конспекты уроков по геометрии. Ход уроков I. Повторение ранее изученного материала
 Скачать 1.6 Mb.
|
|
Ход уроков I. математический диктант (15 мин). Вариант I 1. Лежит ли точка А (2; –1) на окружности, заданной уравнением (х – 2)2 + (у – 3)2 = 25? 2. Напишите уравнение окружности, если ее центр – точка (4; 5), а радиус равен 3. 3. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку М (3; –2) и параллельной оси ординат. 4. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, если она проходит через точку С (–2; 3). 5. Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки М (–2; –1) и N (3; 1). 6. Найдите длину вектора (–12; 5). 7. Найдите координаты середины отрезка PQ, если P (5; –3); Q (3; –7). 8. Найдите координаты вектора , если А (2; –5), В (–3; 4). Вариант II 1. Лежит ли точка А (2; –1) на прямой, заданной уравнением 2х – 3у – 7 = 0? 2. Напишите уравнение окружности, если ее центр – точка (4; 5), а радиус равен 2. 3. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку N (–2; 3) и параллельной оси абсцисс. 4. Напишите уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку D (3; –2). 5. Напишите уравнение окружности с центром в точке Р (–2; –1), если она проходит через точку Q (1; 3). 6. Найдите расстояние между точками А (–1; 3) и В (2; –1). 7. Найдите координаты вектора , равного сумме векторов и , если (–12; 5), (7; –3). 8. Найдите координаты вектора , если С (–1; 6), D (3; –2). II. решение задач. 1. Устно решить задачу № 933. 2. решить устно задачу № 943 по готовому чертежу на доске. Решение Из прямоугольного треугольника АОС по теореме Пифагора находим AC =; из прямоугольного треугольника ВОС находим по теореме Пифагора BC =. 3. Разобрать по учебнику и записать решение задачи № 953 в тетради (подчеркнуть, что теорема: «Сумма квадратов всех сторон параллелограмма, ромба, прямоугольника, квадрата равна сумме квадратов его диагоналей» – используется часто при решении задач по стереометрии в 10 и 11 классах) (рис. 283 учебника). 4. решить задачи №№ 991, 996, 997, 999 на доске и в тетрадях. III. Опрос учащихся по теоретическому материалу. Примерные варианты карточек для устного опроса учащихся. Вариант I 1. Сформулируйте теорему о разложении вектора по двум данным неколлинеарным векторам. 2. Выведите формулы координат середины отрезка по координатам его концов. 3. Напишите уравнение окружности с центром в точке В (4; 0), если она проходит через точку А (7; 4). вариант II 1. Сформулируйте правило нахождения координат разности двух векторов. 2. Выведите формулу для вычисления длины вектора по его координатам. 3. Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки А (–3; –3) и В (3; 5). Вариант III 1. Сформулируйте правило нахождения координат произведения вектора на число по заданным координатам вектора. 2. Выведите уравнение окружности данного радиуса с центром в данной точке, заданной координатами. 3. Найдите координаты середины отрезка АВ, если даны координаты его концов А (–3; 4) и В (3; –6). Вариант IV 1. Сформулируйте утверждение о разложении произвольного вектора по координатным векторам. 2. Выведите уравнение прямой l в прямоугольной системе координат, если l является серединным перпендикуляром к отрезку с концами А (х1; у1) и В (х2; у2). 3. Найдите расстояние между точками М (2; –1) и N (5; –3). IV. решение задач. 1. Решить задачу № 1004. Решение Достаточно доказать, что данные прямые не имеют ни одной общей точки. Для этого запишем уравнения данных прямых так: y = 2x + и y = 2x – 3. Ясно, что эта система несовместна, то есть нет чисел х, у, удовлетворяющих этим двум уравнениям. Геометрически это означает, что данные прямые не имеют ни одной общей точки и, значит, они параллельны. 