Хаим ШапираГладиаторы, пираты иигры на доверии. Какнами правят теория игр
 Скачать 1.08 Mb.
|
|
7. Пингвинья математика Эта глава посвящена животным – экспертам в умении играть и звездам кино под названием Эволюционная теория игр». Мы обсудим то, как связано с альтруизмом странное поведение газели Томсона, и присоединимся к группе пингвинов, ищущих добровольца, а прекрасное понятие из эволюционной теории игр позволит нам шире взглянуть на равновесие Нэша. В теории игр есть одна отрасль, которая увлекает меня больше, чем все остальные. Это эволюционная теория игр. Она пытается изучить и понять поведение животных. Эта область науки привлекла меня потому, что животные, наряду с прочим, склонны к почти идеальной рациональности. А именно рациональность побуждает математиков создавать модель за моделью в попытке предсказать поведение. И мне нравится, когда эти модели совпадают с естественными явлениями. Одной из очаровательных проблем, к которой я впервые обратился именно в свете связи теории игр с поведением животных, был альтруизм. В книге Эгоистичный ген (1976) Ричард Докинз предлагает следующее определение Некое существо называют альтруистичным, если оно своим поведением повышает благополучие другого такого же существа в ущерб собственному благополучию 16 . Так, поступок считается альтруистическим, когда его исход понижает шансы альтруиста на выживание. По сути, Докинз пытается предложить возможные объяснения альтруизма, поскольку этот феномен, как кажется, противоречит его собственной фундаментальной концепции эгоистичного гена. Он утверждает, что живые организмы всего лишь машины, в которых выживают гены, желающие перейти в новое поколение в конкурентном мире, где выгоден эгоцентризм. В конце концов, если бы единственным интересом живых организмов была отправка собственных генов вперед во времени (можно сказать, что самокопи- рование – это единственное, о чем тревожатся гены, тогда альтруизм не пережил бы эволюцию и естественный отбор. И тем не менее природа являет нам немало примеров альтруистического поведения в пример можно привести туже львицу, которая защищает своих детенышей. Докинз говорило газели Томсона: когда рядом появляется хищник, та начинает подскакивать, не сходя при этом с места. Эти энергичные прыжки, привлекающие внимание хищника, аналогичны крику тревоги у птиц они, по-видимому, предостерегают других газелей об опасности, одновременно отвлекая хищника на себя. Поведение газели можно расценить как самопожертвование или экстремальный риск ее единственный мотив – предупредить стадо. И это только два примера Здесь и далее цит. в переводе Н. Фоминой а в природе подобное встречается намного чаще и у самых разных видов – от пчел до обезьян. Мы уже отмечали на первый взгляд альтруизм вроде бы противоречит теории Докинза об эгоистичном гене. Нона самом деле противоречия нет, поскольку никакого истинного альтруизма в дикой природе не существует. Львица, защищающая своих детенышей, может быть, и альтруист. Но если говорить сточки зрения генетики, то ее поступки необычайно эгоистичны зверь пытается не столько спасти детенышей, сколько защитить свои гены (или, скорее, их носителей). Шоу Томсона Но как объяснить поведение газели Томсона? Когда таза- мечает, как охотящийся гепард подкрадывается к стаду, она порой подскакивает на месте, странно шумит, и кажется, что она просто привлекает хищника. Хорошая ли это идея Не лучше ли ей ускакать прочь, как другие (явно более умные) газели? Как это понимать? Не столь давно зоологи верили, что «прыгунья» предупреждает группу, но позже изменили свое мнение. Профессор Амоц Захави, еще один исследователь альтруизма у животных, считает, что своими подскоками газель Томсона не пытается предупредить стадо, а на самом деле – и это как минимум передает хищнику послание (или, на языке теории игр сигнал. В переводе на человеческий оно звучит так Дорогой хищник, посмотри сюда Я – молодая и сильная газель Томсона. Видишь, как высоко я сейчас подпрыгнула Заметил литы мои изящные движения и стройное тело Смотри, какая я ловкая Если ты по-настоящему голоден, милый хищник, лучше поймай другую газель (а еще лучше зебру), потому что меня тыне поймаешь и останешься