Царева УМК МПМ (спец). Федеральное агентство по образованию гоу впо новосибирский государственный

• Название: Федеральное агентство по образованию гоу впо новосибирский государственный
• Анкор: Царева УМК МПМ (спец).doc
• Дата: 15.05.2018
• Размер: 1.14 Mb.
• Имя файла: Царева УМК МПМ (спец).doc
• Тип: Документы; #19281
• страница: 10 из 17

4.6. Тема 6. Частные методики обучения математике: формирование вычислительных навыков

Вычислительные приемы (алгоритмы вычислений) на множестве целых неотрицательных чисел и соответствующие вычислительные навыки. Классификация вычислительных приемов. Устные приемы вычислений (запись не является шагом алгоритма) и письменные (запись определенного вида является шагом, операцией алгоритма). Основные составляющие вычислительного приема: теоретические основы, опеpациональный состав, способы обоснования и оформления вычислений в речи и на письме (образцы рассуждений при проведении вычислений и образцы записей). Характеристики полноценного вычислительного навыка. Методика фоpмиpования вычислительных навыков. (Общие вопросы). Вычислительные приемы, обучение которым целесообразно в начальной школе. Особенности обучения учащихся конкретным вычислительным приемам. Конструирование вычислительных приемов учащимися в процессе изучения чисел. Методика обучения табличному сложению и вычитанию, устным и письменным приемам внетабличного сложения и вычитания, приемам табличного умножения и деления, устным и письменным приемам внетабличного умножения и деления. Методика определения уровня владения учащимися вычислительными приемами и определения качества сформированных вычислительных навыков: (правильность, осознанность, быстрота, автоматизм и др.) Обозначение чисел: системы счисления. Изучение вопросов обозначения чисел в начальной школе.

Понятие системы счисления. Проблема обозначения научного знания, влияние содержания знания на характер обозначения, влияние системы обозначения на развитие знания. Понятия знак, значащее, означаемое, символ, форма, содержание. Проблема обозначения бесконечного множества целых неотpицательных чисел конечным числом знаков в речи и на письме. Проблема построения системы обозначения чисел. История возникновения и развития систем счисления. Конструирование учащимися собственных систем обозначения чисел как средство осознания ими общих проблем и законов развития и хранения знания, средство понимания смысла и структуры десятичной системы счисления, средство выявления различий между числом и цифрой, средство осознания независимости смысла и свойств числа, зависимости возможностей описания, хранения и передачи знаний о числах от способа их обозначения в речи и на письме (от системы счисления).
4.6. Тема 6. Частные методики обучения математике: величины в обучении младших школьников с тяжелыми нарушениями речи
Понятие величины исторически возникло из необходимости сравнивать предметы и явления по выделенным свойствам, точнее, —"по количеству" одного и того же свойства у разных предметов, явлений. Это, вероятно, и послужило причиной использования для обозначения соответствующего понятия слова "величина", образованного от древнерусского "вель, велии" —"большой". Не так давно, в конце XIX века, это понятие в математике определяли через "больше - меньше": "Что такое величина? — писал в начале XX века крупный русский и советский математик В.Ф. Каган (1869-1953). — Почти во всех клас­сических руководствах по арифметике мы находим следующее определение: "Величина есть все то, что может быть больше или меньше"³⁵. Эта характеристика не противоречит современным строгим определениям. ЕЕ можно использовать для формирования представлений о величинах у детей дошкольного и младшего школьного возраста.

В таком понимании, несомненно, заложена истина. Вспомним хотя бы величины, которые обычно изучаются в начальной школе: длина, масса, площадь, объем, время, скорость. Для каждой из них важный смысл имеют отношения "равно", "больше", "меньше".

Вопрос "Предмет А большой или маленький?" лучше было бы задать так: "Предмет А больше другого предмета в заданном смысле или меньше?" А еще точнее: "Предмет А больше ли предмета В по длине в данном горизонтальном направлении или меньше (по высоте, по площади, по массе и т.п.) или они равны?» На такие вопросы уже можно дать точные ответы. Значит, узнать, что больше, что меньше, равны ли предметы, можно лишь в том случае, когда каким-либо образом указано свойство, по которому проводится сравнение.

Первый шаг к построению понятия величины — выделение свойств предмета.

