конспекты уроков по геометрии. Ход уроков I. Повторение ранее изученного материала
 Скачать 1.6 Mb.
|
|
II. Решение задач. 1. решить задачу № 782 на доске и в тетрадях.
тогда Из треугольника ABG по правилу сложения векторов имеем отсюда 2. решить задачу № 802 на доске и в тетрадях. III. Проверочная самостоятельная работа. Вариант I 1. Начертите два неколлинеарных вектора и так, что = 3 см, = 2 см. Постройте 2. Четырехугольник KMNP – параллелограмм. Выразите через векторы и векторы и , где А – точка на стороне PN, такая, что PA : AN = 2 : 1, B – середина отрезка MN. Вариант II 1. Начертите два неколлинеарных вектора и так, что = 2 см, = 3 см. Постройте вектор 2. В параллелограмме ABCD точка M – середина стороны CD; N – точка на стороне AD, такая, что AN : ND = 1 : 2. Выразите векторы и через векторы и . Вариант III (для более подготовленных учащихся) 1. В треугольнике ABC угол C = 90°, AC = 3 см, BC = 4 см. Постройте вектор 2. В трапеции ABCD AB || CD, AB = 3CD. Выразите через векторы и векторы и , где M – середина стороны BC, а N – точка на стороне AB, такая, что AN : NВ = 2 : 3. IV. Итоги урока. Домашнее задание: повторить материал пунктов 76–83; ответить на вопросы 1–17, с. 213–214 учебника; решить задачи №№ 783 и 804. Урок 7 Применение векторов к решению задач Цели: на конкретных примерах показать применение векторов при решении геометрических задач; развивать логическое мышление учащихся, учить решать задачи. Ход урока I. Анализ результатов самостоятельной работы. 1. Указать ошибки учащихся при выполнении работ. 2. Решить задачи, вызвавшие затруднения у учащихся. II. Повторение изученного материала. 1. Ответить на вопросы на с. 213–214. 2. Вспомнить основные правила действий с векторами. 3. Решить задачи на доске и в тетрадях: 1) Упростите выражение 2) Найдите вектор из условия 4. Записать в тетрадях таблицу перевода с «геометрического» языка на «векторный»:
III. Работа по учебнику. 1. Векторы могут использоваться для решения геометрических задач. Рассмотрим вспомогательную задачу. 2. Разобрать решение задачи 1 на с. 208 учебника по рис. 264. IV. Решение задач. 1. Решить задачу 2. Точки M и N – середины сторон AB и CD четырехугольника ABCD. Докажите, что Решение Пусть О – произвольная точка. Согласно задаче 1 из п. 84 имеем поэтому . Примечание. Результат задачи 2 можно использовать при доказательстве теоремы о средней линии трапеции на следующем уроке. 2. Решить задачу 3. Точка С лежит на отрезке AB, причем АС : СВ = = 2 : 3. Докажите, что для любой точки О справедливо равенство Решение По условию AC : CB = 2 : 3, поэтому Но Следовательно, откуда получается Примечание. Задача 3 является частным случаем более общей задачи 806. 3. Решить задачу № 784 на доске и в тетрадях. 4. Решить задачу № 786 на доске и в тетрадях. Решение Так как точка А1 – середина стороны ВС, то . Далее 5. При наличии времени решить задачу 4.
