Царева УМК МПМ (спец). Федеральное агентство по образованию гоу впо новосибирский государственный
 Скачать 1.14 Mb.
|
|
Часть задачи, в которой задана информация, принято называть условием задачи, а часть, в которой указывается, что требуется найти, узнать, построить, сделать, доказать, называют требованием задачи. Условие задачи обязательно содержит информацию о том, о чем спрашивается в требовании задачи. Информация может быть представлена в задаче явно и (или) неявно благодаря контексту и явлению эллипсиса41.Условие содержит данные, может содержать также неизвестные; в требовании характеризуется искомое, требуемое. Требование задачи может быть выражено побудительным или вопросительным предложением: «Найти площадь квадрата», «Чему равна площадь квадрата?»; «Найти бракованную деталь», «Какая деталь бракованная?», «Как найти бракованную деталь?»; «Найти эффективное средство лечения», «Какое средство лечения эффективно?» Вопросительную форму называют вопросом задачи. В начальной школе это основная форма требования. Вопрос считается более понятным детям. Вопрос побуждает к мыслительной деятельности. Поэтому в начальной школе говорят: задача состоит из условия и вопроса. В тексте задачи условие и вопрос могут находиться в разных предложениях или в одном. Обычно требование расположено в конце текста задачи. Однако оно может находиться и в начале, и в середине текста. Умения устанавливать сходство и различие условий и требований задач, выделять условие и требование – компоненты умения решать задачи. Наличие условия и требования является необходимым условием отнесения текста к задачам, но недостаточным. Чтобы оно было и достаточным, должны быть выполнены еще некоторые требования: одно требование, если текст рассматривается без учета восприятия субъектом, и два – с учетом такого восприятия. Первое требование – соотнесенность условия и требования (вопроса) задачи, отражено в данном выше описании задачи. Так, текст: «Покупатель приобрел два пирожных по 10 руб. каждое. Какова температура воздуха в магазине?» не является задачей, так как часть текста, претендующая быть условием задачи, не несет информации о том, что требуется узнать. Следует отметить, что не в каждой задаче соотнесенность условия и требования очевидна. Самые трудные задачи потому и трудны, что связь условия и требования непрямая, скрытая. Второе требование связано с психологическим смыслом понятия задача: чтобы некоторый текст или ситуация, содержащие условие и вопрос, были задачей для воспринимающего субъекта ответ на вопрос должен быть неизвестен ему заранее, ответ не должен быть данным. Задача в психологическом смысле42 – это текст (или ситуация), содержащий информацию и соответствующее требование (вопрос), которое воспринимающий задачу субъект не может «сходу» выполнить (не знает ответа на вопрос). Если же по ходу восприятия текста или ситуации субъект без усилий выполняет требование, «видит» ответ на вопрос, то такой текст или ситуация задачей для него не является, хотя может признаваться задачей по форме. Понимание различий психологического и формального смыслов очень важно для тех, кто учит дошкольников и младших школьников решению задач. Дети все воспринимают психологически. У них еще нет опыта формальных договоренностей. Если задача представлена так, что ответ на вопрос виден ученику, то задачи для него нет. Для дошкольников, как впрочем, во многих ситуациях для школьников и взрослых – «вижу» означает «знаю». Дошкольный опыт детей богат ситуациями, когда показ принимался как ответ на вопрос. Так, на вопрос «Сколько тебе лет?», ребенок показывает, например, три пальца; на вопрос «Сколько у тебя машинок?» – показывает машинки и эти ответы принимаются. Если не учитывать это обстоятельство, то у детей будут сформированы неверные представления о задаче и даже нанесена психологическая травма. Например, на уроке в первом классе впервые рассматривается как предмет изучения понятие «задача». В качестве первой задачи дан текст, где информация, о которой спрашивается в вопросе, дана наглядно, например, так: У Оли  , у Саши. Сколько грибов у Оли и Саши вместе?Для старших дошкольников и первоклассников этот текст не является задачей. Любой первоклассник может ответить на вопрос, показав все грибы, а большинство детей шести-семи лет (особенно после обучения счету) могут дать и словесное обозначение количества грибов: «У Оли и у Саши вместе было пять грибов». Если взрослые не принимают «увиденный» ребенком ответ на вопрос задачи, а объясняют, что общее число грибов неизвестно, что задачу нужно «решать» – выполнять действия, то дети перестают понимать смысл происходящего. Ведь они много раз отвечали на вопросы «Сколько у тебя машинок? Кукол? Конфет?» и т.