Лекции по физике 4 семестр. Фотон обладает массой m

• Название: Фотон обладает массой m
• Анкор: Лекции по физике 4 семестр.doc
• Дата: 23.04.2018
• Размер: 0.59 Mb.
• Имя файла: Лекции по физике 4 семестр.doc
• Тип: Документы; #18415
• Категория: Физика
• страница: 6 из 7

Простой (нормальный) эффект Зеемана.

Он заключается в расщеплении спектральных линий при помещении излучающего вещества в сильные магнитные поля (в частном случае поле может быть и слабым, но тогда переход осуществляется только между уровнями с s=0 или =1).

В сильных магнитных полях энергия атома будет равна:

E’=E₀^’+ m_L^’μ_БB+ 2m_S’μ_БB, где

m_L -орбитальное магнитное квантовое число

m_S -спиновое магнитное квантовое число

E’=E₀^”+ m_L^”μ_БB+ 2m_S”μ_БB

тогда частоты переходов определяются по формуле ω= Δ E₀/Ћ+ μ_БBΔm_L/Ћ+2μ_БBΔm_S/Ћ , где

ω₀= Δ E₀/Ћ -частота в отсутствии магнитного поля.

Согласно правилам отбора.

Δm_L=0, а Δm_S=0;±1

ω=ω₀+2μ_Б/Ћ , т.е. произойдёт расщепление одной спектральной линии на 3 компонента, и получается Зеемановский триплет. Этот же триплет наблюдается и в слабом магнитном поле при переходе из состояния с s=0, в этом случае фактор Ланде равен единице, и формула для вычисления частот переходит в такой вид:

ω=ω₀+Bμ_Б Δm_J /Ћ

т.к. Δm_J=0;±1 (в согласии с правилами отбора) и в этом случае происходит расщепление на 3 компонента: ω₁=ω₀; ω₂=ω₃=±μ_БB/Ћ.

Квантовая статистика.

Граница применимости классической статистики:

классическая статистика имеет ограниченное применение, поскольку движение микрочастиц подчиняется правилам только квантовой механики.

Для газов и жидкостей классическую статистику можно применять, если λ=2πЋ/mv
d=1/n^1/3-расстояние между частицами

При температурах и давлениях, близким к нормальным эти условия почти всегда выполняются, однако при повышении температуры T>1000 К в газах начинаются процессы возбуждения колебательных степеней свободы, которые всегда подчиняются законам квантовой механики, а при низких T=1-10 К длины волн Де Бройля сравниваются с расстояниями между частицами.

Что касается твёрдых тел, то к ним применить классическую статистику практически невозможно.

Переход к квантовой статистике некоторых добавлений классической статистической статистики, но никогда не затрагивает её основ, т.к. она имеет дело с ограниченным количеством частиц.

3 главных отличия квантовой статистики:

1) В квантовой статистике определяется вероятность методами даже для одной частицы

2) В квантовой статистике при различных состояниях многие физические величины принимают ряд дискретных значений. В связи с этим операция интегрирования для нахождения средних величин заменяется суммированием по различным квантовым состояниям, т.е. статистические интегралы заменяются статистическими суммами.

3)связано с принципом тождественности частиц, который определён только в квантовой механике.

Кроме того при квантовом рассмотрении частицы с целым спином и частицы с полуцелым спином подчиняются разной статистике.

В классической физике одни и те же частицы различаются по микросостояниям (т.о. по разным координатам и по импульсам, которые они имеют в некотором фазовом пространстве). и за классическими частицами всегда можно проследить по их траектории.

В квантовой механике нет понятия определённой траектории, что следует из соотношения неопределенностей, поэтому координаты и импульсы частиц, которые представляются как волны де Бройля, при движении перекрываются и расплываются в пространстве.

В области перекрывания частицы одного и того же вида теряют свою индивидуальность и перестановка местами этих частиц оставляет неизменным данное микроскопическое состояние. Принцип тождественности одинаковых частиц требует, чтобы в системе из двух частиц их состояния описывались бы волновыми функциями, которые не меняются при перестановке этих частиц местами (ψ(1,2)=ψ(2,1)) или при перестановке менялся знак (ψ(1,2)= -ψ(2,1)), т.е. возникают антисимметричные волновые функции, но т.к. физический смысл имеет квадрат пси-функции, то изменения знака никогда не означает изменения состояния. Симметричными волновыми функциями описываются бозоны-частицы с целым значением спинового числа S, к ним относятся абсолютно все частицы, которые переносят фундаментальные взаимодействия, т.е. это могут быть фотоны, π-мезоны, α-частицы.