Решение Пусть О – произвольная точка. Согласно задаче 1 из п. 84 . Аналогично, . Из этих равенств следует, что Отсюда следует, что PQ || AE и PQ = AE. V. Итоги урока. Домашнее задание: повторить материал пунктов 76–84; разобрать решения задачи 2 из п. 84 и задачи № 788 и записать в тетрадь; решить задачу № 785. Урок 8 Средняя линия трапеции Цели: ввести понятия средней линии трапеции; доказать теорему о средней линии трапеции с помощью векторов; упражнять учащихся в решении задач. Ход урока I. Проверка усвоения учащимися материала. 1. Устно ответить на вопросы: 1) Какие векторы называются коллинеарными? Изобразите на рисунке сонаправленные векторы и и противоположно направленные векторы и . 2) Какой вектор называется произведением данного вектора на данное число? 3) Могут ли векторы и быть неколлинеарными? 4) Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число. 2. Решить задачу на доске и в тетрадях по готовому чертежу:
. Из условия следует, что , поэтому . Таким образом, векторы и коллинеарны, и, значит, точки K1, K2 и K3 лежат на одной прямой. II. Объяснение нового материала. 1. Определение трапеции. Виды трапеций. 2. Определение средней линии трапеции. 3. Доказательство теоремы о средней линии трапеции (проводит сам учитель). При доказательстве теоремы целесообразно использовать результат задачи 2, решенной на предыдущем уроке. Доказательство можно оформить на доске и в тетрадях в виде следующей краткой записи: Дано: ABCD – трапеция, AD || BC, M – середина стороны AB; N – середина стороны CD (рис. 266 учебника). Доказать: MN || AD, MN = . Доказательство 1) Согласно рассмотренной в классе задаче 1 . 2) Так как , то и, значит, MN || AD. 3) Так как , то = AD + BC, поэтому MN = (AD + BC). III. Закрепление изученного материала (решение задач). 1. Решить на доске и в тетрадях задачу № 793. Решение Пусть a и b – основания трапеции, тогда а + b = 48 – (13 + 15) = = 20 (см); средняя линия MN = = 10 (см). Ответ: 10 см. 2. Решить задачу № 795. 3. Решить задачу № 799 на доске и в тетрадях.
отрезок KD равен средней линии трапеции. Значит, средняя линия трапеции равна 7 см. Ответ: 7 см. IV. Проверочная самостоятельная работа. Вариант I Точка K делит отрезок MN в отношении MK : KN = 3 : 2. Выразите вектор через векторы и , где A – произвольная точка. Вариант II Точка A делит отрезок EF в отношении EA : AF = 2 : 5. Выразите вектор через векторы и , где K – произвольная точка. V. Итоги урока. Домашнее задание: изучить материал пункта 85; ответить на вопросы 18–20, с. 214 учебника; решить задачи №№ 787, 794, 796. Основные требования к учащимся: В результате изучения параграфа учащиеся должны знать, какой вектор называется произведением вектора на число; уметь формулировать свойства умножения вектора на число; знать, какой отрезок называется средней линией трапеции; уметь формулировать и доказывать теорему о средней линии трапеции; уметь решать задачи типа №№ 782–787; 793–799. МЕТОД КООРДИНАТ (10 часов) Урок 1 Разложение вектора по двум данным неколлинеарным векторам Цели: доказать лемму о коллинеарных векторах и теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам и закрепить их знание в ходе решения задач. Ход урока I. Анализ результатов самостоятельной работы. II. Устная работа. 1. Устно решить задачи по заранее заготовленному чертежу на доске: Дан параллелограмм ABCD с диагоналями AC и BD, пересекающимися в точке О, а также отрезки MP и NQ, соединяющие соответственно середины сторон AB и CD, BC и AD. Требуется выразить: 1) вектор через вектор ; 2) вектор через вектор ; 3) вектор через вектор ; 4) вектор через вектор . 2. Вопрос учащимся: можно ли для любой пары коллинеарных векторов подобрать такое число, что один из векторов будет равен произведению второго вектора на это число? III. Изучение нового материала. 1. Формулировка леммы о коллинеарных векторах. Для понимания учащимися формулировки леммы полезно обсудить, во-первых, почему важно условие и, во-вторых, будет ли верно утверждение, если рассматривать произвольные (в том числе и неколлинеарные) ненулевые векторы. 2. Доказательство леммы. 3. Решить задачу по рисунку параллелограмма ABCD на доске (тем самым подвести учащихся к мысли о возможности выражения вектора через два данных неколлинеарных вектора): Точки M и Q – середины сторон AB и AD параллелограмма ABCD. Выразите: 1) вектор через векторы и ; 2) вектор через векторы и ; 3) вектор через векторы и ; 4) вектор через векторы и . 4. Рассмотреть теорему о разложении вектора по двум данным неколлинеарным векторам, в ходе ее доказательства полезно обратить внимание на роль леммы в доказательстве. IV. Закрепление изученного материала (решение задач). 