Скворцов Ю. В. Анализ. Интерактивное мультимедийное пособие в системе дистанционного обучения Moodle самара 2012
 Скачать 6.86 Mb.
|
|
Рисунок 11.4 – Стержневая конструкция и ее расчетные схемы На выбор расчетной схемы здесь влияет соотношение между длиной стержня и его поперечными размерами. Для длинных тонких стержней рас- четная схема в виде фермы дает вполне удовлетворительные результаты. Следует отметить, что для проектировочных расчетов обычно приме- няют более грубые расчетные схемы, а для поверочных – более точные. 11.2.2 Ферменный и балочный элементы Для конечно-элементного моделирования ферм используется одноос- ный стержневой элемент (или ферменный элемент). Ферменным элементом называется прямолинейный стержень, который присоединяется к другим конструктивным элементам посредством идеальных шарниров. Если к нему не приложены поперечные силы, то он будет испытывать лишь растяжение или сжатие. Матрица жесткости такого элемента наиболее просто записывается в местной системе координат x , связанной с продольной осью стержня (рису- нок 11.5): 1 1 [ ] 1 1 EF K l − = − , (11.8) где E – модуль упругости ; F – площадь поперечного сечения стержня ; l – длина элемента В общей системе координат , , x y z , в которой задана вся конструкция , матрица жесткости ферменного элемента находится как [ ] , e d d EF K d d l − = − (11.9) а) б) в) 11-7 где т 0 0 [ ] [ ] [ ] d λ λ = – подматрица размером 3 х 3; 0 [ ] [ ] xx xy xz λ λ λ λ = – матрица - строка направляющих косинусов , причем ; ; j i j i j i xx xy xz x x y y z z l l l λ λ λ − − − = = = Рисунок 11.5 – Ферменный элемент Таким образом , ферменный элемент однозначно определяется двумя узлами , площадью поперечного сечения стержня и модулем упругости мате - риала В узлах здесь задаются только поступательные перемещения Для моделирования балок и рам используется балочный элемент Ба - лочным элементом называется прямолинейный брус , способный восприни - мать в общем случае все виды нагрузок ( растяжение - сжатие , изгиб в двух плоскостях и кручение ). В каждом из двух узлов здесь рассматривается по шесть перемещений ( три линейных и три угловых ) и соответствующие им силовые факторы Наиболее просто матрица жесткости такого элемента записывается в местной системе координат , когда ось x совпадает с продольной осью стержня , а оси y и z – с главными центральными осями его поперечного се - чения В этом случае узловые силы и перемещения распадаются на четыре группы , которые можно рассматривать независимо друг от друга При соот - ветствующем расположении сил и перемещений матрицу жесткости балоч - ного элемента в местной системе координат можно представить в блочно - диагональном виде x y z i j x x i y i z i x j y j z j 11-8 0 0 0 0 0 0 [ ] 0 0 0 0 0 0 a b c d K K K K K = , (11.10) где [ ] a K – подматрица, характеризующая работу на растяжение-сжатие (раз- мер 2х2); [ ] b K и [ ] c K – подматрицы, описывающие изгиб в плоскостях x y и x z соответственно (размер каждой 4х4); [ ] d K – подматрица, определяющая работу на кручение (размер 2х2). Очевидно, что [ ] a K полностью совпадает с матрицей жесткости фер- менного элемента в местной системе координат (см. формулу (11.8)). Как известно, широко используемая на практике техническая теория изгиба балки базируется на гипотезе плоских сечений Бернулли-Эйлера, со- гласно которой плоские до деформации поперечные сечения балки остаются после деформации плоскими и ортогональными к изогнутой оси. Очевидно, что эта гипотеза не учитывает деформации поперечного сдвига и применима для достаточно длинных балок. Используя данную кинематическую модель, можно получить 2 2 3 2 2 12 6 12 6 6 4 6 2 [ ] 12 6 12 6 6 2 6 4 z b l l l l l l EI K l l l l l l l − − = − − − − , (11.11) где z I – момент инерции поперечного сечения относительно оси z . При этом аппроксимация прогибов здесь осуществляется при помощи полинома треть - ей степени На практике также достаточно часто используется другая кинематиче - ская модель , основанная на гипотезе Тимошенко , согласно которой плоские до деформации поперечные сечения балки остаются после деформации пло - скими , но не обязательно ортогональными к изогнутой оси Такой подход по - зволяет в первом приближении учесть деформации поперечного сдвига ( они считаются постоянными по сечению ). Аппроксимация линейных и угловых перемещений здесь выполняется независимо , что дает возможность строить изопараметрические элементы различных порядков 11-9 Подматрицу [ ] c K можно получить из [ ] b K , меняя знаки во втором и четвертом столбцах , а также во второй и четвертой строках , соответствую - щих моментам и углам поворота Кроме того , вместо z I следует подставить y I ( момент инерции поперечного сечения относительно оси y ). И наконец , рассматривая кручение бруса , находим 1 1 [ ] 1 1 d GJ K l − = − , (11.12) где G – модуль сдвига ; J – момент инерции на кручение ( константа Сен - Венана ). Здесь также требуется преобразование матрицы жесткости к общей системе координат Таким образом , балочный элемент однозначно определяется двумя уз - лами , площадью поперечного сечения , моментами инерции сечения относи - тельно двух главных центральных осей , моментом инерции на кручение и свойствами материала Следует отметить , что при решении трехмерных задач здесь возникают трудности , связанные с ориентацией сечения бруса ( т е осей y и z ). 