Царева УМК МПМ (спец). Федеральное агентство по образованию гоу впо новосибирский государственный
 Скачать 1.14 Mb.
|
|
Методами решения задач назовем системы действий решения задач, отличающиеся друг от друга средствами решения, в роли которых могут выступать разделы знаний, составляющие теоретический базис решения или некоторые способы представления информации, используемые в одном или нескольких разделах знаний. В методике обучения математике выделяют методы: арифметический; алгебраический; геометрический, логический, графический (с помощью графиков в декартовой системе координат), координатный, с помощью графов, табличный и др. Способами решения задач назовем системы действий решения задач, относящиеся к одному методу (т.е. выполняемые с помощью одних и тех же средств), но отличающиеся отношениями (связями) между данными, данными и неизвестными, данными и искомым, положенными в основу решений или (и) условиями использования этих отношений, что проявляется через различие в содержании и последовательности операций, выполнение которых приводит к получению ответа на вопрос задачи (к выполнению её требования). Можно говорить об арифметических, алгебраических, и др. способах решения математических задач. Различия следующих уровней обозначим терминами формы выполнения решения, формы устного решения, формы записи решения. Понятием, характеризующим человека в связи с задачами и их решением, является понятие умение решать задачи (4). Любое умение – это качество человека, его готовность осуществлять определенные действия. Взаимодействие учителя и учащихся, направленное на формирование умения решать задачи меняет должно повысить уровень этого умения. В методической литературе принято выделять два основных типа умения решать задачи: общее умение решать задачи и умение решать задачи определенного вида или частное умение решать задачи. Общее умение решать задачи складывается из: — знаний о задачах, структуре задач, процессе решения, этапах решения (действиях по решению), методах, способах и приемах решения; — умений применять названные знания в процессе решения конкретной задачи, выполняя каждый из этапов решения любым из методов и способов решения, используя любой из приемов, помогающих решению, доводя этот процесс до выполнения требования задачи или доказательства невозможности решения или до обнаружения препятствия, которое данному решающему не позволяет решить задачу. Умение решать задачи определенных видов (частное умение решать задачи) состоит из: знаний о видах задач, способах решения задач каждого вида; умений "узнавать" задачу данного вида, выбирать соответствующий ей способ(ы) решения и реализовать его(их) при решении конкретной задачи "узнанного" вида. Общее умение решать задачи проявляется при решении человеком незнакомой задачи – задачи, способ решения которой ему неизвестен. Всех людей, назовем их испытуемыми, по характеру поведения при встрече с незнакомой задачей можно разделить на две группы. Испытуемые первой группы после осознания того, что способ решения им неизвестен, никаких действий не совершают на том основании, что «мы таких задач не решали и поэтому решить эту задачу я не смогу». Общее умение решать задачи у них находится на нулевом уровне, хотя они могут при этом владеть некоторыми его компонентами. Испытуемые второй группы, зная, что они такие задачи не решали, начинают анализировать, преобразовывать задачу и либо доводят решение до выполнения требования, либо отказываются от продолжения решения после выполнения некоторой его части и осознания причин невозможности решения: «Я не могу решить эту задачу, так как не знаю, что такое «...», «Я не могу решить эту задачу, так как для ее решения нужно 7 разделить на 4, а я не умею это делать» и т.п. Испытуемые второй группы владеют общим умением решать задачи. Показателем уровня умения является как уровень сложности решаемых задач, так и характер действий испытуемого в процессе решения задач. Чтобы выяснить наличие и уровень умения решать задачи определенного вида, учащимся можно предложить несколько задач, среди которых есть задачи требуемого вида. Примеры заданий: «Выбрать те задачи, которые знаете, как решать, и решить их», «Выбрать задачи на движение и решить их». Если ученик выполняет задание, значит, он владеет соответствующим умением. Уровень и качество этого умения определяются сложностью решенных задач и тем, насколько осознан и обоснован выбранный учеником способ решения. Группа понятий (5) характеризует использование задач в обучении математике младших школьников, которое реализуется в обучении решению задач и в обучении математике с помощью задач. Отметим вначале существенные различия между понятиями обучение решению задач и решение задач. Необходимость такого различения вызвана тем, что в методической литературе и в практике обучения эти понятия часто отождествляются, вопрос "Как научить решать задачи?" подменяется вопросом "Как решать задачи на уроке?", а обучение решению задач сводится к решению