Федеральное агентство по образованию ассоциация кафедр физики технических вузов россии в. М. Анисимов, он. Третьякова Практический курс физики механика под редакцией проф
 Скачать 2.5 Mb.
|
|
m = 2 кг двигалась под действием некоторой силы, направленной вдоль оси ОХ, по закону x = α + βt + γt 2 2 , где α = 3 м, β = 2 мс , γ = мс . Определить работу этой силы за первые 2 с. 2 3.21. Льдина площадью поперечного сечениями высотой Нм плавает воде. Плотность воды ρ = 1000 кг/м 3 в , плотность льда ρ = 900 кг/м 3 л . Какую работу надо совершить, чтобы полностью погрузить льдину вводу. На столе, свисая на 1/3 в небольшое отверстие стола, лежит на грани скольжения цепочка массой m и длиной 3l. Какую работу нужно совершить, чтобы цепочку втащить на стол горизонтальной силой, прикладывая ее к концу цепочки 3.23. Цепочка массой m = 0,8 кг и длины l = 1,5 м лежит на шероховатом столе так, что один ее конец свешивается у его края. Цепочка начинает сама соскальзывать, когда ее свешивающаяся часть составляет η = 1/3 длины цепочки. Какую работу совершат силы трения, действующие на цепочку, при ее полном соскальзывании со стола 3.24. Потенциальная энергия частицы имеет вида, б) U = kr /2, где r - модуль радиуса-вектора частицы α и k - постоянные (k>0). Найти силу F, действующую на частицу, и работу А, совершаемую над частицей силами поля при переходе ее из точки Мм, в точку Мм. Потенциальная энергия частицы имеет вид U = α(x 2 /y – y F r 2 /z) Дж, где α = const. Определить силу , действующую на частицу работу А, совершаемую над частицей силами поля при переходе частицы из точки Мм, в точку Мм. Частица массы m = 4 кг движется в двумерном поле, ее потенциальная энергия U = αxy, где α = 0,19 мДж/м 2 . В точке Мм, частица имела скорость v = 3 м, а в точке Мм скорость v 2 = 4 мс. Найти работу сторонних сил на пути между точками M и M 1 2 3.27. На частицу массой m = 100 г действует сила 54 F r 2 y α 2 z α k r 2 x α i r j r 2 = + + , где, α = 5 Нм . Определить работу этой силы по перемещению частицы из точки Мм, в точку Мм. кг. Частице массой сообщили начальную скорость см 0 = v иона начинает двигаться по шероховатой горизонтальной поверхности, причем коэффициент трения f ее об эту поверхность линейно зависит от координаты x f α = x : , где Какую работу совершит сила трения к моменту, когда частица будет иметь координату ? 1 3 м 10 − − = α м 5 = х 3.29. В условиях задачи 3.28 найти скорость частицы в этот момент времени. 3.30. В условиях задачи 3.28 определить время движения частицы до остановки. 3.31. В условиях задачи 3.28 найти, какой путь пройдет частица до остановки. F r 3.32. На частицу массой m действует сила = α sin (ωt) , где α и ω - положительные постоянные. При t = 0 скорость частицы i r vr = 0. Найти работу силы к моменту времени t 0 = π/(2 ω) c. 3.33. На частицу массой m действует сила F = α exp (- βt), где α и β - положительные постоянные. При t = 0 скорость частицы vr = 0. Найти работу силы за очень большой промежуток времени (t →∞). 3.34. На материальную точку массой m, движущуюся равномерно и прямолинейно со скоростью i r vr = v 0 начинает действовать сила сопротивления с = - αvir , где α - положительная постоянная, а v - модуль скорости материальной точки. Определить работу сил сопротивления за первую секунду ее действия. 3.35. Материальная точка массы m = 1 кг движется прямолинейно и равномерно со скоростью i r , где v vr = v 0 0 = 1 мс. В некоторый момент на нее начинает действовать сила сопротивления F r i r с = - αt 2 2 , где α = 1 Н . Определить работу сил сопротивления за первую секунду ее действия. 3.36. Частица движется вдоль оси ОХ под действием силы F r ) i r ( = v α , где v - модуль скорости частицы, α - положительная постоянная. В начальный момент времени скорость частицы была равна v 0 . Определить работу силы за первую секунду движения точки. 