2. Решить задачу № 1007. Решение Пусть ОАВС – данная трапеция с основаниями ОА = а и ВС = b (пусть а > b) и высотой h. Введем прямоугольную систему координат ОХY так, чтобы точка А лежала на положительной полуоси ОХ, а прямая ВС пересекала положительную полуось ОY. В этой системе координат вершины трапеции будут иметь координаты О (0; 0), А (а; 0), С (с; h) и В (с + b; h), где с – некоторое число. Находим координаты середин М и N диагоналей трапеции и вычисляем расстояние между ними: MN = . Таким образом, MN = (OA – BC). 3. Решить задачу № 1010 (а). Решение Введем систему координат так, чтобы точки А и В имели координаты А (0; 0), В (а; 0), где а = АВ. Пусть М (х; у) – произвольная точка. Условие 2АМ2 – ВМ2 = 2АВ2, записанное в координатах, дает уравнение искомого множества. Оно приводится к виду: (х + а)2 + у2 = (2а)2. Этим уравнением задается окружность радиуса 2а с центром в точке (–а; 0), то есть в точке, симметричной точке В относительно точки А. V. Итоги уроков. Домашнее задание: повторить материал пунктов 86–92; пунктов 66–67 (материал 8 класса); решить задачи №№ 1010 (б), 990, 958, 944, 945, 998. Урок 10 Контрольная работа № 1 Цели: проверить знания, умения и навыки учащихся по усвоению и применению изученного материала. Ход урока I. Организация учащихся на выполнение работы. II. Выполнение работы по вариантам. Вариант I 1. Точки E и F лежат соответственно на сторонах AD и BC параллелограмма ABCD; AE = ED, BF : FC = 4 : 3. Выразите вектор через векторы и . 2. Найдите координаты вектора , если , (3; –2), ( –6; 2). 3. Боковые стороны прямоугольной трапеции равны 15 см и 17 см, средняя линия равна 6 см. Найдите основания трапеции. Вариант II 1. Точки K и M лежат соответственно на сторонах AB и CD параллелограмма ABCD; AK = KB, CM : MD = 2 : 5. Выразите вектор через векторы и . 2. Найдите координаты вектора , если , (–3; 6), (2; –2). 3. Один из углов прямоугольной трапеции равен 120°, бóльшая боковая сторона равна 20 см, средняя линия равна 7 см. Найдите основания трапеции. Вариант III 1. Точки P и O лежат соответственно на сторонах AD и BC параллелограмма ABCD; BP = PC, AO : OD = 3 : 2. Выразите вектор через векторы и . 2. Найдите координаты вектора , если , (6; –2), (1; –2). 3. Основание и средняя линия прямоугольной трапеции равны соответственно 15 см и 12 см, а меньшая боковая сторона равна 8 см. Найдите вторую боковую сторону трапеции. Вариант IV 1. Точки H и T лежат соответственно на сторонах AВ и CD параллелограмма ABCD; CT = TD, AH : HB = 5 : 3. Выразите вектор через векторы и . 2. Найдите координаты вектора , если , (2; 3), (9; –9). 3. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 9 см, а бóльшая боковая сторона равна 24 см. Один из углов, прилежащих к боковой стороне, в два раза больше другого. Найдите основания трапеции. III. Итоги урока. Домашнее задание: повторить материал пунктов 76–87; ответить на вопросы 1–8, с. 249. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА (12 часов) Урок 1 синус, косинус, тангенс. основное тригонометрическое тождество Цели: повторить определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника; ввести понятия синуса, косинуса и тангенса для углов от 0° до 180° и закрепить их знание в ходе решения задач. Ход урока I. Повторение ранее изученного материала. 1. Что называется синусом, косинусом, тангенсом острого угла прямоугольного треугольника? 2. Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством? 3. Чему равны значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60°? II. Изучение нового материала. 1. Ввести понятие единичной полуокружности (рис. 290). 