голодным! Послушай, найди себе более легкую жертву – ведь я сегодня к тебе на тарелку не попаду. Искренне твоя, Прыгунья». Так что же это Зачем прыгает газель Предупреждает группу, как считали теоретики до эгоистичного гена Или просто спасает свою шкуру? Здесь есть два возможных ответа. Один – математическое решение. Можно построить вероятную и приемлемую модель, попытаться описать данную ситуацию и понять, куда нас приведет математика. Почти всегда это довольно сложно. Другое решение значительно проще посмотреть, что в реальной жизни делает хищник. Наблюдения показали, что хищники редко нападают на гарцующих газелей послание явно доходит до адресата. Однажды, когда я читал лекцию, посвященную математическим моделями их применению в мире животных, один мужчина из аудитории поднял руку и сказал Сэр, все совсем не так. Ваши модели прелестны, только сложны необычайно. Где газелям знать дифференциальные уравнения? Или эволюционную теорию игр Львы что, берут уроки по функциональному исчислению и оптимизации Поверьте, они бы не поняли вашей лекции». Я ответил, что на самом деле и газели Томсона, и все хищники в дикой природе знают довольно много и о теории игр, и о дифференциальных уравнениях, и о других математических моделях – просто у нас сними разные способы понимания. Да, я никогда не слышал об улитке, приходящей на занятия по логарифмическим спиралям, – но все улитки, несомненно, искусно их формируют исправляются с этим просто прекрасно. Пчелы строят ульи оптимальным образом, хотя у них и нет магистерской степени в прикладной математике. В природе животные ходят в другую школу, и у них есть прекрасный учитель по имени Эволюция. Это фантастический наставник, но и очень требовательный если вы хотя бы раз потерпите неудачу, вас исключают – и помните, не из школы, а из всей природы. Эта школа сурова, нов ней занимаются лучшие ученики. Предположим, у неграмотного кролика в один прекрасный день вдруг появляется желание похлопать волка по плечу. Эволюция недолго думая тут же этого кролика устранит: да, он удивил волка (и даже успел порадоваться розыгрышу), но непослушный кролик совершил ужасную стратегическую ошибку. И кроличьи гены, ответственные за эту ошибку (если такое поведение со стороны кролика и впрямь было обусловлено его генами, это допущение спорно, мило устилают волчий желудок и не могут достичь будущего поколения кроликов. Иногда я думаю о том, что стало бы с университетами, если бы студентов выгоняли за одну серьезную ошибку или несколько маленьких. Остались бы очень немногие – но абсолютно лучшие. А может, это не так ужи плохо? Лебединая песня газели Все это меня озадачило. Если стратегия прыжков столь хороша, почему не подскакивают все газели Томсона? Тогда бы гепард, пришедший пообедать, просто бы залюбовался изумительным зрелищем десятки газелей прыгали бы от радости, ведь рядом сними мистер Гепард Почему же в природе нет таких шоу Ответ прост. Вы вольны красоваться, только если хватит силенок. Да, молодым газелям скакать легко. А вот старики, пусть даже они прыгают довольно высоко для своего возраста, уже далеко не столь ловки, как прежде. Старая газель может повредить спину в самый неподходящий момент, может и неудачно приземлиться, растянуть лодыжку или даже сломать ногу. И возможно, гепард удивится тому, сколь некомпетентна эта газель Томсона, но вскоре старым прыгуньям будет уготована участь закуски Пингвины и Дилемма добровольца» Много лет тому назад я смотрел чудесный документальный фильм по каналу о природе там показывали группу пингвинов, которая выбралась на берег в поисках еды. Едят они исключительно рыбу, которая, что вполне естественно, плавает в океане. Пингвины плавать умеют. Проблема в том, что плавать умеют и тюлени, а пингвины – их любимая еда. В таком случае лучше всего иметь добровольца в его роли выступает пингвин, который прыгает вводу первым, убедиться, что все чисто – в прямом смысле слова. Это очень простой тест из разряда «плыви-или-тони»: если доброволец выныривает из воды и зовет друзей к себе, все будет хорошо если же вода станет красной – обеда сегодня не будет, по крайней мере для пингвинов. Само собой, ни один пингвин в здравом уме добровольцем не станет, – и