п., показывая соответствующие предметы или называя их число. Все понимали и принимали их ответы. А теперь обнаруживается, что так отвечать нельзя, что то, что они видят и знают – это неизвестное, которое надо найти, а для ответа нужно вначале сделать все, что показывает учитель. Школьные знания становятся отчужденными от субъектного опыта детей, и дети неосознанно начинают делить знания на «нешкольные» и школьные, которые нужны только на уроках. Иногда широкое понятие «задача» подменяется в начальной школе узким его толкованием. Чаще всего в общее понятие «задача» вкладывается смысл понятия «арифметическая задача» (задача, ответ на вопрос которой должен и может быть найден с помощью арифметических действий). Такая подмена также не безобидна. Она, значительно затрудняет перенос знаний о задачах и процессе решения на задачи без числовых данных, на задачи из других областей знания, на практические задачи. Сужение понятия одна из причин того, что часть выпускников начальной школы считает: решить задачу (текстовую, сюжетную) – это выполнить арифметические действия с числами, данными в условии. Такое убеждение очень мешает формированию умения решать задачи. Имеет место еще одна ошибка в характеристике понятия задачи, к сожалению встречающаяся в учебниках, методической литературе, практике и искажающая истинный смысл понятий, относящихся к задаче и процессу решения. Ошибка заключается в том, что в число структурных компонентов задачи включают элементы процесса решения задачи. Нередко можно услышать: «Задача состоит из условия, вопроса, решения и ответа». В одном из учебников обнаружено даже шесть «элементов задачи»: условие, вопрос, схема, выражение, решение, ответ. Из этого следует, что решение является частью задачи, что схема и выражение (математическое, числовое) – обязательные компоненты самой задачи. Такое смешение понятий «задача» и «процесс решения задачи» вредит формированию умения решать задачи, лишает смысла деятельность детей по решению задачи. Напомним: структурными компонентами задачи являются условие и требование (вопрос);условие содержит данные, может содержать также неизвестные,требование – искомое, требуемое. З   АДАЧА   Условие Требование данные неизвестные искомое, требуемое Отметим еще один аспект рассматриваемых понятий. Любое понятие только тогда «работает», когда мы видим не только общие свойства объединенных в нем объектов, но и вариативные, позволяющие различать представителей понятия – элементы объема понятия, и образовывать новые, видовые, понятия. Ответим поэтому на вопросы: «Чем может отличаться одна задача от другой? Какие задачи возможны («бывают», существуют)?» Задачи могут отличаться друг от друга содержанием. Их можно разделить по этому признаку на задачи математические, лингвистические, психологические, химические, кулинарные, педагогические, задачи общения и т.п. З АДАЧИ    математические нематематические « чисто математические» прикладные психологические химические физичкские … в     ычислительные «невычислительные»на выполнение преобразование уравнения и геометрические одного действия выражений неравенства задачи на нахождение … значений выражений в два и более действий Математические задачи делятся на две большие группы: прикладные и собственно математические. Текстовые сюжетные задачи по этой классификации можно было бы отнести к прикладным, хотя современная прикладная математика рассматривает в качестве прикладных более сложные задачи из различных сфер производства и науки. Задачи могут отличаться характером требования. По этому признаку выделяют задачи на нахождение искомого; на построение, конструирование (материального или идеального объекта, способа действия и т.д.); на доказательство; на сравнение – на установление сходства и различий, вида отношения. Существует классификация по предпочтительным методам и способам решения. В этой классификации задачи делят на арифметические, алгебраические, геометрические, логические, практические; на нахождение четвертого пропорционального, на "части", на «приведение к единице» и т.п.. Возможны классификации и по многим другим основаниям. Приведите свои классификации и примеры задач из разных классов, относящихся к обучению младших школьников математике. Перейдем к характеристике других, понятий, относящихся к задачам. Термин решение задачи употребляется в научно-методической литературе в четырех разных значениях2: 1. Процесс перехода от условия к выполнению требования задачи (к ответу на вопрос задачи) или процесс выполнения плана решения. 2. Запись результата процесса решения, описание решения (Покажи мне свое решение. Представь мне свое решение.). 3. Ответ на вопрос задачи или вывод о выполнении требования (Назови свое решение). 4. Способ, метод перехода от условия к выполнению требования задачи (Какое красивое решение найдено!). Значение термина обычно ясно из контекста. Чтобы исключить разные толкования, нужно употреблять термин так, чтобы его смысл был ясен. Процесс решения задачи – это переход от ее условия к выполнению требования (к ответу на вопрос). Ответ на вопрос задачи, вывод о выполнении требования или о невозможности его выполнения – результат процесса решения задачи. Процесс решения может проходить развернуто с обоснованием каждого шага или свернуто, вербально (со словесным оформлением) или невербально (без словесного выражения), путем последовательного логического вывода или на основе интуиции, когда ответ на вопрос возникает в результате озарения, догадки. Невербальное решение осуществляется через конструирование зрительных, слуховых, осязательных или кинестетических образов. В этом случае человек не всегда и не сразу может описать, как он решал. Именно это происходит тогда, когда ученик быстро находит верный ответ на вопрос задачи, но не может объяснить, как его получил. Вероятно, он "увидел" задачную ситуацию и ответ на вопрос задачи. И такое решение нужно признавать. А затем учить осознавать это внутреннее решение, находить средства его выражения в слове, рисунке, в математической записи, а также находить другие решения, которые легче поддаются представлению на естественном языке. Задача решена, если в результате некоторых операций с информацией, данной в ней вербально (словесно) или в других знаковых формах, сформулирован ответ на вопрос (вывод о выполнении требования задачи), соответствующий условию задачи. Если