Антисимметричными волновыми функциями описываются состояния частиц с полуцелым спином, эти частицы называются фермионами, и к ним относятся электроны. протоны, нейтроны, а также ядра гелия.

Из фермионов образованы вещества, а бозоны- это частицы взаимодействия.

Из свойства антисимметричности пси-функции вытекает принцип Паули:

“2 фермиона не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии, т.е. обладать одним и тем же набором квантовых чисел, определяющих это состояние”. Например, в атомах волны де Бройля отдельных электронов перекрываются между собой, поэтому, если два электрона имеют одни и те же квантовые числа, то они тождественны, их перестановка ничего не меняет , однако волновые функции ψ(1,2)= -ψ(2,1) , поэтому волновая функция равна сама себе с обратным знаком, следовательно свойства антисимметрии гарантируют выполнение принципа Паули, и поэтому образуются атомно-молекулярная структура и таблица Менделеева. В соответствии с принципом тождественности и принципом Паули все функции распределения имеют определённые особенности:

Если частицы неразличимы, то состояния 3 и 4 абсолютно неразличимы, и тогда состояния 3 и4 абсолютно неразличимы
Если не вводить других ограничений на статистические распределения, и если допустим, что в каждой ячейке может быть неограниченное число частиц. В таблице 2соответствует случаю частиц Бозе, которое описывается симметричными волновыми функциями.

Если же частицы подчиняются принципу Паули и их состояние описывается антисимметричными волновыми функциями, то с учётом спина в каждом состоянии остаётся не более одной частицы и такая статистика носит название Ферми-Дирака.
Разные статистики, по которым рассчитываются состояния квантовых систем влияют на процедуру подсчёта термодинамических функций, в частности энтропии и энтальпии. Рассмотрим каждую статистику отдельно.

Статистика Бозе-Эйншиейна.

Частицы: бозоны, протоны, альфа-частицы. Состояние системы в квантовой статистике принято задавать с помощью чисел заполнения ni, под которыми понимается число частиц, находящихся в состоянии с данным набором квантовых чисел i. Соответствующие статистические распределения записываются для средних чисел заполнения и определяются с помощью комбинаторных методов по очень сложной процедуре. Упрощённо рассмотрим для примера электромагнитное излучение, которое состоит из большого количества фотонов, которые по кванту излучаются или поглощаются с энергией ε=nЋω,гдеn=1,2,3,… . Из-за целочисленного момента количества движения =nЋ, фотоны должны подчиняться статистике Бозе, и в состоянии теплового равновесия средняя энергия каждого фотона, если их рассматривать как осцилляторы, определяется как:

=<ε>/Ћω=1/(exp(Ћω/kT)-1)

(за вычетом нулевых колебаний)

В общем случае это же число с различными энергиями. Распределение для среднего числа заполнений:

i>=1/(exp(ε_i/kT)-1)

-нормированная постоянная, которую можно представить = exp(μ_i/kT),

где μ– величина, независящая от ε_i, определяемая только внешними параметрами ( объёмом и температурой). Эта величина фиксирует число частиц в замкнутой системе и является функцией состояния, подобно энергии и энтропии. называется химическим потенциалом. По физическому смыслу химический потенциал определяет изменение внутренней энергии системы при добавлении к системе только одной частицы, если остальные величины (V,T) фиксированы. В многокомпонентных или многофазных системах это особенно важно, потому что условие химического равновесия в реагирующих системах будет иметь место только тогда, когда химические потенциалы всех компонентов равны. Тогда с учётом химического потенциала n_i будет иметь вид:

i>=1/(exp((ε_i –μ)/kT)-1)

при всех i, иначе при малых число заполнений было бы отрицательным.

С точки зрения квантовой статистики электромагнитная волна Бозе- конденсат фотонов, заполняющих уровень энергии, соответствующий частоте волны .

Статистика Ферми-Дирака.

-статистика фермионов, особенностью которых является подчинению принципу Паули, в этом случае в каждой ячейке заполнения .

