Шпора по физике [3 семестр]. Интерференция света световая волна

• Название: Интерференция света световая волна
• Анкор: Шпора по физике [3 семестр].doc
• Дата: 03.02.2018
• Размер: 1.6 Mb.
• Имя файла: Шпора по физике [3 семестр].doc
• Тип: Закон; #15151
• Категория: Физика
• страница: 14 из 24

ПРИМЕРЫ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

ДВИЖЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ

Рассматриваем микрочастицу, которая совершает

одномерные движения в потенциальном поле,

удовлетворяющим следующим условиям:

U(x)={0, 0
поле называется потенциальной ямой. Уравнение

Шредингера для такой микрочастицы запишем

d(c.2)ψ/dx(c.2) + (2m/h(в)(с.2))*E ψ = 0 (1) одномерное движение. Решение этого уравнения будем искать в виде ψ(x)=A e(c.ikx)+B e(c.-ikx) (2),

A, B – некоторые констаты, k=√2mE/h(в)(с.2)`. Перепишем (2) в виде:

ψ(x)=(A+B)coskx+i(A-B)sinkx (3). На стенках потенциальной ямы и за ее пределами потенциальная энергия равна бесконечности, поэтому вероятность того, что микрочастица покинет яму и выйдет за ее пределы равна нулю. |ψ(x)|(c.2)=0, при x≤0 и x≥a. Из условия непрерывности волновой функции следует, что это условие выполняется, если сама волновая функция при этих значениях координат равна нулю.

ψ(0)=ψ(a)=0 (4). Выражение (4) определяет те условия, которым должны удовлетворять решения уравнения (1), имеющие физический смысл. Воспользуемся (4), ψ(x)=0, x≤0. Чтобы (3) обратилось в ноль, необходимо, чтобы (A+B)coskx=0, A= - B, и (3) перепишем в виде ψ(x)=i2Asinkx (5). Воспользуемся вторым граничным условиям ψ(х)=0 при x≥a. Выполняется при k, удовлетворяющем k(индекс n)*a=πn; k(инд.n)=πn/a, n=1,2,3…,

n≠0, т.к. ψ(x)=0. Подставим полученное условие в (5): ψ(x)=

=i2Asin(πnx/a) (6). Для нахождения параметра А воспользуемся условием нормировки ∫[0 – a] |ψ|(c.2)dx=1. Подставим это в выражение (6):

4A(c.2)∫[0 – a]sin(c.2)(πnx/a)dx=1. В этом выражении подинтегральная функция на концах промежутка интегрирования равна нулю, то интеграл равен среднему значению подинтегральной функции на промежутке интегрирования. 4А(с.2) ½ a=1; A=√1/2a`; Подставим А в выражение (6):

ψ(x)=i √2/a` sin(πnx/a) (7) – волновая функция, описывающая движение в потенциальной яме. Квадрат модуля волновой

функции определяет вероятность обнаружить

микрочастицу на различных растояниях от стенок ямы.

Придавая в (7) n=1,2,3, получим распределение

плотности вероятности на различных расстояниях от

стенок ямы. Такое поведение микрочастицы в

потенциальной яме противоречит представлениям классической физики, согласно которой все положения микрочастицы в потенциальной яме равновероятны. Уравнение Шредингера приводит также к выводу о том, что энергия микрочастицы в потенциальной яме квантована.

k=√1mE/h(в)(с.2)`; k(индекс n)=πn/a;

2mE(индекс n)/h(в)(с.2)=π(c.2)n(c.2)/a(c.2); En=π(c.2) h(в)(с.2)n (c.2)/2ma(c.2)

Итак, энергия микрочастицы в потенциальной яме квантована и может быть представлена в виде уровней энергии. ∆E=(n+1)(c.2)*(π(c.2)h(в)(c.2)/2ma(c.2)) – n(c.2)π(c.2)h(в)(с.2)/2ma(c.2)=

=(2n+1)π(c.2)h(в)(c.2)/2ma(c.2). Это показывает, что в отличие от Боровских представлений уровни расходятся.

Из условия непрерывности волновой функции вывели, что

энергия микрочастицы в потенциальной яме квантована.