3.37. Частица движется вдоль оси ОХ под действием силы 55 F r ( ) i v t α r = – , где t - время, v - модуль скорости частицы, α - положительная постоянная. В начальный момент времени скорость частицы была равна v 0 . Определить работу силы за первую секунду движения точки. 3.38. Частица движется вдоль оси ОХ с начальной скоростью v 0 под действием некоторой силы так, что vx = α, где v - модуль скорости частицы, x - ее координата, α - положительная постоянная. Найти работу силы за первую секунду движения точки. Масса частицы m. 3.39. Частица массы m движется вдоль оси ОХ с начальной скоростью под действием некоторой силы так, что av 2 = β, где a - модуль ускорения частицы, v - модуль ее скорости, β - положительная постоянная. Определить работу силы за первую секунду движения точки. F r i r v = β 3.40. На частицу массой m действует сила , где β - положительная постоянная, v - модуль скорости частицы. При t = 0 скорость частицы vr = 0. Определить работу силы за первую секунду движения частицы. 3.41. Определить работу при построении правильной усеченной пирамиды высотой h, если нижнее и верхнее основания ее - квадраты со сторонами a и b соответственно. Плотность материала ρ. 3.42. Частица массы m попадает в область, где на нее действует встречная тормозящая сила. Глубина x проникновения частицы в эту область зависит от импульса p частицы по закону x = αp, где α - заданная постоянная. Определить работу тормозящей силы на начальном отрезке пути длиной l. 3.43. Материальная точка массы m начинает двигаться из состояния покоя в направлении оси ОХ так, что ее скорость v связана с координатой x соотношением v = α x , гдe α = const. Определить суммарную работу всех сил, действующих на материальную точку, за первую секунду после начала ее движения. 3.44. Материальная точка А соскальзывает безначальной скорости с вершины гладкой горки высотой H, имеющей горизонтальный трамплин (рис. При какой высоте h трамплина материальная точка пролетит наибольшее расстояние S? Чему оно равно 3.45. В горизонтальной гладкой трубе имеется кольцевая петля радиуса 56 A h Рис Рис r r (рис, расположенная в вертикальной плоскости. С какой минимальной скоростью должен двигаться на горизонтальном участке трубы тонкий гибкий канат длины l > 2 πr, чтобы пройти через петлю Считать радиус петли r много большим радиусов трубы и каната. 3.46. Частица массой m со скоростью v 0 влетает в область действия тормозящей силы F под углом α 1 к направлению этой силы. Под каким углом α 2 (риc.3.9) она вылетит из этой области Ширина области действия силы F равна l. При каком условии частица не сможет пересечь эту облас стица не вылетит из этой области ть? 3.47. В условиях задачи 3.46 тормозящая сила линейно зависит от l : F = kl, гдe k - положительная постоянная. Найти α l Рис 0 vr 2 . При каком условии ча 3.48. В шар массой M= 200 г свободно расположенный на горизонтальной подставке на высоте h = 20 мот поверхности Земли, попадает пуля массой m = 10 г, летевшая горизонтально со скоростью v 1 = 500 мс и, пройдя через шар, продолжает двигаться в том же направлении со скоростью v 2 = 200 м/с (рис.3.10). Определить, с какой скоростью шар упадет на землю. Пуля проходит через центр шара. Сопротивлением воздуха пренебречь. Рис h m m v 1 v 2 → → 3.49. Два неупругих шара с массами m = 2 кг и m 1 2 = 3 кг движутся со скоростями соответственно v 1 = 8 мс и v 2 = 4 мс. Определить увеличение ΔU внутренней энергии шаров при их столкновении в двух случаях 1) меньший шар нагоняет больший 2) шары двигаются навстречу друг другу. 