2. Ввести понятие синуса и косинуса для углов 0° ≤ ≤ 180°: sin = y; соs = х. Таким образом, для любого угла б из промежутка 0° ≤ ≤ 180° синусом угла б называется ордината у точки М, а косинусом угла б – абсцисса х точки М, лежащей на единичной полуокружности. 0 ≤ sin ≤ 1; –1 ≤ cos ≤ 1. 3. Нахождение значений синуса и косинуса для углов 0°, 90° и 180°. 4. Определение тангенса угла ( 90°): tg = при 90°; tg 0° = 0; tg 180° = 0. 5. Вывести основное тригонометрическое тождество sin2 + cos2 = = 1, используя рисунок 290. III. Закрепление изученного материала (решение задач). 1. Решить задачи № 1012 (для точек А, В, М1, М2). 2. Решить задачи № 1013 (б) на доске и в тетрадях. Дано: cos =. Найти: sin . Решение sin2 + cos2 = 1; sin2 = 1 – cos2 ; sin =. sin =. Ответ: . 3. Решить задачи № 1014 (а) и № 1015 (г). решение г) sin = и 90° < < 180°. Угол расположен во II четверти, значит, cos < 0. Найдем cos , используя основное тригонометрическое тождество: cos2 = 1 – sin2 cos = ; найдем tg . tg = . Ответ: . IV. Итоги урока. Домашнее задание: изучить материал пунктов 93 и 94; ответить на вопросы 1–4, с. 271; решить задачи № 1012 (для точек М2 и М3), №№ 1013 (б, в), 1014 (б, в), 1015 (б). Урок 2 формулы приведения. формулы для вычисления координат точки Цели: вывести формулы для вычисления координат точки; развивать логическое мышление учащихся при решении задач. Ход урока I. Математический диктант (10–12 мин). Вариант I 1. Стороны прямоугольного треугольника равны 3 см, 4 см и 5 см. Найти синус, косинус и тангенс меньшего острого угла этого треугольника. 2. Катет прямоугольного треугольника равен 6 дм, а противолежащий угол равен 30°. Найдите гипотенузу этого треугольника. 3. Вычисляя синус острого угла, ученик получил число 1,05. Верны ли его вычисления? 4. Найти косинус острого угла, если его синус равен . 5. Найти тангенс острого угла, если его синус равен . 6. Синус острого угла прямоугольного треугольника равен . чему равен косинус второго острого угла этого треугольника? Вариант II 1. Стороны прямоугольного треугольника равны 10 дм, 8 дм и 6 дм. Найти синус, косинус и тангенс большего острого угла этого треугольника. 2. Катет прямоугольного треугольника равен 8 см, а противолежащий угол равен 45°. Найти гипотенузу этого треугольника. 3. Вычисляя косинус острого угла прямоугольного треугольника, ученик получил число 1,05. Верны ли его вычисления? 4. Найти синус острого угла, если его косинус равен . 5. Найти тангенс острого угла, если его косинус равен . 6. Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен . чему равен синус второго острого угла этого треугольника? II. Изучение нового материала. 1. Обсудить с учащимися задачу № 1011. 2. Решить задачу: Используя единичную полуокружность, постройте угол: а) косинус которого равен ; ; 0; –1; б) синус которого равен ; ; 1. Для решения этой задачи полезно заготовить на доске несколько полуокружностей. 3. Предложить учащимся доказать, что синусы смежных углов равны, а косинусы смежных углов выражаются взаимно противоположными числами. 4. Записать формулы приведения: sin (180° – ) = sin ; cos (180° – ) = – cos при 0° ≤ ≤ 180°; sin (90° – ) = cos ; cos (90° – ) = sin при 0° ≤ ≤ 90°. 5. Объяснить учащимся содержание пункта 95 «Формулы для вычисления координат точки». III. Закрепление изученного материала (решение задач). 1. Решить задачу № 1016 на доске и в тетрадях. Решение sin 120° = sin (180° – 60°) = sin 60° = ; cos 120° = cos (180° – 60°) = –cos 60° = ; tg 120° = ; sin 135° = sin (180° – 45°) = sin 45° = ; cos 135° = cos (180° – 45°) = –cos 45° = ; tg 135° = = –1. 2. Решить задачу № 1018 (в). Решение ОА = 5, = 150°; точка А (х; у) имеет координаты x = OA cos = 5 ∙ cos 150° = 5 ∙ cos (180° – 30°) = –5 ∙ cos 30° =; y = OA sin = 5 ∙ sin 150° = 5 ∙ sin (180° – 30°) = 5 ∙ sin 30° = = 2,5. A . Ответ: x = ; y = 2,5. 