Скворцов Ю. В. Анализ. Интерактивное мультимедийное пособие в системе дистанционного обучения Moodle самара 2012
 Скачать 6.86 Mb.
|
|
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АКАДЕМИКА С.П. КОРОЛЕВА (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)» (СГАУ) Анализ прочности элементов авиационных конструкций с помощью CAE-системы MSC.Patran-Nastran Интерактивное мультимедийное пособие в системе дистанционного обучения «Moodle» САМАРА 2012 УДК 539.4 ББК 32.973 С 427 Автор-составитель: Скворцов Юрий Васильевич, Глушков Сергей Валериевич Редакторская обработка Ю. В. Скворцов Компьютерная вёрстка Ю. В. Скворцов Довёрстка С. В. Глушков Анализ прочности элементов авиационных конструкций с помощью CAE- системы MSC.Patran-Nastran [Электронный ресурс] : интерактив. мультимед. пособие в системе дистанц. обучения «Moodle» / Ю. В. Скворцов, С. В. Глушков; Минобрнауки России, Самар. гос. аэрокосм. ун-т им. С. П. Королева (нац. исслед. ун-т). – Электрон. текстовые и граф. дан. (6,1 Мбайта). – Самара, 2012. – 1 эл. опт. диск (CD- ROM). В пособии изложены основы метода конечных элементов, сведения о графическом интерфейсе пользователя CAE-системы MSC.Patran-Nastran, методы создания геометрической модели и сетки конечных элементов. Представлено также большое количество примеров расчёта различных элементов авиационных конструкций в виде лабораторных работ с подробным пошаговым описанием. Настоящее пособие предназначено для использования студентами специальности 160100.65 «Самолёто- и вертолётостроение» при выполнении курсовых и дипломных проектов на 5 и 6 курсе в 10...12 семестрах и для студентов направления 151600.62 «Прикладная механика», изучающих дисциплину «Конечно-элементное моделирование конструкций» на 3 и 4 курсах в 6 и 7 семестрах. Оно может быть использовано также при выполнении курсовых и дипломных проектов на 5 и 6 курсах в 10...12 семестрах студентами специальности 160400.65 «Проектирование, производство и эксплуатация ракет и ракетно- космических комплексов». Подготовлено на кафедре космического машиностроения СГАУ. © Самарский государственный аэрокосмический университет, 2012 1-1 1 ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 1.1 Основные соотношения В практике прочностных расчетов используют как аналитические, так и численные методы. Первые базируются на математических методах решения краевых задач, обычно сложных и трудоемких. Они применяются, как прави- ло, к телам простой конфигурации и зачастую оказываются бессильными, ес- ли требуется найти распределение напряжений в сложной реальной конст- рукции. Численные (или вычислительные) методы позволяют свести получение численного значения решения к последовательности арифметических опера- ций над численными значениями входных данных, и поэтому хорошо при- способлены к расчетам на ЭВМ. Они не ограничены ни формой тел, ни спо- собом приложения нагрузки. Существует много различных численных мето- дов, пригодных для эффективного решения тех или иных частных задач. На- чиная с конца 60-х годов прошлого столетия, предпочтение все больше отда- ется методу конечных элементов как наиболее гибкому и универсальному. Метод конечных элементов (МКЭ), получивший в последние годы ши- рокое развитие, представляет собой приближенный метод решения разнооб- разных задач математической физики. В задачах механики деформируемого твердого тела МКЭ позволяет распространить известные принципы расчета дискретных систем (таких как фермы, рамы) на случай непрерывных тел и сложных конструкций. В настоящее время МКЭ является основным расчет- ным инструментом для исследования прочности разнообразных конструк- ций. Суть данного метода заключается в следующем. Рассмотрим непре- рывное тело, нагруженное произвольным образом. Сеткой секущих поверх- ностей мысленно разобьем тело на отдельные подобласти (рисунок 1.1). По- лученные подобласти имеют хотя и малые, но все же конечные размеры, от- куда и происходит название «конечные элементы». На границах между отдельными элементами выбираются некоторые точки – узлы. Перемещения узлов в направлении координатных осей (а ино- гда и угловые перемещения) принимаются в качестве основных неизвестных. 