конспект лекций по математике для 38.08. Математика конспект лекций 1 курс спо. I. Числовые системы и приближенные вычисления Введение. Развитие понятия числа

• Название: I. Числовые системы и приближенные вычисления Введение. Развитие понятия числа
• Анкор: конспект лекций по математике для 38.08.05
• Дата: 09.11.2022
• Размер: 1.06 Mb.
• Имя файла: Математика конспект лекций 1 курс спо.docx
• Тип: Конспект; #779472
• страница: 7 из 9

Занятие 1.7 Системы нелинейных уравнений

1. 
   Понятие системы нелинейных уравнений.
   
2. 
   Решение систем нелинейных уравнений.
   
3. 
   Вычисления при помощи МК.
   

Система уравнений, в которой хотя бы одно из уравнений содержит переменную во второй или выше степени называется нелинейной системой уравнений. Решить систему – значит найти все ее решения. Решением системы называется пара чисел, удовлетворяющая каждому из уравнений системы. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Система называется определенной, если она имеет конечное число решений, и неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений.

Две системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

При решении систем нелинейных уравнений наиболее широко используются методы: 1. подстановки; 2. алгебраического сложения; 3. графический; 4. искусственные приемы (применение формул сокращенного умножения, введения новой переменной, использование теоремы Виета и т.д.).

Рассмотрим примеры решения систем уравнений.

1. Решить способом подстановки.



первое уравнение содержит одну переменную, можно выписать это уравнение и решить его.



и тогда, подставив полученные значения и во второе уравнение, получаем



Получаем две пары чисел , которые являются решением данной системы уравнений. Ответ: (5; –4); (4; 5).

2. Решить способом алгебраического сложения



Видим, что каждое из уравнений содержит , сложим почленно и получаем уравнение относительно одной переменной.



И тогда имеем и , т.к. системы содержат только , а , то можно решить только одну из систем и получить значения y



И тогда решением системы будут и .

3. Решить графически



Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отысканию координат общих точек графиков уравнений:

– окружность с центром (0; 0) и R = 5

– гипербола

x	2	3	4	6	–1	–2	–3	–4	–6
y	6	4	3	2	–12	–6	–4	–3	–2

Имеем пары чисел (3; 4); (4; 3); (–3; –4); (–4; –3) которые определяют координаты четырех точек.

4. Решить систему уравнений введением новой переменной.

л евая часть каждого из уравнений системы есть однородный (одинаковой степени) многочлен относительно переменных x и y.

Пусть y = xt



, т.к. тогда и , что невозможно.



Решаем уравнение относительно t



Теперь можно записать системы уравнений

и

Решаем способом подстановки первую систему:



Аналогично решение второй системы:



Таким образом получаем пары чисел:

4.

Пусть и , тогда имеем систему уравнений



Применим способ алгебраического сложения

, тогда

Следовательно имеем систему уравнений



подставив значение в любое из уравнений системы



т.е. решением системы является пара чисел



Решаем второе уравнение относительно y;

по теореме Виета имеем ,

тогда , т.е. решением системы будут пары чисел и


6



упростим первое уравнение системы с помощью введения новой переменной

Пусть , тогда и уравнение имеет вид т.к. то



и тогда имеем системы

и

Решаем эти системы относительно x и y



Ответ: (9; 4); (–4; –9).

Замечание. При решении систем нелинейных уравнений предварительно надо решить, каким методом может быть решена система, какие надо выполнить преобразования, какие операции приводят к упрощению систем.

Самостоятельно:

1) 3)

2) 4)

Вычислить при помощи МК.