конспекты уроков по геометрии. Ход уроков I. Повторение ранее изученного материала
 Скачать 1.6 Mb.
|
|
II. Решение задач. 1. Решить задачу 1. Докажите, что площадь S треугольника АВС вычисляется по формуле: , где Р – периметр треугольника, r – радиус вписанной окружности. Доказательство Пусть О – центр окружности, которая вписана в треугольник АВС и, следовательно, касается сторон треугольника в точках М, N и K.
2. Решить задачу 2. даны стороны треугольника АВС – а, b, с и площадь S. Выразить радиусы окружностей, описанной около треугольника и вписанной в него, через а, b, с и S. Решение 1) Используем результат задачи 1: S =Pr, где Р – периметр треугольника, r – радиус вписанной окружности. Р = а + b + с; 2S = r (а + b + c), отсюда: 2) Радиус R описанной окружности вычисляется по формуле: R =, где – угол, противолежащий стороне а. Из формулы: S =bc · sin получим sin =, тогда 2sin =. Следовательно, R =. 3. Решить задачу № 1099 на доске и в тетрадях. Решение Диагонали А3А7 и А4А8 четырехугольника А3А4А7А8 являются диаметрами окружности, в которую вписан данный восьмиугольник, поэтому они равны и точкой пересечения О делятся пополам. Следовательно, четырехугольник А3А4А7А8 – прямоугольник. Так как угол А3ОА4 = 45°, то согласно задаче 1059 площадь прямоугольника равна R2. 4. Решить задачу № 1105 (в) (объясняет учитель). Решение Пусть АВС – данный треугольник, угол С = 90°, угол В = , АВ = с, ВС = а, СА = b; Р = а + b + с, r – радиус вписанной окружности. Тогда а = с · cos , b = c · sin . Воспользуемся двумя формулами для вычисления площади S треугольника АВС (метод площадей): . Отсюда, получаем, r =, поэтому C = 2πr =. Умножив числитель и знаменатель дроби на cos + sin – 1, после несложных преобразований получаем: c = πc (sin + cos – 1). 5. Решить задачу № 1117 (в). решение Применим метод площадей, то есть воспользуемся двумя формулами для вычисления площади треугольника: S =ab sin и S =Pr, где а и b – длины сторон треугольника, – угол между ними, Р – периметр, r – радиус вписанной окружности. Получим: S =a2 sin и S = r · а. Отсюда находим r, а затем площадь круга: Sкруга = . 6. Решить задачи № 1110, 1138, 1116 (в). Примечание. решения некоторых из них полезно предварительно обсудить, а затем записать в тетрадях, остальные задачи учащиеся могут решить самостоятельно с последующей проверкой ответов или решений. III. Проверочная самостоятельная работа. Вариант I Решить задачи №№ 1125, 1129 (в), 1132 (а), 1134 (а). Вариант II Решить задачи №№ 1128, 1129 (г), 1132 (б), 1134 (б). IV. Итоги уроков. Домашнее задание: подготовиться к контрольной работе, повторив материал пунктов 105–112 и ответив на вопросы 1–12, с. 290 учебника; решить задачи №№ 1104 (г, д), 1105 (б), 1116 (в). Урок 11 Контрольная работа № 3 Цели: проверить умение учащихся решать задачи по изученной теме; выявить пробелы в знаниях учащихся для последующего их устранения. Ход урока I. Организация учащихся для выполнения контрольной работы. II. Выполнение работы по вариантам. Вариант I 1. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 45 см. Найдите сторону правильного восьмиугольника, вписанного в ту же окружность. 2. Найдите площадь круга, если площадь вписанного в ограничивающую его окружность квадрата равна 72 дм2. 3. Найдите длину дуги окружности радиуса 3 см, если ее градусная мера равна 150°. Вариант II 1. Периметр правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равен 48 м. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность. 2. Найдите длину окружности, если площадь вписанного в нее правильного шестиугольника равна 72 см2. 3. Найдите площадь кругового сектора, если градусная мера его дуги равна 120°, а радиус круга равен 12 см. вариант III 1. Периметр квадрата, вписанного в окружность, равен 48 см. найдите сторону правильного пятиугольника, вписанного в ту же окружность. 2. Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами 3 см и 7 см. 3. Найдите площадь фигуры, ограниченной дугой окружности и стягивающей ее хордой, если длина хорды равна 4 м, а градусная мера дуги равна 60°. Вариант IV 1. Периметр правильного пятиугольника, вписанного в окружность, равен 6 дм. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в ту же окружность. 2. Площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром, равна 45π м2, а радиус меньшей окружности равен 3 м. Найдите радиус большей окружности. 