задач на уроках и дома. Такое отождествление приводит к ориентации и работы учителя и деятельности учащихся на получение ответов на вопросы задач, а не на формирование умения решать задачи или формирование других математических понятий и способов действий. При такой подмене и учащиеся лишаются возможности осуществлять учебную деятельность (в психологическом смысле45). Ведь и их целью становится «решить задачу», а не цель «учиться решать задачи» и ее подцели. Поэтому до сих пор не используются должным образом богатые резервы формирования умения решать задачи, имеющиеся в разнообразных видах работы с задачами46, отличных от решения задач (подробнее они будут представлены в следующих пунктах данной главы). Таблица 1. Сравнительная характеристика деятельности учащегося при решении задачи и при осуществлении учебной деятельности по овладению умением решать задачи
Решение задачи – действие человека или машины, направленное на задачу. Цель этого действия – выполнение требования задачи. Обучение решению задач – взаимодействие учителя и учащихся в учебном процессе для формирования у учащихся умения решать задачи. Обучение общему умению решать задачи это: – формирование знаний о задачах, методах и способах решения, приемах, помогающих решению, о процессе решения задачи, этапах (действиях) этого процесса, назначении и содержании каждого этапа; – выработка умения расчленять задачи на составные части, использовать различные методы решения, адекватно применять приемы, помогающие понять задачу, составить план решения, выполнить его, проверить решение, умения выполнять каждый из этапов решения. При формировании общего умения решать задачи предметом и содержанием обучения являются задачи (в широком смысле слова), процесс решения задач, методы и способы решения задач, приемы, помогающие осуществлению каждого этапа и процесса решения в целом. Обучение умению решать задачи определенных видов (обучение частному умению решать задачи) – это – формирование знаний о видах задач, об особенностях задач конкретного вида и особенностях процессов их решения, о методах и способах решения, приемах, наиболее подходящих для задач каждого вида; – выработка умения узнавать (распознавать) задачи конкретного вида, применять различные методы, способы, приемы решения адекватно особенностям конкретной задачи данного вида. Предметом изучения и основным содержанием обучения при формировании умения решать задачи конкретных видов являются виды задач, методы, способы, приемы и образцы решения задач каждого вида. В истории методики математики издавна идет спор – учить ли детей решать задачи определенных видов или учить решать любые задачи. Положительный ответ давался то на первый, то на второй вопросы. С начала 30-х и до конца 60-х годов прошлого столетия в отечественной методике приоритет отдавался обучению решению задач определенных видов (типов). С 70-х годов главной целью провозглашено формирование общего умения решать задачи. Истина, как всегда, «посредине»: необходимо формировать оба умения. Такое формирование эффективно при сочетании в процессе обучения трех линий: 1) накопление опыта решения разнообразных задач как с осознанием процесса и способа решения, так и на интуитивной основе; 2) овладение всеми компонентами общего умения решать задачи в специально организованной деятельности, в которой компоненты общего умения являются предметом изучения и усвоения; 3) овладение всеми компонентами умения решать все виды простейших базовых математических задач курса математики – вычислительных задач (выполнение сложения, вычитания, умножения и деления целых неотрицательных чисел), текстовых задач, называемых в методике задачами на «нахождение суммы, разности двух и более чисел», «движение», «куплю-продажу», «нахождение дроби от числа и числа по его дроби», «вычисление площади прямоугольника и нахождение стороны прямоугольника по известной площади и другой стороне», и др. Обучение математике с помощью задач. Учитель может обратиться к задачам на разных этапах процесса обучения для привлечения внимания к изучаемым математическим понятиям и способам действий, для «открытия» свойств математических понятий, например, свойств арифметических действий; для закрепления вычислительных навыков, освоения свойств геометрических форм и фигур и т.п. Задачи здесь выступают средством обучения математике и можно говорить, что обучение математике происходит с помощьюзадач. Воспитание и развитие с помощью задач. Задачи представляют собой определенный способ организации информации, задающий формы и способы деятельности, характерные для многих сфер жизнедеятельности. Поэтому решение задач, обучение решению задач, несомненно, оказывают воздействие на становление определенных черт характера и качеств личности, на отношение к себе и к миру, т.