Лекции по физике 4 семестр. Фотон обладает массой m

• Название: Фотон обладает массой m
• Анкор: Лекции по физике 4 семестр.doc
• Дата: 23.04.2018
• Размер: 0.59 Mb.
• Имя файла: Лекции по физике 4 семестр.doc
• Тип: Документы; #18415
• Категория: Физика
• страница: 7 из 7

_i/ (exp(Ћω_i/kT)-1) (1)

Непосредственная оценка этой суммы затруднительна, так как надо знать частоты всёх 3N. поэтому можно считать, что соседние собственные частоты отличаются друг от друга очень мало, и спектр собственных частот можно считать сплошным, в этом случае суммирование по формуле (1) можно заменить интегрированием, поскольку минимальная частота ωmin << ωmax, можно говорить, что сплошной спектр начинается практически от нуля. Тогда для нахождения внутренней энергии колебательного движения необходимо знать какова вероятность каждой из этих частот, т.е. необходима функция распределения собственных колебаний по частотам.

Число собственных колебаний решётки можно выразить как z=Vω³/2π³v³, где

v- скорость распространения волны

ω- циклическая частота

V- объём данного кристалла

V/2π³v³=A=const, z=Aω³

Число собственных частот, приходящихся на интервал от ω до dω :

dz=3A ω²dω

Т.к. максимальное число собственных колебаний рано 3N,то:

3N=Aω³_max; A=3N/ω³_max

Тогда:

dz=(3·3N/ω³_max)ω²dω=9Nω²dω/ ω³_max

Функция распределения частот.

Число собственных колебаний, приходящееся на единичный интервал частот, называется функцией распределения частот или плотностью фононного спектра.

g(ω)=dz/dω=9Nω²/ ω³_max

Для трёхмерной решётки функция распределения частот представляет собой параболу, заштрихованный участок которой отражает полное число собственных колебаний решетки =3N.Наиболее вероятной является максимальная частота, а это значит, что наибольшее число стоячих волн характеризуется частотой.

Величина максимальной частоты собственных колебаний может быть оценена по скорости распространения упругих волн и если приравнять, обозначенные коэффициенты А:

V/2π³v³=3N/ ω³_max; ω³_max=6Nπ³v³/V

При стандартных условиях:

ω≈10¹³ c

Внутренняя энергия и теплоёмкость твёрдого тела по теории Дебая.

Зная собственную максимальную частоту и функцию распределения собственных колебаний по частотам можно определить внутреннюю энергию твёрдого тела, как сумму энергий всех собственных колебаний. Средняя энергия собственных колебаний будет равна:

<ε>=Ћω/(exp(Ћω/kT)-1)

Тогда колебательная энергия кристаллического тела будет равна:

U==2/[(exp(Ћω/kT)-1) ω³_max]dω

Это выражение для внутренней энергии не включает в себя нулевую энергию колебаний решётки, которая складывается из нулевых энергий стоячих волн, и каждую отдельную стоячую волну можно сопоставить с гармоническим осциллятором, нулевая энергия которой ε₀=Ћω/2, тогда нулевая энергия для 1 моля кристалла:

U₀=·[9Nω²/ ω³_max]dω

Это выражение приведёт к значению внутренней энергии 1 моля ,как . Эта частьвнутренней энергии кристалла не зависит от температуры и в вычислении теплоёмкости никакой роли не играет, тогда молярная теплоёмкость:

Cm=dU/dT=9NЋ/ ω³_max[ ³dω/(exp(Ћω/kT)-1)]’_T=9NЋ/ ω³_max³ exp(Ћω/kT)·(Ћω/kT²)dω/(exp(Ћω/kT)-1)²

dω=(kT/Ћ)dx

Ћω/kT=x

ω=x·(kT/Ћ)

Cm=9NЋ/ ω³_maxx³K³T³exp(x)(x/t)(kT/Ћ)dx/Ћ³(exp(x)-1)²=9NЋK⁴T³/Ћ⁴ω³_maxx⁴exp(x)dx/ (exp(x)-1)²

Θ_D=Ћω_max/k-характеристическая температура Дебая.

Введя характеристическую температуру Дебая в полученное выражение:

Cm=9NK⁴(T/Θ_D)³x⁴exp(x)dx/ (exp(x)-1)²

Этот интеграл берётся по частям, и тогда полученное выражение может быть представлена в виде:
Cm=3R[12(T/Θ_D)³x⁴exp(x)dx/ (exp(x)-1)²-3(Θ_D/T)/(exp(Θ_D/T)-1)]=3RD_D(Θ_D/T)