Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020
 Скачать 7.51 Mb.
|
). Общее решение уравнения Шрёдингера (39.5) можно представить в виде , , Θ Φ ψ r θ φ R r θ φ 0 r r 0 Рис. 39.6 312 Подставив эту функцию в уравнение (39.5) , получим три уравнения, имеющих ана- литические решения, которые достаточно сложны 81 81 Заметим, что в состоянии ψ 1 азимутальное квантовое число l = 0 (см. РАЗДЕЛ 5.6.4 ), т. е. электрон не вращается. 313 Лекция 40 5.6.3. Энергетический спектр атома водорода При W > 0 (электрон свободный) энергия электрона может принимать любые зна- чения. При W < 0 (когда электрон входит в состав атома) энергия электрона квантована: 2 2 2 2 0 1 2 4 n m Ze W πε n , 1,2, n (n ≠ 0!), n — главное квантовое число Энергетический спектр атома водорода дискретный. Дискретные значения энер- гии электрона показаны на графике потенциальной энергии ( РИС . 40.1 ). Рис. 40.1 Основное состояние: n = 1. При переходе системы из одного стационарного состояния в другое (при n 1 > n 2 ) должен выполняться закон сохранения энергии: 2 1 n n W W ω , где ħω — энергия фотона, излучаемого при переходе электрона из состояния с n 1 в состояние с n 2 ; 2 2 2 2 2 0 1 2 1 1 2 4 m Ze ω πε n n При переходе на более высокий энергетический уровень (при n 2 > n 1 ) происходит поглощение энергии. Постоянная Ридберга 2 2 * 3 0 2 4 m e R πε , R * = 2,07∙10 16 с –1 r U 0 W 1 n = 1 W 2 W 3 n = 2 n = 3 314 Таблица 40.1 n Название серии Диапазон Энергетическая диаграмма n 1 = 1 Серия Лаймана УФ * 2 2 2 1 1 1 ω R n n 2 = 2, 3, 4, … n 1 = 2 Серия Бальмера Видимый свет * 2 2 2 1 1 2 ω R n , n 2 = 3, 4, 5, … n 1 = 3 Серия Пашена ИК * 2 2 2 1 1 3 ω R n , n 2 = 4, 5, 6, … 0 n → ∞ n = 4 n = 3 n = 2 n = 1 0 n → ∞ n = 4 n = 3 n = 2 n = 1 0 n → ∞ n = 4 n = 3 n = 2 n = 1 315 При Z = 1 * 2 2 1 2 1 1 ω R n n Так как ω = 2πν, 2 2 1 2 1 1 ν R n n , где * 15 1 3,29 10 с 2 R R π Длина волны c λ ν ; 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 ν R R λ c c n n n n , 7 1 1,10 10 м R R c Линии излучения (поглощения) атомов объединяются в серии. Три первые спек- тральные серии атомарного водорода представлены в ТАБЛИЦЕ 40.1 5.6.4. Момент импульса электрона в атоме Момент импульса любой квантовомеханической системы 1 L l l , 0,1, , 1 l n (см. РАЗДЕЛ 5.4.4 ), l — азимутальное (орбитальное) квантовое число При переходе из одного состояния в другое должен выполняться закон сохранения момента импульса. Так как модуль момента импульса фотона L ф = ħ, возможны лишь переходы, при которых Δ 1 l —– правило отбора Проекция момента импульса на избранное направление z L m , , 1 , , 1,0,1, , 1, m l l l l , m — магнитное квантовое число 5.6.5. Состояние электрона в атоме Каждому главному квантовому числу n соответствует n 2 состояний с одинаковыми энергиями W n . Число n 2 — степень вырождения П РИМЕР При n = 2 степень вырождения n 2 = 4. Говорят, что уровень n = 2 четырёхкратно вы- рожден. При внешнем воздействии на атом энергия W n (для состояний с разными l и m) мо- жет ненамного измениться, тогда вырождение снимается (например, при эффекте Зеемана ). Таким образом, состояние электрона в атоме определяется тремя (на са- мом деле ЧЕТЫРЬМЯ ) квантовыми числами: n, l, m. 316 Классификация состояний электрона в атоме (Эта классификация относится не только к атому водорода, но и к многоэлектрон- ным атомам.) l = 0 — s-состояние l = 1 — p-состояние l = 2 — d-состояние l = 3 — f-состояние и т. д. Запись 2s означает, что n = 2, l = 0 и т. п. В ТАБЛИЦЕ 40.2 рассмотрены возможные состояния электрона на уровнях 1 и 2. Таблица 40.2 Энергия Квантовые числа Волновая функция Обозначение состояния Степень вырождения n l m W 1 1 0 0 ψ 100 1s 1 W 2 2 2 2 2 0 1 1 1 0 +1 0 –1 ψ 200 ψ 21+1 ψ 210 ψ 21–1 2s 2p 2p 2p 4 Переходы между состояниями При переходах из одного состояния в другое должны выполняться законы сохра- нения энергии и момента импульса: 2 1 2 1 , 1. ω W W l l Таким образом, спектральная серия Лаймана может быть получена при переходах 2 3 1 4 p p s p ; серия Бальмера — при переходах 3 4 2 5 p p s p , 3 4 2 5 s s p s , 3 4 2 5 d d p d Эти переходы изображены на энергетической диаграмме РИС . 