Лекции по физике 4 семестр. Фотон обладает массой m

• Название: Фотон обладает массой m
• Анкор: Лекции по физике 4 семестр.doc
• Дата: 23.04.2018
• Размер: 0.59 Mb.
• Имя файла: Лекции по физике 4 семестр.doc
• Тип: Документы; #18415
• Категория: Физика
• страница: 4 из 7

Атом водорода в квантовой механике.

∆Ψ+(2m/Ћ²)(E-U)Ψ=0

Для атома водорода с Z=1

потенциальная энергия U(r)= - Ze²/4πε₀r_n

E<0- электрон в поле ядра в связанном состоянии.

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновым уравнением Шредингера для стационарных состояний

∆Ψ+(2m/Ћ²)(E+Ze²/4πε₀r_n)Ψ=0 (*)

т.к. поле, в котором движется электрон является радиально симметричным, то необходимо использовать сферическую систему координат также, как при описании жесткого ротатора.

Оператор Лапласа в сферической системе координат:

∆(r,Θ,φ)= (1/r²)[(∂/∂r)(r²∂/∂r)+(1/sin²Θ)(∂/∂Θ)(SinΘ∂/∂Θ)+(1/ sin²φ)(∂²/∂φ²)] (2)

Или, если записать коротко, то:

∆(r,Θ,φ)= (1/r²)∆r+(1/r²)∆Θ,φ (3), где

∆r -радиальная часть оператора Лапласа

∆Θ,φ-угловая часть оператора Лапласа

Тогда уравнение (*) перепишется в сферической системе координат:

∆(r,Θ,φ)Ψ+(2m/Ћ²)(E+Ze²/4πε₀r_n)Ψ=0 (4)

Подставим , как произведение двух функций:

Ψ(r,Θ,φ)=R_r+Y_Θφ, где R зависит только от r, Y от углов Θ,φ.

Если подставить (5) в (4), после всех операций с дифференцированием получаем:

(Y/r²) ∆rR+(R/ r²) ∆Θ,φ·Y+(2m/Ћ²)(E+Ze²/4πε₀r_n)RY=0 (6)

Умножим (6) на r и разделим на RY и сразу же разделим переменные:

1/R∆rR+(2m/Ћ²)(E+Ze²/4πε₀r_n)r²=-1/Y∆Θ,φ·Y (7)

Левая часть зависит только от r, а правая только от углов .

Такое равенство может иметь место только в одном случае: если левая и правая части будут равны одной и той же постоянной

1/R∆rR+(2m/Ћ²)(E+Ze²/4πε₀r_n)r²=Λ (8)

1/Y∆Θ,φ·Y =Λ (9)

(8) называется уравнением для радиальной части волновой функции.

(9)- это угловое уравнение для волновой функции.

Решение для угловой части показывает, что параметр Λ может иметь определённые значения

Λ=l(l+1), где l- орбитальное квантовое число

l=0,1,2,..,(n-1), где n- главное квантовое число, отвечающее за энергетический уровень

Ур-е (8) для радиальной части допускает 2 решения:

1. 
   При E>0 спектр значений энергии непрерывен и может быть решён с точки зрения классической физики. Это соответствует случаям, когда электрон, обладающий большой энергией, пролетая вблизи ядра удаляется в бесконечность( уходит от атома).
   
2. 
   если E<0, то электрон тесно связан с ядром, и тогда спектр дискретен. Решение радиальной части для энергий даёт в точности такое же значение собственной энергии, какое было выведено из постулатов Бора.
   

Также как для потенциальной ямы, для осциллятора и для ротатора, решение Ур-я Шр. для атома водорода даёт дискретные значения энергии, однако Бору пришлось вводить постулат, а квантовой механике это решение получается из уравнения Шредингера.

Ур-ю Шр. удовлетворяет собственная функция Ψ(r,Θ,φ)

Эта функция определяется тремя квантовыми числами:

n-главное кв.ч.

l-орбитальное кв.ч.

m_l-магнитное кв.ч.

n определяет энергетические уровни электрона в атоме и принимает значения 1,2,3,… из решения Ур-я Шр. следует, что момент импульса электрона квантуется и L_l=Ћ

, где l–орбитальное квантовое число, которое при заданном n, принимает значения 0,1,2,…,(n-1), т.е. всего имеет n значений.

Из решения уравнения Шр. следует, что вектор момента импульса может иметь только такие ориентации в пространстве, при которых его проекция на направление внешнего магнитного поля, обычно совпадающего с осью z, имеет только квантованные значения:

L _zl=Ћm_l, где m_l – магнитное квантовое число, которое может принимать значения, т.е. всего (2l+1) значений.