е. воспитывают. Направленность воспитания, его реальные результаты зависят от многих факторов и, в первую очередь, от профессионализма и педагогических позиций учителя. Так как математические задачи – это такая форма представления информации, которая побуждает к деятельности, прежде всего к деятельности интеллектуальной, то задачи могут служить средством интеллектуального развития учащихся. В этом заключается содержание понятия воспитание и развитие с помощью задач. Однако воспитывающее и развивающее воздействие содержится в задачах как возможность, реализация которой зависит от участников образовательного процесса – учителя, учащегося, авторов учебников и учебных материалов, и, прежде всего, от содержания и способа взаимодействия названных участников, организуемого учителем. Таким образом, понятие использование задач в процессе обучения математике обозначает все случаи включения задач в процесс обучения математике для достижения целей обучения, воспитания и развития. В заключение еще раз подчеркнем: характер понимания ключевых понятий, представляющих задачи, процессы их решения и включения задач в обучение школьников, задает педагогические, в частности, методические позиции учителя, определяющие эффективность использования задач в обучении как для формирования умений учащихся решать задачи, так и для других целей обучения,воспитания и развития. 4.8. Тема 8. Частные методики обучения математике: формирование алгоритмической культуры у детей с тяжелыми нарушениями речи Важнейшим результатом обучения математике является владение учащимися алгоритмами, представляющими способы решения ключевых задач каждой темы. Владение алгоритмами проявляется в соответствующих умениях и навыках. Достижение этого результата складывается из формирования представлений о ключевых понятиях каждой темы, их свойствах, смысле соответствующих способов действий, что закладывает теоретические и практические основы соответствующих алгоритмов, и собственно из изучения алгоритмов. Выделим этапы изучения таких алгоритмов, несколько видоизменив традиционные: (1) подготовительный; (2) ознакомления47 с алгоритмом; (3) закрепления, углубления и расширения знаний алгоритма и условий его применимости, выработки соответствующих навыков;(4) самоконтроля и самооценки; (5) внешнего контроля и оценки. (1) Подготовительный этап. Цель: обеспечить положительную мотивацию и возможность понять и принять изучаемые алгоритмы. Алгоритм – описание общего способа решения задач. Мотивом его изучения может быть стремление быть успешным при решении задач, интерес к задачам. Алгоритмы изобретены людьми как средство решения задач удовлетворения материальных и духовных потребностей (см. 6.1). Каждый алгоритм несет информацию не только об операциях со знаками, но и о нас, людях: как мыслим, решаем проблемы, сотрудничаем. Задать такой ракурс понимания алгоритмов, значит, усилить мотивацию и положительное личностное воздействие их изучения на детей. Чтобы при первом рассмотрении алгоритма внимание каждого учащегося было сосредоточено на последовательности его операций, каждая из операций в отдельности должна быть освоена каждым учеником в подготовительный период. Полезен в подготовительный период опыт решения и сравнения задач и способов решения, обобщенных в алгоритме. Успешность встречи с алгоритмом усиливается, если высок шанс самостоятельного его конструирования или участия в конструировании, если алгоритм становится «точкой удивления» (С.Ю. Курганов), если актуализированы практические действия и теоретические положения, составляющие его основу. Пример 1. Подготовка к освоению алгоритмов чтения, записи, сложения и вычитания многозначных чисел. Подготовку полезно начать при обучении письму цифр, используя «опережающее обучение» (С.Н. Лысенкова48). Учитель задает расположение цифр так, чтобы получилась запись многозначного числа. Затем читает число, обсуждает с детьми, что оно могло обозначать, кому и зачем могла понадобиться его запись. Например, в тетрадях и на доске запись: 22 000, 1 903, 1 398 000. После обсуждения качества написания, учитель говорит: «А ведь вы записали числа, которые нам сообщают: двадцать две тысячи человек жили в Новосибирске (Новониколаевске) в тысяча девятьсот третьем году. Один миллион триста девяносто восемь тысяч человек живет в Новосибирске сейчас». Игра в «говорящие цифры»: дети пишут цифры; учитель читает число; дети говорят, что оно может обозначать; выигрывает тот, кто назвал больше значений. Полезно спрашивать, какую информацию дети хотели бы записать: расстояние до Луны, массу кита, стоимость велосипеда и т.