 2
12
ϕ
−
ϕ
=
−
=
−
−
=
m
U
U
U
U
A
. (В случае центрально симметричного поля очевидно, что продифференцировав или по
ϕ
r
, мы получим соответственно выражения силы (5.1) и напряженности поля (Соотношения (5.1)-(5.6), записанные для материальных точек массами M и m, будут справедливы и для системы, состоящей из однородного шара массы M и частицы массы
m, и для двух однородных шаров, если под Рис. 5.2
S
g
r
s
d
r
n
r
ds
r
понимать расстояние между их центрами. Рассмотрим в качестве примера гравитационное поле Земли, считая Землю однородным шаром массы
M
. В этом случае напряженность - это ускорение свободного падения в гравитационном поле Земли. Получим выражение для него.
82

Элементарным потоком вектора сквозь поверхность называется скалярное произведение
ds
( )
α
=
=
Φ
cos
gds
s
d
g
d
g
r r
, (5.7)
n
ds
s
d
r где
, - единичный вектор нормали к поверхности,
n
r
α
- угол между векторами
g
r ирис. Потоком вектора сквозь произвольную поверхность называется
M
r
g
s
d
g
d
S
S
g
g
′
πγ
=
π
⋅
=
=
Φ
=
Φ
∫
∫
4 4
2
r Теорема Гаусса поток
g
Φ вектора напряжённости гравитационного поля
g
r сквозь произвольную замкнутую поверхность равен с множителем (
M
′
πγ
4
) суммарной массе
, заключённой внутри этой поверхности
M
d
S
g
g
′
πγ
=
Φ
=
Φ
∫
4
(5.8) Выберем в качестве гауссовой поверхности поверхность сферы радиуса
r
(рис.
h
R
r
R
r
−
=
< ,
масса, заключенная внутри поверхности
S
, Если
M
′ - это масса шара
3 3
3 3
4
r
R
M
r
M
=
π
ρ
=
′
, (5.9)
3 где масса Земли
,
ρ
- плотность Земли.
3 3
2 Из соотношений (5.8), (5,9) получим
, откуда внутри Земли (при
R
r
<
)
(
h
R
)
R
M
r
R
M
g
−
γ
=
γ
=
3 3
. (5.10) Рис Рис. 5.4

h
R
r
R
r
+
=
> Если при рис) также применить теорему Гаусса с учетом того,
M
M
′
=
, получим
M
r
g
s
d
g
d
S
S
g
g
πγ
=
π
⋅
=
=
Φ
=
Φ
∫
∫
4 4
2
r r
. (5.11)
R
r
>
) Откуда над поверхностью Земли (при
(
)
2 2
h
R
M
r
M
g
+
γ
=
γ
=
. (5.12) Из формул (5.10),(5,12) при следует, что ускорение свободного падения на поверхности Земли
2 0
R
M
g
γ
=
. (5.13) Первая космическая скорость
– это скорость, которую нужно сообщить телу массы
m
, чтобы оно двигалось вокруг Земли по круговой орбите радиуса Запишем второй закон Ньютона, учитывая, что сила тяготения сообщает телу центростремительное ускорение
2 2
R
Mm
R
mv
I
γ
=
. (5.14) Откуда получим с
км
9
,
7 0
≈
=
γ
=
R
g
R
M
v
I
. (5.15) Вторая космическая скорость - это скорость, которую необходимо сообщить телу массы
m
на поверхности Земли, чтобы оно покинуло пределы поля тяготения Земли, те. удалилось на расстояние от центра Земли Запишем закон сохранения механической энергии
2 применительно к этому случаю. На поверхности Земли полная механическая энергия
R
mM
mv
U
E
E
II
K
γ
−
=
+
=
2 2
1 1
1
. (5.16) На расстоянии
. (5.17)
0 0
0 2
2 2
=
+
=
+
=
U
E
E
K
0 Следовательно
. (5.18) Откуда получим с
км
11 2
2 0
≈
=
γ
=
R
g
R
M
v
II
(5.19) Если массы взаимодействующих тел соизмеримы, например две звезды (два однородных шара, то они будут двигаться под действием сил тяготения вокруг из общего центра масс точки С, который
84

находится на прямой, соединяющей их центры, ноне совпадает с центром ни одной из них. Такая задача о движении двух взаимодействующих частиц называется задачей двух тел. Ее решение сводится к рассмотрению движения воображаемой частицы, масса которой называется приведенной массой частиц
2 1
2 1
m
m
m
m
+
=
μ
, (5.20) в центральном силовом поле
. (5.21)
F
a
r r В рассматриваемом случае под понимается сила тяготения
(5.1).
m
M
>> , центр масс С системы двух тел Поскольку масса Земли
M
и совпадает с центром Земли. Следовательно, тело массы
m
, являющееся спутником Земли, будет двигаться вокруг нее по круговой орбите Если высота орбиты
h
(см.рис.5.4), в соответствии со вторым законом Ньютона для спутника на орбите получим
m
(
) (
)
2 2
h
R
Mm
h
R
mv
+
γ
=
+
, (5.22) откуда скорость спутника на круговой орбите высоты
h
равна Аналогично, если считать массу Земли значительно меньшей массы Солнца, Земля как спутник движется вокруг Солнца по круговой орбите, центром которой является их общий центр масс С – центр Солнца.
В общем случае движение планет в поле тяготения Солнца описывается законами Кеплера Планеты движутся по эллипсам, водном из фокусов которых находится Солнце.
→
v
2.Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади. Квадраты периодов обращения двух планет относятся как кубы больших полуосей их орбит (рис)
3 2
3 1
2 2
2 1
a
a
T
T Законы Кеплера справедливы также для движения спутников вокруг планет. Рис
a
b
r
2
r
1
→
F
1
r
α
F
2 85

