Лекции по физике 4 семестр. Фотон обладает массой m
![]()
|
Потенциал Морзе. Колебательный энергетический спектр ангармонического осциллятора. Модель ангармонического осциллятора описывает колебания двухатомной молекулы только при очень малых смещениях x=r-r0. Согласно модели г.о. с ростом x, F и U неограниченно растут(U=(1/2)·βx2, что не может быть в реальности, потому что при смещении молекулы могут расходиться. Это означает, что сила упругости должна описываться более сложной формой кривой, чем парабола. В общем случае колебания молекулы должны быть ангармоническими, а потенциальная энергия должна иметь более сложную зависимость от координаты. Один из самых возможных способов описания потенциальной энергии ангармонического осциллятора(АГО) является потенциал Морзе, по которому: U(r) =U0[1-exp(-[α(r-r0)]2 U0-толщина потенциальной ямы. r-текущее расстояние между двумя атомами r0-расстояние между атомами в момент взаимодействия. α-коэффициент, характеризующий упругую часть взаимодействия В п.М. за ноль потенциальной энергии принимается энергия атомов, находящихся на расстоянии . В случае малых отклонений функция Морзе переходит в обычную параболу, т.е. даёт простую квадратичную зависимость от. Для получения собственных значений колебательной энергии АГО следует в Ур-е Шр. подставить п.М. и мы получаем: Ψ”(r)+(2μ/Ћ2)(E-U(r))·Ψ(r)=0, где μ –приведённая масса двухатомной молекулы μ=m1·m2/(m1+m2) Решение этого уравнения для ГO даёт значение колебательной энергии: Eν=Ћω[(ν+1/2)-γ(ν+1/2)2], где ω -собственная частота колебаний молекулы, ν-колебательное квантовое число γ-коэффициент ангармоничности Правило отбора для АГО не существует, и поэтому возможны переходы между любыми уровнями. γ<<1 Для двух соседних колебательных уровней: ∆Eν+1,ν=E ν+1-E ν=Ћω[1-2γ(ν+1)] С ростом ν расстояние между соседними уровнями уменьшается и при некоторой величине νmax это расстояние обращается в ноль. Найдём νmax: ∆Eν+1,ν =0 νmax=1/2γ-1≈1/2γ этому максимальному колебательному числу соответствует максимальная энергия, которую можно получить, если подставить полученное значение в формулу для энергии E ν : Emax=Ћω/4γ Чисто колебательный спектр излучения молекул состоит из системы линий, частоты излучения ω которых: Ћωизлуч. = ∆Eν+1,ν; ωизлуч.=ω(1-2γ(ν+1)), где ω-собственная частота колебаний молекулы. Энергия диссоциации равна той энергии, которую необходимо совершить молекуле, находящейся в связанном состоянии, чтобы она диссоциировала на атомы. D= Ћω/4γ-Ћω/2 Уравнение Шредингера для жёсткого ротатора. Жёсткий ротатор (ЖР)- материальная точка, которая вращается в пространстве вокруг неподвижного центра, находясь от оси на неизменном расстоянии. В частности эта точка может двигаться по окружности. Система- двухатомная молекула- тоже ЖР. μ=m1·m2/(m1+m2) d-межъядерное расстояние Эта система характеризуется моментом импульса: | ![]() где μd2 –момент инерции относительно точки. Если m1 и m2, а также расстояние между ними d являются величинами атомных размеров, то движение ЖР должно описываться квантовыми законами, т.е. Ур-ем Шр. В квантовой механике одновременно могут определены только 2 величины:L2 и Lz (проекция момента импульса на выделенное направление), 2 других проекции Ly и Lx не определены, что следует из соотношения неопределённостей. Найдём собственные значения проекций импульса, для этого введём сферические координаты: r,ν,φ Δ(x,y,z)Ψ+(2m/Ћ2)(E-U(x,y,z))Ψ(x,y,z)=0 Для перехода в сферические координаты: x,y,z→ r,ν,φ x=r·Sinν·Cosφ y=r·Sinν·Sinφ z=r·Cosν Уравнение Шр. в сферических координатах: (1/r2)[r2(∂/∂r)(r2∂Ψ/∂r)+(∂/∂ν)(Sinν∂Ψ/∂ν)+(1/sin2ν)((∂2Ψ/∂φ2)]+(2μ/Ћ2)(E-U(r))Ψ(r,ν,φ)=0 Для ЖР выполняется ряд условий:
Т.о., при выполнении трёх этих условий Ур-е Шр. сильно упрощается и получается: (1/r2· sin2ν)(∂2Ψ/∂φ2)+(2μ/Ћ2)EΨ(φ)=0 E=L2/2μd2 (E=p2/2m) Lz=L·cos(90º-ν)=L·Sinν (∂2Ψ/∂φ2)+ (2μ/Ћ2)( L2/2μd2)·r2·Sin2νΨ(φ)=0 L2Sin2ν= Lz2, r=d Ψ”+ (Lz2/Ћ2)Ψ(φ)=0 Полученное уравнение позволяет определить собственные значения проекций момента импульса, и это уравнение Ψ”+ K2Ψ(φ)=0, позволяет искать решение в следующем виде: Ψ(φ)=c1·exp(ikφ)+c2·exp(-ikφ), k= Lz/Ћ; Первый член этого уравнения c1·exp(ikφ) описывает волну, бегущую в “+” направлении угла, второй член c2·exp(-ikφ)- волну, бегущую в противоположном направлении. Мы можем ограничиться первым членом, потому что это не изменяет сущности решения: Ψ(φ)=c1·exp(i(Lz/Ћ)φ) Из соображений однозначности пси-функции следует, что exp(i(Lz/Ћ)φ) должна быть равна exp(i(Lz/Ћ)(φ+2π) Отсюда мы можем получить, что exp(i(Lz/Ћ)2π)=1 используем формулу Эйлера для записи показательной функции exp(i(Lz/Ћ)2π)=cos(Lz/Ћ)2π+i·Sin(Lz/Ћ)2π Отсюда мы можем найти, что cos(Lz/Ћ)2π=1 Это означает, что (Lz/Ћ)2π=2πm; Lz=mЋ, где m–квантовое число. которое может принимать значения 0;±1;±2. Это означает, что проекция момента импульса на заданное направление квантуется, при этом Ψ(φ)=C·exp(imφ) Постоянную C можно найти из условия нормировки пси-функции: ![]() c2·2π=1; c= ![]() Ψ(φ)= ![]() Квантование момента импульса. Покажем, что момент импульса также квантуется. Мы покажем это , не решая Ур-е Шр.: L2=Lx2+Ly2+Lz2-в классической физике В квантовой физике в силу изотропности среды по всем направлениям можно написать, что среднее значение < L2>=3 Lz2, при этом среднем значении физические величины должны отождествляться со значением , полученным в результате измерения L2=< L2>=3 Lz2 , тогда L2= Тогда это выражение можно записать в следующем виде: L2= ![]() γ-максимальное значение квантового числа m, а 2γ+1- это число возможных значений квантового числа m, тогда: ![]() ![]() L2γ=3Ћ2γ(γ+1)(2γ+1)/3(2γ+1)=Ћ2·γ(γ+1) Lγ= Ћ ![]() γ-вращательное квантовое число. Двухатомная молекула как квантовый жёсткий ротатор. Вращательный спектр двухатомной молекулы. Если пренебречь изменением межъядерных расстояний, которое возникает при энергетических переходах, в качестве модели двухатомной молекулы можно принять жёсткий ротатор. Зная, что Lγ= Ћ ![]() Lz= mЋ из аналогии:T=p2/2m=L2/2I , где μ–приведённая масса двухатомной молекулы. μd2-приведённый момент инерции двухатомной молекулы, тогда: E= Ћ2·γ(γ+1)/2 μd2, у каждой молекулы Ћ2/2 μd2=const B= Ћ2/2 μd2 (Дж)- имеет размерность энергии и называется вращательной постоянной. выражается в мЭв. Для квантового числа существует правило отбора, т.е. ∆γ=±1 (всегда), поэтому энергетические переходы могут происходить только между соседними энергетическими уровнями. Eγ=B·γ(γ+1) Eγ+1,γ=E γ+1-E γ=B(γ+1)(γ+2)-Bγ(γ+1)=2B(γ+1), т.