11.3 Тонкостенные конструкции Тонкостенные конструкции получили широкое применение , особенно при создании летательных аппаратов Точный расчет подобных конструкций на базе объемных моделей представляет весьма сложную задачу с большим числом неизвестных Однако , учитывая , что толщина здесь намного меньше двух других размеров , решение задачи можно упростить В данном случае три измерения являются неравноправными Поэтому следует попытаться отделить нормальную координату и свести трехмерные уравнения к двухмерным , т е к уравнениям , включающим только две незави - симые переменные Это можно сделать как формально математически , так и путем привлечения некоторых физических гипотез В результате получаются различные расчетные схемы : оболочка , пластина ( изгибная панель ), мембра - на ( безмоментная оболочка ), сдвиговая панель Оболочкой называется тело , ограниченное двумя криволинейными по - верхностями , расстояние между которыми мало по сравнению с прочими размерами Геометрическое место точек , равноудаленных от обеих поверх - ностей , называется срединной поверхностью 11-10 Оболочка в общем случае может работать на растяжение - сжатие и сдвиг в плоскостях , касательных к срединной поверхности , а также на изгиб и кручение Пластиной называется призматическое или цилиндрическое тело , вы - сота которого мала по сравнению с размерами в плане При расчете пластин обычно принимают допущение о недеформируемости срединной плоскости , т е учитывают только работу на изгиб и кручение Очевидно , что пластина является частным случаем более общей расчетной схемы – оболочки В теории пластин и оболочек простейшей и наиболее широко исполь - зуемой является гипотеза прямых нормалей Кирхгофа - Лява , согласно кото - рой любой прямолинейный элемент , нормальный до деформации к средин - ной поверхности , остается прямолинейным , нормальным к деформированной срединной поверхности и сохраняет свою длину Характерной особенностью данной гипотезы является то , что она не учитывает деформации поперечного сдвига и поэтому применима для расчета достаточно тонких пластин и обо - лочек Понятие « тонкая » зависит от типа задачи Но , вообще говоря , харак - терный размер пластины ( или оболочки ) должен , по крайней мере , в десять раз превышать ее толщину Другой кинематической моделью является гипотеза о независимом по - вороте нормали , согласно которой любой прямолинейный элемент , нормаль - ный до деформации к срединной поверхности , при деформировании не ис - кривляется , но в общем случае не остается нормальным к деформированной срединной поверхности Ее называют гипотезой типа Тимошенко ( или Миндлина - Рейсснера ). Она позволяет в первом приближении учитывать де - формации поперечного сдвига и поэтому применима к расчету умеренно тол - стых пластин и оболочек , а также композитных конструкций , обладающих достаточно высокой сдвиговой ( межслоевой ) податливостью Обе представленные выше гипотезы приводят к линейному распреде - лению по толщине тангенциальных перемещений , а , следовательно , и напря - жений в слоях , параллельных срединной поверхности ( рисунок 11.6, а и б ). В МКЭ для определения деформированного состояния конечного эле - мента оболочки ( или пластины ) необходимо выполнить аппроксимацию пе - ремещений срединной поверхности и углов поворота нормали через узловые перемещения При использовании классической гипотезы Кирхгофа - Лява аппроксимации подлежат только перемещения срединной поверхности , а уг - лы поворота нормали выражаются через производные от этих перемещений 11-11 Такой подход наталкивается на серьезные трудности , связанные с необходи - мостью обеспечить непрерывность поля перемещений , т е совместность ко - нечных элементов Применение же несовместных элементов не позволяет контролировать точность расчета Рисунок 11.6 – Распределение напряжений по толщине оболочки (а), пластины (б) и мембраны (в) Отмеченные трудности можно обойти , если воспользоваться независи - мой аппроксимацией перемещений и углов поворота нормали ( т е гипотезой типа Тимошенко ). Благодаря этому удается построить семейства конечных элементов изопараметрического типа , пригодных для расчета пластин и обо - лочек произвольной конфигурации Следует отметить , что изопараметрическими называются элементы , в которых аппроксимация перемещений и геометрии осуществляется с помо - щью одних и тех же соотношений В отличие от пластин оболочки за счет кривизны работают главным образом на растяжение - сжатие , а не на изгиб и кручение , что позволяет более выгодно использовать материал В инженерных расчетах довольно часто встречаются задачи , в которых напряжения практически не изменяются по толщине ( рисунок 1, в ). Напря - жения в этом случае не создают моментов , и поэтому такое напряженное со - стояние называют безмоментным При создании несущих тонкостенных кон - струкций всегда стремятся обеспечить их работу в основном как безмомент - ных оболочек ( или мембран ). В данном случае они получаются наиболее лег - кими Таким образом , мембрана – это также частный случай оболочки , когда ее