конспект лекций по математике для 38.08. Математика конспект лекций 1 курс спо. I. Числовые системы и приближенные вычисления Введение. Развитие понятия числа

Название	I. Числовые системы и приближенные вычисления Введение. Развитие понятия числа
Анкор	конспект лекций по математике для 38.08.05
Дата	09.11.2022
Размер	1.06 Mb.
Формат файла
Имя файла	Математика конспект лекций 1 курс спо.docx
Тип	Конспект #779472
страница	2 из 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Занятие 1.2 Мнимая единица. Комплексные числа. Действия над комплексными числами.

Мнимая единица. Степень мнимой единицы.
Множество комплексных чисел, их геометрическая интерпретация
Модуль и аргумент комплексного числа.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение во вторую и третью степень).
Элементарные вычисления с помощью МК.

х² + 4 = 0 х² = - 4 во множестве R решений нет

бозначим:

Множество действительных чисел и мнимая единица составляют множество комплексных чисел, тогда

i ²³ = i ³ = - i (23 : 4 = 4

5 + 3)
i ²³ = i ²⁰

i ³ = 1

(-i) = - i
i ⁴⁸ = i⁰ = 1 i ¹⁰ i ⁸ i ² = 1 (-1) = -1 i ¹⁴ = i ² = - 1 i ²⁵ = i ¹ = i
i ¹⁰³ = i³ = - i 2 i³ - 7 i ⁸ + 5 i ⁹ + 4 i¹⁰ = - 2 i - 7 + 5 i - 4 = - 11 + 3 i
Число Z = a + b i - комплексное число (алгебраическая форма записи)

а - действительная часть числа

b i - мнимая часть числа

a + b i = a₁ + b₁ i если а = а₁ b = b₁

a + b i и a - b i называются сопряженными

Например
2 - 3 i и 2 + 3 i
- 4 - i и - 4 + i , т. е. отличаются знаком перед мнимой частью

Числа a + b i и - a - b i называются противоположными

Например
- 3 - 4 i и 3 + 4 i
- 5 + 2 i и 5 - 2 i , т.е. отличаются знаками и перед мнимой и перед действительной частями

Комплексные числа изображаются геометрически точкой (a; b) или радиусом - вектором, проведенным к этой точке из начала координат

Z
Z ₁ = 5i Z ₂ = 2

Z ₃ = - 3i Z ₄ = - 4i

= 3 - 4 i Z = - 2 + 3 i

Изобразите числа:
Z = - 7 + 2 i Z = - 9 - i
Z = - 1 - 4 i Z = 12
Z = - 5 i Z = 6 i
Z = - 4 Z = - 3 - 2 i
Итак: a + bi

a

OX I ч  > 0 острый
b

OY II ч  > 0 тупой  = 180 ⁰ - ₁
III ч  < 0; тупой  = - (180 ⁰ - ₁)
IV ч  < 0; острый

– модуль комплексного числа

аргумент комплексного числа
Найти модуль и аргумент комплексного числа:
а

) Z = 5 + 2 i

) Z = - 3 + 7 i

в) Z = - 5 - i

г) Z = 3 - 5 i

Для чисел, состоящих только из мнимой или только действительной частей нахождение

упрощается:
1 ) Z = 2
2 = 2 + 0i Число находится на "ОХ"

2) Z = 3i
3i = 0 + 3i Число находится на "ОУ"

3) Z = - 4

Число находится на "ОХ" (влево)

4 ) Z = - 7 i

Число находится на "ОУ" (вниз)

Самостоятельно

Найти модуль и аргумент комплексного числа

1. Z = - 4 + 3 I 3. Z = - 3 - 7 I 5. Z = - 7 I 7. Z = 3 i

2. Z = - 2 - 5 I 4. Z = 5 + I 6. Z = 2 8. Z = - 4

Z₁ = a ₁ + b ₁ i

Пусть даны числа: Z₂ = a ₂ + b ₂ i

Рассмотрим действия над числами
Сложение
Z₁+ Z₂ = (a ₁ + b ₁ i) + (a ₂ + b ₂ i) = a ₁ + b ₁ i + a ₂ + b ₂ i = (a ₁ + a ₂) + (b ₁ + b ₂) i
Вычитание
Z₁- Z₂ = (a ₁ + b ₁ i) - (a ₂ + b ₂ i) = a ₁ + b ₁ i - a ₂ - b ₂ i = (a ₁ - a ₂) + (b ₁ - b ₂) i
Умножение
Z₁Z₂ = (a ₁ + b ₁ i)

(a ₂ + b ₂ i) = a ₁a ₂ + b ₁а ₂i + a ₁b ₂ i + b₁b ₂i ² =
= a ₁a ₂ + i (b ₁а ₂ +a ₁b ₂) - b ₁b ₂ = (a ₁a ₂ - b₁b ₂) + (b ₁а ₂ +a ₁b ₂) i
Например
1) (3 - 5 i)

(- 3 + i) = - 9 + 15 i + 3 i - 5 i ² = - 9 +18 i + 5 = - 4 + 18i;
т.к. i ² = - 1, то -5

(-1) = 5

2) (2 - 3 i)

(2 + 3 i) = 4 - 9 i ² = 4 + 9 = 13

( a + b i )

( a - b i ) = a ²- b ² i ² = a ² + b²

( a + b i )

( a - b i ) = a ² + b²

Сумма квадратов
Сумма квадратов разлагается на множители только во множестве комплексных чисел

Деление

конкретно на примере:

Возведение в квадрат, куб (используем формулы сокращенного умножения)
Z = ( a + b i ) ²= a ² + 2 a b i + b ² i ² = a ²+ 2 a b i - b ²;
например:
1) ( - 4 + i ) ² = 16 - 8 i + i² = 16 - 8 i - 1 = 15 - 8 i
2) ( 2 - 3 i ) ³ = 8 - 3

2²3 i + 3

( - 3 i ) ² - 27 i ³ = 8 - 36 i + 54 i ² - 27 i ³ =
= 8 - 36 i - 54 + 27 i = - 46 - 9 i
Выполнить действия

при этих действиях использованы правила: i ³ = - i; i ² = - 1; ( a - b ) ² = a ² - 2 a b + b ², а теперь разделим, для этого умножим знаменатель на сопряженное ему число ( - 5 + 12 i) , а чтобы дробь не изменилась умножаем и числитель на это число, т.е.