вот они все стоят, выстроившись кругом, и ждут. Математическая модель этой ситуации – игра для n игроков, Дилемма добровольца. Сточки зрения стратегии эта ситуация не соответствует равновесию Нэша: если вы пингвин и один или несколько других добровольцев вызываются сами, вам не следует делать шаг вперед. С другой стороны, ждать в круге – это тоже не равновесие Нэша. Да и вариант это плохой как долго вы сможете прождать вместе со всеми, прежде чем умрете от голода Если вы со всей бандой таки будете стоять на берегу, тогда вы точно умрете а если прыгнете вводу, вас либо поймает тюлень, либо, если тюленей в округе не окажется, выбудете есть и жить. Выходит, если вызваться добровольцем, вы получите хотя бы шанс выжить. И в тоже время, как мы уже отмечали, все пингвины хотели бы видеть первым «прыгуном-добровольцем» не себя, а кого-нибудь еще. Обратите внимание стратегия добровольца – это не стратегия Нэша. Если все пингвины просто возьмут и прыгнут, тогда тот, кто сделает это последним, не рискует ничем, ведь тюлень уже сыт – он успел съесть самого резвого пинг- вина. Так прыгать или нет Ответ был довольно прости мне нужно было только дождаться конца фильма. Как оказалось, пингвины выработали для подобных ситуаций несколько интересных стратегий. Стратегия 1. Война на истощение Первая пингвинья стратегия заключалась в том, чтобы просто ждать на берегу и играть в антарктическую версию «Игры в труса. Они просто стоят и смотрят, кто прыгнет первым. Это война на истощение в пингвиньих рядах. В конце концов кто-нибудь да нырнет. Трудно сказать, сколько они там прождали. Они могли стоять семь часов, но редакторы фильма сохранили лишь семь секунд от всего отснятого материала. В конце всей этой неопределенности один пингвин понимая, что останется голодным, решает нырнуть. Да, вряд ли его можно назвать добровольцем, ведь если бы он хотел по доброй воле услужить товарищам, то сделал бы это с самого начала, не напрягая никому нервы. Мы могли бы математически рассмотреть, когда и как пингвину следует выступить добровольцем это вопрос вероятностей, известных как смешанные стратегии Нэша». Оказывается, математика и реальность иногда идут рука об руку, ведь математическая модель предсказывает, что кто-нибудь обязательно прыгнет вводу как и происходит в жизни 17 Стратегия 2. Неспешные бега Другая стратегия популярна в том случае, если пингвинов довольно много тогда они все вместе бегут вводу. Позвольте, я попытаюсь объяснить, хотя сам я никогда не был пингвином и мне сложно представить ход их мыслей. Итак, зачем пингвинов всей толпой бегут в океан Какая логика ими движет Может, они говорят друг другу (на языке генов, что там, вероятно, нет никакого тюленя, а это просто чудесно. Впрочем, даже если их там и поджидает голодный тюлень, вероятность того, что он съест какого-нибудь пингвина, со Заметка по поводу стратегии 1, Война на истощение В 2000 г. мыс профессором Иланом Эшелем опубликовали совместный труд, посвященный математическим аспектам добровольной помощи и альтруизма. Математика там непростая, но, если вам интересно, этот труд находится в свободном доступе в Сети просто наберите в поисковике Google: On the Volunteer Dilemma I: Continuous-time Decision, Selection 1 (2000), 1–3, 57–66. ставляет 1:500. Это не так уж плохо. Риск разумен, и пингвины готовы его принять. Помню, впервые посмотрев этот фильм, я подумал, что эти стихийные бега во льдах – не равновесие Нэша. Ведь если все бегут вводу, а там при этом еще и много рыбы, то пингвин, который провернет знаменитый трюк со шнурками и задержится, выиграет. Ив конце концов, если есть значительный риск того, что вводах рыскает голодный тюлень, тогда к тому времени, как непослушные шнурки снова будут завязаны, тюлень уже насытится – и медленный пингвин ничем не рискует. И правда, в фильме ясно показали, что некоторые пингвины бежали медленнее остальных. Ноу нас не было никакой возможности узнать, кем они были. Блестящими математиками Плохими атлетами В сущности, даже если все пингвины созданы равными, иные бегают быстрее других. Но, если бы они все задумались о том, что им нужно бежать как можно медленнее, и постепенно бы замедлялись, тогда в итоге они бы все