К любому предмету, к каждому выделенному свойству мы можем поставить вопросы: – Есть ли это свойство у данного предмета или его нет? – Какие еще предметы обладают таким же свойством? Более того, мы можем мысленно (а в некоторых случаях и практически) собрать в одну группу множество предметов, обладающих каким-то общим для всех свойством. Так, выделение свойств приводит к возможности и необходимости группировки предметов, явлений по определенным признакам, т.е. к их классификации.

Второй шаг в образовании понятия величины — не просто увидеть в предметах их свойства, но и узнать каждое из свойств, мысленно (или практически) собрать в группы все предметы, обладающие одним и тем же свойством.

Некоторые свойства таковы, что по ним выработаны способы сравнения и уместен вопрос о том, что чего больше. Другие свойства, например, цвет, не принято в обыденной жизни сравнивать по «количеству»

Третий шаг в строительстве понятия величины – процедура установления по выделенному свойству отношений "больше", "меньше" или "равно" между всеми предметами (явлениями, процессами).

Образно третий шаг можно описать так: как только все предметы, у которых есть одинаковое свойство, собрались вместе, в один "город" - группу, так между ними начинается "спор", у кого этого свойства больше (много), у кого меньше (мало), у кого равное количество. Этот "спор" разрешается с помощью специальных процедур сравнения, различных для разных свойств. В результате все предметы занимают подобающее им "место" в порядке возрастания или убывания количества этого свойства³⁶.

Любые два предмета в группе часто можно сравнить непосредственно, выполнив определенные практические действия.

Итак, в результате третьего шага мы научились для любых двух объектов устанавливать, равны ли они, какой из них больше или меньше по количеству того или иного свойства. Однако в практике этого знания бывает недостаточно по двум причинам. Во-первых, знание того, что один предмет больше или меньше другого по какому-либо свойству, неконкретное. Так, если вам велят отрезать полоску бумаги короче данного предмета, то вы можете дать бесконечное число решений этой задачи. Во-вторых, тот факт, что некоторые предметы (объекты) a и b порознь меньше некоторого предмета (объекта) c по одному и тому же свойству, вовсе не означает, что a и b равны между собой по этому свойству. Друг с другом их нужно сравнивать заново. В связи с этим возникает проблема установления более конкретных отношений, знание которых позволяло бы сократить необходимость непосредственной практической работы со сравниваемыми объектами и создало бы условия для замены действия с объектами на действия с их заменителями, моделями: графическими знаками, числами, словами и т.п. Ведь работа с моделями экономичнее непосредственных операций с реальными объектами.

Четвертым шагом будет изобретение процедуры измерения – процедуры, позволяющей каждое состояние рассматриваемого свойства обозначить специальным знаком – числом, которое зависит от выбора эталонного объекта.

Процедура измерения заключается в следующем. Мы выбираем "особый" предмет среди тех, которые обладают данным свойством-величиной, называем его эталоном (меркой). "Количество свойства" в нем обозначаем произвольным графическим знаком и произвольным словом для того, чтобы в дальнейшем компактно сообщать другим и хранить информацию о действиях с эталоном, о результатах сравнения с ним. В русском языке таким словом выбрано слово "единица" и знак — цифра 1. Далее сравниваем с эталоном другие предметы соответствующим свойству (величине) способом и отбираем те из них, которые равны эталону по "количеству свойства". Эти предметы неотличимы от эталона, поэтому "количество свойства" в нем может быть обозначено теми же знаком и словом. Чтобы зафиксировать информацию о том, какой предмет выбран в качестве этало­на, мерки, договориваемся обозначение "количества свойства" в эталоне дополнить такими обозначением, словом и сокращенным его написанием, по которым можно узнать, что и по какому свойству выбрано эталоном. В результате всех этих действий мы имеем для данного свойства (можем иметь для любого свойства-величины), эталон и единицу величины, обозначенные специальным образом. Это и есть содержание четвертого шагав построении понятия величины: выбор эталона (мерки) и единицы величины, конструирование их обозначений.

Далее было бы неплохо придумать такой спо­соб, чтобы, выполнив минимальное число практических дейс­твий, обозначить их результаты , а в дальнейшем уже пользоваться только обозначениями. Покажем один из путей конструирования такого способа.

Вновь обратимся к группе объектов с каким-либо свойством. Определим в нем мерку, а потом выберем другой предмет, равный первому по данному свойству. Соединим их так, чтобы "количества
свойств" "объединились". Если это длина, то состыкуем мерки по одной пря­мой, как показано на данном рисунке.

