Лекции по физике 4 семестр. Фотон обладает массой m
![]()
|
Атом водорода в квантовой механике. ∆Ψ+(2m/Ћ2)(E-U)Ψ=0 Для атома водорода с Z=1 потенциальная энергия U(r)= - Ze2/4πε0rn E<0- электрон в поле ядра в связанном состоянии. Состояние электрона в атоме водорода описывается волновым уравнением Шредингера для стационарных состояний ∆Ψ+(2m/Ћ2)(E+Ze2/4πε0rn)Ψ=0 (*) т.к. поле, в котором движется электрон является радиально симметричным, то необходимо использовать сферическую систему координат также, как при описании жесткого ротатора. Оператор Лапласа в сферической системе координат: ∆(r,Θ,φ)= (1/r2)[(∂/∂r)(r2∂/∂r)+(1/sin2Θ)(∂/∂Θ)(SinΘ∂/∂Θ)+(1/ sin2φ)(∂2/∂φ2)] (2) Или, если записать коротко, то: ∆(r,Θ,φ)= (1/r2)∆r+(1/r2)∆Θ,φ (3), где ∆r -радиальная часть оператора Лапласа ∆Θ,φ-угловая часть оператора Лапласа Тогда уравнение (*) перепишется в сферической системе координат: ∆(r,Θ,φ)Ψ+(2m/Ћ2)(E+Ze2/4πε0rn)Ψ=0 (4) Подставим , как произведение двух функций: Ψ(r,Θ,φ)=Rr+YΘφ, где R зависит только от r, Y от углов Θ,φ. Если подставить (5) в (4), после всех операций с дифференцированием получаем: (Y/r2) ∆rR+(R/ r2) ∆Θ,φ·Y+(2m/Ћ2)(E+Ze2/4πε0rn)RY=0 (6) Умножим (6) на r и разделим на RY и сразу же разделим переменные: 1/R∆rR+(2m/Ћ2)(E+Ze2/4πε0rn)r2=-1/Y∆Θ,φ·Y (7) Левая часть зависит только от r, а правая только от углов . Такое равенство может иметь место только в одном случае: если левая и правая части будут равны одной и той же постоянной 1/R∆rR+(2m/Ћ2)(E+Ze2/4πε0rn)r2=Λ (8) 1/Y∆Θ,φ·Y =Λ (9) (8) называется уравнением для радиальной части волновой функции. (9)- это угловое уравнение для волновой функции. Решение для угловой части показывает, что параметр Λ может иметь определённые значения Λ=l(l+1), где l- орбитальное квантовое число l=0,1,2,..,(n-1), где n- главное квантовое число, отвечающее за энергетический уровень Ур-е (8) для радиальной части допускает 2 решения:
Также как для потенциальной ямы, для осциллятора и для ротатора, решение Ур-я Шр. для атома водорода даёт дискретные значения энергии, однако Бору пришлось вводить постулат, а квантовой механике это решение получается из уравнения Шредингера. Ур-ю Шр. удовлетворяет собственная функция Ψ(r,Θ,φ) Эта функция определяется тремя квантовыми числами: n-главное кв.ч. l-орбитальное кв.ч. ml-магнитное кв.ч. n определяет энергетические уровни электрона в атоме и принимает значения 1,2,3,… из решения Ур-я Шр. следует, что момент импульса электрона квантуется и Ll=Ћ ![]() , где l–орбитальное квантовое число, которое при заданном n, принимает значения 0,1,2,…,(n-1), т.е. всего имеет n значений. Из решения уравнения Шр. следует, что вектор момента импульса может иметь только такие ориентации в пространстве, при которых его проекция на направление внешнего магнитного поля, обычно совпадающего с осью z, имеет только квантованные значения: L zl=Ћml, где ml – магнитное квантовое число, которое может принимать значения, т.е. всего (2l+1) значений. И хотя энергия электрона зависит только от n и обратно пропорциональна n2, но каждому кроме первого, соответствуют несколько собственных функций Ψ(n,l, ml), которые отличаются l и m. Следовательно атом водорода может иметь одно и тоже значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях и т.