остановились – и это вернуло бы нас к началу пути все пингвины стоят на берегу, никто не желает быть первым добровольцем, и снова начинается война на истощение. Стратегия 3. Эй, не толкайся!» Третья пингвинья стратегия в фильме была самой забавной и увлекательной – по крайней мере, для меня. Чтобы объяснить эту стратегию, я бы хотел провести аналогию с поведением людей на примере солдат. Спустя месяц интенсивных тренировок рота готовится идти в увольнительную. Они строятся для последней поверки и вдруг появляется командир с плохими вестями. Один солдат должен остаться на базе в карауле. Я вернусь через пять минут, – говорит офицер. – И, когда я вернусь, мне нужен доброволец, который останется. Не найдете – никто никуда не пойдет». Теперь и недовольные солдаты, и пингвины всхожем положении. Каждый хочет, чтобы добровольцем стал кто-ни- будь другой, а если никто не отзовется, все останутся голодными не видать им кому рыбы, кому маминой еды. Солдаты могут тянуть соломинки или еще что, но пингвины этой возможности лишены, не говоря уже о том, что в Антарктиде крайне проблематично отыскать такую массу соломинок. И все же решение находят и те и другие. В строю солдат, готовых к смотру, стоит Большой Макси он, как и его сослуживцы, расстроен сложившейся ситуацией. Впрочем, он очень быстро приходит в себя, хлопает по плечу Малыша Джо и говорит Эй, Джо, вызовись Это очень внезапный ход для Макса. Ясно, что он таит риски для Макса, и для Джо. Надеюсь, вы это понимаете. Как только Макс попросит Джо стать добровольцем, другие солдаты могут развернуться и попросить, чтобы себя принес в жертву не Джо, а Макс. Да, маневр Макса был бы отчаянными дерзким, если бы не один простой факт Макс – самый большой солдат в роте, высокий, широкоплечий и очень сильный. Все прекрасно это знают и именно поэтому вежливо окружают Джо Джо, а что В чем проблема Макс дело говорит. Останешься ради нас, и все путем Каждый хочет, чтобы большой и злой Макс был на его стороне, – и Малыш Джо, скорее всего, вызовется добровольцем, даже если сам он того не хочет. Пингвины, применив стратегию 3, поступили также. Они пару минут постояли на берегу, а потом пингвин Макс подходит к одному из самых маленьких и хлопает того по спине, причем довольно сильно. Я в общем-то не очень одобряю то, когда животных наделяют человеческими чертами, – ноя и правда видел, какое удивление отразилось в глазах маленького пингвина, когда он летел вводу. То была невероятно впечатляющая финальная сцена, сравнимая с финалами таких фильмов, как В джазе только девушки и Касабланка. В любом случае доброволец у пингвинов появляется. Кроме того, важно помнить Макс был не из рядовых пингвинов. Для обычного пингвина пихать другого очень рискованно стоит поднять крыло и кого-нибудь толкнуть – и тут же другой, более сильный пингвин может столкнуть тебя са- мого. Если уделить еще немного времени пингвиньей проблеме, то мы увидим, что пингвины играют в игру, скрытую в игре. Помимо игры в добровольца, они играют еще в одну «С кем бы мне встать Пингвин, которого толкнули, становится добровольцем потому, что выбрал неверное место и встал слишком близко к Максу. Так что помните когда приходит время играть в игру Эй, не толкайся, держитесь подальше от больших парней. Разумно предположить, что для поведения животных, которое на первый взгляд кажется альтруистическим, почти всегда есть стратегическое объяснение. При помощи математического аппарата из эволюционной теории игр я как- то раз построил модель, объясняющую определенные реалии из жизни пингвинов без всякого альтруизма. Сказать по правде, альтруизма нет нив одной из пингвиньих стратегий. Пингвин, проигравший войну на истощение пингвин, победивший в неспешных бегах пингвин, которого столкнули в океан, – все они оказались вводе по причинам весьма далеким от альтруизма. «Пингвин-толкач» рисковал, поскольку мог потерять равновесие, но и его альтруистом назвать нельзя. По той же логике и тот пингвин, который вдруг понял, что плавает вводе в полном одиночестве, не заслуживает никакой медали, поскольку стал добровольцем подогнем (или, в этом случае, под водой, асам никогда и не намеревался им становиться. Эволюционная теория игр дает изящное