Федеральное агентство по образованию ассоциация кафедр физики технических вузов россии в. М. Анисимов, он. Третьякова Практический курс физики механика под редакцией проф
 Скачать 2.5 Mb.
|
|
(СТО) Основные понятия и законы Для описания движения со скоростями, близкими к скорости света, Эйнштейном была создана релятивистская механика, те. механика учитывающая требования специальной теории относительности (СТО. СТО представляет собой физическую теорию пространства и времени для случая пренебрежимо малых гравитационных полей. В ее основу положены два постулата. Первый постулат – принцип относительности Эйнштейна все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Неизменность вида уравнений при замене в них всех координат и времени одной системы отсчета на соответствующие величины другой системы называется инвариантностью. Поэтому первый постулат можно сформулировать иначе уравнения, выражающие законы природы, инвариантны по отношению к преобразованиям координат и времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Второй постулат – принцип постоянства скорости света скорость света в вакууме см) одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от движения источников и приемников света. В релятивистской механике рассматриваются только инерциальные системы отсчета. Во всех задачах считается, что оси и y y ′ , z′ , z сонаправлены, Рис O O′ x′ ′ x y′ z′ ′ z K′ K x t v 0 x′ 0 vr y x и x′ совпадают, а скорость системы координат 0 v K′ относительно системы направлена вдоль общей оси рис. Преобразования Лоренца – преобразования координат и времени при переходе от системы K′ K к 120 2 2 0 2 0 2 2 0 0 1 , , , 1 c v c x v t t z z y y c v t v x x − ′ + ′ = ′ = ′ = − ′ + ′ = . (7.1) Из преобразований Лоренца вытекает преобразование скоростей , 1 1 , 1 1 , 1 2 0 2 2 0 2 0 2 2 0 2 0 0 c v v c v v v c v v c v v v c v v v v v x z z x y y x x x ′ ′ ′ ′ ′ ′ + − = + − = + + = (7.2) где - компоненты скорости в системе z y x v v v ′ ′ ′ , , , компоненты скорости в системе При малых скоростях преобразования Лоренца (7.1) переходят в преобразования Галилея t t z z y y t v x x ′ = ′ = ′ = ′ + ′ = , , , 0 , (7.3) а преобразования скоростей (7.2) принимают вид z z y y x x v v v v v v v ′ ′ ′ = = + = , , 0 . (7.4) Таким образом, более общая физическая теория СТО включает в себя известную теорию как частный случай. Релятивистская механика при малых скоростях переходит в классическую механику Ньютона. Релятивистское сокращение длины стержня 2 2 0 0 1 c v l l − = , (7.5) где - собственная длина, те. длина стержня в системе 0 l , относительно которой он покоится, располагаясь параллельно оси x′ , l x - длина стержня в системе , относительно которой стержень движется со скоростью Релятивистское сокращение промежутков времени 2 0 0 1 c v t t − Δ = Δ , (7.6) где - собственное время, те. интервал времени между двумя событиями, происходящими водной точке в системе 0 t Δ K′ , измеренный по часам этой системы, t Δ - интервал времени между двумя событиями, в системе K K , измеренный по часам системы . Релятивистская масса 2 2 0 0 1 c v m m − = , (7.7) где - масса покоя, те. масса в системе отсчета, относительно которой частица неподвижна ( 0 m K′ K v ), , - скорость частицы ( ). Релятивистский импульс 2 2 0 0 1 c v v m v m p − = = r r r . (7.8) 121 Основное уравнение динамики (второй закон Ньютона) с учетом (7.8) имеет в релятивистской динамике тот же вид, что ив классической ( ) dt v m d dt p d F r r r = = . (7.9) В релятивистской механике полной энергией E называется сумма кинетической энергии T и энергии покоя 0 E . (Связь массы и энергии 2 mc E = , (7.11) 2 0 0 c m E = . (Учитывая соотношения (7.12), (7.11), из (7.10) получим выражение для кинетической энергии 2 0 2 2 0 2 0 2 0 2 0 1 c m c v c m c m mc E E T − − = − = − = . (7.13) Полная энергия и импульс релятивистской частицы связаны соотношением 4 2 0 2 2 2 c m c p E = − . (7.14) Связь кинетической энергии и импульса релятивистской частицы находим по формуле ( ) 2 0 2 2 2 c m T T c p + = . (7.15) 122 Примеры решения задач Задача 7.1. Вдоль оси х инерциальной системы отсчета движется ракета со скоростью v = 0,9 c , проходящая начало координат (точку О) в момент времени t = 0 (см. рис. В момент t = 9 с вслед за ракетой посылается световой сигнал из точки О, ас ракеты - световой сигнал в точку О. Найти 1) момент времени , когда сигнал из точки О достигнет ракеты 2) момент времени , когда сигнал с ракеты придет в точку О 2 t 3 t Решение. В момент времени, когда из точки О испускается световой сигнал, ракета находится от точки Она расстоянии Скорость, с которой световой сигнал догоняет ракету, равна (с – v ). Следовательно, время достижения сигналом ракеты 1 1 vt x = v c vt v c x t t t − = − = − = Δ 1 1 1 2 1 , oткуда c 9 1 1 1 1 1 1 Скорость сигнала, идущего от ракеты к точке О, равна Поэтому c vt c x t t t 1 1 1 3 2 = = − = Δ , cледовательно, ( ) ( ) 17,1c 9 , 0 1 9 1 1 1 1 Задача 7.2. Имеются две пары часов, одна из которых ( A′ , B′ ) движется относительно другой ( А , В ) со скоростью v (рис. Расстояние между часами Аи В равно l , они синхронизированы. Аналогично поступили с часами Рис ив их системе отсчета. Момент, когда часы B′ и А оказались напротив друг друга, взят за начало отсчета. Определить 1) показания часов B′ и В, когда они окажутся напротив друг друга (сточки зрения наблюдателя, связанного с часами В 2) показания часов A′ и А, когда они окажутся напротив друг друга (сточки зрения наблюдателя, связанного с часами А. Решение. Показания часов В и , когда они напротив друг друга, 2 2 2 2 1 1 ; c v v l c v v l B B B − = − τ = τ′ = τ 123 v l c v v c v l v l A A A = − τ = τ′ − = ′ = τ 2 2 2 2 1 ; 1 A′ Показания часов Аи Задача 7.3. Частица движется в системе К вдоль оси х со скоростью и ускорением . Система отсчета K′ x v x a движется вдоль оси x системы К со скоростью u . Чему равны скорость и ускорение частицы в этой системе (см. рис. Решение. Воспользуемся преобразованиями Лоренца ( ) 2 2 2 1 1 Продифференцируем , ; 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Искомая скорость ( ) , 1 1 2 c uv u v dt dx c c dt dx dx c dt cdt dx t d x d v x x x − − = β − β − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ β − γ β − γ = ′ ′ = ′ dt dx v x = . Это закон сложения скоростей. где dt v d a x x ′ = ′ Ускорение ( ) ( ) ( ) = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − ′ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ′ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 c uv c udv u v dv c uv c uv c uv u v u v c uv v d x x x x x x x x x x x 2 2 2 2 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = c uv dv c u x x 124 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ β − γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Задача 7.4. Найти собственную длину стержня, если в лабораторной системе отсчета его скорость 2 c v = , длинами угол между стержнем и направлением движения рис. 7.3). Рис x v r Решение. Линейные размеры стержня в направлении движения сокращаются ; 1 2 2 а остается постоянным. Длина стержня в лабораторной системе отсчета l ; 2 0 2 Угол наклона стержня θ + = θ + = 2 2 2 2 tg 1 ; tg 1 l x l x ( ) ; tg 1 tg 2 2 2 2 2 Поэтому 2 0 2 Длина стержня в собственной системе отсчета