"Составной" предмет имеет длину, большую, чем у эталона. Обоз­начим ее каким-нибудь знаком, например, Ω, и назовем любым произвольно взятым словом, допустим, "тер". Вы можете придумать свои знаки и названия, можете воспользоваться теми, которые за десятки и сотни лет выработало человечество: цифрой 2 и словом "два". Дети, думаю, с удовольствием придумают свои знаки, слова. Если эталон — ручка, то обозначение длины составного предмета может выглядеть так: Ω pч. Читается эта запись так: "Длина одного предмета тер ручек."

Естественно считать, что s < Ω, a Ω > s и что s + s = Ω.

Смысл данных записей понятен из предыдущих рассуждений.

Теперь мы можем отобрать все предметы, которые равны описанному сос­тавному по данному свойству. Количество свойства в них также обоз­начим тем же знаком и термином.

Аналогично можно поступить и в любой другой группе, где выбран эталон (мерка, мера). Отличие будет заключаться в способах получения составного предмета и сравнения его с другими. Этот составной предмет может использоваться так же, как эталон для выделения предметов, у которых свойства столько же, сколько и в составном предмете, т.е. Ω рч., если мы выбрали такое обозначение, или 2 кг, 2 м и т.п. при другом выборе эталонов и обозначений.

Продолжим работу. К предмету, в котором Ω свойства (две единицы соответствующей величины), присоединим еще один предмет, равный эталону. Новый составной предмет по заданному свойству больше как эталона, так и предыдущего составного предмета. Количество свойс­тва у него можно обозначить новым знаком и термином. Этим знаком и "термином" можно "переметить" все предметы, равные по данному свойству (данной ве­личине) новому составному предмету. Если продолжать добавлять по одной мерке, то мы получим обозначения количества свойства (значения величины), имеющие такой же смысл как известные нам обозначения вида 3м, 4м, 5м, …; 3 кг, 4 кг, 5 кг, … сделав соответствующие метки на предметах.

Когда какой-нибудь объект меньше мерки или не равен ни одному предмету, составленному из нескольких мерок (эталонов), то вводятся дроб­ные обозначения результатов измерения (эталон придется "дробить"), образованные, как минимум, из двух знаков, введенных для ра­нее описанных случаев, и знака-обозначения эталона — названия единицы величины

Из сказанного следует, что по каждому из свойств в принципе, а практически по некоторым из них (для которых выработаны критерии сравнения и способы действий "дробить", "составлять") можно прово­дить измерения, т.е. не только непосредственно выявлять различия в количестве свойства, но и обозначать их специальными знаками и терминами. С их помощью можно от непосредственного предметного сравнения перейти к сравнению знаков.

Пятый шаг- разработка спосо­бов кратного сравнения предметов с эталоном, систем измерения количествен­ного содержания свойств и рационального обозначения результатов измерений; определение путей прогнозирования некоторых последствий действий с предметами с помощью результатов измерения.

Если позволить каждому выбирать эталон, как ему вздумается, то неизбежно получится, что единицы у всех будут разными, непонятными непосвященным. Не исключено, что измерить неко­торые объекты избранной единицей будет весьма затруднительно. Попробуйте, например, выразить в "шариковых ручках" ... массу груженого КамАЗа! Или, на­оборот, массу шариковой ручки, когда единица — масса этой огромной машины! Так возникает потребность в новых эталонах, новых единицах и задача соотнесения результатов измерений одного и того же объек­та по одному и тому же свойству в различных единицах.

Шестой шагв построении понятия величины: вве­дение новых мерок и единиц измерения, установление соотношений между ними, выбор системы единиц, приемлемых для всех: для жителей одной местности, для граждан одной страны, для людей мира.

Следующие - седьмой, восьмой, девятый шаги в развитии понятия величины в кратком изложении могут быть представлены так:

• 
  рационализация и разработка способов и инструментов измерения, упрощающих, облегчающих процесс практического измерения, т.е. повышающих произ­водительность труда при измерении;
  
• 
  повышение производительности труда путем совершенствования системы единиц величин (системы мер) и стандартизации форм обозначения единиц;
  
• 
  повышение производительности "измерительного" труда путем установления зависимостей между разнородными, качественно различными величинами и замены прямых измерений косвенными; разработка соответствующих процедур, способов, позволяющих получить информацию о количестве одной величины по результатам измерения другой величины.
  

