Матрицы. Конспект лекций, читаемых в курсе Высшая математика

• Название: Конспект лекций, читаемых в курсе Высшая математика
• Дата: 17.12.2020
• Размер: 95.27 Kb.
• Имя файла: Матрицы.docx
• Тип: Конспект; #161551
• страница: 4 из 13

§ 1.12 Приведённые матрицы

Определение. Матрица называется приведѐнной, если в каждой еѐ ненулевой строке найдѐтся хотя бы один ненулевой элемент (он называется ведущим) такой, что в его столбце остальные элементы —нули.
Например, следующая матрица A имеет приведѐнный вид
_ 0 0 0 4 2 _


^ 2

A 

 1 0 1



0 _.

^ 0 0



_ 0 0

0 0 0 ^



1  1 0 _

Ведущими элементами являются в первой строке —

a₁₅  2 , во второй строке —

^{a21  2, a22  1}, в четвертой строке

a  1. Заметим, что ведущий элемент в строке не

44
обязан быть единственным (см. вторую строку).
Теорема. Любая матрица путем конечного числа элементарных преобразований строк может быть сведена к приведенному виду.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть матрица A имеет вид

^{ a}11


a


21

^a12 ^a22
 a_1k

 a_2k
^{ a1n}


a


^ 2n

 

^       <sup>

</sup> a a  a  a ^

 ^{i1 i2 ik in} 

^       ^




m1

m2

mk mn
^ a a  a  a ^
Воспользуемся определением приведенной матрицы.

Если первая строка нулевая, переходим ко второй и т.д., пока не найдем ненулевую строку. В ненулевой строке (пусть это будет i -я строка) выбираем ненулевой элемент (пусть это будет элемент a_ik ).

Совершим над матрицей следующие элементарные преобразования:

C  C

^a11 _{, C}


 C ^a21 ,


…., C

_{ C} ^ai1,1 _{, C}


 C ^ai1,1 , …, C


 C ^am1 .

a

i
1 i 2

i1

^ai1

i1

^ai1

i1

m i

i1 i1

i1

a

i

i

a
Очевидно, после этого все элементы i -го столбца, кроме элемента a , станут

нулевыми. Затем выбираем следующую ненулевую строку, в ней ненулевой элемент и производим аналогичные преобразования со строками матрицы. За конечное число шагов переберем все ненулевые строки, после чего получаем матрицу, которая по определению будет приведенной.

 <sup>3 3 5

</sup> 1 1 3

^{2 3} 

2 3 ^

Пример 14. Пусть

A ^{ } . Сведѐм матрицу к приведѐнному виду.

^ 2 2 8

^ 2 2 4

3 9 ^

1 3 ^

 

Р е ш е н и е .

Возьмѐм в качестве ведущего элемент

a  1 (ведущие элементы будем выделять

21
круглыми скобками) и выполним указанные преобразования:

3	3	5	2
(1)	1	3	2
2	2	8	3
2	2	4	1

 ³  _C

• 
  3C
  

 ₃ 1 2

^{ } C₃  2C₂ .

 ₉ 

_{ 3} C₄  2C₂

 

В итоге получим матрицу

 ^{0 0 4 4 6} 

^ (1) 1 3 2 3 ^

 

^ 0 0 2 1 3 <sup>

</sup> 0 0 2 3 3 ^

 

На следующем шаге в качестве ведущего возьмѐм элемент указанные преобразования и в итоге получим:

a₃₃  2 , выполним

 ^{0 0}

4 4

^6  _C

• 
  2C
  

 ^{0 0 0 6 0} 

^ (1) 1 3

_{2 3}  1 3

^ (2) 2 0

7 3^

^{ } 2C₂  3C₃ ^{ } .

^ 0 0 (2) 1 3 ^{ } 0 0 (2) 1 3 ^

^ 0 0

2 3

3^

C₄  C₃

^ 0 0 0 4 0 ^

   

Преобразование

2C₂  3C₃ совмещает в себе два элементарных преобразования: сначала

вторая строка умножается на два, а затем из нее вычитается три третьих строки.

В качестве ведущего элемента в четвѐртой строке можно взять лишь указанные преобразования получим матрицу

a₄₃  4 . Выполняя

 ^{0 0 0 6 0}  _4C

• 
  6C
  

 ^{0 0 0 0 0} 

^ (2) 2 0 7 3^{ 1 4 } (8) 8 0 0 12 <sup>

 </sup> 4C₂  7C₄ ^{ }  B.

^ 0 0 (2) 1 3 <sup>

</sup> 0 0 0 (4) 0 ^

4C₃  C₄

^ 0 0 (8) 0 12 <sup>

</sup> 0 0 0 (4) 0 ^

   
Теперь в каждой ненулевой строке есть ненулевой элемент, в столбце которого все остальные элементы нули, т.е. матрица B приведѐнная.