3.50. Два куска глины одинаковой массы начали двигаться по вертикали одновременно навстречу друг другу один с Земли с начальной скоростью v 0 , а другой с высоты h = v 0 2 /2g = 20 м безначальной скорости. Через сколько времени после абсолютно неупругого удара они упадут на землю Сопротивлением воздуха пренебречь. 3.51. Два шара подвешены на параллельных нитях одинаковой 57 длины так, что они соприкасаются. Масса первого шара m 1 = 0,2 кг, масса второго - m 2 = 100 г. Первый шар отклоняют так, что его центр поднимается на высоту h 1 = 4,5 см и отпускают. На какую высоту поднимутся шары после соударения, если 1) удар упругий 2) удар неупругий 3.52. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на легком жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули m = 5 г, масса шара m = 0,5 кг. Скорость пули v 1 2 0 = 500 мс. При какой предельной длине стержня (расстояние от точки подвеса до центра шара) шар от удара пули поднимается до верхней точки окружности 3.53. Определить максимальную часть ω кинетической энергии, которую может передать частица массой m = 2·10 -25 1 кг сталкиваясь упруго с частицей массой m = 6·10 -25 2 кг, которая до столкновения покоилась. 3.54. Материальная точка массой m 1 = 2 кг, движущаяся со скоростью k r vr = 3 +2 - i r j r 1 мс, испытывает неупругое столкновение с материальной точкой массой m 2 = 3 кг, имеющей в момент столкновения скорость = –2 i r +2 k r j r vr +4 2 мс. Определить скорость u тел после удара. 3.55. Найти приращение кинетической энергии ΔE K системы из двух частиц с массами m 1 и m 2 при их абсолютно неупругом соударении. До соударения скорости частиц составляли v 1 и v 2 3.56. Три лодки одинаковой массы m идут друг за другом с одинаковой скоростью v. Из средней лодки одновременно в переднюю и заднюю лодки бросают со скоростью u относительно лодки грузы массы m . Каковы будут скорости лодок v 1 1 , v 2 , v 3 после переброски грузов 3.57. Навстречу друг другу летят два шара с массами m 1 и Между шарами происходит неупругий удар. Известно, что кинетическая энергия одного шара враз больше кинетической энергии другого. При каком условии шары после удара будут двигаться в сторону движения шара, обладающего меньшей энергией 3.58. Определить долю энергии, теряемую частицей массы при упругом столкновении ее с неподвижной частицей массы m 2 , если после столкновения частица продолжает двигаться в прежнем когда m 1 >m 2 ) или прямо противоположном (когда m 1 <m 2 ) направлениях. При каком соотношении масс m 1 /m 2 потеря энергии максимальна 3.59. Частица 1 столкнулась с частицей 2, в результате чего возникла составная частица. Найти ее скорость vr и модуль v, если масса у частицы 2 в η = 2 раза больше, чему частицы 1, а их скорости перед столкновением равны v i r j r r 1 = 2 + 3 мс и vr 2 = 4i r – 5 мс. j r 58 3.60. Два шарика одинаковых масс налетают друг на друга со скоростями v 1 , и v 2 под углом α и разлетаются после абсолютно упругого удара со скоростями u 1 и u 2 . Найти угол β между скоростями ur 1 и ur 2 3.61. Движущаяся частица претерпевает упругое нелобовое столкновение с покоящейся частицей такой же массы. Найти угол, между векторами скоростей частиц после столкновения. 3.62. Пуля массой m, летящая горизонтально со скоростью v, попадает по линии центра в однородный шар массой Ми радиусом r, находящийся в покое на гладкой горизонтальной поверхности. Происходит неупругий удар, в результате чего пуля проходит по диаметру через весь шар и застревает у его поверхности. Определить F среднюю силу сопротивления движению пули. 3.63. В баллистический маятник, состоящий из материальной точки массы M, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити длины l, попадает снаряд (материальная точка) массой m, летевший горизонтально с некоторой скоростью v 0 , ив результате