е. даже если на меньшем вращательном уровне получим разность 2В. Спектр двухатомной молекулы как жёсткого ротатора. Если есть переход с одного уровня на другой, то энергия фотона, поглощенного или испущенного двухатомной молекулой при изменении вращательной энергии выражается так: E= Ћωизлуч.=∆ Eγ+1,γ=2B(γ+1) ωизлуч.=(2B/Ћ)(γ+1) Спектральные линии чисто вращательного спектра поглощения и (или) излучения какого-либо химического соединения отстают друг от друга на 2В по шкале энергий. |2B|2B|2B|2B|2B|… Излучать или поглощать электромагнитные волны( в инфракрасной части спектра) могут только молекулы типа, т.е. молекулы с отличным от нуля дипольным моментом. Молекулы типа Н2,дипольный момент которых равен нуля излучать или поглощать электромагнитные волны не могут, и в этих молекулах энергетических энергетически далеко происходит безысключательно. И в этом случае энергии При переходе квантовой энергии из одного энергетического состояния(например Е2) в другое энергетическое состояние (например Е1) излучается всегда фотон: E2-E1=Ћωф Вид спектра определяется: 1)энергетическим спектром системы; 2)правилом отбора; 3)вероятностью возможных переходов. Атом водорода по теории Бора. 1913 г. Резерфорд в Кембридже установил, что каждый атом состоит из атома и электронной оболочки. Постулаты Бора (постулаты стационарных состояний): В атоме существуют не изменяющиеся во времени состояния, при которых атом не излучает и не поглощает энергию, в этом состоянии электрон, двигаясь по круговой орбите, имеет дискретные квантовые значения момента импульса, удовлетворяющие условию: mvnrn=nЋ, где n=1,2,3,4,… vn-скорость электрона на n-ой орбите rn-радиус n-ой орбите Второй постулат правило частот: при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается один фотон: En-Em=Ћω с энергией, равной разности энергий, соответствующих стационарным состояниям. Набор значений ω ω=( En-Em)/π даёт линейчатый спектр атома водорода в соответствии с теорией Бора. Электрон в атоме водорода и водородоподобных частицах, содержащих ядро и 1 электрон(это ионы) вращается(или будет вращаться) по орбите радиуса , если центростремительная сила, удерживающая электрон на орбите будет равна кулоновской силе. Fкул=Fцентр Ze2/4πε0rn2=m v2n/ rn (1) ![]() Если взять (1) и (2) и выразить неизвестные vn и rn: rn=(4πε0Ћ²/Ze²m)·n² (3) При z=1 и n=1 получаем r1=a=52,2 пм подставив (3) найдём vn: vn=Ze²/4πε0nЋ v≈106 м/с U=eφ Потенциальная энергия заряда, находящегося в некоторой точке электрического поля равна произведения этого заряда на потенциал поля в этой точке. Поле создаётся положительного заряда и на расстоянии от ядра. Тогда потенциал поля в точке, где есть электрон, будет равен: φe=Ze/4πε0rn, тогда U=-Ze²/4πε0rn² Потенциальная энергия электрона в поле ядра отрицательна, значит максимальное значение потенциальной энергии электрона будет равна нулю при r→∞ кинетическая энергия электрона на n-ой орбите: T=mvn²/2=(m/2)· Z2e4/16π2ε02n2Ћ2 U= - Z2e4/16π2ε02n2Ћ2 Полная энергия электрона на орбите: E=T+U=(m/2)· Z2e4/16π2ε02n2Ћ2-Z2e4/16π2ε02n2Ћ2 =- Z2e4m/32π2ε02n2Ћ2 (полная энергия отрицательна) Знак “-” в полной энергии означает, что электрон в атоме находится в связанном состоянии. Из (*) следует, что энергетическое состояние атома водорода представляет собой последовательность уровней, изменяющихся в зависимости от квантового числа n и это целое число n, определяющее энергетический уровень называется главным квантовым числом . Энергетическое состояние электрона с n>1 называется возбужденными состояниями при n=2 наблюдаем низшее возбужденное состояние E1= -13,55 Эв, т.