θ + = + = 2 2 2 Из преобразований координат Подставив в и , получим 0 x 0 y 125 ( ) tg 1 tg tg ; tg 1 1 2 0 2 2 2 Окончательно собственная длина стержня равна ( ) ( ) ( ) = θ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − θ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + = θ + θ + θ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 tg 1 1 tg 1 1 tg 1 tg tg 1 1 c v c v l l c v l l ( м 6 7 1 1 4 1 1 4 1 1 2 2 Задача 7.5. Собственное время жизни некоторой нестабильной частицы нс. Какой путь пролетит эта частица до распада в лабораторной системе отсчета, в которой ее время жизни 10 нс Решение. Соотношение между указанными временами 5 , 0 1 ; 1 0 2 2 2 2 0 = Δ Δ = − − Δ = Δ t t c v c v t t 2 3 ; 4 3 ; 4 1 1 2 2 Откуда, возведя в квадрат, получим Путь в лабораторной системе отсчетам Задача 7.6. На поверхности, перпендикулярной направлению солнечных лучей, около Земли вне ее атмосферы приходится 1,4 кВт энергии излучения Солнца (солнечная постоянная. Какую массу теряет Солнце в секунду за счет излучения света На какое время хватит 0,1 массы Солнца, чтобы поддерживать его излучение Расстояние от Солнца до Земли 150 млн км. Масса Солнца кг. м 10 2 ⋅ = C M 126 Решение. Солнечная постоянная κ = 1,4 кВт/м 2 есть удельный поток энергии (интенсивность) τ = κ S E , те. энергия, излучаемая с единицы поверхности в единицу времени всех длин волн Поток энергии (мощность) - это энергия, излучаемая в единицу времени, где 2 4 l π - площадь сферы радиуса l. Используя связь массы и энергии , получим 2 2 2 Масса, которую теряет Солнце в единицу времени, с кг 10 4 , 4 4 9 2 2 ⋅ = π κ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ τ c l m . 29 10 кг. 1/10 массы Солнца это Время, за которое масса Солнца уменьшится налет Задача 7.7. Определить релятивистский импульс p и кинетическую энергию T электрона, движущегося со скоростью Решение. Релятивистский импульс 9 , 0 ; = β = β c v 2 0 2 2 0 1 1 β − = − = = v m c v v m mv p , где см кг 6 , 5 1 22 Кинетическая энергия – это разность полной энергии и энергии покоя Дж 06 , 1 1 1 1 1 1 1 1 13 2 2 0 2 2 2 0 2 0 2 2 2 0 2 0 2 − ⋅ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − β − = = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = − − = − = c m c v c m c m c v c m c m mc T 127 Задачи для самостоятельного решения 7.8. Мезон, входящий в состав космических лучей, движется со скоростью, составляющей 95% скорости света. Какой промежуток времени Δτ по часам неподвижного наблюдателя соответствует одной секунде "собственного времени" мезона 7.9. Отношение заряда движущегося электрона к его массе, определенное из опыта, равно 0,88·10 11 Кл/кг. Определить массу движущегося электрона и его скорость. 7.10. Насколько процентов изменится продольный размер протона и электрона после прохождения ими разности потенциалов ϕ = 10 6 В 7.11. Стержень движется в продольном направлении с постоянной скоростью относительно инерциальной К-системы отсчета. При каком значении v длина стержня в этой системе отсчета будет на η = 0,5 % меньше его собственной длины 7.12. Имеются две системы отсчета K и K', относительная скорость которых неизвестна. Параллельный оси x стержень, движущийся относительно системы K со скоростью v 2 ' = 0,1 c, имеет в этой системе длину l' = 1,1 мВ системе К длина стержня равна l = 1 м. Найти скорость стержня v x в системе K и относительную скорость систем v . 