1-2 Рисунок 1.1 – Разбивка тела сеткой секущих поверхностей В МКЭ, прежде всего, встает вопрос о том, как найти перемещения (а, следовательно, деформации и напряжения) внутри каждого конечного эле- мента, зная перемещения принадлежащих ему узлов. Для сплошного тела эта задача решается приближенно, если сделать те или иные предположения о характере поля перемещений в элементе. Точнее, необходимо выбрать неко- торую совокупность функций, которые позволяют аппроксимировать поле перемещений внутри конечного элемента по известным узловым перемеще- ниям. Выбор таких аппроксимирующих функций является одним из наиболее ответственных и важных этапов в МКЭ. В матричных обозначениях это оз- начает существование равенства [ ] [ ][ ], e u v α = (1.1) где [ ] u – матрица-столбец перемещений в направлении координатных осей произвольной точки внутри элемента; [ ] e v – матрица-столбец узловых пере- мещений элемента “e”; [ ] α – прямоугольная матрица, элементами которой являются некоторые функции координат (аппроксимирующие функции). Например, для плоского элемента (рисунок 1.2) данные матрицы будут иметь следующую структуру: [ ] ; x y u u u = [ ] ; x y α α α = [ ] { }, e i j m v v v v = … причем [ ] ( , , , ). rx r ry v v r i j m v = = … i ix v iy v 1-3 Здесь и далее фигурные скобки обозначают матрицу-столбец, а штри- ховые линии означают, что элементами матрицы являются подматрицы. Рисунок 1.2 – Плоский треугольный элемент Если такой выбор сделан, то напряженно-деформированное состояние (НДС) будет однозначно определяться узловым перемещениями: [ ] [ ][ ]; [ ] [ ][ ][ ], e e v v ε β σ κ β = = (1.2) где [ ] { } xx yy xy ε ε ε ε = – матрица-столбец деформаций; [ ] { } xx yy xy σ σ σ σ = – матрица-столбец напряжений; [ ] β – прямоугольная матрица, получаемая с использованием геометрических соотношений Коши; [ ] κ – квадратная мат- рица упругих постоянных материала, получаемая с помощью закона Гука. Например, для случая плоского напряженного состояния [ ] x y y x x y x y α α β α α ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ; 2 1 0 [ ] 1 0 1 1 0 0 2 E µ κ µ µ µ = − − Здесь E – модуль упругости; µ – коэффициент Пуассона. Таким образом, при известной матрице аппроксимирующих функций [ ] α напряженное и деформированное состояние конечного элемента одно- значно определяется узловыми перемещениями [ ] e v . Поэтому под конечным элементом следует понимать не просто некоторую малую область тела, а об- ласть тела в совокупности с заданными в ней аппроксимирующими функ- циями. i j m ix v iy v jx v jy v mx v my v x u y u 1-4 Вторая трудность возникает при объединении конечных элементов в единую систему. Если мы выделим конечный элемент, то на его границах будут возникать распределенные силы (рисунок 1.3). Эти силы в МКЭ заме- няются эквивалентными им в энергетическом смысле узловыми силами. Рисунок 1.3 – Замена распределенных сил эквивалентными узловыми Внешние поверхностные и объемные нагрузки также заменяются экви- валентными им в энергетическом смысле сосредоточенными силами, дейст- вующими в узлах. Используя вариационный принцип возможных перемещений, можно получить выражение для матрицы жесткости конечного элемента: т [ ] [ ] [ ][ ] , e e K d τ β κ β τ = ∫ (1.3) где интегрирование выполняется по объему элемента Учитывая блочную структуру матрицы узловых перемещений [ ] e v , матрицу жесткости также можно представить в блочном виде [ ] e e e ii ij im e e e ji jj jm e e e e mi mj mm K K K K K K K K K K = ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ Следует отметить, что размер матрицы жесткости определяется произ- ведением числа узлов на число степеней свободы (перемещений) в каждом из них. Например, для изображенного на рисунке 1.2 элемента матрица жестко- сти будет иметь размер 6х6. Выполнив дискретизацию упругого тела, можно теперь составить уравнения равновесия узлов и прийти к системе уравнений относительно пе- ремещений [ ][ ] [ ], K v P = (1.4) 1-5 где 1 2 [ ] { } n v v v v = … – матрица - столбец узловых перемещений (n – общее число узлов при принятой схеме дискретизации ); 1 2 [ ] { } n P P P P = … – матрица столбец внешних ( сосредоточенных и эквивалентных ) узловых сил ; [ ] K – матрица жесткости всего тела ( или конструкции ), которая может быть представлена также в блочном виде 11 12 1 21 22 2 1 2 [ ] n n n n nn K K K K K K K K K K = ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ Матрица жесткости конструкции формируется из матриц жесткости отдельных элементов по следующему правилу : 1) [ ] 0 ij K = , если узлы i и j не относятся к одному конечному элементу ; 2) [ ] [ ] e ij ij e K K = ∑ , где суммирование производится по тем конечным элемен - там , которые одновременно содержат узлы i и j; 3) [ ] [ ] e ii ii e K K = ∑ , где суммирование производится по всем конечным эле - ментам , сходящимся в узле i. Если конструкция не закреплена , то непосредственно из уравнения (1.4) перемещения найти нельзя , так как матрица жесткости всей конструк - ции [ ] K является вырожденной Поэтому при расчете свободной системы ее нужно предварительно