Матрицы. Конспект лекций, читаемых в курсе Высшая математика

• Название: Конспект лекций, читаемых в курсе Высшая математика
• Дата: 17.12.2020
• Размер: 95.27 Kb.
• Имя файла: Матрицы.docx
• Тип: Конспект; #161551
• страница: 1 из 13

^{Введение}

Настоящее учебное пособие представляет собой конспект лекций, читаемых в курсе

«Высшая математика» студентам экономических специальностей Южного федерального университета и предназначено в качестве материала для самостоятельной работы. Эта первая часть курса охватывает вопросы линейной алгебры. Также здесь приводятся задачи и вопросы для самостоятельного решения.

Глава 1. Матрицы и операции над ними

§ 1.1 Основные определения

Определение. Матрицейразмера

mn
называется прямоугольная таблица чисел

^{ a}11


a


21

^a12 ^a22

^{ a1n}


a


^ 2n

 

^     ^

(1)



m1

m2

mn 
^ a a  a ^
Матрицы будем обозначать заглавными латинскими буквами, их элементы —

соответствующими прописными буквами с индексами:

A  a_ij

. Первый индекс элемента

матрицы означает номер строки, в которой находится элемент, второй — номер столбца.
Определение. Векторами назовем матрицы, состоящие из одной строки или одного столбца.
З а м е ч а н и е . Понятие «вектор» в математике многозначно. В геометрии мы определяли вектор как направленный отрезок прямой. Понятие «вектор» может обозначать и упорядоченный набор некоторых объектов, а не только чисел.
Определение. Матрицы, у которых число строк и столбцов совпадают, называются

квадратными. Элементы

a₁₁, а₂₂ ,, а_кк

образуют главную диагональ матрицы, аих сумма

называется следом матрицы (обозначают ^trA ).
Определение. Квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы суть нули, называется единичнойматрицей.
Определение. Квадратная матрица, у которой все элементы выше (ниже) главной диагонали равны нулю, называется нижне(верхне)-треугольной (или просто треугольной).
Определение. Матрица, являющаяся одновременно нижне- и верхне-треугольной

называется диагональной.
Определение. Матрица, все элементы которой нули, называется нулевой

и обозначается ^O .

Ниже мы будем рассматривать матрицы, элементами которых являются

действительные числа. Множество всех матриц размера m n обозначим M_mn . Для

множества квадратных матриц размера

n n

примем обозначение M_n , и будем говорить, что

рассматриваем матрицы порядка n. Множество всех векторов — столбцов длины m

обозначим R^m.

Пример 1. Матрицы

_ 3

4
A  



1 7 8_


3

2 1
 ,


_ 1 2_

 

В  _ 2 5_


3

6
 

 

являются матрицами размера являются функции:

2  4

и 3  2

соответственно. Элементами матриц ^C и D

_{ x}2

3x 1<sup>

</sup> ln x

2 sin 3xe^x2 ^

  ^{ }

^{C } 

1  x x⁶

 ^{, D   tgx  cos x}

1 eⁿ

_2esin x _{ .}

 ²  ^{ arccos 2x 2 ln cos x}


 
_ 2x x 1 _ ^{ }
^{ 3 0 0}

 




^{Матрица} _ 1 4 0_


5
_ 2 0 _

является нижне-треугольной матрицей.

 ^{1 0 0 0}

 


 ₀
Матрица ^{ 0 1 0 0}


0


_ 0 1 ^

_ 0 0 0 1_

^{ 3 0}

является единичной порядка 4.

Матрица ^{ }

_ 0 7_
 ³ 

является диагональной матрицей второго порядка.

 

 

1
Матрицы (1,2,3,4,5) и ^{ 2 }

 

4

являются соответственно вектором-строкой и вектором-столбцом.

 

§ 1.2 Равенство матриц

Определение. Две матрицы AиB называются равными, если они одинакового размера и соответствующие элементы обеих матриц равны.
Пример 2. Выяснить, какие из следующих матриц равны:

¹

A  ^

_ 2

^1

^ ,

0 _

B ^{ 0}



_ 2

^{ 1} , C ^1  1 2



1 _

0^ ,

^ sin(^₂) cos^ _1 1 1_

D ^{ } , F   ,

^ 2 cos 2 sin 2^

_ 2 0 2_

 

_ 
^ cos 2

H

sin ^3




2 ^ _.




^ 2 sin 2 cos 2^

Р е ш е н и е .

Сравнивать между собой можно лишь матрицы A , B , D , H , т.к. они одинакового размера, а соответственные элементы равны лишь у матриц A и D . Следовательно, равные лишь A и D .

