конспекты уроков по геометрии. Ход уроков I. Повторение ранее изученного материала
 Скачать 1.6 Mb.
|
|
II. Объяснение нового материала. 1. Доказательство теоремы о площади треугольника можно организовать в форме беседы по вопросам: 1) чему равна площадь любого треугольника? 2) какие формулы применяются для вычисления координат точки? 3) По рисунку 292 учебника провести доказательство теоремы о площади треугольника. 2. Устно решить задачу: найти площадь треугольника АВС, если АВ = 12 см, АС = 8 см, А = 30°. 3. Доказать теорему синусов, используя теорему о площади треугольника. III. Закрепление изученного материала (решение задач). 1. Решить задачу № 1020 (б) на доске и в тетрадях. Решение S = АВ · ВС sin B = ∙ 18∙ 3 sin 45° = 9∙ 3 ∙ = 27 (cм2). Ответ: 27 cм2. 2. Решить задачу № 1022. Решение S = 60 см2; S = АВ · AС sin A; 60 = AB · 15 sin 30°; 60 = АВ · ; АВ = 60 : = 16 (см). Ответ: 16 см. 3. Решить задачу № 1026. Решение Используем теорему синусов: ; B = 180° – (60° + 75°) = 45°; ; AB = ≈ 15 (см). SΔABC = АC · AB sin A = · 12· 15 sin 75° ≈ 87 (см2). Ответ: АВ ≈ 15 см; SАВС = 87 см2. IV. Итоги урока. Домашнее задание: изучить материал пунктов 96 и 97; повторить материал п. 89; решить задачи №№ 1020 (а, в), 1023. Урок 5 Теорема косинусов Цели: доказать теорему косинусов и научить учащихся применять ее при решении задач. Ход урока I. Проверка домашнего задания. 1. Сформулировать и доказать теорему о площади треугольника (вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними). 2. Сформулировать и доказать теорему синусов. 3. Проверить решение задачи № 1023. II. Изучение нового материала. 1. Записать формулу расстояния между двумя точками: точки М1 (х1; у1), М2 (х2; у2), d = М1М2 = . 2. Доказать теорему косинусов, используя рисунок 293 учебника. 3. Теорему косинусов называют иногда обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора. В самом деле, если в треугольнике АВС угол А прямой, то cos А = = cos 90° = 0 и по формуле а2 = b2 + с2 – 2bс ∙ cos А получаем а2 = b2 + с2, то есть квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. 4. Обсудить с учащимися, какие три элемента треугольника нужно знать, чтобы вычислить четвертый элемент (сторону или угол), используя: 1) теорему синусов; 2) теорему косинусов. III. Решение задач. 1. Решить задачу 1. Найдите сторону АВ треугольника АВС, если ВС = 3 см, АС = 5 см, С = 60°. Решение АВ2 = ВС2 + АС2 – 2 ∙ ВС ∙ АС ∙ cos С = 32 + 52 – 2 ∙ 3 ∙ 5 cos 60° = 9 + + 25 – 15 = 19; АВ = см. Ответ: см. 2. Решить задачу 2. Найдите сторону b треугольника АВС, если а = 4, с = и В = = 135°. Решение По теореме косинусов находим b: b = = =≈ 5,7. Ответ: ≈ 5,7. 3. Решить задачу 3. Найдите угол А треугольника АВС, если АВ = = АС = 1 м, ВС = м. Решение Пользуясь теоремой косинусов, получаем: а2 = b2 + с2 – 2bс ∙ cos А; cos А = ; АС = b = 1 м; АВ = с = 1 м; ВС = а = м. cos А = ; cos А = , тогда А = 120°. Ответ: 120°. 4. Решить задачу № 1031. Решение а) а = 5; b = 4; с = 4. Найдем cos А = . Так как > 0, но меньше 1, то самый большой угол А в треугольнике будет острым. Следовательно, треугольник является остроугольным. Ответ: остроугольный. б) а = 17; b = 8; с = 15. cos А = = 0; сos А = 0, значит, А = 90°. Ответ: прямоугольный. в) а = 9; b = 5; с = 6. cos А = . Так как –1 < < 0, то А – тупой. Ответ: тупоугольный треугольник. IV. итоги урока. Задание на дом: выучить материал пунктов 96–98; решить задачи №№ 1027, 1032. Урок 6 Решение треугольников Цели: познакомить учащихся с методами решения треугольников; закрепить знание учащимися теорем синусов и косинусов, научить применять эти теоремы в ходе решения задач. Ход урока I. Проверка изученного материала. Учащиеся на отдельных листочках доказывают изученные теоремы и сдают учителю. Вариант I Сформулируйте и докажите теорему косинусов. Вариант II Сформулируйте и докажите теорему о площади треугольника. Вариант III Сформулируйте и докажите теорему синусов. II. Изучение нового материала. 1. Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (то есть трех сторон и трех углов) по каким-нибудь трем данным элементам, определяющим треугольник. 