Движущей силой перехода от одного шага к другому является жела­ние людей облегчить себе работу по удовлетворению собственных потребностей, механизировать рутинные, повторяющиеся, "скучные" дейс­твия, оставив за человеком лишь творческие, мыслительные процедуры.

Подведем некоторые итоги.

Понятие величины возникает как результат обнаружения, осознания людьми различий свойств и объектов, результат выделения объектов, имеющих качественно одинаковые, но количественно различ­ные свойства. К открытию свойств предметов, к изобретению способов сравнения побуждали людей экономические и познавательные проблемы. Процесс познание мира человеком, приведший к сегодняшнему понятию величины происходил поэтапно, шаг за шагом. Примерный пере­чень этих шагов таков:

1. Выделение свойств объектов (предметов, событий, явлений, процессов и т.п.). (Чем похожи и чем отличаются друг от друга эти предметы, события, процессы? ...)

2. Сравнение объектов по наличию или отсутствию в них того или иного свойства. Выделение объектов с одним и тем же свойством. (У кого (у чего) есть одинаковые свойства? Какие свойства одинаковы?)

3. Установление отношений "больше", "меньше", "равно" между объектами по одному и тому же свойству. (У кого (у чего) данного свойства больше? меньше? поровну?)

4. Выбор единицы величины и мерки (эталона) - выбор объекта, количество свойства у которого мы договариваемся считать равным единице. (Количество свойства у какого объекта примем равным еди­нице?)

5. Разработка способов кратного сравнения предметов с меркой (эталоном) — разработка процедуры измерения "количества свойства" у любых объектов в выбранных единицах величины. Обозначение резуль­тата измерения числом. (Сколько единиц свойства (единиц данной величины) в этом объекте?)

6. Введение новых единиц и мерок, установление соотношений меж­ду единицами. (Как измерить величину объекта, который очень велик или очень мал по сравнению с единицей величины? Как сделать так, чтобы можно было пользоваться несколькими единицами?)

7. Упрощение способов измерения, изобретение "помощник ков" — инструментов и приборов для измерения. (Как сделать процесс изме­рения более простым? Как уменьшить расходы различных материалов при измерении? Как уменьшить затраты времени на измерение? Как уп­ростить счет мерок при измерении и избавить измеряющего от однооб­разного труда по подсчету числа "уложившихся" мерок?)

8. Совершенствование системы единиц величин, стандартизация еди­ниц и форм обозначения. (Как упростить использование разных единиц величин? Как сделать так, чтобы результаты измерения можно было сообщать другим людям, многим людям? Как сделать так, чтобы инфор­мация о результатах измерения могла быть всеми правильно понята?)

9. Установление зависимостей между разными величинами. Разра­ботка процедур замены прямых измерений косвенными, т.е. разработка способов получения информации о количестве одной величины по ре­зультатам измерения другой или других величин. (Связаны ли между собой величины? Зависит ли количество одной величины от количества другой или других? Если да, то какая это зависимость? Как можно ее обозначить? Как свести трудоемкий и сложный процесс измерения од­ной величины к менее трудоемкому и сложному измерению другой или других величин?)

Понятие величины рассматривается несколькими науками, в частности, физикой и математикой. Физическое понятие величины отражает, в первую очередь, к а ч е с т в е н н о е с в о е -о б р а з и е каждой из величин, каждого из свойств объектов мира. Главная задача физиков - выявить физичес­кие, материальные свойства объектов. Это удается сделать только через разработку способов и средств практического сравнения, прак­тического измерения объектов по изучаемым свойствам, через выявление качественных и количественных зависимостей одних свойств от других.

Ребенок, познавая мир, сталкивается как с различными качествен­ными проявлениями различных свойств, так и с количественными их отношениями, причем, сталкивается ежедневно, с первых дней жизни.

Качественная и количественная стороны предметов, процессов, явле­ний в реальной жизни неразделимы. Поэтому отбрасывать физические характеристики величин при изучении последних в курсе математики начальной школы, равно как и в курсах математики средней школы,— значит перечеркивать богатейший личный жизненный опыт каждого ре­бенка, делать обучение формальным и трудным.

Рассмотрим теперь математическую сторону понятия величины.

