Матрицы. Конспект лекций, читаемых в курсе Высшая математика

• Название: Конспект лекций, читаемых в курсе Высшая математика
• Дата: 17.12.2020
• Размер: 95.27 Kb.
• Имя файла: Матрицы.docx
• Тип: Конспект; #161551
• страница: 2 из 13

§ 1.6 Умножение матриц

^{ a}11

^{ a}21

^a12 ^a22

...

...

^a1n <sup>

a</sup>2n<sup>

 b</sup>11

^{ b}21

^b12 ^b22

 b_1r

 b_2r^

A  ^{ } , B ^{ } .

_ ... ... ... ... _{ }     _

^ a a

...

^amn <sup>

</sup> b b

 b_nr ^

 m1 m2   n1 n2 
Если число столбцов матрицы A совпадает с числом строк матрицы B , тогда их произведение определяется так:

^{ c}11


c


21

^c12 ^c22

^{ c1r}


c


^ 2r

A B  AB  ^{ } ,

^     ^




m1

m2

mr 
^ c c  c ^

где c_ij _a_ikb_kj a_i1b_{1 j} a_i2b_{2 j} a_inb_nj,i 1, 2,, m; j 1, 2,, r.

k 1

Здесь для удобства записи использовали знак суммы _ .

Пример 6. Перемножим две матрицы. Пусть

 ^{1  2 3}

 ^{ 9 1 0} 

 

A  

4 1

₇ , B  _ 4

1 1 _.




  _{ 2}

2  1^

Р е ш е н и е .

Т.к. число столбцов матрицы A совпадает с числом строк матрицы B , то можно говорить о произведении матрицы A на матрицу B :

^{1 (9)  (2)  4  3  (2)}

11 (2) 1  3  2

^{1 0  (2) 1  3  (1)}

<sup> 23 5

 5</sup>

AB  ^

4  (9) 1 4  7  (2)

4 1 11  7  2

4  0 11  7  (1)

^{  } 46 19

 6^

   
Отметим, что в данном случае произведение BA не существует, т.к. число столбцов матрицы B не совпадает с числом строк матрицы A.

Свойства операции умножения матриц

1. 
   Если
   

A M_mn, B M_nr, то

AB  M_mr

2. 
   Умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно, т.е., если AB и BA
   

существует, то не обязательно

AB  BA . В этом заключается одно из отличий операции

умножения матриц от операции умножения чисел (последнее всегда коммутативно).

Пример 7.




^{1 1}
 ^{2 1}
^{1 3}
 ^{4 2} 

A  ^

_ 2

₀^ , В  ^_1

^ , АВ  ^

2_{ } 4

^ , ВА  ^

2_{ } 3

^ ,

1_

т.е.

АВ  ВА .

Определение. Матрицы, для которых

AB  BA , называются перестановочными.

Простейшим примером матрицы, перестановочной со всеми квадратными, является единичная матрица соответствующего порядка.

Пример 8.

_ 3



A _ 0


0



1 0_





3 1_,


3
0 _
 2 4





В  _ 0 2


0
_ 0
 1_



4 _,


2



_ 6 14





АВ  _ 0 6


0
_ 0
1 _



14_  ВА.


6




_1 2<sub>

В  </sub> 3 4<sub>

</sub> 9 10 _

A  ,

_3 4_

 ,

_ 6 3_

АВ  

_15

  ВА.

24_

3. 
   Умножение матриц ассоциативно:
   

( AB)C  A(BC )

(при условии существования указанных произведений).

4. 
   Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения:
   

( A B)C AC BC,

F( A B)  FA FB.

⁵⁾ AB  AB  AB.

6. 
   АВ^T
   

 B^T A^T.

6. 
   Пусть E — единичная матрица. Тогда для любой квадратной матрицы A того же порядка что и E
   

EA  AE  A .
Отметим ещѐ одно отличительное свойство умножения матриц: произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нулю. Ненулевые матрицы A и B , удовлетворяющие условию AB  O , называются истинными делителями нуля.

Пример 9.

а) A  ^{ 1 3} , В  ^{ 3 6 } ,
АВ  O,

_{ВА }  ^{15 45}  _.

^ 2 6^{ }1 2^{ }5 15^

     

 _{0 0}  _{0 1}
б) A  ^{ 1 0} , В  ^{ 0 0} , АВ  ВА  O.