Примеры решения задач Задача 5.1. Спутник, движущийся в плоскости экватора, по круговой орбите в сторону вращения Земли будет оставаться неподвижным относительно поверхности Земли, если период обращения спутника равен 24 часам. Найти радиус
R
орбиты такого стационарного спутника рис. Радиус Земли км Решение. Сила тяготения, действующая на спутник, равна произведению его массы на нормальное центростремительное) ускорение Рис. 5.6
ω
0
R
v
r
R
m
M
R
m
R
mM
2 2
ω
=
γ
ω
π
=
ω
=
=
2
,
,
2
T
R
a
ma
F
n
n
, следовательно, Подставив в это уравнение известное соотношение
, получим
2 0
0
R
g
M
З
=
γ
км
42370 4
3 2
2 2
0 0
=
π
=
T
R
g
R
R
T
R
R
g
2 2
2 2
0 0
4
π
=
. Откуда Задача 5.2. Найти зависимость веса тела массы
m от географической широты рис. Решение. Вес тела – это сила, с которой тело действует на связь (Землю. По третьему закону Ньютона, она равна силе реакции опоры
N
, действующей со стороны Земли на тело. Ее можно определить через проекции
,
, на оси координат. Для тела массы
m
запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси
x
и Рис. 5.7
ω
g
mr
x
N
y
N
x
y
r
R
r
m
N
mg
x
2
cos
ω
=
−
ϕ
, Откуда получим
(
)
R
g
m
R
m
mg
N
x
2 2
cos cos cos
ω
−
ϕ
=
ϕ
ω
−
ϕ
=
,
86

ϕ
=
sin
mg
N
y
ϕ
равен В итоге вес тела на широте
(
)
(
)
sin
2
cos sin cos
2 2
2 4
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 Задача 5.3. Доказать, что внутри однородного шарового слоя Решение. Точка А – произвольная точка внутри шарового слоя (рис. Поведем из этой точки два малых конуса с одинаковыми телесными углами Рис 1
ΔΩ , которые вырезают на поверхности слоя и
1
S
Δ
2
S
Δ . Массы элементов шарового слоя внутри конусов и
, и
- радиус- векторы, проведенные из точки А к центру масс каждого элемента и
. Поэтому 2
rr
1
m
rr
1
m
Δ
Δ
2
m
Δ
02 2
2 2
01 2
1 1
r
r
m
r
r
m
g
r r
r
Δ
γ
+
Δ
γ
=
Δ
02 01
, r
r
r r
, где
- орты. Масса элемента шарового слоя равна
α
Δ
ρ
=
Δ
ρ
=
Δ
cos
0
S
h
S
h
m
, где
- площадка, перпендикулярная оси конуса,
0
S
Δ
ρ
- плотность, - толщина слоя. Учитывая выражения для
h
,
, получим
1
m
Δ
2
m
Δ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Δ
+
Δ
α
γρ
=
Δ
02 2
2 02 01 2
1 01
cos
r
r
S
r
r
S
h
g
r r
r
ΔΩ
=
Δ
2 Так как, по определению телесного угла,
, то
(
02 01
cos
r
r
h
g
r r
r
+
α
ΔΩ
γρ
=
Δ
02 01
r
r
r r
−
=
)
. Поскольку как противоположные орты и
(
)
0
,
0 02 01
=
Δ
=
+
g
r
r
r r
r
87

Внутри однородного шарового слоя
0
=
g
r в любой точке. Это же следует из теоремы Гаусса для гравитационного поля. Рис.
5 9
Задача 5.4. Найти зависимость
( )
r
g
g
r r
r =
внутри однородного шара радиуса Решение. Выбрав произвольную точку А внутри шара, проводим через нее концентрическую сферу (рис. Поле в точке
А
определяется массой
M
′ , заключенной внутри сферы радиуса
r
, слой толщиной
r
R
h
−
=
вне сферы радиуса поле в точке Ане создает. Откуда
,
3 4
3 4
3 4
0 0
2 3
0 2
r
k
r
r
r
r
r
r
r
r
M
g
g
A
r r
r r
r r
r
=
πργ
=
πργ
=
=
ρ
π
γ
=
′
γ
=
=
( )
r
g
g
r r
r те. ускорение свободного падения внутри шара пропорционально расстоянию до центра шара О и направлено по радиусу к центру шара. Задача 5.5. Доказать, что внутри произвольной сферической полости, сделанной в однородном шаре
const
g
=
r
, те. гравитационное поле однородно. Решение. Рассмотрим поле в точке А (рис. Если бы не было полости, то
1 1
r
k
g
r r = . Наличие полости в объеме шара радиуса
R
меняет это полена. Поэтому искомое поле определяется вектором напряженности Рис.
5 10
R
A
gr , равным
(
)
d
k
r
r
k
r
k
r
k
g
g
g
A
r r
r r
r r
r r
=
−
=
−
=
−
=
2 1
2 1
2 Модуль
- это расстояние между центром шара О и полости
, О, поэтому
88