И хотя энергия электрона зависит только от n и обратно пропорциональна n², но каждому кроме первого, соответствуют несколько собственных функций Ψ(n,l, m_l), которые отличаются l и m.

Следовательно атом водорода может иметь одно и тоже значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях и т.к. при данном n орбитальное квантовое число l изменяется от 0 до n-1, а каждому l соответствует 2l+1 разных ml, то общее число различных состояний, соответствующих одному главному квантовому числу n равно

)=n²

Состояние называется вырожденным, если одному и тому значению энергии соответствуют различные волновые функции.

Число этих функций, которые отвечают данному значению энергии, называется кратностью вырождения.

Квантовые числа и их значения являются следствием решения Ур-я Шр., а также условий однозначности, непрерывности и конечности, налагаемых на пси-функцию. В квантовой механике каждому энергетическому состоянию соответствует своя волновая функция, квадрат модуля которой определяет вероятность нахождения электрона в разных частях атома.

Электрон при своём движении как бы размазан по всему объёму, образуя электронное облако, плотность которого характеризует вероятность нахождения электрона в различных частях атомного объёма.

Квантовые числа n и l характеризуют размер и форму электронного облака, а квантовое число m характеризует ориентацию этого облака в пространстве. В атомной физике состояние электрона характеризует квантовым числом l=0, называется s-состоянием

l=1 это p-состояние

l=2 это d –состояние

l=3 это f-состояние

Значения главного квантового числа n указывается перед условным обозначением орбитального квантового числа.

например при n=2 и l=0 обозначение 2S

n=2 и l=1 обозначение 2p

Квантовые числа позволяют более полно описать спектры испускания и поглощения атома водорода, полученные из теории Бора. В квантовой механике вводится правило отбора, ограничивающее число возможных переходов электрона в атоме, и эти переходы связаны с испусканием и поглощением света. Для n не существует правило отбора. Изменение орбитального кв.числа l: ∆l=±1(только на соседние), ∆ m_l=0;±1.

Рассмотрим с этих точек зрения спектральные линии атома водорода.

1s состояние электрона в атоме водорода.

Это состояние в атоме водорода является сферически симметричным и зависящим только от радиуса и не зависящим от углов. Пси-функция определяется только расстоянием от электрона до ядра.

Ψ_{n,l, ml}=Ψ₁₀₀(r)

Ур-ю Шр. для 1s-состояния удовлетворяет:

Ψ(r)=c·exp(-r/a), где a=r1=4π²ε0²Ћ²/ m_le²=52,9мЭв-радиус первой боровской орбиты,

с=const определяется из условия нормировки благодаря сферической симметрии вероятность обнаружить электрон на расстоянии от ядра одинакова по всем направлениям и поэтому элементарный объём, соответствующий одинаковой плотности вероятности, определяется сферическим слоем радиуса r толщиной dr.

dV=4πr²dr

W=²dV=1

W=²dV=1

dω=c²exp(-2r/a)4πr²dr -плотность вероятности обнаружить электрон в сферическом слое на расстоянии r от ядра.

Определим координату точки с максимальной плотностью вероятности:

[exp(-2r/a)·r²]’=0

2r· exp(-2r/a)-(2/a)·exp(-2r/a)·r²=0

2r· exp(-2r/a)[1-r/a]=0

1-r/a]=0

r₀=a

Максимальная плотность вероятности обнаружить электрон, находящийся в 1s-состоянии соответствует первому Боровскому радиусу.

c²· exp(-2r/a) 4πr²dr=1

c=1/³

Ψ₁₀₀=1/³· exp(-r/a)


Орбитальный момент импульса электрона. Орбитальный магнитный момент. Орбитальное гиромагнитное отношение.