п. Учитель переводит ее в последовательность цифр, которые пишут дети. Дети могут готовить такую информацию к урокам с помощью родителей. Запись цифр в этом случае не будет механическим действием, а начнет выполнять свои прямые «обязанности»: сообщать и сохранять информацию. При написании можно так расположить цифры, чтобы получилась запись «в столбик» двух многозначных чисел. Затем дети складывают или вычитают однозначные числа, записанные одно под другим (вначале без перехода через десяток). Результат записывают в третьей строке. Дети, едва начавшие изучать числа, становятся умелыми вычислителями. Учитель читает получившееся число, сообщает, что дети сумели сложить (вычесть) большие числа. Что они уже могли бы помочь, например, маме подсчитать доход, затраты, остаток средств. Затем дети «фантазируют», кому и для чего могут понадобиться действия с числами. Выполняя такую работу периодически, они без труда научаются читать и записывать, читать, складывать и вычитать записанные в столбик два числа любой длины, совершенствуя при этом навыки устных вычислений в пределах 20-ти. А как нравится им эта «игра в большие числа»! Натуральное число – математическое слово. Освоение способов чтения и записи чисел при использовании с самых первых уроков математики описанных выше «игр в большие числа» происходит так же, как освоение многих слов родного языка: вначале копирование слова в устной речи без осознания смысла, постепенное вычленение ситуаций, в которых можно применять слово, практическое применение, осознание лексического значения и, наконец, осознание языковых характеристик. После такой подготовительной работы ознакомление с алгоритмами чтения, письменного сложения и вычитания многозначных чисел организуется как рефлексивное наблюдение за собственными действиями и действиями других с целью их обоснования, обобщения, описания, в том числе в форме алгоритма. Пример 2. Подготовка к ознакомлению с алгоритмом письменного деления. (Алгоритм представлен в 6.2.) Письменное деление считается трудным для усвоения49. Алгоритм письменного деления в российской школе изучается с 1703 г., когда была издана «Арифметика» Л.Ф. Магницкого. Этот алгоритм циклический и разветвленный. Каждый цикл – деление с остатком путем подбора частного, удовлетворяющего условиям: произведение частного на делитель меньше либо равно делимому; разность между делимым и произведением частного на делитель меньше делителя. Условия заданы теоремой: «Для любых целого неотрицательного числа a и натурального числа b, существует единственная пара чисел q и r, (частное и остаток), таких, что а = bq + r, где 0 ≤ r< b». Подготовка к ознакомлению с алгоритмом письменного деления должна обеспечить владение названным умением. Особое внимание следует уделить случаям, когда делимое меньше делителя. В практике бытует мнение, что в целых числах меньшее число на большее не делится. Это верно лишь для деления нацело. Деление же с остатком выполнимо для любых чисел. (См. данную выше теорему.) Так, 9 : 14 = 0 (ост. 9), так как 9 = 0 · 14 + 9. При подготовке к изучению любого алгоритма полезно обеспечить актуализацию практических действий и теоретических положений, лежащих в его основе. В большинстве учебников математики для начальной школы теоретической основой алгоритма письменного деления называют правило деления суммы на число. Для целых чисел оно формулируется только для слагаемых, нацело делящихся на число. В письменном делении неполные делимые не являются такими слагаемыми и названное правило неприменимо. Словесная формулировка и даже символьная запись50 соответствующего правила для деления с остатком громоздки. В учебниках математики они не формулируются. Основой письменного деления может быть поэтому практическое деление группы предметов. Данный алгоритм является его удобной знаковой формой. Предметное деление помогает детям осознать необходимость изобретения алгоритма, снимающего трудности практического раскладывания предметов и счета. Обозначение каждой операции с предметами при таком делении соответствующими действиями с числами и записями определенной формы и есть алгоритм письменного деления. Предметное деление подтверждает результативность алгоритма. Оно делает возможным участие детей в изобретении алгоритма. Реально такое деление на уроке возможно при использовании специального счетного материала. Счетным материалом могут быть: тонкие палочки, подобные стандартным спичкам без головок, увязанные по десяткам, сотням, тысячам, десяткам тысяч; квадраты со стороной 1см – единицы, полоски 1см х 10 см - десятки, квадраты 1дм х 1дм – сотни, полоски 1 дм х 10 дм – тысячи, квадраты со стороной в 100 см – десятки тысяч, изготовленные из миллиметровой бумаги. После реального выполнения предметного деления возможно мысленное выполнение такого деления с обозначением отдельных шагов действиями с числами и их результатов. Записи могут вестись в таблице классов и разрядов. Ниже представлено мысленное практическое деление. Аналогичная работа может быть проведена и на первом уроке явного рассмотрения письменного деления с добавлением обсуждения с детьми вариантов представления практического деления в единой записи способа деления. В круглых скобках представлен возможный вариант такого обсуждения. Пусть нужно разделить 3 220 980 на 14 (см. 6.2). Представим, что на складе 3 220 980 предметов, которые нужно разделить поровну между 14-тью заказчиками. Упакуем мысленно предметы в контейнеры согласно десятичной записи делимого: по миллиону, по сто тысяч, по десять тысяч и т.