40.2 На РИС . 40.2 видно, что состояние 2s оказывается метастабильным: в нём электрон задерживается значительно дольше, чем в других возбуждённых состояниях. 317 Рис. 40.2 5.7. Многоэлектронные атомы. Принцип Паули 5.7.1. Спин Из уравнения Шрёдингера следует, что состояние электрона описывается тремя квантовыми числами: n, l, m. Но это уравнение – нерелятивистское. Учёт реляти- вистских эффектов даёт ещё одно квантовое число: спин — собственный момент импульса. Модуль собственного момента импульса частицы 1 s L s s , s — спиновое квантовое число . Для электрона 1 2 s ⇒ 3 2 s L Проекция собственного момента импульса частицы на физически выделенное направление sz s L m , m s — магнитное спиновое квантовое число . Для электрона 1 2 s m Итак, состояние электрона описывается четырьмя квантовыми числами: n, l, m, m s Полный момент импульса частицы 0 W n = 4 n = 3 n = 2 n = 1 n = 5 l = 0 (s) l = 1 (p) l = 2 (d) l = 3 (f) l = 4 (g) серия Лаймана серия Бальмера 318 1 j L j j ; , j l s l s 5.7.2. Принцип неразличимости. Принцип Паули Принцип неразличимости тождественных частиц: тождественные частицы неразличимы. Пусть имеется система из двух тождественных частиц. Рассмотрим волновую функ- цию ψ(ξ 1 , ξ 2 ), где ξ 1 и ξ 2 — совокупности координат соответственно частиц 1 и 2 Так как частицы неразличимы, перестановка ξ 1 и ξ 2 не должна изменять свойств системы, т. е. 2 ψ должен быть одинаковым: 2 2 1 2 2 1 , , ψ ξ ξ ψ ξ ξ При этом возможно два случая ( ТАБЛ . 40.3 ). Таблица 40.3 Свойство волновой функции 1 2 2 1 , , ψ ξ ξ ψ ξ ξ 1 2 2 1 , , ψ ξ ξ ψ ξ ξ Спин целый полуцелый Класс частиц (с точки зрения квантовой статистики) бозоны фермионы Статистика Бозе-Эйнштейна Ферми-Дирака Число частиц в одном состоянии не ограничено ≤ 1 Примеры частиц фотон, ядра с целым спином электрон, протон, нейтрон, ядра с полу- целым спином Принцип Паули: в одной квантовомеханической системе не может быть двух и бо- лее частиц с полуцелым спином, обладающих одинаковой совокупностью кванто- вых чисел. Фермионы подчиняются принципу Паули, а бозоны — нет. 5.7.3. Многоэлектронные атомы В состоянии с данным квантовым числом n в каждом атоме могут находиться не более 2n 2 электронов. Совокупность электронов, имеющих одинаковые значения n, образует оболочку ; одинаковые n и l — подоболочку Конфигурация оболочек и подоболочек на первых трёх энергетических уровнях приведена в ТАБЛ . 40.4 П РИМЕР Построение электронной оболочки атома (в основном состоянии) Водород 1 H 1s 1 Бериллий 4 Be 1s 2 2s 2 Гелий 2 He 1s 2 Бор 5 B 1s 2 2s 2 2p 1 Литий 3 Li 1s 2 2s 1 Углерод 6 C 1s 2 2s 2 2p 2 и т. д. Калий 19 K 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 4s 1 319 Таблица 40.4 Спектроскопиче- ское обозначение оболочки n l m m s Подоболочка K 1 0 0 ↑↓ 1s L 2 0 0 ↑↓ 2s 1 –1 ↑↓ 2p 0 ↑↓ 1 ↑↓ M 3 0 0 ↑↓ 3s 1 –1 ↑↓ 3p 0 ↑↓ 1 ↑↓ 2 –2 ↑↓ 3d –1 ↑↓ 0 ↑↓ 1 ↑↓ 2 ↑↓ 5.8. Спонтанное и вынужденное излучение. Лазеры 5.8.1. Время жизни состояния Стационарным (т. е. сколь угодно долго живущим) является только основное со- стояние атома (это релятивистский эффект). Время жизни возбуждённого состояния — время, за которое число атомов, нахо- дящихся в данном возбуждённом состоянии, уменьшается в e раз. Для возбуждённого состояния время жизни τ 10 –8 с; для возбуждённого метастабильного состояния τ 10 –1 с; для невозбуждённого (основного) состояния τ → ∞. 