Условие квантования энергии микрочастицы зависит от

потенциальной ямы, и массы микрочастицы.
ДВИЖЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦЫ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР

Пусть микрочастица движется в положительном направлении оси х и на своем пути встречает прямоугольный потенциальный барьер ширины L и высоты Uo. C точки зрения классической физики, если

Uo
проходит над барьером. Если Uo>E, то микрочастица

отражается от барьера и летит обратно. С точки зрения квантовой

механики существует отличная от нуля вероятность, что

микрочастица просочится через барьер при условии, что Uo>E, и окажется x>L. Уравнение Шредингера запишем в виде:

∂(c.2)ψ/∂x(c.2) + 2mEψ/h(в)(с.2)=0 (для первой и третьей областей).

∂(c.2)ψ/∂x(c.2) + 2m(E-Uo)ψ/h(в)(с.2)=0 (для второй области). Решение этого уравнения будем искать в виде ψ1(x)=A1 e(c. i α x)+B1 e(c. – i α x) (I)

α=√2mE/h(в)(с.2)`; ψ3(x)=A3 e(c.i α x) + B3 e(c. – i α x) (III) (B3=0);

ψ2(x)=A2 e(c.βx) + B2 e(c. –βx) (II) β=√2m(Uo – E)/h(в)(с.2)`. Решение уравнения Шредингера приводит к выводу, что вероятность прохождения микрочастицы через потенциальный барьер определяется коэффициентом прозрачности барьера D=|ψ3|(c.2)/ |ψ1|(c.2) (отношение квадрата волновой функции, прошедшей через потенциальный барьер на квадрат волновой функции, падающей на барьер). D=|ψ3|(c.2)/ |ψ1|(c.2)=e(c. –2βL)=

=e(c. –2/h(в)√2m(Uo – E)` L). Как видно, вероятность прохождения микрочастицы через потенциальный барьер зависит от ширины барьера, от превышения высоты барьера над энергией микрочастицы и от массы.

Если барьер имеет произвольную форму, то

D≈e(c. – i/h(в)(с.2)∫[a – b]√2m(Uo – E)`dx. При преодолении

потенциального барьера микрочастица проходит как бы

сквозь тунель барьера, поэтому это явление носит название

тунельного эффекта. С точки зрения классической физики

тонельный эффект представляется абсурдным, т.к. находясь в тонеле потенциального барьера микрочастица должна обладать “-“ кинетической энергии (т.к. E нельзя разложить полную энергию микрочастицы на определенное значение кинетической и потенциальной энергии.
ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЯТОР (ГО).

ГО называют материальную точку, совершающую одномерные движения около положения равновесия под действием квази-упругой силы. F= - kx;

k – силовая констата или коэфициент упругости. U=kx(c.2)/2, ω0=√k/m`

U=m ω0 (c.2) x (c.2) / 2. Амплитудное уравнение Шредингера, определяющее стационарное состояние гармонического осцилятора.

∂(c.2)ψ/∂x(c.2) + 2m/h(в)(с.2) * (E – m ω0(c.2)x(c.2)/2)ψ=0, E – полная энергия ГО. Это уравнение имеет однозначные непрерывные и конечные решения при значениях E=(V+ ½)h(в)(с.2)ω0; V=0,1,2,3… - колебательное квантовое число. => энергия ГО квантована и может быть представлена в виде уровней энергии (см. рисунок). Самое малое

значение энергии ГО получается при значении V=0,

E=(1/2)* h(в)(с.2)ω0 – нулевая энергия ГО, наличие

которой при дальнейших исследованиях было установлено

экспериментально. При исследовании рассеяния света на

кристаллах при низких температурах оказалось, что интенсивность рассеиваемого света при понижении температуры стремится не к нулю, а к некотрому констатному значению, которое и получило название нулевой энергии, и показало, что колебания узлов кристаллической решетки не прекрашаются и в области температур, близких к абсолютному нулю, квантовая механика дает возможность рассчитывать вероятность перехода с одного энергетического уровня на другой. Применительно к ГО решение уравнения Шредденгера приводит к выводу, что возможны лишь такие переходы между энергетическими состояниями, при которых квантовое число меняется на 1, ∆V=+ - 1. Это означает, что ГО излучает лишь одну частоту, т.е. энергия ГО меняется порциями, кратными h(в)ω, что совпадает с представлениями Планка.