Математика изучает прежде всего количественные отношения объектов действительности и свойства этих отношений. Для математи­ки качественные различия как объектов, так и их свойств несущест­венны до тех пор, пока не сказываются на "поведении" количествен­ных отношений, устанавливаемых по каждому из качеств. В связи с этим конкретные величины чаще всего выступают лишь как модели абс­трактных множеств и отношений, описанных в математической теории величин. Различаются и терминологии, используемые в математической и физической теориях величин. Как уже было показано выше, в физике термин "величина" — общее название всех качественно отличных друг от друга свойств, для которых выработана процедура измерения (кратного сравнения). Словосочетание "две величины" понимается в физике как два качества, два свойства, носителями которых могут быть два или один объект. Так как в математике главное значение придается количественным отношениям и свойствам этих отношений, а отношения эти удобно описываются через "поведение" и отношения числовых значений, то в математике зачастую термином "величина" пользуются для обозначения числовых значений. Словосочетание "две величины" в математике может пониматься как две количественные ха­рактеристики одной и той же в физическом смысле величины. На более высоких ступенях математической абстракции величина и число прак­тически неразличимы.

При выборе теоретических оснований изучения величин в начальной школе нужно исходить из того, что величины, хотя и изучаются в курсе математики, должны нести детям знание не столько о математических структурах, сколько о мире, о средствах его познания. Поэтому их необходимо рассматривать в совокупности не только математичес­кого и физического содержания (договорившись о непротиворечивом использовании соответствующих терминов), но и его гуманитарных ас­пектов.

В связи со сказанным, для построения технологии изучения величин целесообразно взять не строгое математическое определение, а инту­итивное его описание, соответствующее научным определениям.

Нестрого величину можно охарактеризовать как свойство, которым обладают определенные объекты или явления. Например, длина – это свойство, которым обладают отрезки, кривые линии, твердые материальные тела: карандаши, книги, люди, деревья, камни, дома и т.п., жидкие и газообразные при наличии определенных границ (при наличии возможности определить, установить границы). Масса – свойство всех материальных тел; время – свойство явлений, событий, процессов, например, вращения Земли вокруг Солнца, жизни человека и всего жи­вого, растворения сахара в чае, изготовление стола, эксплуатации здания, хода родительского собрания, беседы с друзьями, проезда в авто­бусе и т.п. Скорость – свойство взаимодействующих тел, свойство взаимодействия веществ при химической реакции, свойство процессов чтения, говорения, изменения взаимного положения предметов в пространстве и т.п.; площадь – свойство поверхностей всех твердых физических тел, жидких веществ в сосудах или других емкостях, гео­метрических фигур: поверхностей стен, ковров, стола, человеческого тела, многоугольников, кругов, овалов и пр.

Особое место среди величин занимает величина угла. Угол – это понятие, характеризующее форму и взаимное расположение предметов. Угол — "место, где сходятся, пересекаются два предмета или две стороны чего-нибудь." (С.И. Ожегов). В математике угол — это геометрическая фигура. Угол может быть линейным, плоским, двугранным, трехгранным и т.д. Величина, характеризующая угол, являющаяся основным свойством угла, допускающем количественное сравнение углов по этому свойству, не имеет даже собственного имени. Поэтому ее называют "величина угла".

Величина — это любое свойство, которое подчиняется следующим положениям:

1. Объекты, обладающие таким свойством, можно количественно сравнивать либо непосредственно (например, путем наложения друг на друга), либо опосредованно (через "посредника", "посредников").

2. Равные в общем смысле объекты обладают данным свойс­твом в одной и той же мере. Например, поверхности предметов, полностью совпадающие при наложении, имеют одинаковые площади. Равные по линейным параметрам и изготовленные из одного вещества предметы характеризуются равными массами и т.п.

3. Свойство, присущее объекту, характерно и для любой его час­ти. Разделите большой отрезок на маленькие - у каждого из них будет длина. Разбейте многоугольник, понимаемый как часть плоскости, на несколько фигур – все они будут иметь площадь.

4. Каждому объекту может быть поставлено в соответствие число, единственное для данного свойства и способа установления соответс­твия (при данном выборе единичного объекта), характеризующее сте­пень обладания объекта этим свойством. Другими словами, каждый объект можно измерить по определенному свойству, а результат изме­рения выразить действительным положительным числом. При выбранной единице каждому объекту соответствует одно положительное действи­тельное число. Таким образом, для любой величины существует единс­твенное, с точностью до единицы измерения, отображение, ставящее каждому объекту в соответствие единственное положительное действи­тельное число.

5. "Сумма" неперекрывающихся частей объекта, имеющего данное свойство, составляющая целый объект, обладает указанным свойством в той же мере, что и целый объект. Например, сумма непрекрываю­щихся частей отрезка, составляющих целый отрезок, обладает такой же длиной, как и целый отрезок.