0 7.13. Чему равно относительное приращение длины стержня Δ l/l, если ему сообщить скорость v = св направлении, образующем с осью стержня угол α ? Вычислить Δ l/l для α , равных 45 ° и 90 ° 7.14. Найти собственную длину стержня, если в лабораторной системе отсчета его скорость v = c/2, длинам, угол между ними направлением движения α = 45 ° 7.15. Имеются два одинаковых стержня. Стержень 1 покоится в системе отсчета К, стержень 2 покоится в системе отсчета К 2 Системы движутся друг относительно друга вдоль совпадающих осей x. Стержни параллельны этим осям. Какой стержень будет короче а) в системе K 1 , б) в системе K 2 ? 7.16. Имеется прямоугольный треугольнику которого катетами угол между этим катетом и гипотенузой α = 30 ° . Найти в системе отсчета К, движущейся относительно этого треугольника со скоростью v = с вдоль катета а : а) соответствующее значение угла α ' ; б) длину l' гипотенузы и ее отношение к собственной длине. 7.17. В системе К, относительно которой он покоится, стержень имеет длину l' = 1 ми образует с осью x' угол α ' = 45 ° . Определить длину стержня в системе К и угол α , который стержень образует с 128 осью x. Относительная скорость систем равна v = 0,5 с. 0 7.18. Суммарная поверхность неподвижного тела, имеющего форму куба, равна S 0 . Чему равна поверхность S того же тела, если оно движется в направлении одного из своих ребер со скоростью v = 0,968c? 7.19. Имеется двое одинаковых часов. Часы 1 покоятся в системе отсчета К, часы 2 покоятся в системе отсчета К. Системы движутся друг относительно друга. Какие часы идут быстрее а) в системе К, б) в системе K 2 ? 7.20. Насколько увеличится масса α -частицы при ускорении ее от начальной скороcти, равной нулю, до скорости, равной с 7.21. Плотность покоящегося тела равна ρ 0 . Найти скорость системы отсчета относительно данного тела, в которой его плотность будет на η = 25% больше ρ 0 . Под плотностью понимается отношение массы покоя тела к его объёму. 7.22. Кинетическая энергия электрона T = 10 Мэв. 1) Во сколько раз его масса больше массы покоя 2) Сделать такой же подсчет для протона. 7.23. Найти скорость частицы, если ее кинетическая энергия составляет половину энергия покоя. 7.24. Во сколько раз релятивистская масса частицы, скорость которой отличается от скорости света на 0,01 %, превышает ее массу покоя 7.25. Найти отношение e/m заряда электрона к его массе для скоростей v << c; см см см Построить графики зависимостей m и e/m от величины β = с. 7.26. Во сколько раз масса протона больше массы электрона, если обе частицы имеют одинаковую кинетическую энергию Т=1ГэВ? 7.27. Найти скорость космической частицы, если ее полная энергия в пять раз больше энергия покоя. 7.28. До какой кинетической энергии Т можно ускорить частицы в циклотроне, если относительное увеличение массы не должно превышать 5%? Задачу решить для электронов и протонов. 7.29. Электрон летит со скоростью, равной 0,8 скорости света. Определить кинетическую энергию Т электрона в МэВ. 7.30. Какую разность потенциалов должен пройти электрон протон, чтобы его собственное время стало враз меньше лабораторного 7.31. Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти протон, чтобы его продольные размеры уменьшились в 2 раза 7.32. При какой скорости кинетическая энергия любой частицы 129 вещества равна ее энергии покоя 7.33. Масса движущегося протона в 1,5 раза больше его массы покоя. Определить полную Е и кинетическую Т энергии этого протона. 7.34. При каких значениях отношения кинетической энергии частицы к ее энергии покоя относительная погрешность при расчете ее скорости по нерелятивистской формуле не превышает η = 0,01? 7.35. Энергия покоя частицы равна E 0 . Чему равна полная энергия частицы в системе отсчета, в которой импульс частицы равен p? 7.36. Электрон движется со скоростью, равной 0,6 скорости света. Определить импульс электрона. 