конспект лекций по математике для 38.08. Математика конспект лекций 1 курс спо. I. Числовые системы и приближенные вычисления Введение. Развитие понятия числа

• Название: I. Числовые системы и приближенные вычисления Введение. Развитие понятия числа
• Анкор: конспект лекций по математике для 38.08.05
• Дата: 09.11.2022
• Размер: 1.06 Mb.
• Имя файла: Математика конспект лекций 1 курс спо.docx
• Тип: Конспект; #779472
• страница: 3 из 9

Занятие 1.3 Уравнения и неравенства с одной переменной, их решение.

1. 
   Уравнения I–II степени с одной переменной
   
2. 
   Неравенства I–II степени с одной переменной
   
3. 
   Системы неравенств с одной переменной
   
4. 
   Метод интервалов
   
5. 
   Вычисления с помощью МК
   
6. 
   Выдача домашнего задания № 1
   

– линейное уравнение I степени с одной переменной

– уравнение II степени с одной переменной

Р


ешить уравнение – значит найти множество его корней или доказать, что их нет. это множество называют решением уравнения.

Два уравнения называются равносильными если решение (корень) одного уравнения является решением (корнем) другого уравнения и наоборот.

Уравнения равносильны, так как оба имеют единственный корень .

Уравнения и – неравносильны, так как является корнем первого уравнения, но не удовлетворяет второму уравнению.

Уравнения и неравносильны, так как корень первого уравнения , а второе уравнение кроме этого корня имеет еще корень , который не является корнем первого уравнения.

Решим уравнения:



раскроем скобки, применяя формулы сокращенного умножения и





приведем подобные члены, получим

Ответ: – корень уравнения.

разложим на множители

перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем дроби к общему знаменателю



дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, т. е.


Решаем уравнение

(корни можно найти по теореме Виета)

Так как – посторонний корень и решением уравнения будет . Ответ: .


уравнение не имеет действительных корней. Найдем мнимые корни.

(мы знаем, что – мнимая единица)




Самостоятельно


– неравенства I степени с одной переменной

– неравенства II степени с одной переменной
Решить неравенство – значит найти множество значений переменной, при которых это неравенство является верным.

Два неравенства называются равносильными, если множество решений этих неравенств совпадают.

Решим неравенства

а)

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю. общий знаменатель 10; так как знаменатель не содержит переменной, то есть сразу видно чт часть и приведем к общему знаменателю. общий знаменатель 10; так как знаменатель не содержит перемено он не равен нулю, то в дальнейшем его можно не писать (опустить).


б)

, то есть

Используя свойства числовых неравенств, имеем

, знак неравенства меняется на противоположный


Или можно записать в виде системы неравенств





в)




Решаем две системы



Ответ: .

г)

умножим на (–1)



квадратное неравенство

Найдем корни уравнения



Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а точки пересечения параболы и оси OX

Изобразим геометрически:



или


или

п олучаем три интервала, в которых определяем знак трехчлена. Так как мы решаем неравенство , то решением неравенства будет промежуток (интервал)


д ействительных корней нет, так как ветви параболы направлены вверх, то парабола не пересекает ось и расположена выше её, где всегда > 0,
а мы решаем неравенство , значит данное неравенство не имеет решения.


у равнение не имеет действительных корней, т.е. парабола не пересекает ось, ветви параболы направлены вверх,

а так как мы решаем неравенство , то оно имеет множество решений, т.е. .

то оно имеет множество решений, т.е. е пересекает ось, ветви параболы направлены вверх, т.е. даж) – дробно–рациональное неравенство, которое может быть решено или через системы неравенств или методом интервалов. Перенесем правую часть в левую, приведем подобные члены



Решим через системы неравенств. Дробь < 0, если числитель и знаменатель имеют разные знаки, т.е.



(Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю).

При решении системы неравенств надо решить каждое неравенство и выбрать общие промежутки.

Решаем




система не имеет решения. Следовательно решением данного неравенства является .

Метод интервалов позволяет ускорить процесс решения неравенства корни и .





Метод интервалов позволяет решать не только неравенства II степени, дробно–рациональные но и более высоких степеней.

находим корни многочлена



всегда, т.е. действительных корней нет.



Отметим корни на числовой прямой, учитываем, что числитель может быть равен нулю.

т олько определяем знак выражения в каждом промежутке



и тогда решением неравенства является .

М ожно несколько ускорить процесс определения знака в промежутках.

В промежутке больше большего корня всегда выражение больше нуля, а затем, если корень повторяется нечетное число раз (кратность его нечетная), то знаки в промежутках справа и слева от корня изменяются, а если кратность корня четная, то знак справа и слева от корня не изменяется.





, так как , то можно записать

и тогда
Самостоятельно:



Вычисления с помощью МК:

8) 9) 10)

11) 12)
Выдается домашнее задание № 1 (решение уравнений и неравенств, приложение № 1).