Главная страница
Навигация по странице:

  • Теорема 2.3. Кантора-Бернштейна.

  • 2.2. Множества мощности континуум

  • Пример 1

  • Теорема 2.4 (Г.Кантор)

  • Теорема 2.5 (Г.Кантор)

  • Теорема 2.6 (Г.Кантор).

  • Раздел 1_РЕД_2. I. основы теории множеств. Системы счисления комбинаторика


    Скачать 9.96 Mb.
    НазваниеI. основы теории множеств. Системы счисления комбинаторика
    АнкорРаздел 1_РЕД_2.doc
    Дата29.11.2017
    Размер9.96 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаРаздел 1_РЕД_2.doc
    ТипДокументы
    #10536
    страница3 из 17
    1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17

    Рис. 2.2 Рис. 2.3


    Замечание. Задачу можно решить, непосредственно указав взаимно однозначное отображениеf: AN. Например, так, как показано на рис. 2.3.

    Для практического сравнения мощностей множеств также может быть использована теорема, сформулированная Кантором и доказанная Шредером и Бернштейном.

    Теорема 2.3. Кантора-Бернштейна. Пусть А и В — некоторые произвольные множества. Если А эквивалентно некоторому подмножеству В1 множества В, а В — некоторому подмножеству А1 из А, то А эквивалентно В:А=В.

    Доказательство производится путем построения взаимно однозначного отображения между А и В.

    2.2. Множества мощности континуум

    Рассмотрим одну из возможных процедур, позволяющую получать множества с мощностью, превышающей некоторую исходную.

    Определение. Множеством всех подмножеств или булеаном множества М называют множество, состоящее из всех подмножеств М. Обозначают его через [M].

    Пример 1М = {a, b}. [М] = {, a, b, (a, b)}.

    Пример 2М = {1, 2, 3}. [М] = {, 1, 2, 3, (1, 2), (1, 3), (2, 3), (1, 2, 3)}.

    У конечных множеств М мощность [М] равна 2М. Поэтому для множества всех подмножеств (булеана) также применяют обозначение 2М.

    Пример 3М = N = {1, 2, 3, ...}. В [М] войдут:

    а) нулевой элемент ;

    б) все натуральные числа поодиночке;

    в) все возможные их сочетания по 2, 3, 4 и т. д. (конечной длины);

    г) все возможные сочетания натуральных чисел счетной длины.

    Теорема 2.4 (Г.Кантор). При М  справедливо: M<[М], т.е. мощность любого непустого множества М меньше мощности множества его подмножеств.

    Доказательство. Для конечных множеств утверждение очевидно, т.к. при n 1 выполняется условие n <2n.

    Рассмотрим бесконечные множества. Так как М  [М], то всегдаM[М]. Докажем утверждение теоремы от противного. Допустим,M=[М]. По определению эквивалентности множеств это означает, что существует взаимно однозначное отображение f:M[М], которое каждому элементу а М ставит в соответствие некоторое подмножество А  [М].

    Анализируя все элементы а М и их образы f(а) = А  [М], строим вспомогательное множество Х следующим образом: если а не входит в свой образ, а f(а), то а включается в Х.

    Множество Х  [М], поскольку [М] содержит все возможные подмножества М. Так как f — взаимно однозначное отображение, то для Х должен существовать элемент х М, такой, что f 1 : Х х, f(х) = Х.

    Для элемента х есть только две возможности: a) хX, б) х Х. Допустим, верно а). Так как х содержится в своем образе, то он не должен входить в X, хХ. В случае б) также получаем противоречие, поскольку х по алгоритму должен быть включён в Х. Полученное противоречие показывает, что f -1 на множестве Х не определено, следовательно, взаимно однозначное отображениеf: M  [М] не существует и M[М]. Следовательно, M<[М].

    Следствия.

    1. Мощности бесконечных множеств так же, как и конечных, могут различаться.

    2. Множеств с максимально возможной мощностью не существует, поскольку для любого множества М всегда можно рассмотреть множество его подмножеств [М]. В теории множеств доказана теорема Цермело, которая утверждает, что для произвольных множеств А и В всегда есть только три возможности:
    а) А<В; б) А>В; в) А = В.Отсюда следует, что несравнимых по мощности множеств не существует.

    Определение. Множествами мощности континуум называют множества, эквивалентные множеству вещественных чисел на отрезке [0,1]. Обозначается данный вид мощности С либо .

    Можно показать путем построения соответствующего взаимно однозначного отображения, что между мощностями счетного множества и множества мощности континуум существует следующая связь: [N] = 2N = C.

    В отличие от счётных, множества мощности континуум нельзя упорядочить. Множество вещественных чисел на отрезке [0;1] является как бы эталоном для других множеств мощности континуум, с которым их сравнивают путём построения взаимно однозначных отображений. Г.Кантором дано прямое доказательство несчетности данного множества с помощью диагональной процедуры.