Можно считать, что электрон в атоме водорода движется по круговой орбите: 1) это совпадает с постулатами Бора; 2)подтверждается квантовой теорией, как наиболее вероятное нахождение электрона на орбите, поэтому можно считать, что электрон обладает моментом импульса:

L_l=mrv

Одновременно движущийся электрон можно рассматривать как эквивалентный круговой ток, когда I=|e|/T=|e|v/2πr

Ток направлен всегда против движения электрона и создаёт магнитный орбитальный момент:

μ_l=Iπr=|e|vπr²/2πr=evr/2

Отношение μ_l к L_l будет равно:

μ_l / L_l= -|e|vr/2mvr=(-1/2)|e|/m -гиромагнитное орбитальное отношение

,где g-g-фактор(фактор Ланде)

здесь g=1

Орбитальный момент импульса является величиной квантованной:

L_l =Ћ, где l-орбитальное квантовое число

Из гиромагнитного отношения следует, что μ_l= -g(e/2m) L_l= -(e/2m) Ћ -квантована

|e|Ћ/2m=μ_Б-магнетон Бора

Имеет размерность магнитного момента(A·м²)

μ_l= μ_Б

μ_Б=0,92·10^-24 А·м²

До тех пор пока в пространстве не выделено направление( с помощью электрического или магнитного поля)говорить об орбитальном моменте или орбитальном магнитном моменте не имеет смысла, но как только в пространстве выделяется какое-либо направление z, например с помощью вектора магнитной индукции , где В- магнитная индукция внешнего поля, так сразу появляется пространственное квантование, т.е. вектора μ_l и L_l ориентируются в пространстве так, что их проекции на выделенное направление принимают значения:

L_lz=mЋ и μ_lz= μ_Б· m_l

Впервые пространственное квантование было доказано в экспериментах Штерна-Герлаха. В их экспериментах атомный пучок, получаемый нагреванием металлических веществ, взаимодействовал с сильно неоднородным магнитным полём.

Опыт Штерна-Герлаха.

В герметическом корпусе, внутри которого создаётся глубокий вакуум, имеется печь1, в которой нагреванием испаряется исследуемое вещество. Атомарный пучок выходит из узкого отверстия печи, на пути пучка стоят диафрагмы 2, которые формируют из исходного плоский пучок, и в отсутствии магнитного поля этот пучок на экране даёт изображение в виде линии.

Если плоский пучок пропускается между полюсами электромагнита очень неоднородного поля ∂B/∂z и в этом случае поле создаёт ось квантования, по отношению к которой ориентируются атомные магнитные моменты.

Взаимодействие этих моментов с неоднородным магнитным полем создаёт:

F_l=μ_l·∂B/∂z = μ_Б· m_l·∂B/∂z

В результате действия этой силы атомы пучка смещаются с прямолинейного движения вниз.

Первая картина имеет место, когда атомы не обладают магнитным моментом, и поэтому не взаимодействуют с магнитным полем. Если пространственное квантование имеет место, то магнитные моменты имеют произвольное направление-картина вторая.

У некоторых металлов спектр представляет собой отдельные линии, причём число линий (2l+1) и это подтвердило наличие пространственного квантования.

Когда взяли серебро, то на экране получилось изображение 4.

(неожиданность)

Анализ этого спектра показал, что валентные электроны серебра находятся в s-состоянии, для которого l=0, следовательно орбитальный момент также равен нулю, и поэтому полученный спектр обусловлен совсем не орбитальным магнитным моментом.

Высказано предположение, что электрон обладает собственным механическим моментом L_s-спин, с которым связан μ_s.

Собственный момент импульса(спин) электрона. Спиновое квантовое число электрона(s). Спиновое гиромагнитное отношение. Собственный спиновый момент электрона. Квантование проекций собственного момента импульса и проекций магнитного момента электрона.

Из опыта Штерна-Герлаха следует, что электрон обладает спином и спиновым магнитным моментом, и эти величины являются квантованными. По общим правилам квантования L_s=Ћ, где s- спиновое квантовое число электрона.

Также как и орбитальное квантовое число l, спиновое квантовое число s определяет количество N_s возможных проекций спина на выделенное направление z, и оно равно (2s+1). Опыты Штерна-Герлаха показали N_s=2s+1=2; s=1/2, а Ls= Ћ=Ћ·/2

Когда известно значение собственного магнитного момента импульса можно было бы определить μ_s по гиромагнитному отношению(g неизвестно поэтому нельзя).

Опыт Эйнштейна-де Гааза.

Они определили, что g=2 для спина.