Задача 5.6. Найти напряженность гравитационного поля, создаваемого двумя звездами массами и
, расстояние между центрами которых
l
, в точке А, расположенной на расстоянии и от первой и второй звезд соответственно (рис. Рис Решение. По принципу суперпозиции напряженность гравитационного поля в точке А есть векторная сумма напряженностей
1
gr
2
gr и
, создаваемых каждой звездой
2 1
g
g
g
A
r Из векторных треугольников по теореме косинусов получим cos
2
,
cos
2 2
1 2
2 2
1 2
2 1
2 2
2 1
2
α
−
+
=
α
+
+
=
r
r
r
r
l
g
g
g
g
g
2 1
2 2
2 1
2 2
1 2
2 2
1 2
2 Исключив cos , найдем Подставив значения и
, получим
1
g
2
g
(
)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
+
γ
=
2 2
2 1
2 2
2 1
2 2
1 4
2 2
2 4
1 2
1 2
2 Определим направление вектора
(угол
) по теореме косинусов откуда
β
,
cos
2 1
2 2
1 2
2
β
+
+
=
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
1 2
2 2
1 2
2
cos
−
+
=
β
Потенциал гравитационного поля в точке А равен алгебраической сумме потенциалов и
1
ϕ
2
ϕ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
γ
−
=
ϕ
+
ϕ
=
ϕ
2 2
1 1
2 Рис Задача 5.7. Двойная звезда
– это система из двух звезд, движущихся вокруг их общего центра масс С (рис. Известны расстояние между компонентами двойной звезды и период ее обращения
T
89

вокруг точки С. Считая, что
l
не меняется, найти суммарную массу системы. Решение. Обозначим массы компонент двойной звезды и Положение центра масс С определяется соотношением
1
m
2
m
1 2
m
m
x
l
x
=
−
2 1
2
m
m
lm
x
+
=
, откуда Используя закон всемирного тяготения, запишем второй закон Ньютона для компонентов двойной звезды
(
)
(
)
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−
π
=
−
ω
=
γ
π
=
ω
=
γ
4
,
4 2
2 2
2 2
2 2
1 2
2 1
2 1
2 2
1
x
l
T
m
x
l
m
l
m
m
x
T
m
x
m
l
m
m
(
)
,
4 2
2 2
1
T
l
x
l
m
γ
−
π
=
4 2
2 Откуда Искомая масса равна
2 3
2 2
1 Задача 5.8. Найти вторую космическую скорость для Луны. Сопротивление среды не учитывать. Ускорение свободного падения на поверхности Луны
2 см, где
76
,
5 Л- ускорение свободного падения на поверхности Земли. Радиус Луны
75
,
3 Л, где радиус Земли км Решение. Вторая космическая скорость для Луны - это скорость, которую необходимо сообщить телу на поверхности планеты, чтобы оно могло преодолеть ее поле тяготения и удалиться на бесконечность, где потенциальная и кинетическая энергия тела будут равны нулю. Поскольку гравитационные силы консервативны, а поле потенциально, запишем закон сохранения энергии
0 2
2
=
γ
−
Л
Л
IIЛ
R
mM
mv
Л
Л
IIЛ
R
M
v
γ
= или Откуда
0
=
+ Учитывая соотношение
, получим
2 0
Л
Л
Л
R
g
M
=
γ
с м 4
,
2 2
2 3
0 2
0
⋅
≈
=
=
Л
Л
Л
Л
Л
IIЛ
R
g
R
R
g
v
90

Задача 5.9. Найти работу по переносу тела массы
m
с одной планеты на другую в отсутствии сил сопротивления. Массы
,
и радиусы
, планет известны, расстояние между ними велико (рис.
1
M
2
M
1
R
2
R
>>
>>
l
1
m
1
R
2
m
2
R
Рис.
5.13
Решение. Очевидно, что
U
A
A
сопр
Δ
=
+
По условию
, значит,
0
=
сопр
A
(
)
2 Так как l
и l
,
работа приближенно равна
1
R
2
R
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
γ
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
γ
−
≈
2 2
1 1
1 1
2 Задача 5.10. Определить гравитационную силу, действующую на материальную точку массы
m
со стороны тонкого однородного стержня массы
M
длины
l
, если точка расположена на оси стержня на расстоянии
a
от его ближайшего конца (рис. Рис Решение. Обозначим линейную плотность массы стержня
l
M
=
τ
Выделим элемент стержня длиной массой
dx
dx
dM
τ
=
, удаленный от
m
на расстояние
x
. Тогда для двух материальных точек и
m
можно записать закон всемирного тяготения в виде
dM
2 Силу найдем, проинтегрировав это выражение
(
)
l
a
a
mM
l
a
a
m
a
l
a
x
m
x
dx
m
F
l
a
a
+
γ
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
τ
γ
=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
τ
γ
=
τ
γ
=
∫
+
1 1
1 Задача 5.11. Напряженность гравитационного поля планеты на ее поверхности равна
g
. Определить потенциал гравитационного поля в точке, удаленной от поверхности на расстояние, равное радиусу
R
91