определение, которое расширяет идею равновесия Нэша. Его впервые предложил в 1967 г. английский эволюционный биолог Уильям Гамильтон (1936–2000), хотя часто это приписывают другому английскому эволюционному биологу, Джону Мейнарду Смиту (1920–2004), который его расширили развил. С этими первопроходцами мы и вступаем в область эволюционной теории игр, эквивалентную равновесию Нэша и известную как ЭСС: эволюционно стабильная стратегия. Без перехода на язык «эпсилон-дельта», столь любимый математиками и столь сложный, что обычные люди предпочли бы ему изучение древних китайских идиом, можно сказать, что ЭСС – это равновесие Нэша плюс еще одно условие стабильности если малое число игроков внезапно меняет стратегию, те, кто придерживается исходной стратегии, обретают преимущество. Если вы желаете углубиться в предмет того, как связаны эволюция и теория игр, рекомендую каноническую книгу Джона Мейнарда Смита Эволюция и теория игр 18 Smith John Maynard. Evolution and the Theory of Games. Cambridge University Press, Cambridge, 1982. Интермедия. Парадокс воронов Карл Густав Гемпель (1905–1997), философ, немец по происхождению, многое сделал для философии науки, но международную славу обрел в 1940 гс публикацией парадокса воронов (он тогда жил в Нью-Йорке и преподавал в Городском колледже. Его парадокс касается логики, интуиции, индукции и дедукции – и все это за счет воронов. Вот моя версия. В одно холодное и дождливое утро профессор Смартсон выглянул в окно и решил, что сегодня не пойдет в университет. Я эксперт в логике, – подумал они потому все, что мне нужно для работы – это бумага, карандаши и ластика они есть у меня дома. Он селу окна, потягивая свой улун «Черный дракон, и задумался Чтобы такое изучить сегодня Внезапно он увидел на дереве двух черных воронов. «А всели вороны черные – спросил он себя, увидев третьего ворона, тоже черного. – Кажется, что так. Это утверждение можно было подтвердить или опровергнуть – но как именно Несомненно, каждый новый черный ворон, которого он мог бы увидеть, увеличит вероятность того, что утверждение «Все вороны черные истинно, вот только как пронаблюдать за всеми воронами в мире Это невозможно И тем не менее профессор Смартсон решил устроить слежку за воронами, надеясь на то, что они и правда все черные И вот он сидел у окна и ждал, но больше воронов поблизости не было. Придется, наверное, выйти и поискать, подумал он, но идея ему не особо понравилась. В конце концов, он по какой-то причине остался дома, а дождь перешел в бурю с градом. И внезапно профессора осенило Он вспомнил, что утверждение Все вороны черные логически эквивалентно аргументу Все, что не черное – это не ворон. Не забывайте, он был профессором логики. С радостью приглашаю умных и логически мыслящих людей (подобных вам, мой дорогой читатель) поразмыслить над этими понять, что два этих утверждения эквивалентны. Все простои логично. Итак, вместо того чтобы доказывать, что все вороны черные, профессор Смартсон решил подтвердить, что все, что не черное – это не ворони подумать только – ему даже не пришлось выходить из дома. Все, что требовалось – это отыскать все не черные предметы и убедиться в том, что это – не вороны. Да, дело-то ерундовое, чего там! Наш профессор снова выглянул в окно и обнаружил бесчисленные примеры зеленую лужайку, желтые и красные опавшие листья, пурпурную машину, мужчину с красным носом, оранжевый знак с белыми буквами, синее небо, серый дым из трубы И вдруг – черный зонтик Смартсон испуганно вздрогнул – но лишь на мгновение. Вскоре он пришел в себя и напомнил себе вот о чем он ведь не говорил, что все черные предметы – это вороны Это же глупо Он лишь утверждал Все, что не черное – это не ворон И только Он успокоился и теперь, сидя в тепле и сухости, снова смотрел на улицу под окном на бесконечный поток всевозможных предметов. Они небыли черными – и они небыли воронами. Довольный проделанной работой, он развернулся, взял блокнот и записал На основе проведенного мною лично обширного исследования я могу заявить, что с практически абсолютной достоверностью все вороны черные. Что и требовалось доказать. Сумеете ли вы показать, в чем ошибся профессор Смарт- сон И ошибся ли он |