66 Молчанова Статистика УМК без титула (1). I. Теория статистики
 Скачать 1.56 Mb.
|
|
Пример 2. Распределение торговых фирм города по уровню оптовых цен на товар «Х» имеет следующий вид: Цена, долл. США 22 23 24 25 26 Итого Число торговых фирм 13 49 57 61 15 195 Сумма накопленных частот, S i 13 62 119 180 195 Это дискретный вариационный ряд, т.к. признак (цена) изменяется прерывно, то есть через определенное число единиц, в данном случае через единицу. Наибольшую частоту – 61 - имеет цена 25 долл. США, следовательно, она и является модальной. Для интервальных вариационных рядов распределения мода рассчитывается по следующей формуле: 125 ( ) ( ) 1 1 1 + − − − + − − ⋅ + = Mo Mo Mo Mo Mo Mo Mo Mo f f f f f f i x Mo , (1.6.5) где Мо – мода; Мо х - нижняя граница модального интервала; Mo i - величина модального интервала; Mo f - частота модального интервала; 1 − Mo f - частота интервала, предшествующего модальному интервалу; 1 + Mo f - частота интервала, следующего за модальным интервалом. Пример 3. Имеются следующие данные о распределении работников предприятия по уровню среднемесячной заработной платы: Заработная плата, долл. США х i Число работников, чел. f i Сумма накопленных частот S i До 600 600 – 700 700 – 800 800 – 900 900 – 1000 Свыше 1000 20 40 80 70 35 15 20 60 140 210 245 260 Итого 260 Первоначально определим по наибольшей частоте признака модальный интервал. Наибольшее число работников – 80 человек – имеют заработную плату в интервале 700 – 800 долл. США, который и является модальным. 780 ) 70 80 ( ) 40 80 ( 40 80 100 700 руб Мо = − + − − ⋅ + = Медиана – это значение изучаемого признака, расположенного в середине ранжированного ряда распределения. Ранжированный ряд – ряд, расположенный в порядке возрастания или убывания значений признака. Для определения медианы сначала определяют ее место в ряду, используя формулу: 2 1 + = n N e M , (1.6.6) где n – число членов ряда 126 Если ряд состоит из четного числа членов, то за медиану условно принимают среднюю арифметическую из двух вариантов, расположенных в середине ряда. В примере 1 для определения медианы производится ранжирование данных. Ранжированный ряд: 1300; 1300; 1300; 1330; 1350; 1370; 1380; 1450;1470. Место медианы - 5 2 1 9 = + = e M N Ме = 1350 ч (1350 – значение признака, находящиеся на 5-ом месте в ранжированном ряду). Медиана дискретного вариационного ряда определяется по сумме накопленных частот, которая должна превышать половину всего объема единиц совокупности. Так, в примере 2 половина объема совокупности равна 97,5. Первое значение, превышающее 97,5 в графе «сумма накопленных частот» - 119. Оно соответствует цене – 24 долл. США, которая и является медианой. Для интервальных вариационных рядов медианарассчитывается по следующей формуле: Me Me Me Me f S f i x Me ∑ − ⋅ + = − 1 2 1 , (1.6.7) где Ме - медиана; Ме х - нижняя граница медианного интервала; Me i - величина медианного интервала; ∑ f - сумма частот ряда; 1 − Me S - сумма накопленных частот ряда, предшествующих медианному интервалу; Me f - частота медианного интервала. 127 По данным примера 3 рассчитаем медиану для интервального вариационного ряда. Определяем медианный интервал, в котором находится порядковый номер медианы. Для этого подсчитаем сумму частот накопленным итогом до числа, превышающего половину объема совокупности (260/2=130). В графе «сумма накопленных частот» значение 140 соответствует интервалу 700 – 800 долл. США. