Матрицы. Конспект лекций, читаемых в курсе Высшая математика

• Название: Конспект лекций, читаемых в курсе Высшая математика
• Дата: 17.12.2020
• Размер: 95.27 Kb.
• Имя файла: Матрицы.docx
• Тип: Конспект; #161551
• страница: 3 из 13

§ 1.11 Элементарные преобразования матриц

Элементарными преобразованиями матриц называются следующие преобразования:

1. 
   перемена местами двух строк C_i  C_j
   

или столбцов Cⁱ C ^j,

2. 
   умножение строки или столбца на число ^, отличное от нуля (обозначается
   

^C_i ^{или Ci} );

3. 
   добавление к одной строке или столбцу другой строки или столбца, умноженных
   

на произвольное число (обозначается C_i  C_j

или Cⁱ C ^j).

Пример 13. Пусть дана матрица

_ 2 4





В  _ 0 2


0
_ 0

 1_



4 _,


2




Выполним преобразование первого типа — поменяем местами вторую и третью строки

 ^{2 4 1}

Тогда получим

В  ^ 0 0 2 ^ .


 

 
^ 0 2 4 ^

Выполним преобразование второго типа — умножим первую строку исходной

 ^{4 8 2} 

матрицы на 2. В итоге получим

В  ^ 0 2 4 ^ .


 

 
^ 0 0 2 ^

Выполним преобразование третьего типа — прибавим ко второй строке первую,

 ^{4 8 2} 

умноженную на — 3. Получим матрицу

В  ^ 12 22 2 ^ .

 

^ 0 0 2 ^

 

Теорема. Элементарные преобразования обратимы и обратные им преобразования являются элементарными преобразованиями того жетипа:

1. 
   C_i  C_j обратно к ^{Cj  Ci},
   
2. 
   ^{1 }^{Ci обратно к Ci, 0,}
   
3. 
   C_i  C_j обратно к C_i  C_j.
   

Для столбцов ситуация аналогична.
Теорема. Любая матрица путем конечного числа элементарных преобразований может быть приведена к треугольному виду.