Решение. На тело массы на поверхности планеты массы
m
2
R
mM
F
γ
=
M
R
радиуса действует сила Сила и потенциальная энергия связаны соотношением
dr
dU
U
F
−
=
−
= Откуда потенциальная энергия Напряженность гравитационного поляна поверхности планеты
m
F
g
r r =
0 2
0
R
M
g
γ
=
; следовательно Потенциал поля
ϕ
равен Если точка А удалена на расстояние 2
R
от центра планеты, то потенциал в этой точке равен
R
M
2
γ
−
=
ϕ
2 Так как
, окончательно получим
M
R
g
γ
=
0 92

Задачи для самостоятельного решения
5.12. Чему равна сила
F
взаимного притяжения двух космических кораблей массой
m
= 10 т каждый, если они сблизятся до расстояниям. Найти силу гравитационного взаимодействия
F
между двумя протонами, находящимися на расстоянии
r
= 10
-16
м друг от друга. Масса протона
m
= 1,67 10
-27
кг.
5.14. На какой высоте на поверхностью Земли напряженность поля тяготения равна кг
Н
5
,
0
? Определить потенциал поля тяготения на той же высоте.
5.15. Найти выражение для напряженности поля и силы гравитационного взаимодействия между тонким однородным кольцом радиусом
R и массой Ми материальной точкой массой
m
, лежащей в центре кольца.
5.16. Считая орбиту Земли круговой, определить линейную скорость движения Земли вокруг Солнца.
v
5.17. Найти выражение для напряженности поля и силы гравитационного взаимодействия между тонким однородным кольцом радиусом
R
и массой Ми материальной точкой массой
m, лежащей на высоте
h
на перпендикуляре к плоскости, восстановленном из центра кольца.
5.18. Имеется тонкий однородный прямой стержень длины
a
l
2
=
и массы М. На прямой, перпендикулярной коси стержня, проходящей через его центр, на расстоянии
a
b
2
=
от центра находится частица массы
m
. 1) Найти модуль силы
F
, с которой стержень действует на частицу. 2) Сравнить силу
F
с силой
F
', с которой взаимодействовали бы материальные точки с массами
M
и
m
, находящиеся на расстоянии друг от друга.
5.19. Период обращения по круговой орбите спутника Земли ч На какой высоте от поверхности Земли находится спутник
5.20. Тонкий однородный диск радиусом
R имеет массу Определить силу гравитационного взаимодействия между этим диском и материальной точкой массой
m
, лежащей 1) на оси диска на расстоянии
h
от него 2) в центре диска.
5.21. Определить среднюю плотность Земли, если известна гравитационная постоянная
2 кг м
Н
10 67
,
6
⋅
⋅
=
−
γ
и радиус Земли км 4
,
6 3
⋅
=
R
5.22. Тонкий однородный диск радиусом
R
имеет массу Определить зависимость силы взаимодействия между этим диском и материальной точкой массой
m
от ее расстояния
h
от плоскости диска в направлении его оси симметрии. При каких
h
сила
F будет
93

максимальной и минимальной
5.23. Найти вес тела массой
m
= 1 кг, находящегося между Землей и Луной на расстоянии
x
= 10 8
мот центра Земли.
5.24. Два предмета одинаковой массы вовремя лунного затмения находятся в диаметрально противоположных точках земной поверхности на прямой, проходящей через центры Луны, Земли и Солнца. Вес какого из них будет больше
5.25. Найти изменение ускорения свободного падения тела на глубине
h
от поверхности Земли. На какой глубине ускорение свободного падения составит 0,3 от ускорения свободного падения на поверхности Земли Плотность Земли считать постоянной.
5.26. Сравнить ускорение свободного падения у поверхности Луны л с ускорением свободного падения у поверхности Земли з 5.27. Найти зависимость ускорения свободного падения
g
от высоты
h
над поверхностью Земли. На какой высоте
h ускорение свободного падения
g
h составляет 0,25 ускорения свободного падения
g
у поверхности Земли
5.28. Ускорение свободного падения на поверхности некоторой планеты равном. С каким ускорением начнет свободно падать тело, поднятое над поверхностью планеты на высоту, равную 1) радиусу планеты, 2) 0,001 радиуса
5.29. Два медных шарика с диаметрами
D
1
= 4 см и
D
2
= 6 см находятся в соприкосновении друг с другом. Найти гравитационную потенциальную энергию п этой системы.
5.30. Каково соотношение между высотой
H
горы и глубиной шахты, если на вершине горы и на дне шахты ускорение свободного падения одинаково
5.31. На какой высоте
H
над поверхностью Земли напряженность поля тяготения
g
= 1 Н/кг?
5.32. Какое ускорение Солнце сообщает телам, находящимся на Земле
5.33. Найти расстояние планеты от Солнца, если даны масса Солнца
d
, период обращения планеты вокруг Солнца
М
Т
и гравитационная постоянная .
γ
5.34. Радиус планеты Марс км, масса кг. Определить напряженность
g
поля тяготения на поверхности Марса.
3 10 4
,
3
⋅
=
R
23 10 4
,
6
⋅
=
m
5.35. Спутник нейтронной звезды вращается по круговой орбите в непосредственной близости от ее поверхности. Определить период
3 мкг спутника, если плотность звезды Т 5.36. На каком расстоянии r от центра Земли находится точка, в
94