д. Каждый контейнер составим из десяти меньших: контейнер по миллиону – из 10-ти по сто тысяч; каждый контейнер со ста тысячами – из 10-ти контейнеров по 10 тысяч, и т.д. Самых больших контейнеров 3. Контейнеров по 100 тысяч – 2. Еще 2 отдельных контейнера – по 10 тысяч. Отдельных контейнеров по тысяче предметов нет, по сто – 9, по десятку – 8. Неупакованных в контейнеры предметов нет. Как бы вы разделили так упакованные предметы на 14 равных частей? Какие способы деления могли предложить дети? Думаю, предложили бы делить контейнеры. Самых больших контейнеров – 3. Даже по одному на каждое предприятие дать не удастся. Достанем из них контейнеры поменьше – по 10 из каждого, всего 30. Да 2 таких же контейнера есть. Получим 32 контейнера по 100 тысяч предметов. (Вот и первое неполное делимое – 32. Это первый шаг алгоритма.) Будем раздавать 32 контейнера 14-ти предприятиям. Дадим каждому предприятию а) по 1 контейнеру б); по 2 контейнера; в) по 3 контейнера. Т.е., 32 делим на 14; возьмем в качестве частного а) 1; б) 2; в) 3. (Мы подобрали однозначное частное – первую «цифру» частного. Это второй шаг алгоритма.) Сколько контейнеров по сто тысяч предметов поделены? а)1 · 14 = 14 контейнеров, б) 2 · 14 = 28 контейнеров; в) должны быть поделены 3 · 14 = 42 контейнера. (Мы умножали подобранную «цифру» частного на делитель. Это третий шаг.) Все ли 32 контейнера оказались поделенными? а) 28 < 32 – не все. б) 14 < 32 – не все; в) поделенными оказалось большее число автомобилей, чем их есть: 42 > 32, а есть только 32. (Мы сравнили произведение с неполным делимым. Это четвертый шаг.) Что дальше? В случаях а) и б) узнать, сколько контейнеров не розданы. В случае в) не удастся выдать по 3 контейнера: контейнеров не хватит. (Значит, по 3 – много. Нужно возвращаться к шагу 2) – подбору цифры частного. а) Нераспределенными остались 4 контейнера: 32 – 28 = 4. б) Осталось 18 контейнеров: 32 – 14 = 18. Мы выполнили вычитание. Это пятый шаг.) Осталось много или мало? В случае а) 4 < 14, осталось меньше, чем предприятий. б) 18 > 14, осталось больше чем предприятий. (Мы сравнили остаток с делителем. Это шестой шаг. По его результатам в случае б) каждому предприятию добавим по одному большому контейнеру, их станет по 2, как в а). Вывод: если остаток больше делителя, то нужно возвратиться к подбору частного.) Только в случае а) работа с крупными контейнерами закончена: всем предприятиям можно выдать по 2 крупных контейнера. (Вывод: из трех чисел частным может быть только а) число 2.) Теперь решим, что делать с оставшимися 4 контейнерами по сто тысяч предметов? Наверно, то же, что мы делали с тремя – распаковывать и доставать меньшие контейнеры, из каждого по 10, всего 40 контейнеров по 10 тысяч предметов в каждом. Да 2 таких контейнера уже есть – всего 42. (В записи – это приписывание цифры 2 к разности 4 – образование нового неполного делимого. Это вновь первый шаг алгоритма. Начался новый цикл. Далее действуем как в предыдущем цикле.) Далее распределяем между 14 предприятиями поровну 42 контейнера по сто тысяч предметов в каждом так же, как мы делали это с 32 контейнерами по миллиону. 42 : 14 = 3. (Подбираем цифру частного.) Если каждому из 14 предприятий дадим по 3 контейнера, то будут поделены 42 контейнера (14 ∙ 3 = 42), т.е. все десятитысячные контейнеры (42 – 42 = 0). Контейнеров по тысяче предметов 0. (Новое неполное делимое – 0 тысяч. Начинаем новый цикл.) Поэтому каждое предприятие получит по 0 таких контейнеров. И т.д. до последнего контейнера. (И т.д. как до последней цифры.) После такой предметной работы алгоритм письменного деления выступает перед учащимися как обозначение в десятичной записи исходных данных, промежуточных и окончательных результатов предметного деления. Детям становится понятно появление «неполных» делимых, «цифр частного», и т.д. Каждый шаг алгоритма в этом случае имеет чувственный образ соответствующего предметного действия. «Точкой удивления» становится многократное повышение эффективности труда при переходе от деления предметного к делению по данному алгоритму. (2) Ознакомление с алгоритмом или алгоритмами (первое рассмотрение алгоритма на уроке). Главная цель изучения основных алгоритмов начального курса математики – свободное владение ими. Главная цель урока, на котором впервые специально и явно будет рассматриваться некоторый алгоритм (или алгоритмы) – обеспечить принятие и достижение каждым учащимся цели: «Научиться действовать по алгоритму при решении соответствующих задач с опорой на «Памятку» (образец выполнения, блок-схему)». Степень достижения цели учащимися будет зависеть от особенностей а) алгоритма; б) учащихся, в) коллективного и индивидуального опыта учащихся, а также от адекватности способов организации взаимодействия учителя и учащихся, деятельности учителя и учащихся особенностям а), б) и в). Первый урок рассмотрения некоторого алгоритма должен включать актуализацию знаний и умений, на которых основан алгоритм, мотивирование изучения, постановку учебных целей, рассмотрение алгоритма как предмета