320 Лекция 41 5.8.2. Спонтанное и вынужденное излучение Спонтанные переходы всегда происходят сверху вниз (т. е. энергия атома умень- шается и излучается фотон). Коэффициент спонтанного излучения A mn — вероятность спонтанного перехода атома из состояния m в состояние n (m > n). Если в состоянии m находится N m атомов, то за время dt в состояние n перейдёт m mn m dN A N dt ⇒ 0 mn A t m m N N e , где N 0m — число атомов в состоянии m в начальный момент времени (t = 0). При 1 0 m m N e N t = τ — время жизни состояния m, 1 mn A t , 1 mn A τ Коэффициент вынужденного излучения B mn — вероятность вынужденного пе- рехода атома из состояния m в состояние n; коэффициент вынужденного погло- щения B nm — вероятность вынужденного перехода атома из состояния n в состоя- ние m; mn nm B B Схемы спонтанных и вынужденных переходов представлены на РИС . 41.1 А , Б , В A mn , B mn , B nm — коэффициенты Эйнштейна Спонтанное излучение Вынужденное поглощение Вынужденное излучение а б в Рис. 41.1 На РИС . 41.1 Б волна б когерентна волне а 5.8.3. Двухуровневая система Пусть пучок света проходит через вещество, атомы которого могут находиться в двух состояниях: m и n. Падающий свет будет вызывать два процесса: переходы сверху вниз и снизу вверх. Первый процесс ведёт к усилению света, второй — к ослаблению. В ТАБЛИЦЕ 41.1 представлены две возможные ситуации заполнения уровней m и n: обычная и инверсная заселённость. A mn m n а B nm m n а B mn m а n б а Излучение спонтанное (самопроизвольное) вынужденное (индуцированное) 321 Таблица 41.1 m n N N m n N N Обычная заселённость Инверсная заселённость Число актов поглощения больше числа актов излучения. Число актов излучения больше числа актов поглощения. Свет поглощается. Свет усиливается. Это естественная ситуация. Заселён- ность уровней по распределению Больц- мана 0 W kT N N e , (W — энергия уровня). Это искусственная ситуация (T < 0). 5.8.4. Оптический квантовый генератор (лазер) 1. Рубиновый лазер Рабочее тело – корунд (Al 2 O 3 ) с примесью 0,03-0,05% хрома (Cr 2 O 3 ) — рубин. На торцы рубинового стержня нанесено зеркальное напыление, они образуют парал- лельные зеркала, пропускающие 8% света ( РИС . 41.2) . Пространство между зерка- лами играет роль резонатора. Источник энергии – импульсная ксеноновая лампа (с её помощью происходит оптическая накачка рубина). Рис. 41.2 Рис. 41.3 Схема энергетических уровней рубина показана на РИС . 41.3 При накачке ионы Cr 3+ переходят из основного состояния 1 в возбуждённое состо- яние 3 . Время жизни этого состояния мало. Так как A 32 > A 31 , большая часть элек- тронов переходит в состояние 2 (время жизни около 10 –1 с). Создаётся инверсная заселённость уровней 2 и 1 . Электрон может перейти с уровня 2 на уровень 1 (сверху вниз, A 21 ) с излучением фотона. Этот фотон может вызвать вынужденное m n m n зеркала ксеноновая лампа зелёный λ 13 = 5600 Å A 31 A 21 A 32 B 13 B 21 Полоса уровней τ 10 –8 с красный λ 21 = 6943 Å Метастабильный уровень τ 10 c 1 2 3 322 излучение (B 21 ). Фотоны, двигаясь между зеркальными торцами, создают эффект лавины. 2. Гелий-неоновый лазер В газоразрядной трубке содержится смесь гелия под давлением 1 мм рт. ст. и неона под давлением 0,1 мм рт. ст. На торцах трубки находятся два зеркала, одно из кото- рых полупрозрачно. Источник энергии — газовый разряд. |