которой напряженность Е суммарного гравитационного поля Земли и Луны равна нулю Принять, что масса
M
Земли враз больше массы
m
Луны и что расстояние l
от центра Земли до центра Луны равно 60 радиусам
R
Земли.
Определить напряженность гравитационного поля, создаваемого тонкой бесконечной однородной нитью на расстоянии
r
0
, используя принцип суперпозиции. Масса единицы длины нити равна
σ
5.38. Найти силу гравитационного взаимодействия между тонкой однородной нитью длиной l и массой
M
и материальной точкой массой
m
, лежащей на отрезке перпендикуляра длиной
r
0
, восстановленного к середине нити. Рассмотреть также случай
l
>>
r
0 5.39. Имеется бесконечная однородная пластина толщины
d
= 0,1 м, плотность которой
ρ = 10 г/см
3
. С какой силой
F
действует эта пластина на находящееся вблизи от нее тело массы
m
= 1 кг
5.40. С какой силой
F
в расчете на единицу площади притягивают друг друга две параллельные бесконечные однородные пластины плотности
ρ = 10 кг/см
3
и и толщины
d
= 0,1 м каждая
5.41. Имеется тонкий однородный слой в виде полусферы радиуса
R
и массы
M
. В центре полусферы находится частица массы Найти модуль
F
силы, с которой слой действует на частицу.
5.42. Найти напряженность
g
в пространстве между двумя тонкими, параллельными, бесконечными, однородными плоскостями и вне их. Масса единицы поверхности равна
σ.
5.43. Вывести выражение для напряженности гравитационного поля, создаваемого тонкой сферической оболочкой радиусом
R внутри и вне оболочки. Масса единицы поверхности оболочки равна
σ. Построить график зависимости
g
=
f
(
r
).
5.44. Определить напряженность гравитационного поля, создаваемого тонкой бесконечной однородной нитью на расстоянии
r
0
, используя аналог теоремы Гаусса для электростатики. Масса единицы длины нити равна
σ.
5.45. Найти напряженность
g
и потенциал
ϕ
гравитационного поля, создаваемого однородным шаром, масса которого
M
, радиус Нарисовать графики зависимостей
g
(
r
) и
ϕ(
r
) для этого случая.
5.46. С какой скоростью упадет на поверхность Луны метеорит, скорость которого вдали от Луны мала Атмосферы на Луне нет. Масса Луны
, радиус Луны
, гравитационная постоянная кг 3
,
7 22
⋅
=
Л
М
м
10 74
,
1 Л кг м
Н
10 67
,
6
⋅
⋅
=
γ
−
5.47. Определить значение потенциала
ϕ
гравитационного поляна поверхности Земли и Солнца.
5.48. Определить высоту подъема снаряда зенитного орудия
95

см 2
3 запущенного вертикально вверх со скоростью
. Какой путь пройдет снаряд за первую секунду своего падения на землю Сопротивлением воздуха пренебречь.
5.49. Во сколько раз кинетическая энергия
Е
к искусственного спутника Земли, движущегося по круговой орбите, меньше его гравитационной потенциальной энергии
U
?
5.50. Определить работу А, которую совершат силы гравитационного поля Земли, если тело массой Мкг упадет на поверхность Земли 1) с высоты
h
, равной радиусу
R
Земли 2) из бесконечности.
5.51. Метеорит падает на Солнце сочень большого расстояния, которое практически можно считать бесконечным. Начальная скорость метеорита пренебрежимо мала. Какую скорость
v
будет иметь метеорит в момент, когда его расстояние от Солнца будет равно среднему расстоянию Земли от Солнцам мкг. Два алюминиевых шарика радиусами и соприкасаются друг с другом. Определить потенциальную энергию их гравитационного взаимодействия. см см 2
=
r
5.53. Бур поднимают на поверхность Земли из скважины глубиной
h
. Определить относительную погрешность, допускаемую при определении работы по поднятию бура, без учета изменения его веса.
5.54. Каким должен быть радиус однородной сферы плотностью
ρ = 5500 кг/м
3
, чтобы потенциал ее гравитационного поля в точке, лежащей на поверхности сферы был равен
ϕ = 10 4
Дж/кг?
5.55. Каким должен быть радиус однородной сферы плотностью 5500 кг/м
3
, чтобы потенциальная энергия молекулы азота, расположенной у поверхности сферы, в гравитационном поле этой сферы была равна
? Дж 6
,
1 20
−
⋅
5.56. Какую работу необходимо совершить, чтобы тело массой
500 кг стало спутником Солнца
5.57. Имеется тонкий однородный стержень массой и длинной . Для точки, находящейся на одной прямой со стержнем на расстоянии от его ближайшего конца, определить потенциал гравитационного поля стержня 2) напряженность его гравитационного поля.
m
l
a
5.58. Космический корабль движется вокруг Земли по круговой орбите, радиус которой в
η = 2,5 раза больше радиуса Земли. Какую дополнительную скорость надо кратковременно сообщить кораблю в направлении от центра Земли по ее радиусу, чтобы он смог покинуть поле тяготения Земли
96