1. Решить задачи № 911 (а, б); № 912 (б, в). 2. Решить задачи № 915 (по готовому чертежу) и № 916 (а, б). V. Итоги урока. Задание на дом: изучить материал пункта 86; решить задачи №№ 911 (в, г), 912 (ж, е, з), 916 (в, г). Урок 2 Координаты вектора Цели: ввести понятие координат вектора и рассмотреть правила действий над векторами с заданными координатами. Ход урока I. Проверка домашнего задания. 1. Устно решить задачи: 1) назвать числа х и у, удовлетворяющие равенству: ; ; 2) задача № 913. 2. На доске двое учащихся решают задачи №№ 911 (в) и 912 (и, к). II. Изучение нового материала. 1. Напомнить задание прямоугольной системы координат и начертить ее. 2. Ввести координатные векторы и (рис. 275). 3. Нулевой вектор можно представить в виде ; его координаты равны нулю: (0; 0). 4. Координаты равных векторов соответственно равны. 5. Рассмотреть правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число (доказательства указанных правил учащиеся могут рассмотреть самостоятельно). 6. Записать в тетрадях правила: и – данные векторы 1) ; 2) ; 3) . III. Закрепление изученного материала (решение задач). 1. Решить задачу № 917 на доске и в тетрадях. 2. Устно по рисунку 276 решить задачу № 918. 3. Решить задачу № 919 (самостоятельно). 4. Решить задачу № 920 (а, в) на доске и в тетрадях. 5. Устно решить задачи № 922–925, используя правила, записанные в тетрадях. 6. Записать утверждение задачи № 927 без доказательства: 1) Если два вектора коллинеарны, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого: если коллинеарен вектору , то x1 : x2 = y1 : y2. 2) Если координаты одного вектора пропорциональны координатам другого вектора, то эти векторы коллинеарны. 7. Решить задачу № 928. Решение Используем условие коллинеарности векторов: . 1) (3; 7) и (6; 14), так как ; 2) (–2; 1) и (2; –1), так как . IV. Самостоятельная работа контролирующего характера. Вариант I Решить задачи № 912 (а, г); № 920 (г); № 988 (а, б); № 921 (а, в); № 914 (а). Вариант II Решить задачи №№ 912 (в, д); 920 (д); 988 (в, г); 921 (б, г); 914 (б). V. Итоги урока. Домашнее здание: подготовиться к устному опросу по карточкам, повторить материал пунктов 76–87; ответить на вопросы 1–20, с. 213–214 и на вопросы 1–8, с. 249 учебника; решить задачи №№ 798, 795; 990 (а) (для векторов и ). Урок 3 Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца. Простейшие задачи в координатах Цели: рассмотреть связь между координатами вектора и координатами его начала и конца; разобрать задачи о нахождении координат середины отрезка, о вычислении длины вектора по его координатам и нахождении расстояния между двумя точками. Ход урока I. Анализ результатов контрольной работы. 1. Указать ошибки, сделанные учащимися при выполнении работы. 2. Решить на доске задачи, вызвавшие затруднения у учащихся. II. Изучение нового материала (лекция). 1. Рассмотреть по учебнику рис. 277 и рис. 278 и ввести понятие радиус-вектора . Без доказательства записать в тетрадях утверждения: а) координаты точки М равны соответствующим координатам ее радиус-вектора; б) каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала: џ Устно решить задачу № 934. 2. Введение системы координат дает возможность изучать геометрические фигуры и их свойства с помощью уравнений и неравенств и, таким образом, использовать в геометрии методы алгебры. Такой подход к изучению свойств геометрических фигур называется методом координат. 3. Рассмотрим три вспомогательные задачи. 1) Координаты середины отрезка. Используя формулу из п. 84 (1) и координаты векторов записать равенство в координатах: отсюда x = ; y = . Вывод: каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов. џ Устно решить задачу № 936. 2) Вычисление длины вектора по его координатам. Используя рис. 280 учебника, вывести формулу , если џ Устно решить задачу № 938. 3) Расстояние между двумя точками. Пусть точка M1 (x1; y1) и точка M2 (x2; y2); тогда вектор (x2 – x1; y2 – y1); следовательно, длина этого вектора может быть найдена по формуле но = d, таким образом, расстояние d между точками M1 (x1; y1) и M2 (x2; y2) выражается формулой d = џ Решить задачу № 940 (а, б) на доске и в тетрадях. III. Закрепление изученного материала (решение задач). 1. Решить задачу № 939. Решение Найти расстояние от точки М (3; –2): а) до оси абсцисс; точка В (x; y) лежит на оси абсцисс; тогда расстояние равно 2; б) расстояние до оси ординат равно 3; в) до начала координат равно d = 2. Решить задачу № 941 на доске и в тетрадях. Решение PΔ = MN + NP + MP; MN = NP = MP = PΔMNP = . |