Лекции по физике 4 семестр. Фотон обладает массой m
![]()
|
![]() Непосредственная оценка этой суммы затруднительна, так как надо знать частоты всёх 3N. поэтому можно считать, что соседние собственные частоты отличаются друг от друга очень мало, и спектр собственных частот можно считать сплошным, в этом случае суммирование по формуле (1) можно заменить интегрированием, поскольку минимальная частота ωmin << ωmax, можно говорить, что сплошной спектр начинается практически от нуля. Тогда для нахождения внутренней энергии колебательного движения необходимо знать какова вероятность каждой из этих частот, т.е. необходима функция распределения собственных колебаний по частотам. Число собственных колебаний решётки можно выразить как z=Vω3/2π3v3, где v- скорость распространения волны ω- циклическая частота V- объём данного кристалла V/2π3v3=A=const, z=Aω3 Число собственных частот, приходящихся на интервал от ω до dω : dz=3A ω2dω Т.к. максимальное число собственных колебаний рано 3N,то: 3N=Aω3max; A=3N/ω3max Тогда: dz=(3·3N/ω3max)ω²dω=9Nω²dω/ ω3max Функция распределения частот. Число собственных колебаний, приходящееся на единичный интервал частот, называется функцией распределения частот или плотностью фононного спектра. g(ω)=dz/dω=9Nω²/ ω3max Для трёхмерной решётки функция распределения частот представляет собой параболу, заштрихованный участок которой отражает полное число собственных колебаний решетки ![]() Величина максимальной частоты собственных колебаний может быть оценена по скорости распространения упругих волн и если приравнять, обозначенные коэффициенты А: V/2π3v3=3N/ ω3max; ω3max=6Nπ3v3/V При стандартных условиях: ω≈1013 c Внутренняя энергия и теплоёмкость твёрдого тела по теории Дебая. Зная собственную максимальную частоту и функцию распределения собственных колебаний по частотам можно определить внутреннюю энергию твёрдого тела, как сумму энергий всех собственных колебаний. Средняя энергия собственных колебаний будет равна: <ε>=Ћω/(exp(Ћω/kT)-1) Тогда колебательная энергия кристаллического тела будет равна: U= ![]() ![]() Это выражение для внутренней энергии не включает в себя нулевую энергию колебаний решётки, которая складывается из нулевых энергий стоячих волн, и каждую отдельную стоячую волну можно сопоставить с гармоническим осциллятором, нулевая энергия которой ε0=Ћω/2, тогда нулевая энергия для 1 моля кристалла: U0= ![]() Это выражение приведёт к значению внутренней энергии 1 моля ,как . Эта частьвнутренней энергии кристалла не зависит от температуры и в вычислении теплоёмкости никакой роли не играет, тогда молярная теплоёмкость: Cm=dU/dT=9NЋ/ ω3max[ ![]() ![]() dω=(kT/Ћ)dx Ћω/kT=x ω=x·(kT/Ћ) Cm=9NЋ/ ω3max ![]() ![]() ΘD=Ћωmax/k-характеристическая температура Дебая. Введя характеристическую температуру Дебая в полученное выражение: Cm=9NK4(T/ΘD)3 ![]() Этот интеграл берётся по частям, и тогда полученное выражение может быть представлена в виде: Cm=3R[12(T/ΘD)3 ![]() |