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана. 5 , 787 80 60 2 260 100 700 руб Ме = − ⋅ + = Таким образом, половина работников предприятия имеют заработную плату до 787,5 руб., а половина – выше этой суммы. Моду и медиану можно определить на основе графического изображения ряда. Медиана определяется по кумуляте. Для ее определения высоту наибольшей ординаты, которая соответствует общей численности, делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересечения является медианной величиной. Мода определяется по гистограмме распределения. Для этого правую вершину модального прямоугольника соединяют с правым верхним углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину модального прямоугольника – с левым верхним углом последующего прямоугольника. Абсцисса пересечения этих прямых и будет модой распределения. Тренировочные задания 1. Имеются следующие данные о заработной плате и численности рабочих по двум предприятиям отрасли: № п/п Базисный период Отчетный период Средняя списочная численность рабочих, чел. Средняя месячная заработная плата, руб. Фонд заработной платы, тыс. руб. Средняя месячная заработная плата, руб. 1 2 620 590 4680 4820 2952 2955 4800 4925 Определите среднюю заработную плату рабочих по двум предприятиям в базисном и отчетном периодах. Укажите, какой вид средних надо применить в каждом случае. 128 Решение: .) ( .) ( чел работников Число руб тыс платы заработной Фонд ИСС = Среднюю заработную плату рабочих по двум предприятиям в базисном году будем определять по средневзвешенной арифметической формуле, так как нам неизвестен числитель исходного соотношения: 3 , 4748 1210 4820 590 4680 620 руб х = ⋅ + ⋅ = Среднюю заработную плату рабочих по двум предприятиям в отчетном году будем определять по средневзвешенной гармонической формуле, так как нам неизвестен знаменатель исходного соотношения: 7 , 4861 4925 2955 4800 2952 5907 руб х = + = 2. По приведенным данным определите средний процент выполнения договорных обязательств поставщиками комплектующих изделий. Обоснуйте выбор формулы средней: Комплектующие изделия Объем договорных обязательств, млн. ден. ед. Выполнение договорных обязательств, % Двигатели 35 97,8 Электроника 22 98,5 3. Следующие данные характеризуют возрастную структуру сотрудников предприятия: Возраст, лет Численность сотрудников предприятия (в % к итогу) до25 25 – 30 30 – 35 35 – 40 40 – 45 45 – 50 50 – 55 55 и более 12,2 18,3 30,7 11,5 10,8 8,6 5,8 2,1 Итого 100,0 Определите средний возраст сотрудников предприятия. 4. Имеются следующие данные о распределении студентов по росту: 129 Рост, см Численность студентов, чел. до 162 162 – 166 166 – 170 170 – 174 174 – 178 178 – 182 182 и более 20 55 90 125 130 50 10 Итого 480 Определите средний рост студентов, моду и медиану роста студентов. 5. Имеются следующие данные о распределении населения Белгородской области по возрастным группам (на 1 января 2004 года): в % к итогу Все население в том числе в возрасте, лет до 10 10 – 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 – 70 70 и старше 100,0 8,6 15,1 14,4 13,2 16,8 11,4 10,4 10,1 Определите величину среднего возраста населения области, а также моду и медиану. Постройте гистограмму и кумуляту распределения. 6. Продукция, производимая малым предприятием, имеет разный уровень рентабельности реализации. В апреле этот показатель составил: Продукция Рентабельность реализации продукции, % Прибыль, тыс. руб. A Б B 12 7 21 600 140 630 Определите средний уровень рентабельности реализации продукции. Обоснуйте выбор формы средней. 7. Ввод в действие жилых домов организациями различных форм собственности по Белгородской области в 2003 году 1 характеризуется показателями: Форма собственности Введено в действие жилых домов в 2003 Введено в действие жилых домов в 2003 году по 130 году, тыс. кв. м. сравнению с 2002 годом, % Государственная 48,9 83,4 Муниципальная 51,6 144,1 Частная 558,2 98,3 Смешанная российская 1,4 127,3 1 / / Белгородская область в цифрах в 2004 году. Крат. стат. сб./ Белгородстат. – 2005, с. 150 Определите средний процент ввода жилья по четырем видам собственности в 2003 году по сравнению с 2002 годом. 