Новиков учебник. Изложение одноименной книги

• Название: Изложение одноименной книги
• Анкор: Новиков учебник
• Дата: 27.04.2023
• Размер: 101.59 Kb.
• Имя файла: Novikov_DA_Statisticheskie_metody_v_pedagogiche.docx
• Тип: Изложение; #1093318
• страница: 5 из 7

Критерий Вилкоксона-Манна-Уитни²⁹. Данный критерий оперирует не с абсолютными значе- ниями элементов двух выборок, а с результатами их парных сравнений. Например, существенно, что учащийся Петров решил больше задач, чем учащийся Иванов, а на сколько больше – не важно.

Возьмем две выборки³⁰: {x_i}_i=1…Nи {y_j}_j=1…Mи для каждого элемента первой³¹ выборки x_i, i=1…N,

определим число a_iэлементов второй выборки, которые превосходят его по своему значению (то есть



²⁴ Критерий Крамера-Уэлча является более эффективным "заменителем" такого известного в физике и технике критериякакt-критерий(критерийСтьюдента).

²⁵ Критерий Вилкоксона-Манна-Уитни плохо применим в условиях, когда число отличающихся друг от друга значений ввыборкахмало.

²⁶ Две выборки могут иметь одинаковые средние (то есть, критерий Крамера-Уэлча установит совпадение средних), норазличаться, например, разбросом. Те различия, которые не выявит критерий Крамера-Уэлча, могут быть выявлены кри-териемВилкоксона-Манна-Уитни.

²⁷ Корректнее говорить, что достоверность различий составляет не менее 95%, однако, так мы условились считатьдостаточной95%-уюдостоверностьразличий, тобудемговорить, чтодостоверностьразличийсоставляет95%.

²⁸ Для сокращения ручных расчетов средние и дисперсии могут быть вычислены в рамках описательной статистики вкомпьютернойпрограммеMicrosoftExcelдля Windows –см.выше таблицу6.

²⁹ Существуют два критерия – Вилкоксона и Манна-Уитни, однако, так как они однозначно связаны между собой, будемговоритьободномкритерииВилкоксона-Манна-Уитни.

число таких y_j, что y_j>x_i), а также число b_iэлементов второй выборки, которые по своему значению равны ему (то есть число таких y_j, что y_j=x_i). Сумма


2

N
a+ a+ …+a+¹ (b+ b+…+b) = +¹ N

1 2 N ₂ 1 2

N_a_i

i1

^bi

i1

по всем Nчленам первой выборки называется эмпирическимзначениемкритерияМанна-Уитнии обо- значается U.

Определим эмпирическоезначениекритерияВилкоксона:

| ^NM U|

3. 
   W_эмп =2 .
   

Алгоритм определения достоверности совпадений и различий для экспериментальных данных, из- меренных в шкале отношений, с помощью критерия Вилкоксона-Манна-Уитни заключается в следую- щем:

1. 
   Вычислить для сравниваемых выборок W_эмп– эмпирическое значение критерия Вилкоксона по формуле (4).
   
2. 
   Сравнить это значение с критическим значением W_0.05 = 1,96: если W_эмп1,96, то сделать вывод: "характеристики сравниваемых выборок совпадают с уровнем значимости 0,05"; если W_эмп > 1,96, то сделать вывод "достоверность различий характеристик сравниваемых выборок составляет 95%".
   

В качестве примера применим алгоритм для данных из таблицы 1.

Для этого сравним сначала числа правильно решенных задач в контрольной и экспериментальной группе до начала эксперимента. В таблице 8 приведены результаты экспериментальной группы (второй столбец), и контрольной группы (пятый столбец), а также для каждого члена экспериментальной груп- пы подсчитано число членов контрольной группы, решивших строго большее (чем он) число задач, плюс полусумма числа членов контрольной группы, решивших такое же (что и он) число задач (третий столбец). Например, в таблице 8 серым цветом в пятом столбце помечены члены контрольной группы, правильно решившие строго большее число задач, чем первый член (то есть i = 1) экспериментальной группы, который правильно решил 12 задач. Значит x₁ = 12 и число таких y_j, что y_j > x₁равно 16. Следо- вательно, a₁ = 16. Число таких y_j, что y_j = x₁равно 2. Следовательно, b₁ = 2. Итак, a₁ + b₁ / 2 = 17, то есть число затененных ячеек равно 17. Записываем это число во вторую строку третьего столбца. Аналогич- но заполняются остальные строки третьего столбца.