взаимодействия с M снаряд падает вниз, потеряв свою скорость. Каков максимальный угол α отклонения нити маятника от вертикали 3.64. Пуля массы m, летевшая с начальной скоростью v, пробивает один подвешенный груз массы m и застревает во втором подвешенном грузе той же массы. Пренебрегая временем взаимодействия пули с грузом, найти количество теплоты Q 1 , выделившееся в первом грузе, если во втором выделилось количество теплоты Q 2 3.65. На тросе висит небольшой ящик с песком, в котором застревают пули, летящие горизонтально со скоростью v. Масса пули m 1 , много меньше массы ящика m 2 . Трос отклоняется от вертикали на угол α. Какое число пуль n попадает в песок за единицу времени 3.66. От груза, висящего на пружине жесткости k, отрывается часть массы m. На какую высоту поднимается после прекращения колебаний оставшаяся часть груза Рис l k h m 3.67. Тело массы m падает с высоты h безначальной скорости настоящую вертикально на полу пружину жесткости k и длины l рис. Найти 59 максимальную силу давления на пол. 3.68. Два тела массами m = 0,1 кг и m = 0,2 кг, связанные нитью и невесомой сжатой пружиной жесткостью k = 100 Нм, лежат на гладкой горизонтальной поверхности. Затемнить пережигают. В процессе последующего движения максимальная скорость первого тела v = 2 мс. Насколько была первоначально сжата пружина 3.69. Два одинаковых тела массы m каждое, соединенные пружиной жесткости k, лежат на горизонтальной плоскости (рис. Левое тело касается вертикальной стенки. Какую минимальную скорость, направленную к стенке, надо сообщить правому телу, чтобы при обратном движении от стенки оно сдвинуло левое тело Коэффициент трения каждого тела о плоскость равен f. Пружина в начальный момент не деформирована. min vr m m k Рис 3.70. Подставка массы с полуцилиндрической выемкой радиуса R стоит на гладком столе (рис. Тело массой m m 2 m 1 Рис 2 кладут на край выемки и отпускают. Определить скорость тела и подставки, когда тело проходит нижнюю точку полусферы. 3.71. На покоящееся тело массой m 1 налетает со скоростью v тело массой m 2 . Сила, возникающая при взаимодействии, линейно растет за время τ от нуля до значения F 0 , а затем линейно убывает до нуля зато же время. Определить скорости тел после взаимодействия и количество выделившейся теплоты Q. 3.72. Ракета сечения S, двигаясь в космическом пространстве со скоростью u, попадает в облако неподвижной пыли плотностью ρ. Какую силу тяги F должны развивать двигатели ракеты, чтобы та могла продолжать двигаться стой же постоянной скоростью Удары пылинок о ракету считать абсолютно неупругими. Изменением массы ракеты пренебречь. 60 61 Динамика вращательного движения Основные понятия и законы Моментом силы относительно неподвижной точки О называется векторное произведение радиус-вектора О Рис. 4.1 h rr F r α − π α rr , проведенного из точки О к точке приложения силы, насилу рис. [ ] F r M r r r , = . (4.1) Модуль этой величины равен Fh rF M = α = sin , (4.2) где α = sin r h - плечо силы, те. кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы, - угол, между векторами α rr и F r (см. рис. Вектор M r перпендикулярен плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы rr и F r , и направлен по правилу векторного произведения. Моментом импульса материальной точки m относительно неподвижной точки О называется векторное произведение радиус- вектора rr на импульс точки v m p r r = [ v m r L ] r r r , = . (4.3) Его модуль равен α = sin rmv L , (4.4) где α – угол между векторами rr и pr . Чтобы получить связь момента импульса L r и момента силы M r , продифференцируем момент импульса повремени) Поскольку v dt r d r первое слагаемое в соотношении (4.5) равно нулю, а второе слагаемое можно записать в виде ( ) [ ] M F |