специального изучения, первичное закрепление и обобщение. Если алгоритм несложен и (или) высока подготовленность детей, то возможен самоконтроль и самооценка степени владения алгоритмом. Несмотря высказанные требования к любому такому уроку, строиться он может по-разному. Тот факт, что это первый урок, не означает, что ни один ученик класса не владеет данным алгоритмом и ни один ученик ничего об изучаемом алгоритме решения соответствующих задач не знает. Это означает лишь то, что «новый» алгоритм не был до этого предметом специального рассмотрения. У учащихся класса возможна разная степень предварительного знакомства с ним: первая – все уже активно используют алгоритм, хотя предметом специального изучения он не был; вторая – одни учащиеся владеют им, другие не используют, но знают о нем; третья – одни учащиеся владеют им, другие не используют, но знают о нем, третьи – не знают о его существовании; четвертая – никто не знает об изучаемом алгоритме. В обычном классе более вероятна третья ситуация. В классе, где всегда задается перспектива и ведется подготовка к специальному рассмотрению алгоритма вероятнее вторая и первая ситуации. К сожалению, значительная часть рекомендаций к уроку негласно относят учащихся класса к четвертой ситуации. Наиболее эффективен урок, где каждый ученик может проявить свой опыт и действовать сообразно своему уровню знакомства с изучаемым алгоритмом. Пример 1. Изучается вычитание чисел вида 30 – 7. Урок первого рассмотрения алгоритма или алгоритмов вычитания чисел такого вида может происходить в первом или во втором классе. Алгоритмы вычитания вида 30 – 7: 1) вычитание с помощью предметов, в том числе на основе предметного представления десятичной записи компонентов вычитания; 2) отсчитывание по единице или группами; 3) подбор разности на основе связи вычитания и сложения (20 – 3 = 17, так как 17 + 3 = 20); 4) на основе правила вычитания числа из суммы: 50 – 8 = (40 + 10) – 8 = 40 + (10 – 8) = 40 + 2 + 42; 5) поразрядное вычитание после применения свойства: «Если уменьшаемое и вычитаемое одновременно уменьшить или увеличить на одно и то же число, то разность не изменится»: 40 – 6 = (40 – 1) – (5 – 1) = 39 – 5 = 34; или 40 – 6 = 44 – 10 = 34; 6) на основе особенностей десятичной записи результата вычитания: разность чисел вида 60 – 3 есть двузначное число, в котором десятков на единицу меньше чем у уменьшаемого, а число единиц дополняет вычитаемое до десяти (60 – 3 = 57, где 5 = 6 – 1, а 7 + 3 = 10). Первые три алгоритма применимы не только к рассматриваемым случаям. Они изучались ранее и потому могут быть применены детьми и к новым случаям. Трудность такого применения вызовет стремление детей найти более простые способы вычитания. Такими способами являются алгоритмы 6) и 7). Желаемый результат работы на уроке – умение безошибочно находить разность чисел названного вида с опорой на образец. Подготовкой к рассмотрению данных алгоритмов служит работа по формированию смыслов вычитания, навыков вычитания на основе ранее изученных алгоритмов, в том числе с помощью предметных действий (реальных и мысленных), наблюдения за изменениями компонентов и результатов действий. Опыт показывает, что алгоритм 7 предпочтительнее алгоритма 6. Освоение алгоритма 6 требует от учащихся знания формулировки правила, умения записывать и читать сложный математический текст, что не всем учащимся под силу. Приведем вариант возможной работы на уроке. К уроку готовятся пучки счетных палочек, отдельные палочки, карточки с условным изображением десятков (точками в треугольнике51 или другими условными изображениями), метровая мерная лента с делениями на дециметры – десятки и сантиметры – единицы. В качестве «математической разминки» проводим устные упражнения и математический диктант логического и вычислительного характера. Задания диктанта: обозначить арифметическими действиями, в том числе рассматриваемыми случаями вычитания, демонстрационные действия учителя с наборами счетных палочек, карточками с «точечным» изображением чисел, мерной лентой. Далее учитель просит выписать отдельно в столбик выражения вида 40 – 8 и их значения. Проводим обсуждение вопросов: Чем похожи и чем отличаются данные выражения? Как получили значения выражения в каждом случае? (Обозначили количество оставшихся после удаления палочек, треугольников-десятков, длину части мерной ленты в сантиметрах). Чем удобно и чем неудобно вычитание чисел с помощью предметных действий? Результат обсуждения – вывод о необходимости «изобретения» более экономичного способа вычитания, осознание и принятие цели: найти, придумать, удобный и быстрый способ вычитания для рассматриваемых случаев, научиться вычитать с его помощью. Далее, обсуждаем, что делать для достижения цели. Учитель, помогая, просит сравнить разность с уменьшаемым и вычитаемым. Результатом являются выводы: а) разность чисел вида 30 – 4 (разность круглого двузначного числа и однозначного) есть число, в котором десятков на 1 меньше, чем в уменьшаемом, а число