Если учесть эту особенность для среднего числа частиц, можно записать соотношение:

i>=1/(exp((ε_i –μ)/kT)+1) (1)

Это выражение применяется к описанию так называемого электронного газа в металлах, и в металлах кулоновские взаимодействия между электронами, а также взаимодействие электронов с ионным остовом кристалла, в среднем компенсируют друг друга, и электроны поэтому без особенных препятствий перемещаются по всему кристаллическому образцу, также как ведёт себя идеальный газ, и поэтому называются электронным газом.

и тогда их кинетическую энергию можно считать полной, а потенциальной энергией взаимодействия можно пренебречь, и с точки зрения Ур-я Шр. это есть задача о нахождении частицы в потенциальной яме.

(1)-распределение Ферми-Дирака, где μ- химический потенциал, зависящий от температуры и плотности частиц, и этот химический потенциал находится и з условия нормировки, т.е.из условия, что общее количество частиц равно N.

При Т=0 и ε_i <μ величина i>→1

Если ε_i >μ, то i>→0
Химический потенциал при нулевой температуре играет роль особой энергии, хотя по классическим представлениям при 0 К всякая энергия стремится к нулю. Что это за энергия?

Электроны, подчиняющиеся принципу Паули не могут все одновременно иметь нулевую энергию при T→0.


На каждой полосе будут 2 электрона с противоположными спинами, и величина будет зависеть от числа электронов в некотором объёме V, а также от разности энергий между соседними уровнями. Электронный газ в таком положении называется полностью вырожденным. Энергия , равная наибольшей энергии при Т=0 для частиц с полуцелым спином называется энергией ферми или уровнем Ферми.

Это означает, что химический потенциал при температуре 0 K совпадает с энергией Ферми. Для электронов, которые являются фермионами, средне число частиц и вероятность заселённости квантового состояния совпадают, так как квантовое состояние может быть либо незаселённым (n=0), либо там находится одна частица. При энергии, равной потенциалу μ, функция (или график) меняется скачком до нуля. Это означает, что все нижние квантовые состояния вплоть до состояния ε=0 уже заняты электронами, а все состояния с энергиями большими свободны, следовательно именно поэтому не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны при 0 К.При не слишком высоких температурах, когда T<<ε_f. Это означает, что электронный газ в металле находится практически всегда в состоянии сильного вырождения. температура вырождения может быть найдена из соотношения T_B= ε_f/k и именно эта Т определяет границу, выше которой квантовые эффекты несущественны. Для электронов в металле температура вырождения T_B≈10⁴K, т.е. для всех температур, при которых металл может существовать в твёрдом состоянии, электронный газ в металле не вырожден.

Система называется вырожденной, если её свойства существенно отличаются от свойств системы, подчиняющейся классической статистике Максвелла-Больцмана, поведение как Бозе- газаж так и Ферми-газа отличаются от классического газа и оба всегда являются вырожденными. Вырождение газов становится существенным при низких температурах или больших плотностях. Температурой вырождения называется температура, ниже которой отчётливо проявляются свойства идеального газа, обусловленные тождественностью частиц и, если температура выше температуры вырождения, то газ подчиняется классической статистике.

При Т>0 функция Ферми-Дирака плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области порядка кТ в окрестности ε=ε_f, это объясняется тем. что при T>0 небольшое число электронов с энергией большей энергии Ферми, возбуждается за счёт теплового движения, и их энергия становится больше, чем энергия Ферми. Вблизи границы, когда немного меньше заполнение меньше 1, и когда немного больше, тогда заполнение будет больше нуля. И в этом тепловом движении участвует малое количество электронов.

Понятие о квантовой теории теплоёмкости.
Квантовая статистика устранила трудности в объяснении зависимости теплоёмкости от температуры. Согласно квантовой механике энергия вращательного движения молекул, а также энергия колебаний атомов в молекулах могут принимать только дискретные значения (энергия вращат. и колеб. квантованы), и если энергия теплового движения молекул много меньше разности энергий между двумя соседними уровнями (kT<<ΔE), то при столкновении молекул колебательного и вращательного уровни не возбуждаются, и именно поэтому при низких температурах поведение двухатомного газа подобно поведению одноатомного газа (одноатомный газ всегда рассматривается как материальная точка). Разность между двумя соседними вращательными уровнями, чем между двумя колебательными уровнями, и поэтому при изменении температура эти уровни возбуждаются не одновременно, несмотря на то, что квантовые числа колеб. В и вращат. J могут принимать нулевые значения. При 0 К существует нулевая колебательная энергия:

E_{кол 0}=(1/2)Ћω

Теплоёмкость твёрдых тел в классической теории теплоёмкости.