§ 1.3 Транспонирование матриц

Определение. Пусть матрица A имеет вид (1). Тогда матрица

^{ a}11


a


T ¹²

a₂₁ 

a₂₂ 

^am1 ^


a


m2

_{A }  

^     ^




1n

2n mn
^ a a  a ^
называется транспонированной к матрице A .
При транспонировании строки и столбцы матрицы меняются местами.

Пример 3. Пусть
_ 2 3 4 5_

1 1 4

^{ }    

A 6 7 8 9 ^{, B 2 3 1 2,} C ^{, D .}

4
_{ }  

^ 4 1^

1

4

2

3
_{ }    

 
Транспонированными к ним будут матрицы

 ^{2 6 1} 

^ 3 7 2 ^


 ² 


3
 

T T
_T^{1 4} 

A  ^{ } , B

^{   , C} ^{1 4} <sup>, D

</sup>   ^.

^ 4 8 3 ^


 
^ 5 9 4 ^

 ₁ 


2
 

 

_ 4 1_

Свойства операции транспонирования.

1. 
   Если
   

A M_mn , то

^{AT  M} _nm .

2. 
   ( A^T)^T A.
   

Д о к а з а т е л ь с т в о этих свойств очевидно.

Определение. Если

A^T A , то матрица A называется симметричной.

Из свойства 1) следует, что симметричные матрицы всегда квадратные (матрица D

в примере 3).

§ 1.4 Сложение матриц

Операция сложения определена для матриц одного размера. Пусть

A, B  M_mn :

^{ a}11


a


21

^a12 ^a22

^{ a1n}


a


^ 2n

^{ b}11


b


21

^b12 ^b22

^{ b1n}


b


^ 2n

A ^{ } ,

^     ^

B ^{ } .

^     ^



m1

m2

mn 



m1

m2

mn 
^ a a  a ^{ } b b  b ^
Суммой матриц A и B называется матрица

^{ a}11 ^{ b}11

^a12 ^{ b}12

^{ a1n  b1n}

a  b

a  b


21 21

a₂₂  b₂₂ 



2n 2n

A  B ^{ } .

^     ^




m1

m1

m2

m2

mn mn
^ a  b a  b  a  b ^


Пример 4. Сложим две матрицы

A  ^{ 0}

1  5<sub> и

B </sub>6 3

0 _{ .}

 

_ 4 2 3 _



_1 4

 2^

C A B ^{0  6}

 1  3

 5  0_{  }6 2  5_{ .}



_ 4  1

2  4

3  2 ^{ }5 6 1 ^

 


В результате получили матрицу C того же размера.

Свойства операции сложения матриц

1. 
   Операция сложения матриц коммутативна и ассоциативна, т.е.
   

A  B  B  A — коммутативность.

( A B)  C A (B C)

— ассоциативность.

Д о к а з а т е л ь с т в о следует из соответствующих свойств действительных чисел.

2. 
   ^{A  O  O  A} . Здесь ^O — матрица того же размера, что и матрица ^A.
   
3. 
   Для любой матрицы A существует единственная матрица ^B такая, что ^{A  B  O}.
   

Определение. Матрица^B называется противоположной матрице A

и обозначается — A , если ^{A  B  О} . С помощью противоположной матрицы вводится

понятие вычитания матриц, а именно

A  B  A  (B) .

4. 
   Операция сложения и транспонирования связаны соотношением
   

( A  B)^T A^T B^T.

Д о к а з а т е л ь с т в о

A
^aij
, B 
^bij
; A^T
^aji
, B^T
^bji
; A  B 
^aij ^{ b}ij ^;

( A  B)^T

^aji ^{ b}ji

 A^T B^T.

§ 1.5 Умножение матрицы на число

Определение. Произведением матрицы A вида (1) на число  называется матрица

 ^a11


a


21

a₁₂

a₂₂

^{ a1n}


a


^ 2n

 A ^{ } .

^     ^




m1

m2

mn 
^ a a  a ^
Пример 5. Умножим матрицу A на действительное число .

_ 2 3 _

A  ^ 1 4 ^,  .

 

 
^ 12 5 ^

^{ 3}₅  (2)

³_{5 3}   ^6₅ 

   

B  A  <sup>

3</sup>₅ 1

³₅  4 ^  ^

12 ₅ ^_.

   

^{ 3}₅ 12

3_{5 5  } 36_{5 3 }

   

Свойства операции умножения матрицы на число

1) 1 A  A,

2) (A)  () A,

3) ( ) A A A,

4) ( A B)  A B,

5) (A)^T A^T.

Даны две матрицы A и B :