2. При решении треугольников используют теоремы синусов и косинусов, причем при вычислении углов треугольника предпочтительнее использовать теорему косинусов, а не теорему синусов. Например, зная три стороны треугольника, для вычисления первого угла применяем теорему косинусов, а для вычисления второго угла можно использовать как ту, так и другую теоремы. Но поскольку синус угла равен синусу смежного с ним угла, то нахождение синуса угла еще не позволяет определить сам угол – он может быть острым или тупым. Если же вычислить косинус угла, то по его знаку и величине угол определяется однозначно. 3. Рассмотрим три задачи на решение треугольника: 1) решение треугольника по двум сторонам и углу между ними; 2) решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам; 3) решение треугольника по трем сторонам. При этом будем пользоваться следующими обозначениями для сторон треугольника АВС: АВ = с; ВС = а; СА = b. 4. В тетрадях учащиеся оформляют таблицу-памятку:
III. Решение задач. 1. По рисунку 294 учащиеся самостоятельно разбирают решение примера на странице 259 учебника. 2. Решить задачу № 1025 (б, в, г, ж, и) на доске и в тетрадях, используя таблицы Брадиса и микрокалькуляторы. 3. Решить задачу № 1021 на доске и в тетрадях. 4. Совместно с учащимися разобрать и зафиксировать в тетрадях решение задачи № 1033 по рисунку 297. 5. Решить задачи № 1060 (в), 1061 (в) и 1062. IV. Итог урока. Задание на дом: изучить материалы пунктов 96–99; решить задачи №№ 1025 (а, д, е, з), 1060 (г), 1028. Урок 7 Измерительные работы Цель: познакомить учащихся с измерительными работами на местности, основанными на использовании теорем синусов и косинусов. Ход урока I. Проверка опорных знаний учащихся. Учащиеся отвечают на вопросы 2–10 на странице 271 учебника. II. работа по учебнику. 1. Тригонометрические формулы используются при проведении различных измерительных работ на местности. В 8 классе учащиеся определяли высоту предмета и расстояние до недоступной точки на основе теоремы подобия треугольников. В 9 классе эти же задачи решают с применением тригонометрических функций. 2. Учащиеся самостоятельно читают материал пункта 100 учебника. 3. Обсуждение прочитанного материала, используются рисунки 295 и 296 учебника. III. Решение задач. 1. Решить задачу № 1036 по рисунку 298. 2. Решить задачу № 1037 (использовать рисунок 296 учебника). 3. Решить задачу № 1038 по рисунку 299. IV. Итоги урока. Домашнее задание: повторить материал пунктов 93–100; решить задачи № 1034, 1064. Урок 8 Решение задач Цели: систематизировать, повторить и обобщить изученный материал; научить применять полученные знания к решению задач. Ход урока I. Повторение и обобщение изученного материала. 1. Сформулировать теорему о площади треугольника. 2. Сформулировать теорему синусов. 3. Сформулировать теорему косинусов. 4. Объяснить применение теоремы косинусов при решении треугольников. 5. В какой задаче на решение треугольников можно применять только теорему синусов? 6. Рассказать решение задачи по нахождению высоты предмета и расстояния до недоступной точки с помощью тригонометрических функций. 7. Формулы приведения (записать на доске). II. Решение задач. 1. Решить задачу № 1059 на доске и в тетрадях. Пусть АВСD – выпуклый четырехугольник, О – точка пересечения его диагоналей, AOB = . Тогда SАВСD = SАОВ + SВОС + SСОD + SАОD. Найдем площадь каждого из четырех треугольников, пользуясь теоремой о площади треугольника. Учитывая, что sin (180° – ) = sin и АС = = АО + ОС, ВD = ВО + ОD, получаем: SАВСD = AC ∙ BD ∙ sin . 2. Решить задачу № 1063. Решение SАВС = SАВD + SАСDили воспользуемся формулой площади треугольника: bc ∙ sin = xc ∙ sin+ xb ∙ sin, где x = AD. Отсюда, учитывая, что sin = 2sin∙ cos, находим х: х = . III. Самостоятельная работа контролирующего характера. Вариант I Решить задачи №№ 1060 (а); 1058 (б); 1061 (а). Вариант II Решить задачи №№ 1060 (б); 1058 (а); 1061 (б). IV. Итоги урока. Домашнее задание: повторить тему «Векторы», материал пунктов 76–85 и 86–89; решить задачи №№ 1024, 1035. Урок 9 Угол между векторами. Скалярное произведение векторов Цели: познакомить учащихся с понятием угла между векторами; ввести скалярное произведение векторов; рассказать о применении скалярного произведения векторов в физике, механике; развивать логическое мышление учащихся. Ход урока I. Математический диктант (15 мин). Вариант I 1. Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О. какие векторы коллинеарны вектору ? 2. Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О. Какие векторы сонаправлены с вектором ? 3. Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О. Какие векторы равны вектору ? 