   
Операция возведения матрицы в целую положительную степень определяется так:

^{Ak  A A A... A} (произведение k сомножетелей).

§ 1.7 Скалярное произведение векторов

Определение. Пусть

a (a₁, a₂ ,..., a_k), a (a₁, a₂ ,..., a_k),b (b₁,b₂ ,...,b_k) векторы

одинаковой размерности. Их скалярным произведением назовѐм число
(a,b)  a₁b₁  a₂b₂ ...  a_kb_k .

Свойства скалярного произведения:

₁₎ (a, b)  (b, a) <sub>;

2)</sub> (a, b c)  (a, b)  (a, c)

3) ^{(a, b)  (a, b)} , где ^— некоторое число.

Пример 10. Вычислить скалярное произведение векторов и b (1, 3, 5, 4) .
(a,b)  3(1)  53 15  (7)  4  11 .

a  (3, 5,1, 7)

§ 1.8 Сравнение матриц

В экономических приложениях матричного исчисления зачастую используются матрицы, элементы которых принимают только неотрицательные значения. Такие матрицы будем называть неотрицательными.

Определение.МатрицаA

^aij

неотрицательная, если все

a_ij  0 .

Понятие неотрицательной матрицы позволяет ввести сравнение матриц в следующем смысле.
Определение. Пусть даны матрицы A и B одинакового размера. Будемчитать

A  B, если матрица A  B неотрицательна.

Пример 11. Пусть

_{A }  ^{4 0} _{, B}  <sup>3

1</sup> . Сравнимы ли они?

5 2 4 2
Р е ш е н и е .

   

   

_{1 0}
Т.к. матрица A  B  ^{1 1} неотрицательна, то, следовательно, A  B .

 

 _{3 2}  _{2 2}
Заметим, что матрицы A ^{ 5 1 } и B  ^{ 4 3}

   

не сравнимы.

§ 1.9 Многочлен от матрицы

Пусть дан многочлен

f(t)  a₀tⁿ a₁t^n1  a_n1t a_n

и квадратная матрица A .

Определение. Многочленом fот матрицы A назовем выражение

f (A)  a₀ Aⁿ a₁A^n1  a_n1A  a_nE , где ^E — единичная матрица того же порядка, что и матрица A.

Пример12.

_ 2  3_

а) Найти значение многочлена

f (t)  2t  3

от матрицы

A   .

_ 4 1 _

Р е ш е н и е .

Многочлен

f ( A)

имеет вид:

f( A)  2A 3E 2<sup> 2

3</sup> _{ 3} ^{1 0} _  <sup>4

6</sup> _ ^{3 0} _ <sup>1

6</sup>

.

 _{4 1}   _{0 1}  _{8 2}   _{0 3} ₈

1^

         

б) Найти значение многочлена
^{f (t)  3t2  5t 2} от матрицы

 ^{1 2}





A  _ 0 1


0
_ 0

³



2_ .


1




 ^{1 2 3} ²

f( A)  3A²  5A 2E 3^ 0 1 2 ^

 ^{1 2 3}   ^{1 0 0}   ^{1 4 12} 

 5^ 0 1 2 ^  2 ^ 0 1 0 ^  3^ 0 1 4 ^ 

       


       
^ 0 0 1 ^{ } 0 0 1 ^{ } 0 0 1 ^{ } 0 0 1 ^

 ^{5 10 15}   ^{2 0 0}   ^{0 2 21}


     
^ 0 5 10 ^  ^ 0 2 0 ^  ^ 0 0 2 ^.


     
^ 0 0 5 ^{ } 0 0 2 ^{ } 0 0 0 ^

§ 1.10 Обратная матрица

Определение. Квадратная матрица A называется обратимой, если существует матрица B такая, что AB  BA  E . Матрица B называется обратной матрицей для матрицы ^A и обозначается A^1 .

Следовательно, для обратимых матриц выполняется равенство:

Свойства обратимых матриц.

1. 
   Обратная матрица определяется единственным образом.
   
2. 
   Если ^Aобратима, то A^1 также обратима и A^1 1  A.
   

AA^1  A^1A  E .

³⁾ A^1T  A^T1 ^.

4) A^1  ^1A^1, 0 .

5) АВ^1  В ^1 А^1.

6) ^{( Ak) 1  ( A1 ) k}

Алгоритм нахождения обратной матрицы будет описан позже.