3. Найдите площадь фигуры, ограниченной дугой окружности и стягивающей ее хордой, если длина хорды равна 2 см, а диаметр окружности равен 4 см. Домашнее задание: повторить пункт 47 «Осевая и центральная симметрии». ДВИЖЕНИЯ. (8 часов) Уроки 1–3 Отображение плоскости на себя. Понятие движения Цели: ввести понятие отображения плоскости на себя и понятие движения; напомнить построение фигур относительно центра и относительно оси; рассмотреть свойства осевой и центральной симметрии и закрепить их знание при решении задач. Ход уроков I. Анализ контрольной работы. 1. Указать ошибки, сделанные учащимися при решении задач. 2. Решить на доске задачи, вызвавшие затруднения у учащихся. II. Повторение ранее изученного материала. 1. Повторение понятий точек, симметричных относительно данной прямой (оси симметрии), и точек, симметричных относительно данной точки (центра симметрии). 2. В ходе повторения нужно подвести учащихся к понятию сохранения расстояния между точками. Этой цели служат следующие задачи: 1) Для каждого из случаев, представленных на рисунке 1, а, б, в, постройте точки А1 и В1, симметричные точкам А и В относительно прямой l. а б в Рис. 1 2) Существует ли на плоскости такая точка, для которой нет симметричной точки относительно данной прямой? 3) Докажите, что в каждом из рассмотренных в задаче 1 случаев А1В1 = АВ. 4) Постройте точки А1 и В1, симметричные А и В относительно точки О, если: а) точка О лежит на отрезке АВ; б) точка О не лежит на прямой АВ. 5) Существует ли такая точка плоскости, для которой нет точки, симметричной относительно данной точки? 6) Докажите, что в каждом из рассмотренных в задаче 4 случаев А1В1 = АВ. III. Изучение нового материала. 1. Ввести понятие отображения плоскости на себя и проиллюстрировать его примерами осевой и центральной симметрий. Важно подчеркнуть, что при отображении плоскости на себя выполняются два условия: 1) каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то одна точка плоскости и 2) каждая точка плоскости оказывается поставленной в соответствие какой-то точке плоскости. Нужно показать, что в случаях осевой и центральной симметрий выполняются оба условия. В качестве контрпримера можно привести соответствие между точками плоскости, при котором каждой точке плоскости ставится в соответствие ее ортогональная проекция на данную прямую. В этом случае нарушено второе условие отображения плоскости на себя: не каждая точка плоскости оказывается сопоставленной какой-то точке, а именно любая точка, не лежащая на данной прямой, не будет сопоставлена никакой точке плоскости (плоскость отображается не на себя, а на данную прямую). 2. Решить задачи № 1148 (а) и №1149 (а). 3. Ввести понятие движения, опираясь на задачи 3 и 6, рассмотренные в начале урока. В качестве примера отображения плоскости на себя, не являющегося движением, то есть не сохраняющего расстояния между точками, можно рассмотреть центральное подобие (гомотетию) с коэффициентом 2; учащиеся сами могут доказать, что при таком отображении расстояния между точками увеличиваются в два раза. 4. Решить задачу № 1153 для усвоения понятия, а затем по заранее подготовленному рисунку 2 решить следующую задачу: «При движении плоскости точка А переходит в точку М. В какую из обозначенных на рисунке 2 точек может отобразиться при этом движении точка В?». Рис. 2 5. Доказать, что осевая и центральная симметрии являются движениями. После этого рассматривается теорема о том, что при движении отрезок отображается на отрезок, и следствие из нее. В ходе доказательства теоремы полезно акцентировать внимание учащихся на том, что доказательство состоит из двух частей: во-первых, доказывается, что каждая точка Р данного отрезка МN отображается в некоторую точку Р1 отрезка М1N1 и, во-вторых, что в каждую точку Р1 отрезка М1N1 переходит какая-то точка Р данного отрезка МN. IV. Закрепление изученного материала. 1. Разобрать решение задачи № 1150. 2. Решить задачи №№ 1151, 1152 (а, б), 1158. 3. Хотя пункт 115* не является обязательным, учащиеся должны знать, что понятия наложения и движения эквивалентны, а значит, при движении любая фигура переходит в равную ей фигуру. Для лучшего усвоения материала этого пункта полезно обсудить решение задачи № 1156 и решить задачи №№ 1154, 1157, 1155. V. Итоги уроков. Домашнее задание: изучить материал пунктов 113–114; ответить на вопросы 1–13, с. 303 учебника; решить задачи №№ 1149 (б), 1148 (б), 1159, 1160, 1161, 1174. Основные требования к учащимся: в результате изучения параграфа учащиеся должны уметь объяснить, что такое отображение плоскости на себя; знать определение движения плоскости; уметь доказывать, что осевая и центральная симметрии являются движениями и что при движении отрезок отображается на отрезок, а треугольник – на равный ему треугольник; уметь решать задачи типа задач №№ 1152, 1159, 1161. Урок 4 Параллельный перенос Цели: ввести понятие параллельного переноса, доказать, что параллельный перенос является движением; научить решать задачи с использованием параллельного переноса. Ход урока I. Проверка изученного материала. 