к. при данном n орбитальное квантовое число l изменяется от 0 до n-1, а каждому l соответствует 2l+1 разных ml, то общее число различных состояний, соответствующих одному главному квантовому числу n равно ![]() Состояние называется вырожденным, если одному и тому значению энергии соответствуют различные волновые функции. Число этих функций, которые отвечают данному значению энергии, называется кратностью вырождения. Квантовые числа и их значения являются следствием решения Ур-я Шр., а также условий однозначности, непрерывности и конечности, налагаемых на пси-функцию. В квантовой механике каждому энергетическому состоянию соответствует своя волновая функция, квадрат модуля которой определяет вероятность нахождения электрона в разных частях атома. Электрон при своём движении как бы размазан по всему объёму, образуя электронное облако, плотность которого характеризует вероятность нахождения электрона в различных частях атомного объёма. Квантовые числа n и l характеризуют размер и форму электронного облака, а квантовое число m характеризует ориентацию этого облака в пространстве. В атомной физике состояние электрона характеризует квантовым числом l=0, называется s-состоянием l=1 это p-состояние l=2 это d –состояние l=3 это f-состояние Значения главного квантового числа n указывается перед условным обозначением орбитального квантового числа. например при n=2 и l=0 обозначение 2S n=2 и l=1 обозначение 2p Квантовые числа позволяют более полно описать спектры испускания и поглощения атома водорода, полученные из теории Бора. В квантовой механике вводится правило отбора, ограничивающее число возможных переходов электрона в атоме, и эти переходы связаны с испусканием и поглощением света. Для n не существует правило отбора. Изменение орбитального кв.числа l: ∆l=±1(только на соседние), ∆ ml=0;±1. Рассмотрим с этих точек зрения спектральные линии атома водорода. 1s состояние электрона в атоме водорода. Это состояние в атоме водорода является сферически симметричным и зависящим только от радиуса и не зависящим от углов. Пси-функция определяется только расстоянием от электрона до ядра. Ψn,l, ml=Ψ100(r) Ур-ю Шр. для 1s-состояния удовлетворяет: Ψ(r)=c·exp(-r/a), где a=r1=4π²ε0²Ћ²/ mle²=52,9мЭв-радиус первой боровской орбиты, с=const определяется из условия нормировки благодаря сферической симметрии вероятность обнаружить электрон на расстоянии от ядра одинакова по всем направлениям и поэтому элементарный объём, соответствующий одинаковой плотности вероятности, определяется сферическим слоем радиуса r толщиной dr. dV=4πr²dr W= ![]() W= ![]() dω=c²exp(-2r/a)4πr²dr -плотность вероятности обнаружить электрон в сферическом слое на расстоянии r от ядра. Определим координату точки с максимальной плотностью вероятности: [exp(-2r/a)·r²]’=0 2r· exp(-2r/a)-(2/a)·exp(-2r/a)·r²=0 2r· exp(-2r/a)[1-r/a]=0 1-r/a]=0 r0=a Максимальная плотность вероятности обнаружить электрон, находящийся в 1s-состоянии соответствует первому Боровскому радиусу. ![]() c=1/ ![]() Ψ100=1/ ![]() Орбитальный момент импульса электрона. Орбитальный магнитный момент. Орбитальное гиромагнитное отношение. Можно считать, что электрон в атоме водорода движется по круговой орбите: 1) это совпадает с постулатами Бора; 2)подтверждается квантовой теорией, как наиболее вероятное нахождение электрона на орбите, поэтому можно считать, что электрон обладает моментом импульса: Ll=mrv Одновременно движущийся электрон можно рассматривать как эквивалентный круговой ток, когда I=|e|/T=|e|v/2πr Ток направлен всегда против движения электрона и создаёт магнитный орбитальный момент: μl=Iπr=|e|vπr²/2πr=evr/2 Отношение μl к Ll будет равно: μl / Ll= -|e|vr/2mvr=(-1/2)|e|/m -гиромагнитное орбитальное отношение ,где g-g-фактор(фактор Ланде) здесь g=1 Орбитальный момент импульса является величиной квантованной: Ll =Ћ ![]() Из гиромагнитного отношения следует, что μl= -g(e/2m) Ll= -(e/2m) Ћ ![]() |e|Ћ/2m=μБ-магнетон Бора Имеет размерность