5.59. Ракета, пущенная вертикально вверх, поднялась на высоту
H
= 3200 км и начала падать. Какой путь
h
пройдет ракета за первую секунду своего падения
5.60. Планета Марс имеет два спутника Фобос и Деймос. Первый находится на расстоянии от центра масс Марса, второй - на расстоянии
. Найти периоды обращения
Т
км
10 95
,
0 км 4
,
2 и Т этих спутников вокруг Марса.
5.61. Спутник Земли обращается вокруг нее по окружности на высоте
h
= 3600 км. Найти линейную скорость спутника. Радиус Земли
R и ускорение свободного падения
g считать известными.
5.62. Искусственный спутник Луны движется по круговой орбите на высоте
h
= 20 км. Найти линейную скорость v движения этого спутника, а также период его обращения Т вокруг Луны.
5.63. Найти вторую космическую скорость для Луны.
5.64. Луна движется вокруг Земли со скоростью
v
1
= 1,02 км/с, среднее расстояние Луны от Земли равно 60,3 радиуса Земли Определить по этим данным, с какой скоростью
v
2
должен двигаться искусственный спутник, обращающийся вокруг Земли на незначительной высоте над ее поверхностью
5.65. Ближайший спутник Марса находится на расстоянии
r
= 9 Мм от центра планеты и движется вокруг нее со скоростью
v
=
2,1 км/с. Определить массу Марса M
5.66. Найти период обращения Т вокруг Солнца искусственной планеты, если известно, что большая полуось
R
1
ее эллиптической орбиты превышает большую полуось
R
2
земной орбиты на км 24
,
0 8
⋅
=
ΔR
5.67. Один из спутников планеты Сатурн находится приблизительно на таком же расстоянии
r от планеты, как Луна от Земли, но период Т его обращения вокруг планеты враз меньше, чему Луны. Определить отношение масс Сатурна и Земли.
5.68. Большая полуось
R
1
эллиптической орбиты первого в мире искусственного спутника Земли меньше большой полуоси
R
2
орбиты второго спутника на
Δ
R
= 800 км. Период обращения вокруг Земли первого спутника вначале его движения был Тмин. Найти большую полуось
R
2
орбиты второго искусственного спутника Земли и период
T
2
его обращения вокруг Земли.
5.69. Период обращения одного из спутников Юпитера Т = 2 года, его среднее расстояние от планеты
r
1
= 23,5 млн. км. Период обращения Юпитера вокруг Солнца Т = 12 лет, его среднее расстояние от Солнца
r
2
= 7 млн. км. Определить отношение массы Солнца к массе Юпитера
С
M
Ю
M
5.70. Минимальное удаление от поверхности Земли
97

космического корабля "Восток" составляло
h
min
= 183 км, а максимальное удаление -
h
max
= 244 км. Найти период обращения корабля вокруг Земли.
5.71. Какова будет скорость
v
ракеты на высоте, равной радиусу Земли, если ракета запущена с Земли с начальной скоростью
v
0
= 10 км Сопротивление воздуха не учитывать.
5.72. Космический корабль вывели на круговую орбиту вблизи поверхности Земли. Какую дополнительную скорость в направлении его движения необходимо кратковременно сообщить кораблю, чтобы он мог преодолеть земное тяготение
5.73. Ракета запущена с Земли с начальной скоростью
v
0
=
15 км/с. К какому пределу будет стремиться скорость ракеты, если расстояние ракеты от Земли будет бесконечно возрастать Сопротивление воздуха и притяжение других небесных тел, кроме Земли, не учитывать.
5.74. С какой линейной скоростью
v
будет двигаться искусственный спутник Земли по круговой орбите ау поверхности Земли б) на высоте
h
= 200 км и
h
= 7000 км от поверхности Земли Найти период обращения Т спутника Земли при этих условиях.
5.75. Найти центростремительное ускорение
a
n
, с которым движется по круговой орбите искусственный спутник Земли, находящийся на высоте
h
= 200 км от поверхности Земли.
5.76. Радиус Луны
R
1
= 0,27
R
2
радиуса Земли. Средняя плотность
ρ
1
= 0,61
ρ
2
- средней плотности Земли. Зная ускорение свободного падения на поверхности Земли, определить по этим данным ускорение g
1
свободного падения на поверхности Луны.
5.77. Период обращения искусственного спутника Земли часа. Считая орбиту спутника круговой, найти, на какой высоте
h
над поверхностью Земли движется спутник.
98

Колебания Основные понятия и законы Движение называется периодическим, если
( ) (
)
T
t
x
t
x
+
=
, где
T
- период. (6.1) Колебание – это периодическое движение около положения равновесия. На рис в качестве примера изображены периодические негармонические колебания около положения равновесия
x
Рис.6.1
х
0
t
T
0
= 0. Период – это время, за которое совершается одно полное колебание. Частота – число полных колебаний в единицу времени
T
1
=
ν
. (6.2) Круговая (циклическая) частота
T
π
=
πν
=
ω
2 2
. (6.3) Гармоническими
называются колебания, при которых смещение точки от положения равновесия в зависимости от времени изменяется по закону синуса или косинуса
(
α
+
ω
=
t
A
x
0
sin
)
, (6.4) где
A
- амплитуда колебаний (максимальное смещение точки от положения равновесия,
0
ω - круговая частота гармонических колебаний,
- фаза,
α - начальная фаза (при
t
= 0).
α
+
ω Система, совершающая гармонические колебания, называется классическим гармоническим осциллятором или колебательной системой. Скорость и ускорение при гармонических колебаниях изменяются по законам
(
α
+
ω
ω
=
=
=
t
A
x
dt
dx
v
0 0
cos
&
)
, (6.5)
(
α
+
ω
ω
−
=
=
=
t
A
x
d
)
t
x
d
a
0 2
0 2
2
sin
&&
. (6.6) Из соотношений (6.6) и (6.4) получим
x
a
2 0
ω
−
=
, (6.7)
99