3. Решить задачу № 1019 (в). Решение A (; 1); x = , y = 1. Решим сначала задачу в общем виде. Если известны координаты х и у точки А и х 0, то из равенств у = ОА ∙ sin , х = ОА ∙ cos , разделив первое из них почленно на второе, получаем , то есть = tg , а из этого равенства можно с помощью таблиц или микрокалькулятора найти значение . x = ОАcos, y = OA sin = ОА cos , 1 = ОА cos , тогда tg = ; tg 30° = , а так как – < 0, то угол расположен во II четверти, значит, – тупойугол. Находим его: = 180° – 30° = 150°. Ответ: 150°. IV. Итоги урока. Задание на дом: изучить материал пунктов 93–95; повторить материал пунктов 52, 66 и 67; решить задачи №№ 1017 (в), 1018 (б), 1019 (г). Урок 3 Решение задач Цели: закрепить знания учащихся в ходе решения задач; развивать умения и навыки при решении задач. Ход урока I. Фронтальное повторение теоретического материала. Использовать настенную таблицу «Тригонометрические функции». 1. Объясните, что такое синус и косинус угла из промежутка 0° ≤ ≤ ≤ 180°. 2. Что называется тангенсом угла ? для какого значения тангенс не определен и почему? 3. Записать основное тригонометрическое тождество. 4. Написать формулы приведения. 5. Написать формулы, выражающие координаты точки А с неотрицательной ординатой через длину отрезка ОА и угол между лучом ОА и положительной полуосью ОХ. II. Решение задач. 1. Решить задачу 1. Найти tg , если: а) cos = ; б) sin = 1. 2. Решить задачу 2. Постройте β, если: а) cos β = ; б) sin β = . 3. Решить задачу № 1018 (г). решение ОА = 1; = 180°; х = ОА cos ; х = 1 · cos 180° = –1; х = –1 y = ОА sin = 1 · sin 180° = 1 · 0 = 0; у = 0. Ответ: х = –1; у = 0. III. Самостоятельная работа контролирующего характера. Вариант I Решить задачи №№ 1015 (а), 1017 (б), 1018 (а), 1019 (а). Вариант II Решить задачи №№ 1015 (в), 1017 (а), 1018 (д), 1019 (б). IV. Итоги урока. Домашнее задание: повторить материал пунктов 93–95; повторить материал п. 52 «Площадь треугольника»; решить задачи №№ 468, 471, 469. Урок 4 Теорема о площади треугольника. Теорема синусов Цели: доказать теорему о площади треугольника и теорему синусов; показать применение этих теорем при решении задач. Ход урока I. Проверка опорных знаний учащихся. Провести математический диктант (10 мин). Вариант I 1. Найдите площадь треугольника, если его основание равно 7 см, а высота равна 4 см. 2. Найдите синус угла, если его косинус равен . 3. Найдите синус угла, если синус смежного с ним угла равен 0,3. 4. Начертите треугольник АВС с тупым углом С. Проведите высоту треугольника из вершины В. 5. Луч ОС образует с положительной полуосью абсцисс угол 60°. Найдите координаты точки С, если ОС = 6 дм. 6. Определите, каким – остроугольным, прямоугольным или тупоугольным – является треугольник, два угла которого равны 43° и 48°. 7. Точка С единичной полуокружности имеет координаты . Найдите угол, который образует луч ОС с положительной полуосью ОХ. Вариант II 1. Найдите площадь треугольника, если его основание равно 10 дм, а высота равна 5 дм. 2. Найдите косинус угла, если его синус равен . 3. Найдите синус угла, если синус смежного с ним угла равен 0,7. 4. Начертите треугольник СDЕ с тупым углом Е. Проведите высоту треугольника из вершины С. 5. Луч ОВ образует с положительной полуосью абсцисс угол 30°. Найдите координаты точки В, если ОВ = 8 дм. 6. Определите, каким – остроугольным, прямоугольным или тупоугольным – является треугольник, два угла которого равны 35° и 56°. 7. Точка А единичной полуокружности имеет координаты . найдите угол, который образует луч ОА с положительной полуосью ОХ. |