7.37. С какой скоростью движется частица, импульс которой равен ее комптоновскому импульсу m c? 0 7.38. Найти импульс p релятивистской частицы массы m, кинетическая энергия которой равна Т. 7.39. Протон движется с импульсом p = 10 ГэВ, где c - скорость света. Насколько процентов отличается скорость этого протона от скорости света 7.40. Кинетическая энергия электрона равна его энергии покоя. Найти импульс электрона. 7.41. Найти зависимость импульса частицы с массой m от ее кинетической энергии. Вычислить импульс протона с кинетической энергией 500 МэВ. 7.42. При скорости частицы v 0 импульс частицы равен p 0 . Во сколько раз η нужно увеличить скорость частицы для того, чтобы ее импульс удвоился 7.43. Найти скорость, при которой релятивистский импульс частицы в η = 2 раза превышает ее ньютоновский импульс. 7.44. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы его масса была такой же, как у частицы с кинетической энергией 1000 МэВ 7.45. Сколько литров воды можно вскипятить, используя собственную энергию 1 л воды Начальная температура воды , удельная теплоемкость воды ( ) К кг Дж 10 2 , 4 3 уд ⋅ ⋅ = C C t 0 1 0 = 7.46. Протон и частица проходят одинаковую ускоряющую разность потенциалов u, после чего масса протона составила треть массы частицы. Определить разность потенциалов. 7.47. Какую работу нужно совершить, чтобы увеличить скорость частицы массы m от с до с. Сравнить результат со значением, полученным по нерелятивистской формуле. 130 7.48. Сколько энергии (в расчете на единицу массы) необходимо затратить, чтобы сообщить первоначально покоившемуся космическому кораблю скорость v = 0,98c? Сопротивления нет. 7.49. На покоящуюся частицу массы m 1 налетает частица массы m 2 , кинетическая энергия которой равна Т. После столкновения частицы слипаются и движутся как целое. Найти массу образовавшейся частицы. При каких условиях эта масса приблизительно равна сумме масс исходных частиц Найти скорость образовавшейся частицы. 7.50. Найти изменение массы Δ m μ , происходящее при образовании ν = 1 моль воды, если реакция образования воды такова 2H 2 +O 2 = 2 H 2 O. Теплота образования моля Q = 5,75·10 5 Дж. 7.51. При делении ядра урана освобождается энергия Е = 200 МэВ. Найти изменение массы Δm U 235 92 при делении ν = 1 моль урана. μ 7.52. При распаде некоторой частицы появляется две частицы с массами m 1 и m 2 . Из опыта известны абсолютные величины импульсов p 1 и p 2 этих частиц и угол θ между направлениями их разлета. Найти массу распавшейся частицы. 7.53. Покоящееся тело массы М распадается на две части с массами и m . Вычислить кинетические энергии Т и Т продуктов распада. 2 1 2 7.54. Электрон движется по окружности в однородном магнитном поле со скоростью v = 0,8c. Индукция поля B = 0,01 Т. Определить радиус окружности 1) не учитывая увеличения массы со скоростью 2) учитывая это увеличение. 7.55. Электрон движется в магнитном поле по окружности радиусом r = 2 см. Индукция поля B = 0,01 Тл. Определить кинетическую энергию Т электрона. 7.56. Электрон, влетевший в камеру Вильсона, оставил след в виде дуги окружности радиусом r = 10 см. Камера находится в однородном магнитном поле с индукцией B = 10 л. Определить кинетическую энергию Т электрона. 7.57. Кинетическая энергия частицы Т = 500 МэВ. Частица движется в однородном магнитном поле по окружности радиуса r = 80 см. Определить индукцию B поля. 7.58. Электрон, кинетическая энергия которого Т = 1,5 МэВ, движется в однородном магнитном поле по окружности. Индукция поля B = 0,02 Тл. Определить период τ обращения. Энергия покоя электрона E 0 = 0,51 МэВ. 131 |