6. При выбранной единице равным объектам соответствуют равные числа.

7. Если объект состоит из нескольких частей, то число, харак­теризующее целое, равно сумме чисел, соответствующих частям (при условии, что они не пересекаются).

С помощью измерения все объекты могут быть разбиты на классы, обладающие данным свойством в равной мере. Измерение в одних и тех же единицах позволяет упорядочить множество объектов.

До сих пор мы рассматривали только такие величины, которые вполне характеризуются числом — результатом измерения. Однако есть такие свойства, проявления которых зависят не только от количества, но и от направления приложения. Так, например, действие силы существенно зависит от того, в каком направлении она действует.

Величины, которые характеризуются не только числовым значением, но и направлением воздействия или перемещения, называются векторными величинами.

Из величин, которые изучаются в начальной школе, векторной является скорость. Однако для младших школьников было бы очень сложно в полном объеме понять ее векторный характер. Поэтому для упрощения договорились считать, что тела движутся по прямой, в направлении от одного пункта к другому. При изучении движения двух тел рассматривают движение в одном и том же и в противоположных направлениях.

Выявив истоки понятия величины, его содержание, смыслы, строгие определения и нестрогие описания, основные виды, можно наметить общую программу формирования правильных, достаточно широких и многогранных представлений учащихся начальной школы о величинах.

Один из вариантов такой программы, основанный на высказанных в предыдущих пунктах взглядах, представлен ниже.

1. Знакомство с окружающим миром, выделение "похожих" и "непохожих" объектов, одинаковых и различных их свойств путем наблюдений и соответствующих действий с предметами; сопоставление предметов, событий и явлений — качественное сравнение объектов окружающего мира.

Отберите предметы, названия которых вы знаете. Выберите из них те, которые чем-либо похожи друг на друга. Объясните, чем именно они похожи, выделите объединяющее их свойст­во, признак. Выберите непохожие друг на друга предметы, объясните, чем именно они непохожи, т.е. укажите те свойства, которые у одного предмета есть, а у другого нет. Есть ли в "непохожих" пред­метах что-либо "похожее"? назовите общее и различное в данных предметах. Придумайте, как можно сохранить информацию о результа­тах сравнения? Как обозначить результаты сравнения?

2. Установление между объектами и группами объектов по разным свойствам отношений "больше", "меньше", "равно" ("столько же"), выявление свойств самих отношений (см. с.11–12); упорядочение объ­ектов по разным свойствам с помощью этих отношений.

Где предметов б о л ь ш е? Где предметов м е н ь ш е? По какому свойству предметов б о л ь ш е? По какому свойству предметов
м е н ь ш е? Какой из двух предметов б о л ь ш е? По какому свойству? Какой из двух предметов м е н ь ш е? По какому свойству? По какому свойству эти два предмета р а в н ы? Какими действиями с предметами можно подтвердить это? Расположите данные предметы в порядке возрастания длины; массы, площади; объема и т.п. Как можно сообщить кому-нибудь устно ре­зультаты сравнения? Как по-разному можно это сделать? Какими зна­ками (графическими, "письменными") можно обозначить результаты сравнения, чтобы по знакам можно было восстановить эти результаты, "прочесть" их через некоторое время?

Формирование представлений о понятиях: "длиннее" - "короче" - "одинаковой длины"; "уже" - "шире" - "одинаковой длины (в поперечнике)", "оди­наковой ширины"; "толще" - "тоньше" - "одинаковой толщины", "одинаковой дли­ны (в поперечнике)";"тяжелее" - "легче" - "одинакового веса";"больше по массе" - "меньше по массе" - "одинаковой массы";"выше" - "ниже" - "одинаковой высоты (одинаковой длины в вертикальном направлении)";"быстрее" - "медленнее" - "с одинаковой скоростью";"большей - меньшей - одинаковой продолжительности по време­ни";"большей - меньшей - одинаковой площади";"большего - меньшего - одинакового объема";"большей - меньшей - одинаковой вместимости";"одинаковые углы – разные углы".

3. Составление целого из частей и разделение на части: констру­ирование поделок из отдельных деталей (аппликации, изделия из де­талей строительных и других наборов типа "Конструктор"); разреза­ние бумажного листа на части; сравнение целого и части по разным свойствам, сравнение объединения всех частей и целого по разным свойствам; разборка изделий на составные части; установление отношений "больше", "меньше" и "равно" между целым и частями по разным при­знакам.