Стержень из магнетика, закреплённый с помощью упругой пружины помещался в магнитное поле соленоида, луч света попадал на зеркальце 4 и отражался на шкале 5. Когда пропускали ток создавалось магнитное поле, и стержень намагничивался, при этом магнитные моменты железа намагничивались по полю, а магнитные моменты атомов против поля, и если менялось направление тока, то происходило перемагничивание, и моменты импульса поворачивались в противоположные стороны. Так как система была замкнута, то момент импульса должен оказываться неизменным, следовательно возникал момент импульса образца, направленный в первоначальном направлении и этот поворот стержня фиксировался на шкале, и этот поворот определил g для гиромагнитного отношения:

μ_s / L_s=e/m (g=2)

В результате было установлено, что g=2 у всех ферромагнетиков (железо, никель, кобальт и др.), для парамагнетиков g<2. Но никогда не было веществ, у которых g>2. Эти эксперименты Эйнштейна-де Гааза позволили сделать выводы:

1) магнитны е свойства железа, кобальта, никеля обусловлены магнитными моментами спинов 3d электронов; 2)магнитные моменты остальных атомов обусловлены, как орбитальными, так и спиновыми моментами.

μ_s= L_s·(2e)/(2m)=Ћ·2·(e/2m)=2Ћ|e|/2m·=2μ_Б

(g=2)

s=1/2

μ_s=2μ_Б=μ_Б

Проекция спинового магнитного момента на выделенное направление μ_sz=2 μ_Б·m_s,

где m_s–магнитное спиновое квантовое число, которое может принимать значения , тогда

μ_sz=± μ_Б

Это значит, что магнитный момент спина не может быть ориентирован строго по направлению внешнего магнитного поля B, потому что μ_s >μ_Б (всегда) (μ_Б> μ_Б). Магнитный спиновый момент не может совпадать с осью z, а всегда образует с осью z определённый угол. При этом, если проекция совпадает с магнитным полем, спин ориентирован в “+” направлении, а если в противоположном, то против поля.
Спин-орбитальное взаимодействие(СОВ).

СОВ- взаимодействие частиц, при котором величина взаимодействия зависит от значения и взаимного расположения спинового и орбитального момента частиц. Наиболее чётко проявляется в одноэлектронном атомах ( водороде и водородоподобных частицах) и также к ним относятся щелочные металлы, так как в их замкнутых оболочках L_l=0 и, поэтому момент импульса таких атомов определяется только значением момента импульса валентного электрона. В случае одноэлектронного атома СОВ представляет собой взаимодействие спина электрона с магнитным полем, которое создаётся орбитальным движением электрона. Оценим энергию СОВ в одноэлектронном атоме. Будем рассматривать движение электрона в атоме относительно системы координат, связанных с электроном. В этом случае электрон будет неподвижен и можно считать, что ядро движется вокруг электрона по круговой орбите со скоростью, равной скорости движения электрона относительно ядра.

При вращении ядра по орбите возникает эквивалентный ток Iэкв=Ze/T=Zev/2πr, где

r- радиус орбиты

v- скорость вращения электрона на орбите

Тогда μ_l=I·πr²=zevπr²/2πr=Zevr/2

μ_l=(|e|/2m)Ћ -квантовые представления(из гиромагнитного отношения)

Приравнивая эти выражения, мы можем получить выражение для скорости орбитального движения

Zevr/2=(|e|/2m)Ћ; v=|e|Ћ/Z|e+rm

Для электрона v= Ћ/mr, тогда ток I= ЋZ|e|/2πmr²

Тогда у нас получился круговой ток I и нам надо узнать индукцию в центре кругового тока, т.е. в точке расположения электрона. По закону Био-Савара-Лапласа:

B=μI/2r=Ze Ћ/4πmr³

т.к.|e|Ћ/2m= μ_Б; B=zμ₀μ_Б/2πr³

Энергия взаимодействия магнитного момента с магнитным полем:

Тогда: ∆Esl= -μ_l·B= -(eЋ/2m)·B

∆Esl= - zμ₀μ_Б· μ_l /2πr³

Радиус r=a/z, тогда ∆Esl= - z⁴μ₀μ_Б· μ_l /2πa³

Из этого выражения видно, что энергия взаимодействия s-электронов при l=0 и поэтому уровни s-электронов являются синглетными. Для p,d и т.д. электронов энергия взаимодействия всегда принимает два значения: ±∆Esl, поэтому уровни этих электронов, имеющих два значения являются дублетами, и это приводит к тому, что спектральные линии водорода и щелочных металлов тоже являются дублетами. В 2-х, 3-х и т.д. электронных системах картина СОВ сильно усложняется и приводит к расщеплению энергетических уровней на большое число компонентов. Расщепление энергетических уровней и спектральных линий за счёт СОВ в атомах называется тонкой структурой спектров.

В теории атома водорода, в которой не учитывается наличие спина, энергия определяется только главным квантовым числом, наличие же спина приводит к СОВ, в результате чего энергия атома становится зависящей также и от орбитального квантового числа l.