Методика. курсовая методика математика улучшенная. Кафедра математики и методики обучения математике методика обучения учащихся тождественным преобразованиям рациональных выражений

• Название: Кафедра математики и методики обучения математике методика обучения учащихся тождественным преобразованиям рациональных выражений
• Анкор: Методика
• Дата: 13.02.2023
• Размер: 319.54 Kb.
• Имя файла: курсовая методика математика улучшенная.docx
• Тип: Курсовая; #934251
• страница: 3 из 6

Выражения и их виды

В течение всего курса математики учащиеся многократно встречаются с выражениями и учатся работать с различными их видами. Выражения, которые содержат операции сложения, вычитания, умножения, деления, извлечением квадратного корня, возведение в степень, возведения в степень с дробными показателями, знаками логарифма, знаками косинуса.

Алгебраические выражения включают в себя только те выражения, которые содержат такие действия над переменными, как сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корня, возведение в степень с рациональным показателем.

Алгебраические выражения включают в себя два класса:

1. 
   рациональные, включают в себя только те выражения, в которых выполняются действия сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень;
   
2. 
   иррациональные, включают в себя только те выражения, в которых выполняются действия по извлечению корня, возведению в степень с дробным показателем.
   

Также рациональные выражения можно разбить на два класса:

1. 
   множество целых выражений, которые включают только те выражения, в которых не содержится деление на выражение с переменными;
   
2. 
   множество дробных выражений, которые включают только те выражения, в которых содержится деление на выражение с переменными в степень с отрицательными показателями.
   

В ходе обучения школьной программы также рассматриваются неалгебраические выражения, в которых содержатся переменные под знаками lg, sin, cos, tg, со знаком модуля, с операциями возведения в степень с иррациональными показателями.

Необходимо отметить, что выражения lg 2, sin 1 даже при наличии знаков логарифма и синуса являются алгебраическими, потому что под ними находятся не переменные, а числа.

Основная программа формирования умений и навыков при выполнении тождественных преобразований выражений приходится на курс алгебры, начиная с 7 класса основной школы. Это зависит от увеличения чисел и расширения знаний о совершаемых преобразованиях, с усложнением действий по обоснованию и выяснению критерий их применения, с выделением и исследованием обобщенных понятий тождества, равносильного преобразования, тождественного преобразования, логического следования [1].

Этапы освоения применения преобразований формул и буквенно-числовых выражений.

1. 
   Начала алгебры. Этап характерен использованием нерасчлененной системы преобразований; она представлена правилами выполнения действий над одной или обеими частями формулы.
   

Рассмотрим на примере.

Решить уравнение: а) 7х − 3х =4

Упростим уравнение, воспользовавшись распределительным законом

7х − 3х = (7 − 3)х.

Основанное на этом a тождестве тождественное преобразование переводит данное уравнение в равносильное ему уравнение 4х = 4

Главная мысль решения лежит в упрощении данных формул с использованием нескольких правил.

На данном этапе продолжается формирование навыков применения конкретных видов преобразований. Система правил и способов проведения преобразований имеет очень широкую область приложений, то есть исследуется на протяжении всего курса математики и используется на этапе начал алгебры. Впрочем, данная система нуждается в дополнительных преобразованиях, которые предусматривают особенности структуры преобразуемых выражений. С введения формул сокращенного умножения наступает освоение соответствующих видов преобразований. Далее рассматриваются преобразования, которые связанны с операцией возведения в степень, а также с различными классами элементарных функций – степенных, показательных, тригонометрических, логарифмических. Каждый из этих типов преобразований должен пройти этап изучения, на котором концентрируется внимание на освоении их отличительных особенностей.

По мере накопления материала возникает возможность на базе выделения общих особенностей рассматриваемых преобразований ввести понятия тождественного равносильного преобразований.

Преобразования разделяют на два класса: тождественные преобразования как преобразования выражений и равносильные преобразования как преобразования формул. В случае, если появляется потребность упростить одну часть формулы, то в ней выделяется выражение, которое и служит аргументом для применяемого тождественного преобразования. Соответствующий предикат при этом считается постоянным [8].

2. 
   Организация целостной системы преобразований (синтез).
   

Основной целью данного этапа, считается составление гибкого и мощного аппарата, который будет пригоден для применения в решении различных учебных заданий. Второй этап исследования преобразований разворачивается на протяжении всего курса алгебры неполной средней школы. Переход к третьему этапу происходит при итоговом повторении курса в процессе осмысления уже усвоенного по частям материала, по отдельным типам преобразований.