изгибная жесткость полагается равной нулю Следует отметить , что тонкостенные конструкции без подкрепляющих ребер жесткости ( поясов ), как правило , не используются Следовательно , часто возникает потребность в учете этих подкреплений Для их моделирова - ния в МКЭ обычно применяют одноосные стрежневые ( ферменные ) элемен - а) б) в) h σ h σ h σ 11-12 ты Когда пояса обладают достаточно высокой изгибной и крутильной жест - костью , используют также и балочные элементы Если пояса мощные , а оболочка ( обшивка ) тонкая , то можно пренеб - речь ее работой на растяжение - сжатие и считать , что она работает только на сдвиг Таким образом , приходим к расчетной схеме в виде сдвиговой панели Очевидно , что сдвиговая панель является частным случаем мембраны 11.4 Использование объемных моделей Как отмечалось ранее , для одной и той же конструкции можно исполь - зовать различные расчетные схемы Рассмотрим в качестве примера трубо - проводную систему Для нее простейшей расчетной схемой является балоч - ная модель Она относится к классу линейных , поскольку здесь геометрия трубопровода представляется его осевой линией Следующей по сложности расчетной схемой трубопровода является оболочечная модель В этом случае геометрия трубы описывается ее средин - ной ( цилиндрической ) поверхностью И наконец , самой сложной ( детальной ) расчетной схемой является объ - емная модель , когда труба рассматривается как трехмерное тело Следует отметить , что при переходе от балочной модели к оболочеч - ной , а также от последней к объемной число степеней свободы ( т е количе - ство неизвестных перемещений ) возрастает практически на порядок Таким образом , объемная модель с одной стороны является самой точ - ной , самой подробной расчетной схемой , а с другой – она зачастую предъяв - ляет чрезмерно высокие требования к ресурсам компьютера Кроме того , при использовании объемной модели практически единственно возможным спо - собом изображения результатов расчета является многоцветное представле - ние поля выходной величины , что затрудняет их анализ Обычно объемные модели используются для конструкций , которые в виду особенностей геометрии , материалов , нагружения или требуемых ре - зультатов не могут анализироваться при помощи более простых расчетных схем Они также часто применяются , когда геометрия импортируется из CAD- систем и преобразование модели в плоскую , балочную или оболочеч - ную требует слишком много времени 11-13 11.5 Практические рекомендации и некоторые замечания • Реальные конструкции не содержат сингулярностей Они возникают при упрощении модели Сингулярности – это участки конечно - элементной модели , где напряжения неограниченны Причинами их появления являются : − точечная нагрузка ( например , сосредоточенные силы и моменты ); − точечное закрепление ( сила реакции ведет себя подобно сосредоточенной силе ); − угол с нулевым радиусом скругления В окрестности сингулярности по мере сгущения сетки значение напряжения увеличивается без верхних ограничений ( если не учитывать пластичность ). Следует отметить , что указанные выше причины не приводят к появлению сингулярностей при моделировании стержневых конструкций одноосными ( ферменными ) и балочными элементами • Если сингулярности отдалены от наиболее важных зон , их можно просто игнорировать при анализе результатов расчета Например , перед ото - бражением на экране дисплея поля напряжений здесь можно удалить из ак - тивного набора соответствующие элементы • Если же сингулярности расположены в интересующей зоне , следует скорректировать модель : − заменить точечную силу эквивалентным давлением ; − « разнести » точечное закрепление на группу узлов ; − ввести скругления углов • При высоких требованиях к точности вычисления напряжений необ - ходимо использовать подробную ( мелкую ) разбивку с детальным моделиро - ванием интересующих зон конструкции Любые упрощения модели могут привести к большим погрешностям Здесь обязательно должна быть прове - рена сходимость решения по напряжениям • Если интерес представляют лишь перемещения или номинальные напряжения , то можно использовать сравнительно грубую сетку Незначи - тельные детали геометрии здесь могут быть опущены • При выполнении модального анализа или анализа общей устойчиво - сти также можно опустить мелкие детали Низшие формы колебаний можно отследить на достаточно грубой сетке Сложные формы колебаний могут по - требовать равномерной , сравнительно мелкой разбивки • Всегда следует проверять решение на приемлемость и логичность Здесь необходимо дать ответы на следующие вопросы : 11-14 − Прежде всего , убедитесь , правильны ли перемещения ? Напряжения явля - ются результатами уже « второй очереди ». − Согласуются ли результаты МКЭ - анализа с « ручными » расчетами или с экспериментом ? − Уравновешивают ли силы реакции приложенные нагрузки ? − Где обнаружены максимальные напряжения ? Если это область сингуляр - ности , то данные значения , вообще говоря , бессмысленны − Адекватна ли разбивка ? • Если перемещения являются достаточно большими ( т е соизмери - мыми с размерами тела ) или напряжения превысили предел текучести , то ли - бо неправильно задана нагрузка , либо следует выполнить уже нелинейный анализ |