Определение мощности источника тока. Гудилов_Физ_практ_Ч_2_2008(1). Физический практикум
 Скачать 1.62 Mb.
|
|
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ 16.1. Цель работы Экспериментальное исследование параллельного и последовательного резонансов (резонанса тока и резонанса напряжения) в простых колебательных цепях. 16.2. Основные теоретические сведения Вынужденные колебания в электрическом контуре – процессы, происходящие под воздействием внешней возмущающей силы (внешней ЭДС), когда контуру «навязываются» колебания с частотой внешнего сигнала. Наиболее простой колебательной цепью является одиночный контур, в котором все элементы (сопротивление R, индуктивность L и емкость С включены последовательно (рис. 16.1) – последовательныйколебательный контур. Рис. 16.1. Последовательный колебательный контур Описание процессов в таком контуре, где дополнительно включена внешняя ЭДС (t), можно дать, учитывая условие квазистационарности, применив второе правило Кирхгофа к данной цепи: ( ) ( ) ( ) ( ) L C U t U t t i t R E . (16.1) Здесь dt dq t i ) ( , C q U С , ( ) L di t U L dt . Подставляя эти соотношения в (16.1) и предполагая, что электродвижущая сила изменяется по гармоническому закону t U t E cos ) ( 0 , уравнение (16.1) можно записать в виде: t L U q dt dq dt q d cos 2 0 2 0 2 2 , (16.2) где 2 R L ( – коэффициент затухания) и 2 0 1 LC ( 0 – собственная круговая частота колебательного контура). Решение дифференциального уравнения (16.2) представляет собой сумму частного (16.3) и общего (16.6) решений. ) cos( t q q m , (16.3) где 2 2 2 2 2 2 2 0 0 ) 1 ( 4 ) ( R C L U L U q m m (16.4) L C R tg 1 2 2 2 0 (16.5) ) cos( об об t mоб об t e q q (16.6) Общее решение (16.6) с течением времени уменьшается по экспоненте, поэтому установившиеся вынужденные колебания будут описываться функцией (16.3). Таким образом, ток, протекающий через все элементы последовательного контура при установившихся колебаниях определяется так ) 2 cos( ) sin( t I t q dt dq I m m , (16.7) где Z U R C L U q I m m m m 2 2 ) 1 ( Величина 2 2 ) 1 ( R C L Z – называется полным электрическим сопротивлением или импедансом. Амплитудное значение силы тока зависит от частоты внешней ЭДС. Графики зависимости ) ( m I называются резонансными кривыми колебательного контура. На рис. 16.2 представлены резонансные кривые тока при различных значениях сопротивления R ( 3 2 1 R R R ). Рис. 16.2. Резонансные кривые тока Из (16.7) следует, что максимального значения амплитуда сила тока достигает при минимальном значении импеданса, то есть при выполнении условия C L 1 . Следовательно, резонансная частота для силы тока не зависит от R и равна собственной частоте контура: LC рез I 1 0 Поскольку интерес также представляет поведение падения напряжения на каждом из элементов, входящих в последовательный контур, определим закон изменения U R (напряжение на резисторе), U C (на конденсаторе) и U L (на катушке индуктивности). Напряжение на резисторе непосредственно вытекает из (16.7): ) 2 cos( t RI U m R (16.8) Разделив (16.3) на емкость, получим напряжение на конденсаторе: ) cos( ) cos( t U t C q U Cm m C , (16.9) где m C m m m Cm I X C I R C L C U q U 2 2 ) 1 ( . (16.10) Величина C X C 1 – называется реактивным емкостным сопротивлением или емкостным сопротивлением. Продифференцировав выражение (16.7) по времени и умножив полученное на L , получим напряжение на катушке индуктивности: ) cos( ) 2 sin( t U t LI dt dI L U Lm m L , (16.11) где m L m Lm I X LI U Величина L X L – называется реактивным индуктивным сопротивлением или индуктивным сопротивлением. 