единиц дополняет вычитаемое до 10; б) чтобы вычесть из круглого двузначного числа однозначное, достаточно: 1) уменьшить на 1 число десятков в уменьшаемом; 2) найти число, дополняющее вычитаемое до 10; 3) назвать или записать число, в котором число десятков – результат первого шага, а число единиц – второго. Словесно заданный алгоритм может быть представлен и записью:   10  60 – 8 = 52  – 1 Затем дети тренируются в новом способе вычитания, объясняют, почему он приводит к правильному результату, оценивают степень владения новым алгоритмом. После самооценки подводим итоги, проговаривая алгоритм, выделяя его особенности и условия применения. (3) Закрепление, углубление и расширение знаний об алгоритме и условиях его применимости, выработка соответствующих навыков. Чтобы владение алгоритмом стало навыком, необходимо многократное его применение. Конкретный алгоритм не может быть одинаково эффективен при решении каждой задачи данного класса. Для каждого класса задач существует несколько алгоритмов. Владение алгоритмами начального курса математики предполагает умение выбирать наиболее подходящий алгоритм для конкретной задачи, для данного исполнителя и цели решения. В этом и заключается углубление и расширение знаний об алгоритмах и условиях его применимости. Самой высокой степенью владения алгоритмом считается навык, доведенный до автоматизма. Такое владение предусматривается для многих основных алгоритмов начального курса математики, в частности вычислительных. Процесс формирования навыков противоречив. С одной стороны, для выработки навыка необходимо многократное повторение соответствующих действий, с другой стороны, такое повторение приводит к потере интереса к работе, к быстрому утомлению, что мешает выработке навыка. Средством снятия этого противоречия является включение действий по алгоритму в другую деятельность, более интересную и значимую для данного обучающегося. В российской школе накоплен богатый опыт успешного формирования навыков, прежде всего, вычислительных. Этот опыт представлен в разнообразных заданиях, которые условно можно разделить на три группы 1. Задания на прямое применение алгоритма или алгоритмов. Для повышения эффективности выполнения таких заданий разнообразят способы и формы представления соответствующих задач. Так, задачу для применения алгоритма можно задать полным или кратким текстом, без использования дополнительных символов или с их использованием, в табличной или иной специальной форме, с иллюстрацией «живыми картинками» или условными предметными действиями, рисунками, графиками, блок-схемами или без них, в тестовой или не тестовой форме и т.п. Задание может быть дано устно учителем или учеником, непосредственно или через аудио и видео аппаратуру, с прочтением математических текстов по-разному. Задания могут предлагаться в письменной форме на доске, в учебнике, на демонстрационных таблицах и карточках, на индивидуальных карточках обычным текстом или с использованием специальных форм, в черно-белом или цветном исполнении, с иллюстрациями и без них и т.п. Полезно разнообразить и форму выполнения заданий: устное выполнение с устным представлением результата, с его показом условными знаками, сигнальными карточками, жестами, движениями. Возможно устное выполнение с записью только конечного результата, с записью задачи (например, числового выражения) и конечного результата, с записью некоторых промежуточных результатов в произвольной или заданной форме, в форме, соответствующей принятой учащимся цели применения алгоритма и т.д. Даже разнообразие места записей оказывает влияние на эффективность работы: в рабочей тетради, тетради-черновике, блокноте, тетради для дополнительных заданий, на лепестках бумажного цветка, на части листа определенного цвета, на большом общем листе в коллективной работе. Любят дети писать мелом и маркерами на индивидуальных досках. Разнообразие условий и форм выполнения работы повышает работоспособность детей, улучшает настроение, предупреждает утомляемость. 2. Задания, в которых осваиваемый алгоритм применяется для получения новой информации, подготовки к изучению нового, поиска ответов на познавательные и исследовательские вопросы, для установления сходства и различия, обнаружения закономерности, подтверждения или опровержения некоторого утверждения или гипотезы и т.п. Примером могут служить задания вида: «Вычислив значения выражений и расположив их в порядке возрастания (убывания), расшифруй … название сказки, пословицу, … (см., например, учебники Л.Г. Петерсон). Много разнообразных заданий этой группы в учебниках Н.Б. Истоминой. Например, № 354 (М.3, 2001, с.111) «На какие группы можно разбить выражения: 64 : 8, 48 : 4, 36 : 3 … ? (Даны три столбика по три выражения.) Маша выполнила задание так: … Миша выполнил задание так: … Догадайся! По какому признаку разбила выражения Маша, по какому – Миша?». К этой же группе можно отнести задания с «магическими квадратами», на восстановление пропущенных знаков и др. 3. Игры, игровые ситуации, сказочные и занимательные сюжеты, в которых применение алгоритма включено в игровое действие. Примеры. 