Федеральное агентство по образованию ассоциация кафедр физики технических вузов россии в. М. Анисимов, он. Третьякова Практический курс физики механика под редакцией проф
 Скачать 2.5 Mb.
|
|
r dt v m d r r r r r r = = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ , , . (4.6) Подставив (4.5) в (4.6), получим основное уравнение динамики вращательного движения материальной точки M dt L d r r . (4.7) Рассмотрим систему из n материальных точек, на которую действуют k моментов внешних сил. 61 Моментом импульса системы материальных точек (тела) относительно неподвижной точки О называется сумма моментов импульса всех точек ∑ = = n i i L L 1 r r . (4.8) Записав для каждой входящей в систему точки основное уравнение динамики вращательного движения (4.7) и просуммировав по всем точкам системы с учетом того, что сумма моментов внутренних сил равна нулю, получим основное уравнение динамики вращательного движения для системы материальных точек внеш r r , (те. скорость изменения момента импульса системы относительно точки О равна векторной сумме моментов внешних сил относительно этой точки, действующих на систему. Если система материальных точек замкнута, то сумма моментов внешних сил равна нулю. Закон сохранения момента импульса const L L n i i = = ∑ =1 r r (4.10) выполняется в замкнутой системе, что следует из (4.9). Рис. Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной оси Z. Моментом силы относительно неподвижной оси Z называется проекция вектора M r на эту ось рис) [ ] τ F R F r M M Z пр Z пр Z ⋅ = = = r r r , , (4.11) где - касательная (тангенциальная) составляющая силы Моментом импульса системы материальных точек (тела) относительно неподвижной оси Z называется проекция вектора на эту ось (см. рис) [ ] ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = ω = ω = = = = n i i i n i i i i n i i i i Z пр n i i i i Z пр Z m R R m R v m R v m r L L 1 2 1 1 1 , r r r r . (4.12) 62 Основное уравнение динамики вращательного движения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, имеет вид Z Z M dt dL = . (4.13) Если материальная точка массы вращается вокруг неподвижной оси Z по окружности радиуса m R , моментом инерции материальной точки относительно данной оси называется произведение массы точки на квадрат расстояния до оси вращения 2 mR I = . (4.14) Моментом инерции системы материальных точек (тела) относительно неподвижной оси называется сумма моментов инерции всех точек системы (тела) ∑ = = n i i i R m I 1 2 . (4.15) Подставив в уравнение (4.12) выражение (4.15), момент импульса относительно неподвижной оси представим в виде ω = I L Z . (4.16) Продифференцировав соотношение (4.16) повремени, получим основное уравнение динамики вращательного движения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси в виде ( ) dt I d M Z ω = . (4.17) Если момент инерции вращающегося тела постоянен основное уравнение динамики вращательного движения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, в этом частном случае можно записать ε = ω = I dt d I M Z . (4.18) Теорема Штейнера : момент инерции тела относительно произвольной оси (рис) равен сумме момента инерции тела относительно оси 0 I C I O O ′ C C ′ , параллельной данной , проходящей через центр масс точку Си произведения массы тела m на квадрат расстояния между осями Рис 0 md I I C + = . (4.19) Кинетическая энергия при вращении тела вокруг неподвижной оси 63 2 2 ω = I E K . (4.20) Кинетическая энергия тела, катящегося без скольжения, имеет вид 2 2 2 2 mv I E K + ω = , (4.21) где v - скорость центра масс тела. Элементарная работа при вращении твердого тела , (4.22) где - угол поворота, - момент сил, действующих на тело вращающий момент. Работа постоянного момента сил равна ϕ Δ = Δ Z M A . (4.23) Средняя мощность ω = Δ Δ = Z M t A N . (4.24) Мгновенная мощность . (4.25) Работа, совершаемая при вращении тела, и