закрепить минимально необходимым числом пра - вильно ориентированных связей , т е устранить возможность ее перемещения как жесткого целого В системе уравнений (1.4) вычеркивая строки и столбцы , соответст - вующие известным нулевым перемещениям ( в направлении наложенных свя - зей ), придем к матричному уравнению [ ][ ] [ ], K v P αα α α = (1.5) решение которого дает матрицу неизвестных узловых перемещений 1 [ ] [ ] [ ]. v K P α αα α − = Здесь [ ] K αα так называемая сокращенная матрица жесткости конструкции 1-6 После определения узловых перемещений можно вычислить напряже - ния в каждом конечном элементе 1.2 Основные типы конечных элементов Для решения задач механики деформируемого твердого тела исполь - зуются линейные элементы ( представляемые линиями ), поверхностные эле - менты ( описываемые поверхностями ) и объемные элементы ( задаваемые объемами ). 1.2.1 Линейные элементы Линейные элементы можно разделить на два основных вида – одноос - ные стержневые , работающие лишь на растяжение - сжатие ( или на кручение ) вдоль своей оси , и балочные , способные в общем случае воспринимать все виды нагрузок ( растяжение - сжатие , изгиб в двух плоскостях и кручение ). Одноосные элементы показаны на рисунке 1.4. В каждом узле здесь за - даются только поступательные перемещения ( или только углы поворота ). При этом элементы первого порядка содержат два узла и имеют прямоли - нейную форму , а элементы второго порядка – три узла и могут иметь криво - линейную форму Конечные элементы данного типа используются для моде - лирования стержневых систем ( например , ферменных конструкций ), а также подкрепляющих ребер жесткости ( например , стрингеров , поясов лонжеронов и т п .). Рисунок__1.5_–_Двухмерные_(а)_и_трехмерные_(б)_балочные_элементы_1.2.2_Поверхностные__элементы'>Рисунок__1.4_–_Двухмерные_(а)_и_трехмерные_(б)_одноосные_элементы'>Рисунок 1.4 – Двухмерные (а) и трехмерные (б) одноосные элементы Следует отметить , что при равном количестве элементов конечные элементы второго порядка дают большую точность вычислений , так как они i I порядка v ix v iy i v ix v iy x y II порядка а) i v ix v iy i v ix v iy x y б) v iz v iz z 1-7 более точно воспроизводят криволинейную геометрию модели и имеют бо - лее точные функции формы ( аппроксимирующие функции ). В отличие от предыдущего случая в узлах балочных элементов имеют - ся как поступательные , так и угловые перемещения ( рисунок 1.5). Они при - меняются для моделирования различных стержневых систем ( например , ба - лок и рам ), а также мощных подкрепляющих ребер жесткости ( например , лонжеронов , шпангоутов и т п .). Рисунок 1.5 – Двухмерные (а) и трехмерные (б) балочные элементы 1.2.2 Поверхностные элементы Поверхностные элементы могут иметь как треугольную , так и четы - рехугольную форму В элементах первого порядка узлы располагаются в вершинах , а в элементах второго порядка вводятся еще дополнительные узлы на сторонах , причем последние могут иметь криволинейную форму Следует отметить , что двухмерные поверхностные элементы , называе - мые плоскими , используются при решении плоской задачи теории упругости , а также для моделирования осесимметричных тел В их узлах определены лишь поступательные перемещения в направлении двух координатных осей ( рисунок 1.6). Трехмерные поверхностные элементы называются оболочечными Они применяются для моделирования как оболочек , так и пластин В их узлах помимо смещений в направлении трех координатных осей задаются также углы поворота нормали относительно этих осей ( рисунок 1.7). i I порядка v ix v iy i v ix v iy x y II порядка а) i v ix v iy x y б) v iz z θ iz θ iz θ iz θ ix θ iy i v ix v iy v iz θ iz θ iy θ ix 1-8 Рисунок 1.6 – Треугольные (а) и четырехугольные (б) плоские элементы Рисунок 1.7 – Треугольные (а) и четырехугольные (б) оболочечные элементы 1.2.3 Объемные элементы Объемные элементы применяются для моделирования трехмерных де - талей , узлов и элементов конструкций Наибольшее распространение полу - чили шестигранные элементы ( в форме гексаэдра ) и четырехгранные ( в фор - ме тетраэдра ). При этом элементы первого порядка имеют прямолинейные стороны и узлы в вершинах , а элементы второго порядка , содержащие до - полнительные узлы на сторонах , могут иметь криволинейную форму В узлах i I порядка v ix v iy x y II порядка а) б) z θ ix θ iy v iz θ iz i v ix v iy θ iy v iz i v ix v iy θ iy v iz i v ix v iy θ iy v iz θ ix θ iz θ iz θ ix θ iz θ ix i I порядка v ix v iy x y II порядка i v ix v iy а) б) i v ix v iy i v ix v iy 1-9 объемных элементов задаются только поступательные перемещения ( рису - нок 1.8). |