4. При каком условии ? 5. Известно, что = 3, = 4. Найдите , если АОВD – прямоугольник. 6. В треугольнике СDЕ DЕ = 5, СЕ = 4, угол С = 45°. Найдите сторону DЕ. 7. В треугольнике КLM КL = LМ = 5, КМ = 6. Найдите косинус угла L. 8. В треугольнике ОРQ угол О = 60°, угол Р = 75°, ОР = 8. Найдите сторону РQ. Вариант II 1. Диагонали ромба КLМР пересекаются в точке Т. Какие векторы коллинеарны вектору ? 2. Диагонали ромба КLМР пересекаются в точке Т. какие векторы сонаправлены с вектором ? 3. Диагонали ромба КLМР пересекаются в точке Т. Какие векторы равны вектору ? 4. При каком условии ? 5. Известно, что точки С и D лежат соответственно на осях ОХ и ОY прямоугольной системы координат. Найдите , если = 5, = 12. 6. В треугольнике АВС АВ = ВС = 8, АС = 4. Найдите косинус угла А. 7. В треугольнике ВСD ВС = 6,угол В = 75°, угол С = 45°. Найдите сторону ВD. 8. В треугольнике DЕF DЕ = 6, ЕF = 7,угол Е = 30°. Найдите сторону DF. II. Объяснение нового материала. 1. Ввести понятие угла между векторами и (рис. 300 и таблица). 2. Угол между векторами и не зависит от выбора точки О, от которой откладываются векторы и . 3. Угол между сонаправленными векторами считается равным нулю. 4. Обозначение угла между векторами: . 5. Определение углов между векторами на рисунке 301. 6. Определение перпендикулярных векторов. 7. Повторить по настенным таблицам сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число. 8. Введение еще одного действия над векторами – скалярного умножения векторов. В отличие от суммы и разности векторов скалярное произведение есть число (скаляр) – именно это и обусловило название операции. 9. В тетрадях учащиеся оформляют таблицу: скалярное произведение векторов Если и , то а) (0 ≤ < 90°) <=> ( > 0); б) (90° < ≤ 180°) <=> (< 0); в) <=> ( = 0); г) (= 0°) <=> . 10. Скалярное произведение векторов широко используется в физике. Например, из курса механики известно, что работа А постоянной силы при перемещении тела из точки М в точку N (рис. 303) равна произведению длин векторов силы и перемещения на косинус угла между ними: . III. Закрепление изученного материала. 1. Решить задачи №№ 1039 (а, б, ж, з) и 1040 (а, д, е) по готовым чертежам квадрата и ромба, заранее выполненным на доске. 2. Решить задачу № 1041 (в). Примечание. Сos 135° = cos (180° – 45°) = – cos 45° = . IV. Итоги урока. Домашнее задание: изучение материалов пунктов 101 и 102; повторить материал п. 87; решить задачи №№ 1039 (в, г), 1040 (г), 1042 (а, б). Урок 10 Скалярное произведение в координатах. Свойства скалярного произведения векторов Цели: ввести понятие скалярного произведения в координатах; изучить свойства скалярного произведения векторов и закрепить их знание при решении задач. Ход урока I. Проверочная работа (10 мин). Вариант I 1. Известно, что , где и – координатные векторы. Выпишите координаты вектора . 2. Дан вектор (0; 5). Запишите разложение вектора по координатным векторам и . 3. Даны векторы (–1; 2) и (2; 1). Найдите координаты суммы векторов и . 4. Найдите координаты вектора , если (–3; 0). 5. Даны векторы (5; 6) и (–2; 3). Найдите координаты вектора . 6. Две стороны треугольника равны 7 и 3 см, а угол между ними равен 120°. Найдите третью сторону треугольника. 7. в треугольнике АВС угол А = 45°, АВ = 2, АС = 3. Вычислите . 8. Скалярное произведение ненулевых векторов и равно нулю. Чему равен угол между векторами и ? Вариант II 1. Дан вектор (3; 0). Запишите разложение вектора по координатным векторам и . 2. Известно, что , где и – координатные векторы. Выпишите координаты вектора . 3. Найдите координаты вектора –, если (0; –2). 4. Даны векторы (2; –1) и (3; –1). Найдите координаты разности векторов и . 5. Даны векторы (–1; 9) и (3; –2). Найдите координаты вектора . 6. В треугольнике МРQ угол M = 135°; МР = 5, МQ = 2. Вычислите . 7. Две стороны треугольника равны 3 и 9 м, а угол между ними равен 60°. Найдите третью сторону треугольника. 8. Чему равно скалярное произведение координатных векторов и ? II. Изучение нового материала. 1. Скалярное произведение двух векторов можно вычислить, зная координаты этих векторов. 2. Изучение теоремы о скалярном произведении векторов в координатах и свойств скалярного произведения полезно построить так, чтобы учащиеся сами проводили алгебраические преобразования. Полученные результаты можно записать в тетради и вынести в настенную таблицу: |