магнитного момента(A·м²) μl= μБ ![]() μБ=0,92·10-24 А·м² До тех пор пока в пространстве не выделено направление( с помощью электрического или магнитного поля)говорить об орбитальном моменте или орбитальном магнитном моменте не имеет смысла, но как только в пространстве выделяется какое-либо направление z, например с помощью вектора магнитной индукции ![]() Llz=mЋ и μlz= μБ· ml Впервые пространственное квантование было доказано в экспериментах Штерна-Герлаха. В их экспериментах атомный пучок, получаемый нагреванием металлических веществ, взаимодействовал с сильно неоднородным магнитным полём. Опыт Штерна-Герлаха. В герметическом корпусе, внутри которого создаётся глубокий вакуум, имеется печь1, в которой нагреванием испаряется исследуемое вещество. Атомарный пучок выходит из узкого отверстия печи, на пути пучка стоят диафрагмы 2, которые формируют из исходного плоский пучок, и в отсутствии магнитного поля этот пучок на экране даёт изображение в виде линии. Если плоский пучок пропускается между полюсами электромагнита очень неоднородного поля ∂B/∂z и в этом случае поле создаёт ось квантования, по отношению к которой ориентируются атомные магнитные моменты. Взаимодействие этих моментов с неоднородным магнитным полем создаёт: Fl=μl·∂B/∂z = μБ· ml·∂B/∂z В результате действия этой силы атомы пучка смещаются с прямолинейного движения вниз. Первая картина имеет место, когда атомы не обладают магнитным моментом, и поэтому не взаимодействуют с магнитным полем. Если пространственное квантование имеет место, то магнитные моменты имеют произвольное направление-картина вторая. У некоторых металлов спектр представляет собой отдельные линии, причём число линий (2l+1) и это подтвердило наличие пространственного квантования. Когда взяли серебро, то на экране получилось изображение 4. (неожиданность) Анализ этого спектра показал, что валентные электроны серебра находятся в s-состоянии, для которого l=0, следовательно орбитальный момент также равен нулю, и поэтому полученный спектр обусловлен совсем не орбитальным магнитным моментом. Высказано предположение, что электрон обладает собственным механическим моментом Ls-спин, с которым связан μs. Собственный момент импульса(спин) электрона. Спиновое квантовое число электрона(s). Спиновое гиромагнитное отношение. Собственный спиновый момент электрона. Квантование проекций собственного момента импульса и проекций магнитного момента электрона. Из опыта Штерна-Герлаха следует, что электрон обладает спином и спиновым магнитным моментом, и эти величины являются квантованными. По общим правилам квантования Ls=Ћ ![]() Также как и орбитальное квантовое число l, спиновое квантовое число s определяет количество Ns возможных проекций спина на выделенное направление z, и оно равно (2s+1). Опыты Штерна-Герлаха показали Ns=2s+1=2; s=1/2, а Ls= Ћ ![]() ![]() Когда известно значение собственного магнитного момента импульса можно было бы определить μs по гиромагнитному отношению(g неизвестно поэтому нельзя). Опыт Эйнштейна-де Гааза. Они определили, что g=2 для спина. Стержень из магнетика, закреплённый с помощью упругой пружины помещался в магнитное поле соленоида, луч света попадал на зеркальце 4 и отражался на шкале 5. Когда пропускали ток создавалось магнитное поле, и стержень намагничивался, при этом магнитные моменты железа намагничивались по полю, а магнитные моменты атомов против поля, и если менялось направление тока, то происходило перемагничивание, и моменты импульса поворачивались в противоположные стороны. Так как система была замкнута, то момент импульса должен оказываться