откуда следует, что при гармонических колебаниях ускорение прямо пропорционально смещению точки от положения равновесия и направлено противоположно смещению. Из уравнений (6,6), (6,7) получим
0 2
0
=
ω
+
x
x
&&
. (6.8) Уравнение (6.8) называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний, а (6.4) является его решением. Подставив
(6.7) во второй закон Ньютона
a
m
F
r r
=
, получим силу, под действием которой происходят гармонические колебания
x
m
F
2 0
ω
−
=
. (6.9) Обозначим
. (6.10)
k
m
=
ω
2 Из (6.9), (6.10) получим
x
k
F
r r
−
=
. (6.11) Эта сила, прямо пропорциональная смещению точки от положения равновесия и направленная противоположно смещению, называется возвращающей силой,
k
называется коэффициентом возвращающей силы. Таким свойством обладает сила упругости. Силы другой физической природы, подчиняющиеся закону (6.11), называются
квазиупругими
Колебания, происходящие под действием сил, обладающих свойством (6.11), называются собственными свободными гармоническими) колебаниями. Из соотношений (6.3),(6.10) получим круговую частоту и период этих колебаний
k
m
T
m
k
π
=
=
ω
2
;
0 0
. (6.12) При гармонических колебаниях по закону (6.4) зависимости кинетической и потенциальной энергии от времени имеют вид
(
α
+
ω
ω
=
=
t
mA
mv
E
K
0 2
2 0
2 2
cos
2 2
)
, (6.13)
(
α
+
ω
ω
=
=
t
mA
kx
U
0 2
2 0
2 2
sin
2 2
)
. (6.14)
100

Полная энергия в процессе гармонических колебаний сохраняется
. (6.15) Подставляя в (6.15) выражения (6.4) и (6.5) для
x
и
v
, получим
2 2
0 2
max max
ω
=
=
=
mA
U
E
E
K
. (6.16) Примером классического гармонического осциллятора является легкая пружина, к которой подвешен груз массой
m
(рис. Коэффициент возвращающей силы
k
называется коэффициентом жесткости пружины. Из второго закона Ньютона для груза на пружине
F
= –
kx
получим уравнение, совпадающее по форме с дифференциальным уравнением гармонических колебаний (6.8) Следовательно, грузна пружине при отсутствии сил сопротивления среды будет совершать гармонические колебания (6.4). Гармонические колебания (6.4) можно представить в виде проекции на оси координат вектора, величина которого равна амплитуде
A
, вращающегося вокруг начала координат с угловой скоростью Рис
m
x
x
0
ω
. На этом представлении основан метод векторных диаграмм сложения гармонических колебаний с одинаковой частотой, происходящих по одной оси 2
2 1
1 1
ϕ
+
ω
=
ϕ
+
ω
=
t
A
x
t
A
x
)
(6.17) Амплитуда результирующего колебания определяется по теореме косинусов
(
)
2 1
2 1
2 2
2 1
cos
2
ϕ
−
ϕ
−
+
=
A
A
A
A
A
. (6.18) Начальная фаза результирующего колебания может быть найдена из формулы
2 2
1 1
2 2
1 1
cos cos sin sin tg
ϕ
+
ϕ
ϕ
+
ϕ
=
ϕ
A
A
A
A
. (При сложении однонаправленных колебаний с близкими частотами и возникают биения, частота которых равна
1
ω
2
ω
2 Уравнение траектории точки, участвующей в двух
взаимно
перпендикулярных колебаниях
(
)
(
2 2
1 1
sin
,
sin
ϕ
+
ω
=
ϕ
+
ω
=
t
A
y
t
A
x
)
(6.20) имеет вид
101

(
)
(
1 2
2 2
1 2
1 2
2 2
2 1
2
sin cos
2
ϕ
−
ϕ
=
ϕ
−
ϕ
−
+
A
A
xy
A
y
A
x
)
. (6.21)
, то уравнение траектории – прямая Если начальные фазы
2 1
ϕ
=
ϕ
x
A
A
y
1 2
=
x
A
A
y
1 2
−
=
, или Если разность фаз
2 2
1
π
=
ϕ
−
ϕ
=
ϕ
Δ
, точка движется по эллипсу Рис
d
C
O
ϕ
g
m
r
1 2
2 2
2 Физический маятник – это твердое тело, способное совершать колебания вокруг закрепленной оси, проходящей через точку
О
,не совпадающую сего центром масс
С
(рис.6.3). Колебания являются гармоническими при малых углах отклонения. Момент силы тяжести относительно оси, проходящей через точку О, является возвращающим моментом и выражается соотношением r
ϕ
≈
ϕ
=
r
mgd
mgd
M
sin
. (6.22) Основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид (см. формулу (4.18))
ε
⋅
=
I
M
, (6.23) где
I
- момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку О, - угловое ускорение. Из (6.23), (6.22) получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний физического маятника
0 2
2
=
ϕ
+
ϕ
I
mgd
dt
d
. (6.24)
, (6.25) Его решения
t
0 где Из (6.3) получим формулу периода колебаний физического маятника
mgd
I
T
π
= 2 0
. (6.26) Математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной
L
. Из (6.26) полагая
d
= l
,
2
ml
I
=
, получим формулу периода колебаний математического маятника
g
l
T
π
= 2
. (6.27)
102