3. 
   Целостная система преобразований в курсе алгебры и начал анализа, не прекращает постепенное улучшение, когда основные черты уже сформированы. К уже изученным видам преобразований прибавляются новые, относящиеся к тригонометрическим функциям, дополняющие её структуру. Обязательно упоминание о специфическом виде преобразования выражений, которые основываются на правилах дифференцирования и интегрирования; выражений, содержащих предельные переходы, и преобразования.
   

Основным отличием между алгебраическими и аналитическими выражениями можно назвать различие в характере множества, которые проходят переменные в тождествах. В алгебраических тождествах переменные пробегают числовые области, а в аналитических тождествах этими множествами являются определенные множества функций. Наиболее чётко это прослеживается на простейшем примере формулы, выражающей правило дифференцирования суммы: = ; где x и y – переменные, которые пробегают множество дифференцируемых функций с общей областью определения. Не обращая внимания на то, что отмеченное различие не фиксируется в обучении в курсе алгебры и начала анализа, практика демонстрирует, что рассматриваемые преобразования усваиваются довольно уверенно; этому способствует их внешнее сходство с преобразованиями алгебраического типа [8].

3. 
   Целые рациональные выражения
   

Рациональным выражением является выражение, в котором, относительно входящих в него переменных и чисел, не выполняется никаких других операций помимо операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень.

Рациональные выражения – это целые и дробные выражения.

Пример рациональных выражений: 8, 54 + х, .

Целые рациональные выражения не содержат в знаменателе дроби переменную, т. е. приведённые выше примеры отражают целые рациональные выражения.

Целыми выражениями называют такие выражения, в состав которых входят числа и переменные, операции сложения, вычитания, умножения и деления на число, не равное нулю, но не содержащие деления на переменные и извлечения корня (возведения в степень с дробным показателем, в частности).

Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.

Множество всех допустимых значениях переменных называют областью определения алгебраического выражения.

Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных, так как для нахождения значения целого выражения нужно выполнить действия, которые всегда возможны [15].

Приведём примеры:

3. 
   Дробные рациональные выражения
   

Выражение вида –    называется дробью.

Дробь, у которой числитель и знаменатель являются многочленами, называют рациональной дробью.

В этой части мы рассмотрим дробные выражения.

Дробные выражения отличаются от целых тем, что они содержат деление на выражение с переменными.

Примеры дробных выражений: ; .

Объединением множеств целых и дробных выражений является множество рациональных выражений.

Если в рациональном выражении заменить переменные числами, то получим числовое выражение. Однако эта замена возможна только тогда, когда она не приводит к делению на нуль.

Дробное выражение при некоторых значениях переменных может не иметь смысла [12].

Приведём примеры.

1. 
   Выражение 24 +    — не имеет смысла при = 0. При всех остальных значениях , это выражение имеет смысл.
   
2. 
   Выражение  +  имеет смысл при тех значениях   и , когда .
   

В рациональной дроби допустимыми считаются те значения переменных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби.

Например, выражение при = 7 не имеет смысла, потому что числового значения этого выражения при = 7 не существует. При всех других значениях a это выражение имеет смысл.

В рассмотренном выше примере областью определения выражения является множество всех чисел, кроме = 7 .

Подмножеством множества рациональных выражений является множество рациональных дробей. Это дроби, числителями и знаменателями которых являются многочлены. Поэтому рациональные выражения ; ; ; являются примерами рациональных дробей.

Рациональная дробь может быть, как целым выражением, так и дробным. Знаменатель рациональной дроби не может быть нулевым многочленом, т. е. многочленом, тождественно равным нулю.

Рассмотрим основное свойство рациональной дроби.

Равенство 8 − 3 + 7 + 12 = 15 + 9 является тождеством, так как оно выполняется при любых значениях .

Равенство = также естественно считать тождеством, однако, при = −5 рациональные дроби, которые входят в данное равенство, не имеют числового значения.

Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получим дробь тождественно равную данной.

Данное свойство является основным для рациональной дроби, его запись ведётся таким образом:

=

Где А, В, С – многочлены, при этом многочлены В и С ненулевые.

Согласно этому свойству выражение можно заменить на тождественно равную дробь . Такое тождественное преобразование называют сокращением дроби на множитель C.

Из основного свойства дроби следует, что = и = .

Каждую из дробей и можно записать в виде выражения , то есть = = .