8. Уровни страхового возмещения в зависимости от вида имущественного риска составляют: Коммерческие страховые компании Имущественный риск Аварии и взрывы Пожары Процент страхового возмещения Сумма страхового возмещения, млн. руб. Процент страхового возмещения Сумма страхового возмещения, млн. руб. Региональные Центральные 0,3 0,6 0,24 0,42 0,5 0,8 0,80 0,56 Определите средний процент страхового возмещения по каждому виду риска. Сравните и объясните результаты. 9. Распределение новорожденных по возрасту матери характеризуется следующими данными: Возраст матери, лет % к итогу город село до 20 20 – 25 25 – 30 30 – 35 35 – 40 40 и старше 14,0 40,0 27,1 13,2 4,7 1,0 19,5 43,1 22,1 10,4 4,0 0,9 Итого 100,0 100,0 Отдельно для городов и сел определите медианное значение возраста матери, сравните полученные результаты. 131 10. По данным выборочного обследования получены данные о распределении городского и сельского населения по числу детей: Число детей Население, % городское сельское 0 6 5 1 27 20 2 24 31 3 22 26 4 11 9 5 6 5 6 и более 4 4 Итого: 100 100 Определите для городского и сельского населения: 1) среднее число детей в семье; 2) моду и медиану. 11. Распределение малых предприятий региона по размеру прибыли характеризуется следующими данными: Чистая прибыль, млн. руб. 10 - 20 20 - 30 30 - 40 40 - 50 50 - 60 свыше 60 Итого Удельный вес предприятий, % 4 12 36 24 16 8 100 Определите среднюю прибыль малого предприятия. Тест 1. Условием применения средних величин не является: а) наличие качественно однородной совокупности; б) достаточно большой объем совокупности; в) группировка единиц совокупности по изучаемому признаку. 2. Частости – это: а) абсолютные величины; б) относительные величины; в) средние величины. 3. Назовите степенные средние: а) средняя арифметическая и средняя гармоническая; б) простая и динамическая; в) мода и медиана. 132 4. Выберите правильную формулу средней арифметической взвешенной: а) n x x i ∑ = ; б) ∑ ∑ ⋅ = i i i f f x x 2 ; в) ∑ ∑ ⋅ = i i i f f x x ; г) ∑ ∑ ⋅ = i i i n f x x 5. В каких случаях используется средняя гармоническая взвешенная? а) когда неизвестен числитель исходного соотношения; б) когда неизвестен знаменатель исходного соотношения. 6. Изменится ли средняя величина, если все веса уменьшить на 20%? а) изменится; б) не изменится. 7. Назовите структурные средние: а) мода и медиана; б) средняя агрегатная и средняя арифметическая; в) средняя геометрическая и средняя квадратическая. 8. Для дискретного вариационного ряда мода – это: а) значение изучаемого признака чаще всего встречающееся в ряду распределения; б) варианта с наибольшей частотой; в) значение изучаемого признака, расположенного в середине ряда распределения. 9.Если средняя рассчитывается по вторичным (сгруппированным) данным, то применяется: а) простая форма средней; б) взвешенная форма средней; в) средняя геометрическая. 10. Как изменится средняя величина, если все варианты признака уменьшить в 1,5 раза, а все веса в 1,5 раза увеличить? а) не изменится; б) уменьшится; в) возрастет. 11. В каких случаях используется средняя арифметическая взвешенная? а) когда неизвестен числитель исходного соотношения; б) когда неизвестен знаменатель исходного соотношения. 133 12.Изменится ли значение средней величины при пропорциональном изменении всех весов: а) да; б) нет. 13. Если все индивидуальные значения признака уменьшить на 20%, то средняя величина: а) уменьшится; б) увеличится; в) не изменится. 14. Имеются следующие данные о распределении длины пробега автофургона торгово-посреднической фирмы за один рейс: Длина пробега за один рейс, км 50 70 90 110 130 150 Всего Число рейсов за квартал 20 25 14 18 9 6 92 Определить моду и медиану: а) М о = 70 км, М е = 90 км; б) М о = 70 км, М е = 70 км; в) М о = 90 км, М е = 90 км. 15. Рабочие бригады имеют следующий стаж работы на данном предприятии: Табельный номер рабочего 005 006 007 008 009 014 Стаж работы, лет 14 9 11 13 8 2 Определите средний стаж работы: а) 8,2; б) 9,5; в) 8,26. 