Сложите башенку из кубиков. Составьте из кубиков "фундамент" для домика. Сравните, что больше: один кубик или "башенка"? По ка­кому свойству больше? Что больше: один кубик или "фундамент"? По какому свойству? По какому свойству один кубик равен "фундаменту"? Составьте из лепестков цветок. Цветок больше или меньше лепестка? По ка­кому свойству? Составьте из колец пирамидку. Покажите кольцо, ле­жащее в основании. Площадь основания (поверхнос­ти основания) пирамидки больше или меньше площади основания (поверхности основания) кольца? Площадь всей поверхности пирамидки больше или меньше пло­щади поверхности этого же кольца? Нарисуйте угол. Разделите его на два угла. Покажите углы у стола, у треугольного брусочка. Одинаковы эти углы или нет? Какой угол "углее" (слово придумано детьми – С.Ц.)? Какой угол больше? меньше? Почему?

4. Создание для каждой изучаемой величины ситуации, в которой непосредственное, практическое сравнение объектов по соответствую­щему свойству невозможно или значительно затруднено. Конструирова­ние предметов-заменителей, одинаковых по данному свойству со срав­ниваемыми предметами, конструирование предмета-заменителя для од­ного из сравниваемых предметов.

Сравните длину стола и длину шкафа. Сравните площадь поверхнос­ти крышки стола и крышки парты. Сравните высоту стола, который стоит у вас дома, и учительского стола в нашем классе. Как провес­ти такое сравнение? Сравните площадь поверхности груши и шарика.

5. Создание для каждой из изучаемых величин ситуации, в которой невозможно или чрезвычайно затруднено как непосредственное сравне­ние самих объектов, так и конструирование заменителей, равных сравниваемым объектам по соот­ветствующему свойству. Введение произвольной мерки (эталона) и единицы соответствующей величины (признание количества соответс­твующего свойства в мерке равным единице величины). Знакомство с процессом измерения. Обоснование необходимости различных единиц одной и той же величины. Конструирование различных мерок и единиц измерения для разных ситуаций. Обсуждение смысла и качественного своеобразия изучаемой величины. Овладение способами измерения в произвольных единицах как реальных предметов, так и их моде­лей (вместо измерения площадей поверхностей реальных предметов, например, измеряем площади плоских геометрических фигур, вместо измерения длин реальных предметов осваиваем процедуру измерения на отрезках).

6. Создание ситуации, в которой измерение различными произволь­ными мерками, в произвольных единицах является причиной непонима­ния между людьми, что, в свою очередь, ведет к возникновению эко­номических и иных трудностей. Получение вывода о необходимости общепринятых единиц. Знакомство с историей мер, наиболее из­вестными старинными единицами, общепринятыми сегодня. Непосредс­твенное измерение величины с помощью эквивалентов общепринятого эталона. Выявление роли измерений в экономических и иных отношениях между людьми.

Например, два купца договорились обменяться равным количеством зерна: каждый должен был дать другому 6 мер. При обмене они обнаружили, что зерна у них не поровну, хотя каждый добросовестно отмерил 6 мер. Как такое могло случиться? (Оказалось, что меры у купцов были раз­ные.)

7. Измерение величин с использованием нескольких общепринятых единиц. Перевод значений величин из одних единиц в другие, экономическое значение этих процедур.

Измерьте длину данного отрезка в дециметрах, используя для обозначения результатов, если нужно, дроби. Измерьте тот же отре­зок в дециметрах и сантиметрах. В каком случае легче было из­мерять? В каком случае оказалось легче обозначать результаты изме­рения?

8. Проблема упрощения и удешевления процедуры измерения. Обучение прямому измерению с помощью простейших измеритель­ных приборов и инструментов (см. Таблицу 1).

9. Создание ситуации, в которой прямые измерения величины гро­моздки, требуют больших затрат времени и материальных ресурсов, трудоемки. Осознание возможности замены измерения одной величины измерением другой. Осознание связей, зависимостей между разными величинами. Знакомство с косвенными измерениями. Проблема вычисле­ния значений одних величин по значениям других.

Можно ли, измерив длину и ширину поверхности крышки стола, определить ее площадь в квадратных сантиметрах, если длина и ширина измерены в метрах? В каких единицах выразится значение площади, если длины сторон прямоугольника измерить в разных единицах и полученные числа перемножить?