1. По таблицам «Центральная симметрия» и «Осевая симметрия» повторить построение геометрических фигур и свойства движения. 2. Ответить на вопросы 1–13 на с. 303. II. Изучение нового материала. Теоретический материал пункта 116 можно изложить в виде лекции, используя таблицу «Параллельный перенос». 1. Определение параллельного переноса. 2. Доказательство утверждения, что параллельный перенос является движением (рис. 329). 3. При параллельном переносе прямая отображается на параллельную ей прямую или сама на себя. Отсюда следует простой способ построения образов прямых и отрезков при параллельном переносе. 4. Построение образов прямых и отрезков при параллельном переносе учителем на доске, а учащимися в тетрадях. III. Закрепление изученного материала. 1. Решить задачи № 1162 и №1163 (б) на доске и в тетрадях. 2. Решить задачу № 1164. IV. Итоги урока. Домашнее задание: изучить материал пункта 116; решить задачи №№ 1163 (а), 1165. Принести циркули и транспортиры. Уроки 5–6 Поворот Цели: ввести понятие поворота; доказать, что поворот является движением; научить учащихся построению геометрических фигур при повороте фигуры на данный угол. Ход уроков I. Проверочная работа (15 мин). На отдельных листочках учащиеся выполняют построения, а затем сдают учителю работы на проверку. Задачи: 1) Даны треугольник МNK и точка О. Постройте фигуру F, на которую отображается треугольник MNK при центральной симметрии с центром О. 2) Даны прямая l и четырехугольник РМЕС. Постройте фигуру F, на которую отображается данный четырехугольник при осевой симметрии с осью l. 3) Даны окружность с центром О и прямая l. Постройте фигуру F, на которую отображается данная окружность при осевой симметрии с осью l. II. Объяснение нового материала (лекция). Теоретический материал пункта «Поворот» можно изложить в форме лекции. 1. Определение поворота плоскости вокруг точки О на угол (рис. 330). 2. Поворот вокруг точки О по часовой стрелке или против часовой стрелки (использовать таблицу «Поворот»). 3. Доказательство утверждения, что поворот является движением, то есть отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния (рис. 331). III. Закрепление изученного материала. 1. Решить задачу № 1166 на доске и в тетрадях. Примечание. В ходе решения этой задачи полезно подчеркнуть, что поворот вокруг точки на 180° по часовой стрелке совпадает с поворотом вокруг этой же точки на 180° против часовой стрелки и является центральной симметрией. 2. Решить задачи № 1167 и №1169 (учащиеся могут выполнить эти задания самостоятельно с последующим обсуждением). 3. Полезно предложить учащимся самостоятельно изучить решение задачи № 1171 (а), приведенное в учебнике, выполнить необходимые построения, а затем можно обсудить это решение. Важно подчеркнуть, что решение рассмотренной задачи дает еще один способ построения прямой, на которую отображается данная прямая при повороте вокруг данной точки. 4. Рассмотреть с учащимися следующие задачи: 1) Через центр квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что их точки пересечения со сторонами квадрата являются вершинами другого квадрата. 2) Докажите, что при повороте правильного треугольника АВС вокруг вершины А на 60° либо вершина В переходит в вершину С, либо вершина С переходит в вершину В. 5. Решить задачу № 1170 (б). IV. Самостоятельная работа (обучающего характера). Вариант I 1. В трапеции АВСD боковые стороны АВ и СD равны. 1) Постройте отрезок СА1, на который отображается сторона АВ при параллельном переносе на вектор . 2) Найдите площадь треугольника А1СD, если АD = 10 см, ВС = 4 см, АВ = 6 см. 2. Докажите, что правильный шестиугольник при повороте на 60° вокруг своего центра отображается на себя. Вариант II 1. Точка М – середина стороны АС треугольника АВС. 1) Постройте отрезок МВ1, на который отображается сторона АВ при параллельном переносе на вектор . 2) Найдите периметр треугольника МDС, где D – точка пересечения отрезков ВС и МВ1, если периметр треугольника АВС равен 12 м. 2. Докажите, что правильный пятиугольник при повороте на 72° вокруг своего центра отображается на себя. V. Итоги уроков. Домашнее задание: изучить материал пунктов 116–117; ответить на вопросы 14–17, с. 304 учебника; решить задачи № 1168, 1170 (а), 1171 (б), 1183; подготовиться к устному опросу по карточкам, повторив материал пунктов 113–114. Урок 7 Решение задач Цели: закрепить знания учащихся по теме «Движения», развивать умение решать задачи с применением движений. |