е. если мы приложим к электрону энергию 13,55 Эв, то он покинет поле ядра E2= -3,38Эв (это всё при Z=1) E3= -1,52Эв (у гелия Z=2, т.е. все энергии в 4 раза больше, у лития Z=3, т.е. все энергии в 9 E4= -0,83Эв раз больше). E5= -0,54Эв E6= -0,38Эв Схема энергетических переходов в атоме водорода. En= - Z2e4m/32π2ε02n2Ћ2 Для водорода: E1= -13,6Эв E2= -3,38Эв E3= -1,5Эв E4= -0,84Эв E5= -0,53Эв E6= -0,38Эв E7≈ 0 Энергия атомов возрастает вместе со значением n (уменьшается отрицательная величина) энергетические уровни сближаются к границе, соответствующей n→∞ и атом водорода обладает минимальной энергией E1= -13,6Эв и максимальной энергией E∞=0 при n→∞. Это происходит(последний случай) при удалении электрона из атома, следовательно эта энергия соответствует ионизации атома. Если атому водорода, который находится в основном состоянии, сообщить энергию в +13,6Эв, то это и будет его энергии ионизации, когда электрон покинет атом. согласно второму постулату Бора пи переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается или поглощается 1 фотон, т.е. получаем: Ћω= En2-En1= [Z2e4m/32π2ε02n2Ћ2](1/n12-1/n22) 2πЋc/λ= [Z2e4m/64π3ε02n2Ћ3c](1/n12-1/n22) R=1,1·107 1/м –постоянная ридберга 1/λ=Z²R(1/n12-1/n22)-сериальная формула Если атом возбуждается полностью, т.е. электрон ушёл и осталось ядро, у нас возбуждается полный спектр. Кроме Лаймана все волны в инфракрасном спектре. Согласно второму постулату Бора атом излучает свет при переходе электрона с одной орбиты на другую, расположенную ближе к ядру. Все линии спектра, получающиеся при переходе электрона на первую орбиту( со 2,3 и т.д.) представляют собой линии одной серии, отвечающие значению n1=1 и все эти линии принадлежат УФ части спектра. При переходе на орбиту с n=2( с 3,4,5, и т.д. орбит) получаются линии серии Бальмера и это видимый свет во всём оптическом диапазоне. Линии, приходящиеся на третий уровень( с 4,5,6 и т.д.) лежат в инфракрасной части спектра электромагнитных волн. Спектр поглощения также является линей чатым, но он содержит всегда только серию Лаймана. Так как свободные атомы водорода обычно находятся в основном состоянии (n=1), то при сообщении этим атомам энергии извне могут наблюдаться только переходы из основного состояния в возбужденное и поэтому появляется только серия Лаймана. Теория Бора позволила точно определить спектр атома водорода. Теория Бора обладает внутренним противоречием, т.к. в ней использованы с одной стороны все законы классической физики, а с другой стороны начальные элементы квантовой физики, поэтому эта теория не могла ответить на вопрос: откуда берутся переходы и не смогла описать спектр атома гелия, т.е. простейшего атома, следующего сразу за водородом в таблице Менделеева. |