16. Профессиональная психодиагностика дала следующие тестовые оценки: Первичные тестовые оценки, баллы Количество обследованных 15 16 17 18 19 20 7 12 21 39 26 15 Итого 120 Определите модальную тестовую оценку: а) 39; б) 19,5; в) 18,58; г) 18. 134 17. По данным задания 16 определите медианную тестовую оценку: а) 18,51; б) 18; в) 17,5; г) 19. 18. Определите среднюю рентабельность предприятий по следующим данным: № предприятия Прибыль, млн. руб. Рентабельность, % 1 250 31 2 480 25 а) 26,8%; б) 28,0%; в) 27,1%. 19. Качество продукции предприятия характеризуется следующими данными (за месяц): Вид продукции Процент брака Стоимость бракованной продукции, руб. А 1,3 2135 В 0,9 3560 С 2,4 980 Определить средний процент брака в целом по предприятию: а) 1,1%; б)1,5%; в) 1,3%. 20. Определите среднюю окупаемость затрат на развитие новаторских работ по следующим данным: Новаторские работы Доход от использования работ, млн. руб. Окупаемость 1 млн. затрат на развитие новаторства, млн. руб. Изобретения Рационализаторские предложения 391 377 4,6 6,5 а) 5,37; б) 5,53; в) 5,55. 1.7 Статистическое изучение вариации социально- экономических явлений 1.7.1 Понятие вариации Вариация – это многообразие, колеблемость, изменяемость величины признака у единиц статистической совокупности. Вариация порождается комплексом условий, действующих на совокупность и ее единицы. Например, вариация доходов, получаемых гражданами, порождается различными социальными и экономическими причинами, однако если бы все граждане имели одинаковые доходы, то необходимость в статистическом исследовании отпала бы. Отсюда следует, что именно вариация и предопределяет необходимость статистики. 135 Исследование вариации в статистике и социально-экономических исследованиях имеет большое значение, делая возможным установление разброса или вариации значений отдельных единиц совокупности, например, какие факторы и в какой степени влияют на курс акций, объем ВВП, объемы спроса и предложения, процентные ставки, финансовое положение предприятий и т.д. Определение вариации необходимо при организации выборочного наблюдения, построении статистических моделей, разработке материалов экспертных опросов и во многих других случаях. По степени вариации можно судить о многих сторонах процесса развития изучаемых явлений, в частности об однородности совокупности, устойчивости индивидуальных значений признака, типичности средней, о взаимосвязи между признаками одного и того же явления и признаками разных явлений. Вариация существует во времени и в пространстве. Под вариацией во времени подразумевают изменение значений признака в различные моменты времени (срок службы товаров длительного пользования, средняя продолжительность жизни, мнения людей и т.д.). Под вариацией в пространстве понимается колеблемость значений признака по отдельным территориям. Наличие вариации в признаках изучаемых явлений ставит перед статистикой задачи ее исследования: определение меры вариации, ее измерение, нахождение соответствующих измерителей, показателей, характеризующих ее размеры, выявление их сущности и методов вычисления факторов, ее определяющих. Статистические показатели, характеризующие вариацию, широко применяются в практической деятельности. На основе показателей вариации в статистике разрабатываются другие показатели и методы изучения явлений и процессов общественной жизни – показатели тесноты связи между явлениями и их признаками, показатели оценки точности выборочного наблюдения и т.д. 1.7.2 Показатели вариации Показатели вариации делятся на две группы: абсолютные и относительные. К абсолютным показателям вариации относятся: размах вариации; среднее линейное отклонение; дисперсия; среднее квадратическое отклонение. |