    Теорема 2.5 (Г.Кантор). Множество вещественных чисел на отрезке [0;1] несчетно.

    Доказательство. Любое из этих чисел можно задать в виде конечной либо бесконечной десятичной дроби α=01α2α3… , где 0≤ αi≤9. Представим каждую конечную дробь α=01α2α3… αk в бесконечной форме: α=0, 01α2α3…(αk-1)99…. Для числа 1 получаем: 1 = 0,99… .

    Допустим, рассматриваемое множество счетно. При этом все вещественные числа на отрезке [0; 1] могут быть упорядочены в виде счетного списка, в который каждое из них входит ровно один раз и представлено бесконечной последовательностью десятичных знаков:

    β1=0, β11 β12 β13 β14…

    β2=0, β21 β22 β23 β24

    β3=0, β31 β32 β33 β34…

    β4=0, β41 β42 β43 β44…



    Построим бесконечную дробь γ=0,γ1γ2γ3… по следующему правилу: еcли βii=1, то γi= 2, а еслиβii≠1, то γi= 1. Из алгоритма построения следует, что дробь γ не совпадает ни с одним из чисел βi, посколькуγi βii. Следовательно, вещественное число γ, принадлежащее отрезку [0; 1], не содержится в списке. Получаем противоречие с допущением о возможности упорядочения всех вещественных чисел из данного отрезка.

    Пример 4. Найти мощность множества R вещественных чисел на всей числовой оси (–;).

    Решение. Очевидно,R  С, поскольку отрезок [0;1]  R. Докажем строгое равенство R= С путем построения взаимно однозначного отображения f множества А = [0;1]на R. С помощью одних линейных отображений невозможно взаимно однозначно отобразить конечный отрезок на бесконечную область. Данным свойством обладает тригонометрическая функция у = tg(х). Но она действует на отрезке [–/2; +/2],поэтому вначале необходимо взаимно однозначно отобразить отрезок [0;1] (множество А) на отрезок [–/2; +/2] (который обозначим множеством В), а затем множество В взаимно однозначно отобразить на R.

    Первая задача может быть решена с помощью линейного отображения. Поскольку оно имеет два неизвестных коэффициента (С01), то их можно найти, подставив в уравнение связи
    b = С0 a + С1две пары значений из множеств А и В, которые должны взаимно однозначно отображаться друг в друга. Если взять в качестве таких пар минимальные и максимальные значения на отрезках (0  –/2; 1 + /2), то множества точек, лежащие между ними, взаимно однозначно отобразятся друг на друга и задача будет выполнена. Подставляя выделенные пары в уравнение связи, получим систему двух уравнений:

    – /2= С00+ С1;

    +/2= С01+ С1.

    Решая систему (например, методом исключения), получим:

    С0 =  ; С1 = –/2.

    Взаимно однозначное отображение множества А на В (обозначим его g: АВ) примет вид: aA, g(а) = а – /2 = bB.

    Для взаимно однозначного отображения множества В на R (обозначим его h: В R) используем функцию tg:bB, h(b) =
    =
    tg(b) = rR.

    Итоговое отображение f: ARпредставим в виде композиции f = h g. Так как h и g взаимно однозначны, то и f по свойству композиций будет взаимно однозначным. Подставляя уравнение b(а)в зависимость r(b), найдем уравнение для отображения f, связывающее элементы а с элементами rR:r = tg(a/2).

    Из факта построения взаимно однозначного отображения f:ARпо определению следует эквивалентность множеств AиR. Отсюда получим:R = A = С.

    С точки зрения мощности, множество всех точек, лежащих внутри и на границе квадрата[0;1]  [0;1], эквивалентно мощности всех точек на отрезке[0;1].

    Теорема 2.6 (Г.Кантор). Множество всех точек декартова квадрата[0;1]  [0;1] имеет мощность континуум.

    Доказательство. Построим взаимно однозначное отображение всех точек из квадрата [0;1]  [0;1] на множество вещественных точек отрезка[0;1].

    Как и при доказательстве Теоремы 2.5, каждое из вещественных чисел, задающих координаты точек квадрата [0;1]  [0;1] или отрезка[0;1],представим в виде бесконечной десятичной дроби α = 0, α1 α2 α3…, где 0 ≤ αi9. Все конечные дроби α = 0, α1 α2 α3 … αk для единообразия задаем в эквивалентной бесконечной форме: α = 0, α1 α2 α3 …(αk-1)99…. В том числе: 1 = 0,99… .

    При выбранном способе представления каждой точке отрезка соответствует одна бесконечная десятичная дробь х = 0, х1 х2 х3…, задающая ее координату на отрезке. Каждой точке квадрата — две дроби х = 0, х1 х2 х3 … и у = 0, у1 у2 у3…, которые равны ее декартовым координатам по осям.