изменение кинетической энергии связаны соотношением 2 2 2 1 2 2 ω − ω = I I A . (4.26) Поступательное движение вдоль OX масса сила F r импульс v m p r r = Вращение тела вокруг неподвижной оси Z момент инерции момент силы [ ] F r M r r r , = , момент импульса ω = I L , [ ] [ ] v m r p r L r r r Основное уравнение динамики F a m F dt p d r r r r = = , M dt L d r r = , M I = ε , ( Закон сохранения импульса const v m p P n i i i n i i ∑ ∑ = = = = = 1 1 r r r момента импульса const I const L L n i i = ω = = ∑ = , 1 r Работа, мощность Кинетическая энергия 2 2 mv E K = 2 2 ω = I E K 64 Примеры решения задач Задача 4.1. Шайба А (рис) может свободно скользить вдоль гладкого стержня в форме полукольца радиуса Полукольцо вращается с постоянной угловой скоростью α α R x O O’ mg N Рис y вокруг оси . Найти угол O O ′ α , который соответствует устойчивому положению шайбы. Решение. При отсутствии трения на шайбу действует сила нормальной реакции опоры со стороны кольца N r и сила тяжести g mr . В проекциях на оси хи у второй закон Ньютона примет вид где - нормальное ускорение, n a sin 2 Решая уравнения совместно, получим R g mg R m tg N N 2 2 cos ; sin cos Если то R g 2 ω < . Если , то = 0. Задача 4.2. Определить момент инерции круглого диска радиуса R, массой m относительно оси Z , перпендикулярной плоскости диска, проходящей через его геометрический центр. Рис. 4.5 dr h r R Z m 65 Решение. Плотность кольца равна (рис) Выделим мысленно кольцо радиуса r шириной dr. Все элементы этого кольца находятся на одинаковом расстоянии от оси Z. Тогда момент инерции кольца относительно оси Z равен rdr h dm dmr dI Z π ρ = = 2 ; 2 Подставив выражение массы кольца dm, получим dr hr rdrr h dI Z 3 2 2 Момент инерции диска найдем интегрированием 2 0 4 2 2 4 4 0 3 Подставив выражение плотности, найдем момент инерции диска 2 Задача 4.3. Найти момент инерции тонкой однородной пластины массы m относительно оси O O ′ , проходящей через одну из вершин пластины перпендикулярно к ее плоскости, если стороны пластины равны a ирис. Решение. Обозначим σ - поверхностную плотность массы пластины ab m = σ . Выделим пластинку шириной dh стержень) и найдем момент инерции стержня относительно оси с помощью теоремы Штейнера. Учитывая, что масса стержня равна Рис О О ′ Z ′ Z h dh a b O O ′ σ = bdh dm Z Z ′ равен Момент инерции стержня относительно оси dh b b bdh dmb dI Z 3 2 2 3 1 3 1 По теореме Штейнера момент инерции стержня относительно оси 2 dmh dI dI Z O + = O O Проинтегрировав полученное выражение, найдем момент инерции стержня относительно оси O O ′ 66 ( ) 3 0 3 1 0 3 1 3 1 3 1 2 2 3 3 0 2 0 3 0 2 Задача 4.4. На однородный сплошной цилиндр массы радиуса Рис R T → T → v → a → O m 2 g → 1 m R намотана легкая нить, к концу которой прикреплено тело массы (рис. В момент времени t = 0 система пришла в движение. Пренебрегая трением в оси цилиндра, найти зависимость от времени угловой скорости цилиндра. Решение. Рассмотрим движение двух связанных тел вращающегося цилиндра и тела , совершающего поступательное движение. На тело действуют сила тяжести 1 m 2 g m r m 2 и сила натяжения нити T r . Второй закон Ньютона для тела имеет вид 2 m a m T g m 2 Основное уравнение динамики вращательного движения для цилиндра ε = I M 2 2 1 R m I = . Угловое ускорение Момент инерции цилиндра R a = ε 2 1 a m R a R m TR 2 Тогда . Откуда T . Подставив T в уравнение второго закона Ньютона, получим = a m a m g m 2 1 2 Линейное ускорение тела и точек на ободе диска равно 2 1 2 Угловое ускорение диска. Подставив выражения , найдем a ( ) R m m g m 2 1 2 Угловое ускорение не зависит от времени. Следовательно, вращение равноускоренное, поэтому ( ) ( ) R m m gt m t t 2 1 2 2 2 + = ε = ω 67 Задача 4.5. Два катка, связанные штангой , скатываются с наклонной плоскости, образующей угол ° = α 30 с горизонтом рис. Катки имеют одинаковые массы кг 5 = m и