Тело, подвешенное на легкой упругой проволоке (рис) , совершает крутильные колебания вокруг оси, совпадающей с проволокой. При повороте на малый угол в проволоке возникает возвращающий момент упругих сил
ϕ
⋅
−
= c
M
. (6.28) Коэффициент возвращающего момента зависит от материала проволоки и ее размеров Рис
M
ϕ
ϕ
L
r
G
c
4 2
⋅
π
=
, (6.29) где
G
- модуль сдвига, характеризующий упругие свойства материала,
r
- радиус проволоки,
L
- ее длина. Основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид
. (6.30)
M
I
r
&&r Из (6.28), (6.30) получим дифференциальное уравнение гармонических крутильных колебаний
0 2
2
=
ϕ
+
ϕ
I
c
dt
d
. (6.31)
(
)
α
+
ω
ϕ
=
ϕ
t
0 0
sin
, (6.32) Его решение имеет вид где
ϕ
- угловое смещение от положения равновесия,
– амплитуда колебаний. Сравнив уравнения (6.8) и (6.32), получим значения угловой частоты и периода крутильных колебаний
I
c
=
ω
0
, (6.33)
c
I
T
π
= 2
. (6.34) Свободные колебания становятся затухающими из-за наличия сил сопротивления. Например, когда материальная точка колеблется в вязкой среде, при малых скоростях на нее действует сила сопротивления среды
x
r
v
r
F
сопр
r
&
r r
−
=
−
=
, где
r
- коэффициент сопротивления среды. Поэтому из второго закона Ньютона получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний. (6.35)
2 Его решение для случая, когда
, имеет вид
(
α
+
ω
=
β
−
t
e
A
x
t
sin
0
)
, (6.36)
103

где
- амплитуда собственных затухающих колебаний,
t
e
A
β
−
0
β
- коэффициент затухания,
ω - угловая частота затухающих колебаний, - начальная фаза.
α
2 Для случая система совершает апериодическое движение к положению равновесия. Коэффициент затухания - величина обратная времени, за которое амплитуда убывает враз) Круговая частота затухающих колебаний
2 2
0
β
−
ω
=
ω
. (6.38) Период затухающих колебаний
2 2
2 2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
π
=
ω
π
=
m
r
m
k
T
. (6.39) Логарифмическим декрементом затухания называется натуральный логарифм отношения двух последовательных значений амплитуды, отстоящих друг от друга повремени на период
t
e
A
β
−
0 х
t
T Рис
(
)
T
e
A
e
A
A
A
T
t
t
T
t
t
β
=
=
=
δ
+
β
−
β
−
+
0 0
ln ln
. (6.40) Величина
δ обратна числу колебаний, за которое амплитуда убывает враз. Из (6.40) ирис видно, что
const
T
A
A
A
A
=
β
=
=
=
=
δ
ln ln
3 2
2 1
. (6.41) Рассмотренные выше гармонические и затухающие колебания являются свободными. Если на колеблющуюся точку, кроме сил упругости и сопротивления, действует внешняя сила, изменяющаяся со временем по гармоническому закону, то колебания называются вынужденными Из второго закона Ньютона
(6.42)
t
F
x
r
kx
x
m
1 получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

t
m
F
x
m
k
x
m
r
x
1 0
sin
ω
=
+
+
&
&&
. (6.43) Его решение имеет вид
(
)
(
)
Ψ
+
ω
+
α
+
ω
=
β
−
t
A
t
e
A
x
t
1 0
sin sin
. (6.44) После затухания колебаний, описываемых первым слагаемым соотношения (6.44), происходят установившиеся вынужденные колебания с частотой вынуждающей силы по закону
1
ω
(
Ψ
+
ω
=
t
A
x
1
sin
)
(6.45)
(
)
2 1
2 2
2 1
2 0
0 и амплитудой
. (6.46) Сдвиг фаз между колебаниями точки и вынуждающей силы определяется соотношением
2 1
2 0
1 2
tg
ω
−
ω
βω
−
=
Ψ
. (6.47) Резонанс – это резкое возрастание амплитуды колебаний при определенной частоте рез вынуждающей силы (6.48). Продифференцировав соотношение (6.46) по частоте и приравняв производную к нулю, получим значение резонансной частоты
1
ω
2 2
0 рез. (6.48) Из (6.46) и (6.48) найдем значение амплитуды колебаний при резонансе
2 2
0 рез. (6.49) На рис приведен график зависимости амплитуды установившихся вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы Чем меньше коэффициент затухания
, тем круче резонансная кривая. Рис
A
1
ω
1
рез
ω
2
рез
ω
2 1
β
<
β
2
β
2 0
0
ω
m
F
1
рез
A
2
рез
A
1
ω
β
105

Примеры решения задач