Таблица8

Пример вычисления эмпирического значения критерия Манна-Уитни

Номер члена эксперименталь- ной группы i	Число задач, правильно ре- шенных i-ым членом экспери- ментальной группы до начала эксперимента xi	Число членов контрольной группы, пра- вильно решив- ших строго большее число задач, чем i-ый член эксперимен- тальной группы ai + b i/ 2	Номер члена контрольной группы j	Число задач, правильно ре- шенных j-ым членом кон- трольной группы до начала экспе- римента yj
1	12	17	1	15
2	11	19,5	2	13
3	15	9	3	11
4	17	5	4	18
5	18	4	5	10
6	6	28,5	6	8
7	8	24,5	7	20

³⁰ОграничениенаиспользованиекритерияВилкоксона-Манна-Уитниследующее:каждаявыборкадолжнасодержатьнеменеетрех элементов,еслижеводнойизвыбороквсегодваэлемента, тововторойихдолжнобыть неменеепяти.

³¹Какуювыборкусчитатьпервой,акакуювторой,неимеетзначения,хотяпривычисленияхудобнеепервойсчитатьтувыборку, в которойменьшечленов.

Номер члена эксперименталь- ной группы i	Число задач, правильно ре- шенных i-ым членом экспери- ментальной группы до начала эксперимента xi	Число членов контрольной группы, пра- вильно решив- ших строго большее число задач, чем i-ый член эксперимен- тальной группы ai + b i/ 2	Номер члена контрольной группы j	Число задач, правильно ре- шенных j-ым членом кон- трольной группы до начала экспе- римента yj
8	10	21,5	8	7
9	16	6	9	8
10	12	17	10	12
11	15	9	11	15
12	14	12	12	16
13	19	2	13	13
14	13	14,5	14	14
15	19	2	15	14
16	12	17	16	19
17	11	19,5	17	7
18	16	6	18	8
19	12	17	19	11
20	8	24,5	20	12
21	13	14,5	21	15
22	7	27	22	16
23	15	9	23	13
24	8	24,5	24	5
25	9	22,5	25	11
–	–		26	19
–	–		27	18
–	–		28	9
–	–		29	6
–	–		30	15

Сумма всех 25 чисел в третьем столбце таблицы 8 дает эмпирическое значение критерия Манна- Уитни U = 373. Вычисляем по формуле (4) значение W_эмп= 0,0338 1,96. Следовательно, гипотеза о том, что сравниваемые выборки совпадают, принимается на уровне значимости 0,05.

Теперь аналогичным образом (построив таблицу, аналогичную таблице 8, и вычислив эмпирическое значение критерия Вилкоксона) сравним числа правильно решенных задач в контрольной и экспери- ментальной группе после окончания эксперимента. Вычисляем по формуле (4) значение W_эмп= 2,1974 > 1,96. Следовательно, достоверность различий сравниваемых выборок составляет 95%.

Итак, начальные (до начала эксперимента) состояния экспериментальной и контрольной групп сов- падают, а конечные (после окончания эксперимента) – различаются. Следовательно, можно сделать вывод, что эффект изменений обусловлен именно применением экспериментальной методики обучения. Методикаопределениядостоверностисовпаденийиразличийдляэкспериментальныхдан- ных,измеренныхвпорядковойшкале. Рассмотрим случай, когда используется порядковая шкала с Lразличными баллами. Характеристикой группы будет число ее членов, набравших тот или иной балл. Для экспериментальной группы вектор баллов есть n=(n₁,n₂,…,n_L), где n_k– число членов эксперимен- тальной группы, получивших k-ый балл, k=1,2,…,L. Для контрольной группы вектор баллов есть m=(m₁,m₂,…, m_L), где m_k– число членов контрольной группы, получивших k-ый балл, k=1,2,…,L.

Для рассматриваемого нами числового примера (L=3 – "низкий", "средний" или "высокий" уровень знаний) данные приведены в таблице 4.

Для данных, измеренных в порядковой шкале (см., например, таблицу 4), целесообразно использо- вание критерияоднородности² ("хи" – буква греческого алфавита, название критерия читается: "хи-

квадрат"), эмпирическое значение та приведен ниже):

2


c
эмп

которого вычисляется по следующей формуле³² (пример расче-

(

L
ⁿi_ ^mi₎²

3. 
   c²
   

=N M _^{N M} .

эмп

i1 ^{ni mi}

Критические значения

2


c
0.05

критерия ² для уровня значимости 0,05 приведены в таблице 9 (стати-

стические таблицы критических значений статистических критериев для различных уровней значимо- сти и различных – в том числе больших 10 – градаций шкалы отношений можно найти, практически, в любом учебнике по статистическим методам или в специальных статистических таблицах).

Критические значения критерия ² для уровня значимости a=0.05

Таблица9

L–1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
c2 0.05	3,84	5,99	7,82	9,49	11,07	12,59	14,07	15,52	16,92