1. Математические фокусы. Они описаны во многих пособиях для внеклассной работы. Пытаясь разгадать фокус, а разгадав – выступить в роли фокусника, дети выполняют много вычислений, что ускоряет формирование вычислительных навыков. Например: а) «Задумайте двузначное число. Поменяйте цифры местами и из большего числа вычтите меньшее. Полученную разность сложите с числом, записанным теми же цифрами в другом порядке. У вас получилось 99.» б) «С днем рождения! Учитель просит написать на листе бумаги число и месяц своего рождения. Затем число нужно умножить на 20, прибавить 73, сумму умножить на 5, а затем прибавить порядковый номер месяца, увеличенный на 35 и назвать результат. После чего «фокусник» записывает на доске число и месяц рождения. (Для этого он устно вычитает из названного результата 400: в разности первые две цифры – день, вторые две – порядковый номер месяца рождения.) Для способных к математике учащихся интересно и посильно будет разгадывание и обоснование фокуса, составление своих математических фокусов. 2) Игра «Домино». На одной половине карточек в форме «костяшек» домино написаны числа, на другой – числовые выражения. Карточки раздаются учащимся поровну. Первый ход: один из играющих выкладывает карточку. Другой игрок кладет рядом карточку со значением числового выражения первой карточки или с числовым выражением, для которого число на первой карточке – значение и т.д. 3. Игра «Поймай мяч». Учитель говорит задание, например, «к семи прибавить пять» и бросает ученику мяч. Ученик ловит мяч, называет значение выражения и бросает мяч учителю. 4. Задачи в стихах с занимательными сюжетами: Шли сорок мышей. Несли сорок грошей. Две мыши поплоше несли по два гроша. Сколько было мышей и сколько они несли грошей? (Сорок две мыши, сорок четыре гроша).52 Чем изобретательнее будет учитель, чем более он будет вовлекать учащихся в конструирование интересных задач и форм заданий, тем менее утомительной, более интересной и эффективной будет работа детей на этапе совершенствования навыков. (4) Самоконтроль и самооценка. Самоконтроль и самооценка, как известно, играют особую роль в учебной деятельности. Наличие этих личностных качеств является необходимым условием становления детей как учащихся – учащих себя (см. 2.3.), так как результатом этих действий является осознание знаемого и незнаемого, что служит основой для постановки новых учебных задач. Для самоконтроля и самооценки степени владения основными алгоритмами школьного курса математики, в частности вычислительными, на каждом этапе изучения необходимо осознание и принятие учащимися цели «Научиться действовать по алгоритму» и постановка вопросов «Научился ли я?», «Хорошо ли научился?». Дети достаточно легко определяют, что им нужно делать для ответа на эти вопросы: решить ряд конкретных задач с применением изучаемого алгоритма. Например, учитель говорит: «Вы сегодня учились строить отрезки, большие и меньшие данного. Что вам нужно сделать, чтобы вы узнали, научились вы это делать или нет, достаточно ли хорошо научились?». Велика вероятность того, что дети скажут: «Нужно построить несколько таких отрезков. Если справлюсь, то, значит, умею. Нужно начертить какой-нибудь отрезок. Потом нужно, чтобы кто-нибудь сказал, на сколько большим или меньшим должен быть новый отрезок, а затем построить такой отрезок. Если получится – значит, умею.». При накоплении опыта самоконтроля и самооценки учителю достаточно напомнить: «Проверьте каждый себя: хорошо ли ты научился вычитать круглые двузначные числа (читать многозначные числа, строить треугольники, …). У нас есть 5 минут для этого. Задания можете придумать свои (взять из записанных на доске, где они распределены по сложности – простые, средние, сложные; взять из № … – полегче, из № … – потруднее)». После окончания учащиеся делятся своими выводами. В результате краткого обсуждения намечается дальнейшая учебная работа. (5) Внешний контроль и оценка проводится после самоконтроля и самооценки. Можно проверять и оценивать отдельные качества (характеристики) владения алгоритмами: осознанность, правильность, скорость, рациональность выбора алгоритма, прочность и др. Текущий контроль можно осуществлять в процессе самоконтроля. Результаты контроля и оценки могут фиксироваться в форме отметки, а при безотметочном обучении в форме листа достижений либо специальной формы содержательной характеристики проверяемых качеств. Для проверки вычислительных навыков удобна форма математического диктанта, проверка с помощью компьютерных программ Описанная выше работа направлена на выработку соответствующих математических умений, хотя при этом осваиваются и определенные сведения об алгоритмах, формируются некоторые компоненты алгоритмической культуры. При обучении математике возможна и работа, специально направленная на формирование алгоритмической культуры. | |||||||||||||||||||||||||||||||||