10. Обучение арифметическим действиям со значениями величин, вы­раженных в одних и тех же и в разных единицах: сложение и вычита­ние значений величин, умножение и деление значений величин на чис­ло, деление однородных величин (значений одной и той же величины), умножение и деление однородных и разнородных величин как способ характеристики качественно новых величин, связанных с исходными.

Например, выполните действия: 3 дм + 5 дм; 1 дм 2 см + 3 дм 5 см; 187 м – 85 м 50 см; 4 т 300 кг : 5; 4 т 300 кг : 50 кг и т.п.

Умножьте 3 м на 2 м. Значение какой величины получилось? В ка­ких единицах? Разделите 40 м на 5 с. Значение какой величины полу­чилось? В каких единицах? Умножьте 30^о на 2. Значение какой величины получилось? Разделите 60^о на 30^о; 60^о на 10. Значения каких величин получились?

Таблица 1

Объекты Измерения	Величина	Измерительные приборы и Инструменты	Единицы величин
1	2	3	4
Полоски, ленточки, книги, карандаши, счётные палочки, стол, ножки стола, лоскутки ткани, отрезки, стороны геометри­ческих фигур, части кривых ли­ний, изображе­ния различных предметов	Длина	Самодельная линейка с не­оцифрован­ной шкалой и с произвольно выб­ранной еди­ницей длины, самодельная ли­нейка с неоцифрованной шка­лой и сантимет­ровым шагом деления, другие само­дельные, сконструиро­ванные детьми инстру­менты (например, «из­меритель­ное колесо»). Обычная масштабная ли­нейка с оцифрованной шкалой Циркуль и масштабная ли­нейка. Метр. Мерная лента	Произвольные единицы, предло­женные детьми. Общепринятые единицы: мил­лиметр, сан­тиметр, метр, километр, составные единицы
Поверхнос­ти пред­ме­тов произ­воль­ной формы.	Площадь	Палетка37, размеченная для из­мерения в произ­вольно вы­бранных мер­ках и еди­ницах.	Произвольные единицы – площади лю­бых конеч­ных поверхностей и геометриче­ских фигур удобной формы.
Прямые (плоские) поверхнос­ти пред­ме­тов. Плоские геометри­ческие фигуры		Палетка, размеченная в общепринятых "квадратных" едини­цах. Инструменты для расчерчива­ния изме­ряемой поверхности на фигуры ­мерки. "Клише" с изображением фигуры, выбранной в качестве эталона. Все инстру­менты используются только в учебном процессе	Общепринятые единицы: квад­ратный миллиметр, квадратный сантиметр, квад­ратный метр, квадратный кило­метр
События в жизни лю­дей. Явле­ния приро­ды. Про­цессы. Лю­бые пред­меты, зна­ки, слова­ все в мире, что сущест­вует во времени.	Время	Секундомер, часы, календарь, хронометры. Модели часов.	Произвольные единицы - вре­менная дли­тель­ность лю­бого события, явления, про­цесса. Общепринятые единицы: се­кунда, минута, час, сут­ки, месяц, неделя, год, век, све­товой год, миллисекунда.
″Место, где схо­дятся, пересека­ются два предмета или две стороны чего-нибудь″ (С.И. Ожегов) В геометрии: ли­нейный угол – фи­гура, образованная двумя лучами, ис­ходящими из одной точки; плоский угол – часть плос­кости, ограничен­ная двумя лучами, исходящими из одной точки; дву­гранный угол – фи­гура образованная двумя полуплоско­стями с общей гра­ницей полуплоско­стей, часть про­странства, заклю­ченного между двумя полуплоско­стями. Трехгранный, че­тырехгранный и т.д. углы.	″Величина угла″ ″Кривизна угла″ (кри­визна угла – обратная по отноше­нию к ″величине угла″ вели­чина)	Транспортир, прибор для пря­мого измерения величины ли­нейных и плоских углов; ве­личина двугранных, трехгран­ных и т.д. углов определяется через величину соответст­вующих линейных углов (Процедура прямого измере­ния величины угла аналогична процедуре измерения пло­щади: в измеряемом угле оп­ределенным образом уклады­ваются углы–мерки).	Любой линей­ный угол, лю­бой плоский, двугранный, трехгранный может быть меркой, этало­ном, а его ве­личина – еди­ницей измере­ния. Общепринятые единицы: гра­дус, радиан.