Курсовая. Курсовая работа Гнездилов Р.Г ИТ-81з. Исследование систем массового обслуживания с ожиданием

• Название: Исследование систем массового обслуживания с ожиданием
• Анкор: Курсовая
• Дата: 12.05.2022
• Размер: 1.32 Mb.
• Имя файла: Курсовая работа Гнездилов Р.Г ИТ-81з.docx
• Тип: Курсовой проект; #525817
• страница: 4 из 8

1.4 Процессы размножения и гибели

Изучим более подробно процесс размножения и гибели. На рисунке 3 изображен граф состояний этого процесса. Возможными состояниями процесса являются состояния S₀, S₁ ,…, S_k ,…, представляющие собой вершины графа, возможные переходы процесса из состояния в состояние – дуги графа, рядом с которыми указаны интенсивности соответствующих переходов. Пусть λ_i – интенсивность размножения в состоянии S_i-1, µ_i - интенсивность гибели в этом состоянии.
Рисунок 3 – Граф состояний процесса размножения и гибели
Для иллюстрации изучим систему, состоящую из нескольких банкоматов, моделируя ее работу с помощью случайного процесса размножения и гибели. Состояние S_k соответствует тому положению, когда в системе находится k посетителей, λ_i – среднее число посетителей, посетивших систему обслуживания в единицу времени при условии, что в системе обслуживания уже находится точно i-1 посетителей, µ_i – среднее число посетителей, обслуженных банкоматами в единицу времени при условии, что в системе обслуживания находится точно i посетителей. Будем предполагать, что эти интенсивности не зависят от времени. Укажем на графе также вероятности p_k(t) того, что в момент t процесс находился в состоянии S_k [6].

В случае процесса размножения и гибели система дифференциальных уравнений принимает вид (7):






(7)

…



Запишем нормировочное условие (8):
(8)

Которое следует из того, что в момент времени t = 0 процесс находится в каком-то состоянии, а эти события несовместные и образуют полную группу.

Решая систему дифференциальных уравнений (7) с учетом начальных условий, можно определить значения интересующих нас вероятностей.

При выполнении некоторых условий вероятности p_k (t) с ростом времени t стремятся к стационарным вероятностям p_k, не зависящим от времени. На практике вычислительный интерес часто представляют именно эти стационарные вероятности p_k. Так как они не зависят от времени, то p’_k(t)=0, и мы из системы дифференциальных уравнений (7) для стационарного случая мы получим следующую систему алгебраических уравнений, к которой добавлено нормирующее условие:








(9)

…




Решая систему (9), последовательно получаем: из первого уравнения p₁. Подставив полученное выражение для p₁ во второе уравнение, разрешим его относительно p₂.

Подставив выражение для p₂ в третье уравнение, выразим p₃ через p₀ и т.д. Из k-го уравнения получим (10):
(10)
Обозначим
(11)
тогда p_k=A_kp₀ , и последнее уравнение в системе (9) можно описать в виде
p₀ + A₁p₀ + A₂p₀ + ... + A_kp₀ + ... = 1,
Где

Таким образом,

(12)
где A_k определяются равенствами (11). Вероятно, для существования

стационарных вероятностей p_k необходимо, чтобы ряд был сходящимся.

1.5 Кодирование систем массового обслуживания
Для того, чтобы различать системы массового обслуживания мы будем пользоваться кодировкой систем, предложенной Д.Г. Кендаллом. Систему принято обозначать в виде символического представления: A/ B / r / m. Первая компонента A характеризует входящий поток заявок, вторая компонента B характеризует время обслуживания заявок, число r - количество обслуживающих каналов, m - число мест для ожидания в очереди (емкость накопителя). Если A = M, то входящий поток заявок есть процесс Пуассона, если A = E_k, то поток заявок есть поток Эрланга k –го порядка с плотностью распределения времени между соседними заявками. Если A = D, то поток заявок регулярный, то есть заявки приходят через равные промежутки времени. Если A = G , то поток общего вида.

Аналогичные обозначения имеют место для параметра B. Если B = M, то время обслуживания заявки является экспоненциальным, если B = E_k, то время обслуживания заявки имеет распределение Эрланга k -го порядка. Если B = D , то время обслуживания заявки постоянно. Если B = G , то время обслуживания есть случайная величина общего вида. Так, например, система M / M /1/ 0 представляет собой одноканальную систему с отказами с пуассоновским входящим потоком заявок и экспоненциальным временем обслуживания.

Дополнительные условия (обратный приоритет обслуживания, ненадежность обслуживающих каналов и т.д.) содержатся в словесном описании системы массового обслуживания [7].