одинаковые радиусы см. Момент инерции первого катка относительно оси, проходящей через его центр , второго - Штанга невесома. Определить 1) угловое ускорение, с которым скатываются катки без скольжения 2) силу натяжения штанги, если каток с большим моментом инерции движется впереди. α α α g mr g mr x y 1 I 2 I 1 N r 2 N r T r 1 тр F 2 тр F T r a r Рис 2 см ⋅ 1 кг 80 = I 2 см кг 40 ⋅ = I Решение. Запишем второй закон Ньютона для каждого катка, мысленно разрезав штангу и заменив ее действие на каждый каток силой натяжения T sin , sin 2 1 тр тр F T mg ma F T mg ma − + α = − − α = Моменты сил трения, действующие накатки, приводят к возникновению угловых ускорений. Основное уравнение динамики вращательного движения для каждого катка имеет вид ε = ε = 2 2 1 1 , I r F I r F тр тр , 2 2 1 1 r I F r I F тр тр ε = ε = , откуда Линейное и угловое ускорение катка связаны соотношением r a ε = . Подставив выражения ускорения и сил трения в уравнения второго закона Ньютона, запишем sin , sin 2 1 r I T mg r m r I T mg r m ε − + α = ε ε − − α = ε ( ) r I I mg r m ε + − α = ε 2 1 sin 2 2 . Откуда Сложив уравнения, получим Нс рад 2 sin 2 2 1 2 2 Задача 4.6. Однородный диск радиуса R раскрутили до угловой скорости и осторожно положили на шероховатую горизонтальную поверхность с коэффициентом трения 0 ω μ (см.рис.4.5). Сколько времени диск будет вращаться до остановки Давление диска на поверхность считать равномерным. 68 Решение. Введем поверхностную плотность массы Найдем момент сил трения M , действующих на диск. Выделим кольцо радиуса r шириной dr . Сила трения, действующая на кольцо, равна Момент действующей на кольцо силы трения dr r g r dF dM 2 Проинтегрировав выражение , получим момент сил трения, действующих на диск dM gmR R g dr r g dr r g dM M R R R μ = π σ μ = π σ μ = π σ μ = = ∫ ∫ ∫ 3 2 3 2 2 2 3 0 2 0 2 Основное уравнение динамики вращательного движения для диска ε = r r I M . При торможении диска , откуда Проинтегрировав полученное выражение, найдем угловую скорость Постоянную интегрирования найдем изначальных условий. Поскольку при t = 0 0 ω = ω , зависимость угловой скорости от времени имеет вид В момент остановки ω = 0, те. время до остановки M I t 0 Момент инерции диска относительно оси вращения, проходящей через его центр, равен 2 2 mR I = ( ) g R t μ ω = 4 3 0 Окончательно получим Задача 4.7. На неподвижный блок массой m 1 намотана легкая нерастяжимая нить, к свободному концу которой подвешено тело массой m 2 (м. рис. В момент времени t = 0 система пришла в движение. Найти зависимость момента импульса системы относительно оси блока от времени. Решение. Момент импульса системы относительно оси складывается из момента импульса блока и тела 2 1 L L L r r r + = или, где I - момент инерции блока, ω - угловая скорость вращения блока Запишем второй закон Ньютона для тела m 2 : и основное уравнение динамики вращательного движения для блока : a m T g m 2 2 = − ( ) ( ) R g R m a g Rm I ε − = − = ε 2 2 ε = I TR , где . Отсюда , R a = ε 69 ( ) 2 2 2 R m I gR m + = ε . Угловое ускорение ε не зависит от времени. Это значит, что ( 0 , 0 ) = ω ε = ω t . Следовательно, угловая скорость равна ( ) 2 а момент импульса ( ) gRt m R m I R m I gRt m L 2 2 2 2 2 Задача 4.8. На подставке массы укреплена ось с цилиндром радиуса R массы . На цилиндр намотана веревка, к которой приложена постоянная сила Рис m 1 m 2 A F 1 m m 2 F . Найти ускорения тела массы , цилиндра и точки А веревки. Трением пренебречь. Веревку считать идеальной невесомой нерастяжимой нитью. Решение. Линейное ускорение подставки и оси цилиндра 2 Угловое ускорение цилиндра R m F R m FR I M 2 2 2 2 5 , 0 = ⋅ = = ε 2 Соответствующее линейное ускорение веревки Результирующее ускорение точки А веревки ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 3 2 2 2 2 m m m m m F m m m m m m F m F m m F a a a A + + = + + + = + + = + = 70 |