    Искомое взаимно однозначное отображение строим следующим образом. Каждой бесконечной десятичной дроби х = 0, х1 х2 х3 …, задающей координату точки на отрезке [0;1], ставим в соответствие две дроби х´ = 0, х1´ х2´ х3´ и у´= 0, у1´ у2´ у3´, которые однозначно задают точку квадрата [0;1]  [0;1], по следующему правилу:

    х1´= х1, у1´= х2, х2´= х3 , у2´= х4 ,…, хn´= х2n-1 , уn´= х2n.

    Отображение является однозначным, имеет обратное отображение (х´,у´)х, которое также однозначно. Следовательно, оно является взаимно однозначным и  [0;1]  [0;1] = С, ч.т.д.

    Аналогично можно доказать мощность континуум для всех точек куба [0;1] 3 = [0;1]  [0;1]  [0;1]и других более высоких декартовых степеней [0;1]n множества [0;1].

    Полученный результат был удивителен для всех математиков, в том числе — для самого Г.Кантора, поскольку он входил в противоречие с понятием пространственной размерности объектов. Однако построенное отображение не является непрерывным в обе стороны, что является в математике достаточным условием для сохранения размерности.

    Пример 5. Найти мощность множества R2 точек на декартовой плоскости.

    Решение. Используя отображение вида r = tg(a-/2) из Примера 4, можно взаимно однозначно отобразить все точки декартовой плоскости на декартов квадрат [0;1]  [0;1], мощность которого, как доказано в Теореме 2.6, равна континууму. Следовательно,  R2= С.

    Замечание. Так как процесс порождения множеств с большей мощностью бесконечен, то рассмотрев множество [А]всех подмножеств континуального множества А, получим множество2А, мощности большей, чем континуум:[А] = 2C > С. Мощность 2C имеет, в частности, множество всех функций, определённых на R .

    Применение теоремы Кантора-Бернштейна значительно упрощает доказательство эквивалентности множеств мощности континуум одинаковой размерности. Для этого проще всего воспользоваться масштабным изменением размеров объектов, которое можно выполнить линейными преобразованиями с ненулевыми линейными коэффициентами, задающими взаимно однозначные отображения.

    Пример 6. Найти мощность множества A точек, принадлежащих кругу радиуса r = 0,5 с центром в точке (1;1) на декартовой плоскости.



    Рис.2.4

    Решение. Докажем эквивалентность А множеству точек квадрата [0;1]  [0;1] (множество В, рис.2.4).

    1. Вначале докажем эквивалентность А некоторому подмножеству В. Используя взаимно однозначное отображение х = 1 · х - 0,5; у = 1·у - 0,5, отобразим круг А на круг А, расположенный внутри В. Отсюда следует: A =A , A  B.

    2. Докажем, что В эквивалентно подмножеству А. При помощи взаимно однозначного отображения х = 0,5·х + 0,75; у = 0,5·у + 0,75, квадрат В отобразим на квадрат меньшего размера В, расположенный внутри кругаA. Отсюда следует: В = В , В  А.

    По теореме Кантора-Бернштейна из 1 и 2 следует: А = В . Отсюда с учетом результатов Теоремы 2.6 получим: A = С.

    ЗАДАЧИ

    1. Найти мощность:

    а) всех вещественных чисел в интервале [5;10];

    б) множества вещественных чисел (–;– r]  (r; +), где r — некоторое положительное вещественное число;

    в) множества вещественных чисел в объединении отрезков вида [2i;2i+1), где iZ;

    г) множества вещественных чисел (;0] (1;+);

    д) интервалов (r1; r2), где r1 и r2 - рациональные числа;

    е) множества всех точек на окружности радиуса 1 с центром в точке (0; 0);

    ж) множества точек на параболе у = (х–2)2 при   х + .

    2.  Построить пример взаимно однозначного отображения:

    а) множества N10целых чисел, кратных 10, на множество N2четных чисел;

    б) множества вещественных чисел [0;4] на множество вещественных чисел [0;4]  (7;10];

    в) множества всех окружностей на плоскости на множество всех квадратов на плоскости со сторонами, параллельными осям координат.

    3. Построить взаимно однозначное отображение отрезка [0;1] на положительную полуось [0;).

    4. Существует ли взаимно однозначное отображение:

    а) множества всех вещественных чисел R на множество всех целых чиселZ?

    б) множества всех рациональных вещественных чисел на множество всех целых чисел?

    5. Привести примеры счетных подмножеств на множествах:

    а) всех прямых на плоскости;

    б) шаров в пространстве;

    в) векторов в n-мерном пространстве.

    6. Будут ли иметь одинаковую мощность:

    а) множества N3 и N4 всех натуральных чисел, кратных соответственно 3 и 4?

    б) множества N33 и N34 всех трехзначных в десятичной системе счисления натуральных чисел, кратных 3 и 4?

    7. Доказать с применением теоремы Кантора-Бернштейна эквивалентность множеств точек:

    а) шара c радиусом R>0 и соответствующей ему сферы,

    б) 3-мерного пространства и прямой линии в нем.

    1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17


    написать администратору сайта