Характер движения частиц в твердом теле существенно отличается от теплового движения молекул в газе, взаимодействие между частицами в твёрдом кристаллическом теле обуславливает колебательное движение этих частиц около положения равновесия, которые являются узлами кристаллической решётки, потому что каждый узел решётки соответствует минимуму потенциальной энергии данного атома с соседним атомом. Потенциальная кривая взаимодействия между атомами в молекуле.

Характер этой кривой в области, близкой к минимуму аналогичен кривой для соседних атомов в твёрдом теле и приближенно можно считать при малой амплитуде колебаний атомов, что потенциальная энергия колеблющихся атомов изменяется по параболическим законам, т.е. тогда в классическом варианте можно считать, что одноатомное твёрдое тело можно рассматривать, как совокупность независимых друг от друга атомов, совершающих колебания с одной и той же частотой. Каждый такой атом обладает тремя колебательными степенями свободы, поскольку направление колебаний хаотически меняются с течением времени, т.е. каждый атом может колебаться по трём взаимно перпендикулярным направлениям, т.е. каждый атом можно рассматривать как трехмерный гармонический осциллятор и при подводе тепла к телу оно расходуется на увеличение колебаний осцилляторов и эта энергия складывается из кинетической энергии и потенциальной:

<ε_i>=(1/2)kT+(1/2)kT=kT

-средняя энергия каждого осциллятора

Тогда средняя энергия колеблющейся в трехмерном пространстве частицы будет равна:

<ε>=3kT

Внутренняя энергия 1 моля: U=3kTN_a=3RT

Тогда теплоёмкость

Cm=dU/dT=3R=25 Дж/моль·К

Закон Дюлонга-Пти:

Для большинства веществ теплоёмкость не зависит от температуры при нормальных условиях.

Квантовая теория теплоёмкости.

1906 г. Эйнштейн предложил квантовую теорию колебательной теплоёмкости тела и зависимости этой колебательной теплоёмкости от температуры.

Гармонический осциллятор.

En=Ћω(n+1/2), n=0,1,2,..

Согласно квантовому правилу отбора при возбуждении возможны переходы только между соседними энергетическими уровнями, т.е. этот гармонический осциллятор может излучать или поглощать энергию, равную 1 кванту. Эйнштейн предложил: весь кристалл состоит из осцилляторов, колеблющихся с одной частотой:

<ε>=Ћω/(exp(Ћω/kT)-1)

Внутренняя энергия колебательное движение 1 моля тела, которое содержит N_a колеблющихся осцилляторов:

U=N_a·ε=N_a· Ћω/(exp(Ћω/kT)-1)

С учётом нулевой энергии

U= N_a· Ћω/2+N_a· Ћω/(exp(Ћω/kT)-1)

Тогда для 1 моля получается теплоёмкость:

Cv=dU/dT=(Ћω/kT)²· exp(Ћω/kT) /(exp(Ћω/kT)-1)²·KN_a

Циклическая частота колебаний ω–это характерная частота для этих осцилляторов
Ћω/k=Θe-характеристическая температура Эйнштейна, это величина, характерная для данного сорта молекул.

ω=

Θe=(Ћ/k)

μ-приведённая масса.

Чем больше упругость(чем более жёсткой является система) и чем меньше приведённая масса, тем выше Θe.