неизменным, следовательно возникал момент импульса образца, направленный в первоначальном направлении и этот поворот стержня фиксировался на шкале, и этот поворот определил g для гиромагнитного отношения: μs / Ls=e/m (g=2) В результате было установлено, что g=2 у всех ферромагнетиков (железо, никель, кобальт и др.), для парамагнетиков g<2. Но никогда не было веществ, у которых g>2. Эти эксперименты Эйнштейна-де Гааза позволили сделать выводы: 1) магнитны е свойства железа, кобальта, никеля обусловлены магнитными моментами спинов 3d электронов; 2)магнитные моменты остальных атомов обусловлены, как орбитальными, так и спиновыми моментами. μs= Ls·(2e)/(2m)=Ћ·2 ![]() ![]() ![]() (g=2) s=1/2 μs=2μБ ![]() ![]() Проекция спинового магнитного момента на выделенное направление μsz=2 μБ·ms, где ms–магнитное спиновое квантовое число, которое может принимать значения , тогда μsz=± μБ Это значит, что магнитный момент спина не может быть ориентирован строго по направлению внешнего магнитного поля B, потому что μs >μБ (всегда) ( ![]() Спин-орбитальное взаимодействие(СОВ). СОВ- взаимодействие частиц, при котором величина взаимодействия зависит от значения и взаимного расположения спинового и орбитального момента частиц. Наиболее чётко проявляется в одноэлектронном атомах ( водороде и водородоподобных частицах) и также к ним относятся щелочные металлы, так как в их замкнутых оболочках Ll=0 и, поэтому момент импульса таких атомов определяется только значением момента импульса валентного электрона. В случае одноэлектронного атома СОВ представляет собой взаимодействие спина электрона с магнитным полем, которое создаётся орбитальным движением электрона. Оценим энергию СОВ в одноэлектронном атоме. Будем рассматривать движение электрона в атоме относительно системы координат, связанных с электроном. В этом случае электрон будет неподвижен и можно считать, что ядро движется вокруг электрона по круговой орбите со скоростью, равной скорости движения электрона относительно ядра. При вращении ядра по орбите возникает эквивалентный ток Iэкв=Ze/T=Zev/2πr, где r- радиус орбиты v- скорость вращения электрона на орбите Тогда μl=I·πr²=zevπr²/2πr=Zevr/2 μl=(|e|/2m)Ћ ![]() Приравнивая эти выражения, мы можем получить выражение для скорости орбитального движения Zevr/2=(|e|/2m)Ћ ![]() ![]() Для электрона v= Ћ ![]() ![]() Тогда у нас получился круговой ток I и нам надо узнать индукцию в центре кругового тока, т.е. в точке расположения электрона. По закону Био-Савара-Лапласа: B=μI/2r=Ze Ћ ![]() т.к.|e|Ћ/2m= μБ; B=zμ0μБ ![]() Энергия взаимодействия магнитного момента с магнитным полем: Тогда: ∆Esl= -μl·B= -(eЋ/2m) ![]() ∆Esl= - zμ0μБ ![]() Радиус r=a/z, тогда ∆Esl= - z4μ0μБ ![]() Из этого выражения видно, что энергия взаимодействия s-электронов при l=0 и поэтому уровни s-электронов являются синглетными. Для p,d и т.д. электронов энергия взаимодействия всегда принимает два значения: ±∆Esl, поэтому уровни этих электронов, имеющих два значения являются дублетами, и это приводит к тому, что спектральные линии водорода и щелочных металлов тоже являются дублетами. В 2-х, 3-х и т.д. электронных системах картина СОВ сильно усложняется и приводит к расщеплению энергетических уровней на большое число компонентов. Расщепление энергетических уровней и спектральных линий за счёт СОВ в атомах называется тонкой структурой спектров. В теории атома водорода, в которой не учитывается наличие спина, энергия определяется только главным квантовым числом, наличие же спина приводит к СОВ, в результате чего энергия атома становится зависящей также и от орбитального квантового числа l. |