задача такова, что допускает несколько или много разных ответов, удовлетворяющих задаче, то задача считается решенной, когда найдены все ее решения. Если найдены не все решения, то задачу можно считать частично решенной. Пример. Задача: «Какой улов мог быть у Коли, если он был больше чем у Димы, но меньше чем у Олега, каждый из которых поймал соответственно 5 рыб и 9 рыб?» Полный ответ: «Улов Коли мог составить 6, 7 или 8 рыб. Частичное решение: «Улов Коли мог составить 7 рыб». Ответ на вопрос задачи (вывод о выполнении требования задачи) считается соответствующим условию задачи, если информация или построенный объект, содержащаяся в нем, не противоречит информации, данной в условии задачи. В понимании процесса решения задачи важную роль играет различение вопросов «Чтозначит решить (решать) задачу?» и «Как можно решить (решать) задачу?» и ответов на них. Ответ на первый вопрос характеризует смысл решения (процесса решения) задачи. Этот смысл выкристаллизовался в процессе развития русского языка и деятельности людей в областях знания, для которых обсуждаемые термины являются значимыми. Он остается неизменным для любого вида задач и не зависит от способа решения. Решить задачу — на основе информации из условия задачи и требования дать ответ на вопрос задачи, соответствующий условию (выполнить требование задачи в соответствии с ее условием). Если ответ конкретным «решателем» найден без записи задачи, без записи решения, без обоснования решения, без объяснения решения, то названные действия не входят в процесс решения этой задачи данным «решателем». Решать задачу — это значит выполнять действия — умственные, предметные, графические, речевые и т.д., направленные на достижение цели: найти ответ на вопрос задачи, соответствующий условию (выполнить требование задачи в соответствии с условием). На вопрос "Какрешить (решать) задачу?" однозначного ответа нет и быть не может. Путей, методов, способов, приемов перехода от условия к вопросу, к выполнению требования любой задачи существует бесконечное множество. Процессы решения одной и той же задачи разными людьми и одним и тем же человеком в разное время различны. Они зависят от многих причин, в том числе и от того, для чего решается задача, и от причин, побудивших взяться за решение. Эти различия могут быть более или менее значительными, приводить к одинаковым или различным способам внешнего выражения процесса решения. Даже когда задача решается одним и тем же методом с одной и той же целью, реальное решение разными людьми различно, ибо каждый человек имеет свой неповторимый жизненный опыт, внутренний мир, свои особенности эмоционального восприятия, свой характер и темп мыслительных процессов, уровень и характер понимания слов, понятий, терминов, ситуаций. В процессах решения задач разными людьми есть и общее. Это общее позволило выделить средства, методы и способы, приемы решения задач, которые используются разными людьми, приводят к сходным результатам и могут передаваться от одного человека к другому. При этом существует много методов и способов, с помощью которых можно решить ту или иную задачу. Представленная позиция впротивоположна той, согласно которой существует лишь несколько способов решения задачи, причем учитель точно знает, какие способы «хорошие» и именно им он должен обучать детей. Учитель с такой позицией, заранее знает, как должна быть решена задача детьми. Любое отклонение от этого пути в лучшем случае мягко и доброжелательно исправляется. Узкое понимание учителем понятий задача, решение задачи неизбежно приводит к подавлению инициативы, мыследеятельности, самостоятельности детей. Что делать ученику, который знает, что решение возможно только способом, показанным учителем, а он забыл его? Если вспомнить не удастся, то отказаться от решения. Учитель, допускающий многообразие путей, способов и форм решения, всегда заметит и поддержит неординарный поворот мысли ребенка и тогда на каждом уроке возможны открытия. У такого учителя дети опираются на свою мысль, а не только на память. Если знаешь, что существует множество путей решения, стоит ли огорчаться, что забыл один путь? Что значит один забытый путь в сравнении с бесконечным числом других возможных! Это очень сильная мотивационная посылка. Дети, принявшие ее, чувствуют силу своего ума, не боятся вносить предложения по ходу решения. Им открыта возможность ощутить радость познания и понимания, удовольствие от умственной работы. Обращаем внимание еще на одну сторону понятий решение задачи, решить задачу. Данные выше характеристики относятся к сущности этих понятий и не отражают требований к процессу решения задач в разных областях знания и с разными целями. Математика представляет собой ту сферу деятельности, где разрабатывают способы решения. Здесь задачу зачастую считают решенной не тогда, когда известен ответ на ее вопрос, соответствующий условию, а когда описан путь получения ответа. Это не меняет содержания названных выше понятий, но говорит о том, что форма представления процесса решения решающим субъектом зависит от цели решения и цели представления. Важными понятиями теории решения задач являются методы, способы, формы представления решения задач.Исходя из значений слов «метод» и «способ»43, сложившихся традиций их использования в методике обучения математике, описание соответствующих понятий построим на различиях в решениях задач. Эти различия могут проявляться на нескольких уровнях44. В данном пункте дадим только краткое толкование основных понятий, а более детально рассмотрим их в 7.4. |