Cv=R·( Θe/T)²·(exp(Θe/T)/(exp(Θe/T)-1)²

Эта формула показывает, что теплоёмкость существенно зависит от температуры и график этой зависимости:


В двух предельных случаях :

1)высокие Т

T>> Θe

экспоненциальную функцию можно разложить в ряд:

exp(Θe/T)=1+ Θe/T

Cv=R·( Θe/T)²·(1+ Θe/T)/( Θe/T)²=R(1+ Θe/T)≈R

При высоких температурах значение колебательной теплоёмкости даёт вклад равный газовой постоянной, что находится в согласии с классическими рассмотрением, при котором для колебательной теплоёмкости принимается 2 степени свободы( за счёт потенциальная и кинетическая энергия)

2)в области низких температурах

T<< Θe

exp( Θe/T)>>1

Cv=R·( Θe/T)²·(exp(Θe/T)/(exp(Θe/T)²=R·( Θe/T)²·(1/exp(Θe/T))=R·( Θe/T)²·exp( -Θe/T)

Так как экспоненциальная функция изменяется значительно быстрее с изменением аргумента, чем степенная, то можно сказать, что Cv убывает по экспоненциальному закону и стремится к нулю при Т→0. Итак, рассмотрение модели Эйнштейна привело к правильному качественному объяснению теории теплоёмкости., но количественно совпадения не получилась , и это количественное расхождение обусловлено тем, что независимыми колебаниями атомов можно считать только в газе, в твёрдом теле эти допущения являются очень грубым упрощением, и поэтому эти рассуждения Эйнштейна дают очень хорошее количественное и качественное совпадение для газов, а для твёрдых тел, по сравнению с экспериментом, получается большая погрешность.

Квантовая теория теплоёмкости была предложена Дебаем.

Квантовая теория теплоёмкости по Дебаю.

Согласно модели Дебая твердое тело представляет собой систему очень большого количества связанных атомов и в этой системе колебательное движение одного атома не может происходить без участия окружающих атомов, и поэтому в колебательном движении твёрдого тела участвуют все атомы тела. И такое колебательное движение не может характеризоваться одной частотой, как в модели Эйнштейна, а имеет целый спектр частот, причём в каждом виде колебаний участвует вся кристаллическая решётка. Т.о.. всякое твёрдое тело выглядит как непрерывная среда (continuum), в которой бегущие и отраженные от граней тела волны, вызванные колебаниями атомов образуют набор стоячих волн, так называемых собственных колебаний решётки. с различными частотами. Представим себе атомную цепочку, как одномерную модель твёрдого тела.


Если атомы способны перемещаться в направлении перпендикулярном длине цепочки, то эту цепочку можно трактовать как струну, закреплённую по концам. Колебания струны описываются стоячими волнами синусоидального тип, длина волны которого равна целому числу полуволн, т.е. удовлетворяет условию:

L=z·λ/2, где

z-целое число пучностей на струне(число узлов z+1).

На рисунке изображены основной тон струны и два обертона собственных колебаний туго натянутой струны. Выражая длину волны через циклическую частоту и скорость распространения бегущей волны, мы получаем:

λ=vT=v/ν=2πv/ω

Получаем значения частот собственных колебаний струны:

ω=πvz/L

Тогда число стоячих волн характеризуется колебаниями струны, частотами не меньшими, чем

z=ωL/πv, тогда в струне образуются стоячие волны

Если одномерная решётка состоит из N частиц, то максимальное число пучностей на такой струне будет равно N (соседние частицы в этом предельном случае находиться в противофазе и их положения соответствуют пучностям стоячих волн

Дискретность атомной струны проявляется в том, что максимальная частота колебаний не равна бесконечности, а ограничена эта максимальная частота соответственно минимальной длиной волны λmin, которая будет иметь порядок величины 2а, где а-межатомное расстояние.

Тогда ωmax будет равна 2πv/ λmin=2πv/2a=πv/a

Здесь и всегда в цепочках a=L/N

a≈2·10^-10 м

v=10³ м/с

ωmax=10¹³ 1/с

Т.о. спектр частот собственных колебаний, а в более общем случае трехмерном, состоит из дискретного ряда частот от ωmin до ωmax, и этот спектр называют фононным спектром.

Фононы вызваны колебаниями в упругой среде. Фононы являются квазичастицами, и теплоёмкость тела можно описывать как фононный газ. Фононный спектр вызывает в трёхмерном твёрдом теле , определяется стоячими волнами (собственными колебаниями решётки), и эти колебания можно рассматривать как суперпозицию стоячих волн, которые устанавливаются по трём взаимно перпендикулярным направлениям, и если твёрдое тело имеет N атомов, то число одномерных стоячих волн будет равно 3N, тогда внутреннюю энергию твёрдого тела можно подсчитать. суммируя энергию всех 3N собственных колебаний:

U=