1 3 2 Из формул (16.7), (16.8), (16.9) и (16.11) следует, что напряжение на активном сопротивлении R изменяется в одной фазе с током. Напряжение на конденсаторе отстает по фазе от силы тока на 2 , а на катушке индуктивности напряжение наоборот опережает ток на 2 . Таким образом, напряжения L U и C U изменяются в противофазе друг относительно друга. При частоте внешней ЭДС равной собственной частоте колебательного контура 0 , величины напряжений на реактивных элементах становятся равны по величине и противоположны по знаку, в результате чего суммарное напряжение на них равно нулю. Именно из этих соображений резонанс в рассматриваемом контуре называют резонансом напряжений. Максимального значения амплитуда напряжения на емкости достигает при частоте меньшей чем 0 . Значение резонансной частоты для напряжения на конденсаторе Cm U определяется из (16.10): 0 2 2 2 2 0 2 1 2 L R LC рез U (16.12) Вид резонансных кривых для Cm U , при различных значениях активного сопротивления R ( 3 2 1 R R R ), показан на рис. 16.3. Рис. 16.3. Резонансные кривые напряжения При малом затухании можно положить, что 0 рез U . Тогда из (16.10) следует, что при резонансе отношение амплитуды напряжения на конденсаторе к амплитуде внешнего напряжения будет: Q C L R CR U U Cm 1 1 0 0 0 . (16.13) 1 2 3 Здесь Q – добротность контура (см. 15.12). Таким образом, добротность контура показывает, во сколько раз при резонансе в контуре напряжение на емкости превышает подаваемое внешнее напряжение ) (t E Перейдем к рассмотрению процессов происходящих в изображенном на рис. 16.4 параллельномколебательном контуре. Очевидно, что падение напряжения на всех элементах контура одинаково, тогда, полагая что электродвижущая сила изменяется по закону t U t E cos ) ( 0 , можно записать: dt dI L dt I C R I t U L C R 1 cos 0 (16.14) Из (16.14) следует: t R U I R cos 0 (16.15) ) 2 cos( sin 0 0 t C U t C U I C (16.16) ) 2 cos( sin 0 0 t L U t L U I L (16.17) Рис. 16.4. Параллельный колебательный контур Из первого правила Кирхгофа вытекает, что общий ток в цепи равен ) 2 cos( 1 cos 1 0 t L C t R U I I I I L C R (16.18) Пользуясь методом векторных диаграмм для сложения гармонических колебаний, легко получить: ) cos( 1 1 2 2 0 t L C R U I (16.19) При = 0 наступает резонанс, называемый резонансом токов, когда общий ток, протекающий через контур, минимален (рис. 16.5). Рис. 16.5. Кривая зависимости величины тока от частоты Это объясняется тем, что токи, протекающие через конденсатор (16.16) и индуктивность (16.17) противоположны по фазам и компенсируют друг друга. В результате амплитуда общего тока через контур достигает того же значения, что и в цепи постоянного тока, если подаваемое напряжение равно 0 U , а емкостное и омическое сопротивления отсутствуют: R U I 0 16.3. Описание лабораторной установки На рис. 16.6 показана структурная схема всей экспериментальной установки, включающая генератор, осциллограф и измерительный блок. Принципиальная электрическая схема измерительного блока изображена на рис. 16.7. Рис. 16.6. Структурная схема лабораторной установки Рис. 16.7. Принципиальная электрическая схема экспериментальной установки При выполнении данной работы ключ S1 ставится в положение 2, в результате чего на контур, находящийся в измерительном блоке, подается сигнал от генератора. С помощью переключателей S2, S3 и S4 можно устанавливать произвольную комбинацию резисторов R1, R2, катушек индуктивностей L1 – L3 и конденсаторов С1 – С3, 16.4. Методика проведения эксперимента В данной работе исследуется зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающего сигнала при неизменной его амплитуде. Для этого необходимо переключатель S1 установить в положение 2. Тогда изучаемый контур будет подключен к источнику переменного напряжения через резистор R (см. рис. 16.7). При этом величина сопротивления резистора R выбрана так, чтобы она была много больше модуля импеданса контура. Тогда полный ток через контур практически не зависит от импеданса контура и можно считать, что исследуемый контур слабо связан с генератором. Напряжение с контура подается на вертикальные отклоняющие Y- пластины осциллографа. На Х- пластины подается сигнал с генератора. При отключении входа Х осциллографа на экране появляется вертикальная линия. Путем изменения частоты генератора добиваются максимальной амплитуды. Длина линии должна соответствовать максимальному размеру масштабной сетки на экране осциллографа. При повышении или недостаче сигнала амплитуду корректируют ручками "Усиление" ступенчатой и плавной регулировки усиления. Затем, изменяя частоту сигнала генератора в сторону увеличения или уменьшения частоты, изменяют амплитуду сигнала до тех пор, пока она не достигнет 1/3 амплитуды U Cmax . Далее, изменяя частоту генератора, записывают результаты измерений. Для измерения сдвига фаз между током, протекающим через контур, и падением напряжения на контуре используется метод сложения взаимно перпендикулярных колебаний. Если на Х- пластины осциллографа подается напряжение х(t)=U 1 cos t, а на Y-пластины, напряжение y(t)=U 2 cos( t+ ), то в результате на экране осциллографа появляется эллипс. Действительно, из соотношений для х(t) и y(t) можно получить параметрическое уравнение кривой Лиссажу: 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 cos sin x t y t x t y t U U U U Нетрудно заметить, что при y(t) = 0 sin =x/U 1 , и для определения сдвига фаз достаточно измерить два отрезка (см. рис. 16.8) х=вв и U=aa. При этом можно так отрегулировать усиление по оси Y, чтобы эллипс был достаточно большим и в то же время помещался на экране. Таким образом: arcsin вв аа . (16.20) Рис. 16.8. Вид фигуры Лиссажу на экране осциллографа 16.5. Порядок выполнения работы 16.5.1. Перед началом работы следует получить у преподавателя данные о том, какие элементы R, L и С следует подключать. 16.5.2. Подготовить установку к работе. Для этого следует переключатель S1 поставить в положение "2". Переключатели S2, S3 и S4 поставить в положение, соответствующее значениям элементов контура (L, R, C), указанных преподавателем. 16.5.3. Включить в сеть генератор и осциллограф. Ознакомиться с основными правилами эксплуатации приборов, находящимися у лаборанта. 16.5.4. Отсоединить от осциллографа провод, идущий к Х-пластинам. Изменяя частоту генератора, добейтесь максимальной величины сигнала на экране осциллографа. Отрегулируйте усиление по оси Y осциллографа так, чтобы величина линии была не менее 40 мм. 16.5.5. Изменяя частоту генератора в сторону ее уменьшения, установить частоту сигнала, соответствующую амплитуде сигнала, равного одной трети от максимального значения. 16.5.6. Снять зависимость U C (v) от первого значения частоты, где выполняется условие 3 max U U C , до второго значения частоты, при котором это условие выполняется снова. Частота v определяется по шкале генератора ( =2 v), а амплитуда – по размеру отрезка на экране осциллографа с учетом коэффициента усиления. Кривая U C (v) должна содержать не менее 16 точек. Все данные вносить в табл. 16.1. 16.5.7. Подключить сигнал от генератора на Х-пластины. Частота генератора должна соответствовать точке, в которой 3 max U U C 16.5.8. Ручками "Усиление" Х и Y установить максимальный размер эллипса на экране осциллографа. 16.5.9. Изменяя частоту генератора для тех же значений частот, что и в п. 6, измерить отрезки 2а(аа) и 2в(вв). Данные внести в табл. 16.1. 16.5.10. Повторить измерения по п. 4–9 для контура с другими значениями R, L и С. 16.6. Обработка результатов измерений 16.6.1. Используя данные эксперимента (значения отрезков 2а(аа) и 2в(вв)), по формуле (16.20) вычислить значения сдвига фаз 16.6.2. Построить графики экспериментальных зависимостей U C (v). 16.6.3. Рассчитать величины добротности Q (16.13) и собственной частоты 0 контура. Данные внести в табл. 16.1. Таблица 16.1 Частотные характеристики контуров R= L= C= R= L= C= 2U C 2a (aa) 2в (вв) 2U C 2a (aa) 2в (вв) Q = 0 = Q = 0 = 16.7. Контрольные вопросы 1. Что такое последовательный и параллельный колебательные контуры? 2. Каким образом можно получить вынужденные электрические колебания в контуре? 3. Напишите уравнения Кирхгофа для колебательного контура. 4. Как определяется условие резонанса в колебательном контуре? 5. В чем отличие резонанса токов от резонанса напряжений? 6. Пользуясь методом векторных диаграмм для сложения гармонических колебаний, получить формулу (16.9). 7. Почему появляется разность фаз между током и напряжением в контуре? 8. Что такое добротность контура? Как определяется добротность контура? |